辽宁省营口市开发区第一高级中学2024年高三下学期数学试题周测题三

辽宁省营口市开发区第一高级中学2024年高三下学期数学试题周测题三
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）
A ．()()()f a f b f c <<
B ．()()()f a f c f b <<
C ．()()()f b f a f c <<
D ．()()()f c f a f b <<
2．设点P 是椭圆22
21(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =，则12PF PF +=（
） A ．4 B ．8 C ．42 D ．47
3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：
①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；
③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥
其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②④
4．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ）
A ．(),2-∞
B ．(),1-∞
C ．()2,+∞
D ．()1,+∞
5．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是
A ．(,1]-∞-
B ．2(log 32,0)-
C ．2(2log 6,0]-
D ．2log 32
(,0]4-
6．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）
A ．-1
B ．1
C ．0
D ．2
7．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁 8．设直线l 过点()0,1A
-，且与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，那么AB AC ⋅=（ ）
A ．3±
B ．3
C
D ．1
9．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0
x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则
实数a 的最小值是（ ）
A ．1-
B ．12-
C ．12
D ．1
10．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ）
A ．若//αβ，则l//m
B ．若αβ⊥，则l m ⊥
C ．若l β⊥，则αβ⊥
D ．若αβ⊥，则m α⊥ 11．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(
,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ） A ．6x π
= B ．3x π
= C ．12x π
= D ．512
x π= 12．已知α是第二象限的角，3tan()4
πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225 B ．1225- C ．2425 D ．2425
- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的6位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同的有_____个.
14．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos b B a C c A =+，若ABC ，则ABC 面积的最大值是______.
15．在平面直角坐标系xOy 中，己知直线1:2l y =与函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为1A ，2A ，…，若点1A 的横坐标为1，则点2A 的横坐标为________.
16．已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项的和为______________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P ，Q 为抛物线C 上的两个动点，O 为坐标原点.
（Ⅰ）若点F 在线段PQ 上，求PQ 的最小值；
（Ⅱ）当OP PQ ⊥时，求点Q 纵坐标的取值范围.
18．（12分）已知函数()()()ln 11f x x ax a a R =+-+-∈．
（1）若()0f x ≤对任意1x >-恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）求证： ()1ln 110x x xe x --++-+≥
19．（12分）已知集合{}220A x x x =-->，集合(){}
222550B x x k x k =+++<，k ∈R . （1）求集合B ；
（2）记M A B =，且集合M 中有且仅有一个整数，求实数k 的取值范围.
20．（12分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，连接AM ,AN 并延长交直线x =4于
()()3344,,,E x y F x y 两点，若
1234
1111y y y y +=+，直线MN 是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 21．（12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若(,)m a b c =-，()sin sin ,sin sin n A B B C =-+，(1,2)p =，且m n ⊥.
（1）求角C 的值；
（2）求n p ⋅的最大值.
22．（10分）已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C 交于,A B 两点，290AF B ∠=，且2209
F AB S ∆=
． （1）求C 的方程；
（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存
在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C
【解题分析】
可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系.
【题目详解】
解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又1
2
124b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12
log 21c ==- 设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈；
若1x ，[]
20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+； ()f x 在[]1,2上是减函数；
12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；
12()()f x f x ∴<；
()f x ∴在[]0,1上是增函数；
所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=
∴()()()f b f a f c <<
故选：C
【题目点拨】
考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条
件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.
2．B
【解题分析】
∵12F F =
∵122F F c ==
∴c =
∵222c a b =-，24b =
∴4a = ∴1228PF PF a +==
故选B
点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
3．D
【解题分析】
根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④.
【题目详解】
对于①，若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，α，β两平面相交，但不一定垂直，故①错误；
对于②，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故②正确；
对于③，若//m n ，m α⊂，//αβ，当n β⊂，则n 与β不平行，故③错误；
对于④，若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故④正确；
故选：D
【题目点拨】
本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.
4．A
【解题分析】
构造函数()()x x f x g x e
⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集.
【题目详解】
构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10x x f x x f x g x e
-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()3
2f e =，所以()32222e g e e ⨯==. 由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22x x f x g x e g e
⋅=
<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A
【题目点拨】 本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
5．D
【解题分析】
由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.
当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.
当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x 解得144x <<.在1(,4)4
内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.
当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.
若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.
只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(
,0]4-.故选D. 6．B
【解题分析】
化简得到
，根据纯虚数概念计算得到答案. 【题目详解】
为纯虚数，故
且，即.
