极限概念习题课

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15极限概念习题课

第五讲极限概念习题课
极限概念习题课
一、内容小结二、题型练习
极限概念习题课
一、内容小结二、题型练习
一、内容小结
（一）极限的概念（二）极限的性质（三）主要研究问题
一、内容小结
（一）极限的概念（二）极限的性质（三）主要研究问题
（一）极限的概念
1．概念纵览 2．不同变化过程的联系 3．不同概念的联系 4．不同概念的定义
(1) 0 (0 1), 正整数 N , 当n N 时,
恒有：xn a .
(2) 0 , 正整数 N , 当n N 时, 恒有：
xn a k (k 0).
（一）概念辨析
➢对N的理解数列极限的定义是否可叙述为：
0 , 使不等式 xn a 成立的正整数n
（三）主要研究问题
1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
➢证明极限存在利用定义利用不同过程之间的关系利用极限与无穷小的关系利用无穷小的性质
➢证明极限不存在利用定义的反面说法利用极限的性质：无界→极限不存在利用不同过程之间的关系
（三）主要研究问题
1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
x x0
➢定理2 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x
x
x
➢定理3
lim
n
xn
A
lim
k
xnk
A
({xnk } {xn})
函数的变化趋势
有趋势
无趋势
趋势为常数A
趋势为无穷大
无界有界振荡
n
A≠0 有极限
A=0 无穷小 ∞ ＋∞ －∞
自 x
变量

高等数学习题课1-2 极限与连续

n
xn 1 x
n
( x 0)的连续性。
解当x [0,1)时, f ( x ) 0;
0, 0 x 1 1 1 即 f ( x) , x 1 当x 1时, f ( x ) ; 2 2 1, x 1 1 当x 1时, f ( x ) lim 1 n 1 n ( ) 1 x
x )
lim
x 0
e x sin 2 x e
2 x
x
2
1
例6 问x 1时, f ( x ) 3 x 2 x 1 ln x
2
是x 1的几阶无穷小 ?
解 f ( x ) 3 x 1 x 1 ln[1 ( x 1)]
lim
x 1
2
n
(2)设x0 1, xn 1
1 xn 1
(n 1, 2,), 试证{ xn }收敛 ,
并求 lim xn。
n
5.求极限
(1) lim
x 0
x 1 cos x
(2) lim
x a
tan x tan a xa xe
(a k

2
)
(3) lim
其中 x=0为跳跃间断点,
例 10 证明: 方程 tanx = x 有无穷多个实根。
分析从图形看 y=tanx与 y = x 有无穷多个交点。证设 f(x) = tan x- x (要在无穷个闭区间上用零点定理)
k Z ,
(1) k
lim
x ( k

2
f ( x ) ， lim
8. 设f ( x )在[0,1]上非负连续, 且f (0) f (1) 0, 则对任意实

习题课2数列极限2010

n
1 1 1 （2）设 x n = ＋＋L＋， 1!＋1 2!＋ 2 n !＋ n 证明数列 { x n }收敛 .
a1 − 1 ( 3).设a1 = 2 , a 2 = 2 + , L, 2 + a1 a n −1 − 1 an = 2 + ( n = 2, 3, L)求 lim a n n→ ∞ 2 + a n −1
1!+2!+ L + n! ( 3). lim n→ ∞ n! 1 1 (4). lim n 1 + + L + n→ ∞ 2 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5). lim(
n→ ∞
1 n +n
6
+
2
6
2
n + 2n
+ L+
n
6
2 2
n +n
)
n n n ( 6 ). lim [ ] + +L 2 2 2 n → ∞ ( n + 1) ( n + 2) (n + n)
2.选择题
(1)若数列{a n }有极限，则在 a的ε邻域之外，有极限，邻域之外，数列中的点（数列中的点（ (C)必不存在；必不存在；） (D)可以有有限多个，可以有有限多个， (A)至多只有有限多个； (B )必定有无穷多个；必定有无穷多个；至多只有有限多个；也可以有无穷多个 .
).
( A)先给定 ε后唯一确定 N ; ( B )先给定 ε , 后确定 N , 但N的值不唯一 ; (C )先确定 N后给定 ε ; ( D )ε与N无关 .
3.问答题问答题
(1).有界数列是否一定收敛 ? 无界数列是否发散 ? ( 2). 单调数列是否一定收敛 ? 收敛数列是否一定单调 ?

