北师大选修椭圆的简单性质课件

半轴长
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距
焦距为2c
a,b,c关系 离心率
a2=b2+c2
e=
c a
小结
❖ 椭圆的定义: 平面内到两个定义F1、F2的间隔 之和 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆，这两个 定点叫作椭圆的焦点，焦点的间隔 叫作椭圆的焦距。
❖ 填表: 标准方程
图象
范围 对称性 顶点坐标
焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
❖ 归纳: 记住这些性质的关键是抓住两条线(对称轴)，一个框(范围)，
七个点(一个中心、两个焦点、四个顶点)和用e刻画圆扁。
顺口溜：一个框，四个点，注意光滑和圆扁，莫忘 对称要表达。
谢谢光临 再 见！
谢谢！
顶点与两个焦点构成一个正三角 形，则椭圆的离心率e为___12 _____。
2、如果实数x、y满足 x 2 y 2 1，试 求:μ=x2+y2-16x 的最小值。4
有人这样解你认为对不对？
x 2 ( 1 x 4 2 ) 1 6 x 4 3 ( x 3 3 2 ) 2 2 3 5 3
，所以当x= 3 2 时，μ最小值 3
1.2 椭圆的简单性质(第一课时)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ椭圆
x2 y2 1(ab0)
a2 b2
y
y=b B2
A1
F1
0
X=-a
y=-b B1
A2 x F2
X=a
试一试：
根据以上作法在同一坐标系下画
出方
程 x2 y2 1 25 16
和x 2 y 2 1
25 4
所表示的椭
圆，并考虑这两个椭圆的形状有何不
椭圆的四个顶点分别是A1(-5,0)，A2(5,0) B1(0,-3)，B2(0,3)
将方程
x2 25
y2 9
1
变形为
y
±3 5
25x2由
在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x ,
y 3 25 x，2 y)，5如下表：
x012345
先用描点y 法在3第一2象.9限内2.画7 出2椭.4圆的1.部8 分图0 像，再利
(由于-2≤x≤2，所以x=
- 253 33取2 3不到)
小结
❖ 椭圆的定义: 平面内到两个定义F1、F2的间隔 之
和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆，这两 个定点叫作椭圆的焦点，焦点的间隔 叫作椭圆的焦
❖ 距填。表:
标准方程 图象
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
同？
例1 求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、
离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它
的图像。
解：将方程化为椭圆的标准方程
那么a=5，b=3，c=a 2 b2 = 4
x2 y2 1 25 9
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是：2a=10，2b=6
离心率是e=
c a
=
4 5
两个焦点分别是F1(-4,0)，F2(4,0)
标准方程 图象
x2 a2
by22
1(ab0)
y
0
x
x2 b2
ay22y1(ab0)
0x
范
围 |x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
对 称 性 关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称。
顶点坐标 （ a ,0 ）,(0, b)
（ b ,0 ）,( 0, a)
焦点坐标
( c,0 )
(0, c)
用对称性画出整个椭圆。(如以下图所示)
例1 求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出 它的图象。
把例1方程 x 2 y 2 1中的9改成 k(k>0)，也即 25 9
x2 y2 1(k 0)情况又怎样？ 25 k
考虑
1、如果一个椭圆短轴上的一个