故选：.
【题目点拨】 本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.
7．D
【解题分析】
根据演绎推理进行判断．
【题目详解】
由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．
8．B
【解题分析】
过点()0,1A -的直线l 与圆C ：22
20x y y +-=相切于点B ，可得0BA BC ⋅=.因此()2
AB AC AB AB BC AB AB BC ⋅=⋅+=+⋅222AB AC r ==-，即可得出.
【题目详解】
由圆C ：2220x y y +-=配方为()2211x y +-=， ()0,1C ，半径1r =.
∵过点()0,1A -的直线l 与圆C ：22
20x y y +-=相切于点B ， ∴0AB BC ⋅=；
∴()2AB AC AB AB BC AB AB BC ⋅=⋅+=+⋅2223AB AC r ==-=；
故选：B .
【题目点拨】
本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.
9．B
【解题分析】
先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102
x g x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【题目详解】
解：当0x ≤ 时，()2
f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =- 则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点，
当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<.
则()f x 在A 处的切线方程为()
()()2111121y x x a x x x -++=+-； ()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知
2122
1ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102x g x x e x =-≤ 则()()22',''12x x g x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22
x = 则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222
g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =
-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B.
【题目点拨】
本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算.
10．C
【解题分析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.
【题目详解】
对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误；
对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误；
对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确；
对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误.
故选：C .
【题目点拨】
本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题. 11．B
【解题分析】
把已知点坐标代入求出ϕ，然后验证各选项．
【题目详解】 由题意2sin()13π
ϕ+=，1sin()32πϕ+=，26k πϕπ=-或22
k πϕπ=+，k Z ∈， 不妨取6πϕ=-或2ϕπ=，
若2
ϕπ=，则函数为sin(2)cos 22y x x π=+=，四个选项都不合题意， 若6πϕ=-，则函数为2sin(2)6y x π=-，只有3x π=时，sin(2)136ππ⨯-=，即3x π=是对称轴． 故选：B ．
【题目点拨】
本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．
12．D
【解题分析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.
【题目详解】 因为3tan()4
πα+=-, 由诱导公式可得,sin 3tan cos 4ααα=
=-, 即3sin cos 4
αα=-, 因为22sin cos 1αα+=, 所以216cos 25
α=, 由二倍角的正弦公式可得,
23sin 22sin cos cos 2
αααα==-, 所以31624sin 222525
α=-⨯=-. 故选:D
【题目点拨】
本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．60
【解题分析】
对首位数的奇偶进行分类讨论，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.
【题目详解】
①若首位为奇数，则第一、三、五个数位上的数都是奇数，其余三个数位上的数为偶数，
此时，符号条件的6位自然数个数为33
3336A A =个；
②若首位数为偶数，则首位数不能为0，0可排在第三或第五个数位上，第二、四、六个数位上的数为奇数，
此时，符合条件的6位自然数个数为123
22324C A A =个.
综上所述，符合条件的6位自然数个数为362460+=个. 故答案为：60. 【题目点拨】
本题考查数的排列问题，要注意首位数字的分类讨论，考查分步乘法计数和分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题. 14
【解题分析】
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围(0,)B π∈可求B 的值，利用正弦定理可求b 的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求ac 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【题目详解】 解：
2cos cos cos b B a C c A =+，
∴由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，
A B C π++=，
(sin s )in A C B ∴+=，
又
(0,)B π∈，sin 0B ∴≠，2cos 1B ∴=，即1
cos 2
B =
，可得：3B π=，
ABC
23sin
2
b π
∴
=⨯
，解得2b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得22
4a c ac +-=，又222a c ac +，
2242a c ac ac ac ac ∴=+--=（当且仅当a c =时取等号）
，即ac 最大值为4， ABC ∴
面积的最大值为1
4sin 2
B ⨯=
【题目点拨】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应
用，考查了转化思想，属于中档题． 15．1 【解题分析】
当1x =时，1()sin()62f x πω=+=得266
k ππ
ωπ+=+，或52()66k k Z ππωπ+=+∈，依题意可得566ππω+=，可求得ω，
继而可得答案． 【题目详解】
因为点1A 的横坐标为1，即当1x =时，1
()sin()62
f x πω=+=，
所以26
6
k ππωπ+
=+
或52()6
6
k k Z π
π
ωπ+
=+
∈， 又直线1:2
l y =与函数()sin()(0)6f x x π
ωω=+>的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为1A ，2A ⋯，
所以56
6
π
π
ω+=
， 故23
πω=
， 所以函数的关系式为2()sin()36
f x x ππ=+． 当23x =时，f （1）21sin(
3)362
ππ=⨯+=， 即点2A 的横坐标为1，(13,2
)为二函数的图象的第二个公共点． 故答案为：1． 【题目点拨】
本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题． 16．31 【解题分析】 设1
1n n a a q
-=，2
35a a =可化为2
4
4
11a q a q =，得11a =，21422a a =-=，2
1
2a q a =
=， 55(1)311q q S q
-==-
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）4（Ⅱ）(][),88,-∞-+∞
【解题分析】
（1）由抛物线的性质，当PQ x ⊥轴时，PQ 最小；（2）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，分别代入抛物线方程和0
OP PQ ⋅=
得到三个方程，消去12,x x ，得到关于1y 的一元二次方程，利用判别式即可求出2y 的范围. 【题目详解】
解：（1）由抛物线的标准方程，2p =，根据抛物线的性质，当PQ x ⊥轴时，PQ 最小，最小值为2p ，即为4. （2）由题意，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，其中120y y ≠，12y y ≠.