习题课2(求极限)

习题课二
一. 问答题 : 1.下列说法能否作为 lim xn a的定义 ?
(1). 对于无穷多个 0, N N , n N时, 有 xn a
(2). 对 0, N N , n N时, 有无穷多个xn，使 xn a (3). 对 0, N N , n N时, 有 xn a k （其中k 0) (4). 对 0, n N , 使对所有的正整数 p, 不等式
xn p a 成立
n
2.有界数列是否一定收敛 ? 无界数列是否发散 ?
3.单调数列是否一定收敛 ? 收敛数列是否一定单调?
4. 若数列xn 与yn 发散,问数列xn yn , xn yn , xn 是否一定发散? yn
n n n 4. lim[ ] 2 2 2 n ( n 1) (n 2) ( n n) xn1 5.x1 1, xn 1 (n 2), 求 lim xn n 1 xn 1

n( n 1) 1 2 n . 2
f ( x) x 3 lim f ( x)
2 x 1
lim f ( x ) lim x 2 3 lim f ( x ) 1 3 lim f ( x )
x 1 x 1 x 1 x 1
1 lim f ( x ) . x 1 2

x x2 xn n 3.求 lim x 1 x 1
( x 1)30 (2 x 3) 70 4.求 lim . 100 x (5 x 9)
5.求 lim ( x
x
x
x
x)
六.1.设 lim f ( x) A, 且A 0, 用极限定义证明

函数的定义、极限的概念、连续的概念.

lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
两者的关系
极限存在的充要条件判定极限存在的准则
左右极限两个重要极限
无穷小的比较
无穷小
lim f ( x ) 0
等价无穷小及其性质
无穷小的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
（三）连续
连
x 0
续定义
x x0
lim y 0
lim f ( x ) f ( x 0 )
间断点定义
左右连续
在区间[a,b] 上连续
连续的充要条件
连续函数的运算性质初等函数的连续性
第一类第二类可跳去跃间间断断点点无振穷荡间间断断点点
闭区间上连续函数的性质
二、总结求极限的方法
1. 初等函数求极限的方法——代入法.

]
(2) 0
1 4x2 2 2x 1 2x 1 1 4x 要使 2 ，只要 2 x 1 2x 1 1 即 x ( ) 2 2 1 取当0 x ( ) 时
2
2 2 2 1 4x 1 4x 2 2 即 lim1 x 2 x 1 2x 1 2
2
n2 a 2 n a2 a2 n n n( n 2 a 2 n)
n2 a 2 a2 要使 1 , 只要 n n
即n
a2
2 2 n a n a 1 则当n N时，就有 1 lim n n n
2 2

取N [
a2
sin无穷小推广： lim 1
无穷小
1 x 8.利用第二重要公式 lim (1 ) e求极限； x x

微积分经济数学吴传生第二章

记作 o();
(2)如l果 im C(C0)就 , 说与是同阶;的
特殊如地果 lim1,则称与是等价的;无
记作 ~;
(3)如l果 im kC (C0,k0)就 , 是说是 k阶的无穷 . 小
8. 等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理)
准则Ⅰ′ 如果当xU0(x0,r)(或x M)时,有 (1) g(x) f (x) h(x),
(2) limg(x) A, limh(x) A,
xx0 ( x)
xx0 ( x)
那末lim f (x)存在,且等于A.(夹逼准则) xx0 ( x)
准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限 .
设 ~ , ~ 且 li m 存 ,则 l在 i m li m .

9. 极限的唯一性
定理若 lif( m x ) 存在 ,则极限唯一 .
连续定义
limy0
x0
x l ix0m f(x)f(x0)
左右连续
连续的充要条件
在区间[a,b] 上连续
推论2 如果 lim f(x)存,在而 n是正,整则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
5. 判定极限存在的准则
连续函数的运算性质
非初等函数的连续性
初等函数的连续性
间断点定义
第一类可跳去跃间间断断点点
第二类无振穷荡间间断断点点