则2114y x =，①2
224y x =，②
因为OP PQ ⊥，()11,OP x y =，()2121,PQ x x y y =--， 所以()()1211210OP PQ x x x y y y ⋅=-+-=.③
由①②③，得2
121160y y y ++=， 由1y R ∈，且10y ≠，得2
2640y ∆=-≥，
解不等式，得点Q 纵坐标2y 的范围为(][),88,-∞-+∞.
【题目点拨】
本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解. 18．（1）1a ≥；（2）见解析. 【解题分析】 （1）将问题转化为()ln 11
1
x a x ++≥
+对任意1x >-恒成立，换元构造新函数即可得解；
（2）结合（1）可得()1
12ln 111x x x xe
x xe x ---+≥--+++，令()()1211x h x xe x x --=+>-，求导后证明其导函
数单调递增，结合()10h '=，即可得函数()h x 的单调区间和最小值，即可得证. 【题目详解】
（1）()0f x ≤对任意1x >-恒成立等价于()ln 11
1
x a x ++≥
+对任意1x >-恒成立，
令()10t x t =+>，()ln 1t g t t +=
，则()2ln t
g t t
-'=， ∴当()0,1t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；
当()1,t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减；
∴()g t 有最大值()11g =， ∴1a ≥.
（2）证明：由（1）知，当1a =时，()ln 10x x +-≤即()ln 1x x ≤+，
∴()ln 1x x -+≥-，∴()112ln 111x x x xe x xe x ---+≥--+++，
令()()1
211x h x xe
x x --=+>-，则()()112x h x x e -'+-=，
令()()()1
121x p x x e
x -=+->-，则()()120x p x x e -'+>=，
∴()h x '在()1,-+∞上是增函数，又()10h '=，
∴当()1,1x ∈-时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>， ∴()h x 在()1,1-上是减函数，在()1,+∞上是增函数，
∴()()10h x h ≥=，即1210x xe x +-≥﹣，
∴()1ln 110x x xe x ---+++≥．
【题目点拨】
本题考查了利用导数解决恒成立问题，考查了利用导数证明不等式，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题. 19．（1）5,2B k ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
（2）[)(]3,23,4-⋃ 【解题分析】
（1）由不等式2
2(25)50x k x k +++<可得(25)()0x x k ++<,讨论k -与5
2
-的关系,即可得到结果； （2）先解得不等式220x x -->,由集合M 中有且仅有一个整数,当5
2
k -<-
时,则M 中仅有的整数为3-；当5
2
k ->-
时,则M 中仅有的整数为2-,进而求解即可. 【题目详解】
解:（1）因为2
2(25)50x k x k +++<,所以(25)()0x x k ++<,
当52k -<-
,即52k >时,5,2B k ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭；
当5
2k -=-
,即52
k =时,B =∅； 当52k ->-
,即52k <时,5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
. （2）由220x x -->得()(),12,x ∈-∞-⋃+∞, 当52k -<-
,即5
2
k >时,M 中仅有的整数为3-, 所以43k -≤-<-,即(]
3,4k ∈； 当5
2k ->-
,即52
k <时,M 中仅有的整数为2-, 所以23k -<-≤,即[
)3,2k ∈-； 综上,满足题意的k 的范围为[)(]
3,23,4-⋃ 【题目点拨】
本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.
20．（1）22
143
x y +=（2）直线MN 恒过定点()1,0,详见解析
【解题分析】
（1）依题意由椭圆的简单性质可求出,a b ，即得椭圆C 的方程；
（2）设直线AM 的方程为：12x t y =-，联立直线AM 的方程与椭圆方程可求得点M 的坐标，同理可求出点N 的坐标，根据,M N 的坐标可求出直线MN 的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标． 【题目详解】
（1）由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴222
3b a c =-=.∴椭圆方程为22143
x y +=.
（2）设直线AM 的方程为：12x t y =-，则()1222
112
3412014
3x t y t y t y x y =-⎧⎪
⇒+-=⎨+=⎪⎩ ∴0y =或1211234t y t =+，∴211111122111268223434t t x t y t t t -=-=-=++，同理2
222
268
34
t x t -=+，22221234t y t =+
当34x =时，由3132x t y =-有316y t =
.∴164,E t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理264,F t ⎛⎫
⎪⎝⎭
，又
1234
1111y y y y +=+ ∴22
1212
123434121266t t t t t t +++=+，()()1212121234126
t t t t t t t t +++⇒= 当120t t +≠时，124t t =-∴直线MN 的方程为()12
1112
y y y y x x x x --=
--
12
22
2112122
2212112212121212343468686834343434
t t t t t t y x t t t t t t -⎛⎫++-⇒-=- ⎪--++⎝⎭-++211221121126843434t t y x t t t t ⎛
⎫-⇒-=- ⎪+++⎝⎭ 211
221212116812443434t t y x t t t t t t -⇒=-⋅+++++()
()
()()2121212
11243444134t x x t t t t t t t +=-=-++++
∴直线MN 恒过定点()1,0，当120t t +=时，此时也过定点()1,0.. 综上:直线MN 恒过定点()1,0. 【题目点拨】
本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题． 21．（1）
3
π
；（2
）【解题分析】
（1）由正弦定理可得222a b c ab +-=，再用余弦定理即可得到角C ；
（2）n p
⋅6A π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
【题目详解】
（1）因为m n ⊥，所以(sin sin )()(sin sin )0a A B b c B C -+-+=. 在ABC ∆中，由正弦定理得
sin sin sin a b c
A B C
==， 所以()()()0a a b b c b c -+-+=，即222a b c ab +-=.
在ABC ∆中，由余弦定理得2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
又因为(0,)C π∈，所以3
C π
=
.
（2）由（1）得3
C π
=
，在ABC ∆中，A B C π++=，
所以1(sin sin )2(sin sin )n p A B B C ⋅=⨯-++ 2
sin sin 3A A π⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
1
sin sin 2
A A A =++
3
sin 2A A =
6A π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭因为20,3
A π⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭，所以5,666
A πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
， 所以当6
2
A π
π
+
=
，即3
A π
=
时，sin 6y A π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭有最大值1，
所以n p ⋅的最大值为【题目点拨】
本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.
22．（1）22
154
x y +=（2）45
【解题分析】
（1）不妨设2,33A a b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,33B a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，计算得到2245a b =，根据面积得到a b ⋅=. （2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程利用韦达定理得到00122mx y x x +=，22
2
0120
4
m x x x x =-，代入化简计算得到答案. 【题目详解】
（1）由题意不妨设2,3A b ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，
则223b F A c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，223b F B c ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
．
∵290AF B ∠=，∴2
2
22254099
b F A F B
c a ⋅=-+=，∴2245a b =．
又2
1220
239
F AB b S ∆==
，∴a b ⋅=
∴a =2b =，故C 的方程为22
154
x y +=．
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则0
OP y k x =．∵0OP MN k k +=， ∴0
0MN y k x =-
，设直线MN 的方程为
()00
0y y x m m x =-+≠， 联立0022
,1,5
4y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()2222
2000004510540x y x mx y x x m +-+-=． ∵P 在C 上，∴22
004520x y +=，∴上式可化为(
)
22
2
0004240x mx y x x m -+-=．
∴00122mx y x x +=，22
2
0120
4m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>， ∴()()22000
1212042225
m y y mx y y x x m x -+=-++=
=， ()2
200001212121220000y y y my
y y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
222
2
22
0000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭
，
∴()()()222
2
22
0001020120120
00
255
m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 222000
25
m x mx y -=
()()()2222000
1020120120
24
m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=
． ∴102010204
5
PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--．
【题目点拨】
本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。