同济高等数学第一章习题课

f (x) b k = lim [ − ] x→+∞ x x ∴ f (x) k = lim x→+∞ x
(或x →−∞)
f (x) b lim x[ −k − ] = 0 x→+∞ x x f (x) b lim [ −k − ] = 0 x→+∞ x x
b = lim [ f (x) − kx]
1
lim(cos x )
x →0
x2
ln cos x ln(1 + cos x − 1) lim = lim 2 x→ 0 x →0 → x x2 cos x − 1 = lim x→ x →0 x2 x2 − 1 = lim 2 = − x →0 x 2 1 2 − 所以，所以，原式 = e 2
二、无穷小的比较
例11 当下列函数分别是x的几阶无穷小时，下列函数分别是的几阶无穷小
~ ~
x2 2
x
1 2
2x = 1+ x + 1− x
~
x
练习：练习： P74，3（1），（）
求分段函数的极限，三、求分段函数的极限，判断分段函数的连续性，连续性，间断点的类型
例12
解：
1 x>0 x sin x , f ( x) = , 求 lim f ( x ). x x→ 0 → 1 − cos x − x sin 2 , x<0 x2 x 1 − cos x − x sin 2 lim− f ( x ) = lim− x x →0 x →0 x2 x sin 1 − cos x 1 1 2 = lim− − lim− = − =0 x →0 x →0 x2 x2 2 2 1 lim+ f ( x ) = lim+ x sin = 0 x →0 x →0 x lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = 0

极限章节习题课

? ?
x
(含 x n)
x
x
… xN … x N
lim f ( n)
n
?Байду номын сангаас
lim f ( x )
?
2. 极限的性质（1）极限的唯一性. （2）极限的局部保号性.
δ 0, 当 0 | x - x0 | 时,
有 f ( x) 0
1 ( 1)n 2 0 分析： n n 1 ( 1) n 0, 要使 0 , n 2 即 n
2 只需要， n
2 总 N , 证明： 0 ， 1 ( 1) n 0 当 n N 时，就有 n

1 ( 1) n lim 0 n n
（1）利用函数连续性求极限——代入法. （2）用恒等变形消去零因子法求极限.
（3）用同除一个函数的方法求型极限.
（4）利用两个重要极限求极限. （5）利用无穷小性质求极限.
（6）利用等价无穷小代换求极限.
（7）利用极限存在的两个准则求极限. （8）从左、右极限求分段函数在分界点处的极限. （9） * 用洛必达法则求未定式的极限.
(× )
.
(13) (14) (15) (16) (17) (18)
n
lim| a n | 0 lim a n 0
n n
(√ ) ( ×) (× ) (× ) ( √) ( ×)
lim| a n | 1 lim a n 1
n
1 1 lim xsin lim x limsin 0 x 0 x x 0 x 0 x x tanx x x lim lim 3 0 3 x 0 x 0 x x 1 cosx 1 cosx 1 lim lim 2 x 0 xsin x 0 x 2 x x sinxcosx x sin x lim lim 3 x 0 x 0 x x3

高数习题课

e −b 有无穷间断点 x =0 例7. 设函数 f (x) = (x−a)(x−1 ) 及可去间断点 x =1, 试确定常数 a 及 b . x e −b 为无穷间断点, ∴lim 解: =∞ ) x→ (x−a)(x−1 0 (x−a)(x−1 ) a lim = 即 =0 x x→ 0 1−b e −b 由此得 a = 0, b ≠1 ex −b ∵x =1为可去间断点 , ∴lim 极限存在, ) x→ x(x−1 1
1+tan x x3 ) . 例5. 求极限 lim ( x→ 1+sin x 0 1 1+tan x x3 解: 原式 = lim [1+( −1 )] 1+sin x x→ 0 1 tan x−sin x x3 = lim [1+ ] 1+sin x x→ 0
1
lim 1± f (x)]g(x) [
3
3
练习：练习： (1) 求 lim
x→ ∞
x2 + x2 +3
4
2x− 2x −1 (2) lim(3 1−x3 −ax+b) =0 确定常数 a 及 b
x→ ∞ +
解:
原式 = lim x(3
∞ x→
x 1 ∴ lim(3 x3 −1−a+b ) =0 x x→ ∞
1 x3
−1−a+ b ) =0
习题课函数与极限
一. 函数 1. 函数的概念定义: x∈D
f
对应规律
y∈W={y y = f (x), x∈D }
值域
定义域
y
图形: } C ={(x, y) y = f (x), x∈D ( 一般为曲线 )

函数,极限,连续-习题课

取Nmax{9,[

]},则 0n N, 有
即
n2 n 1 lim 2 . n 2n n 9 2
例5
证
证明
lim
x 2
x 2. x 1
x x2 | 2 || | x 1 x 1 1 不妨取 | x 2 | 2 ,即 3 5 1 3 1 x | x 1 | 2. 2 2 2 2 | x 1| x2 | 2 | x 2 | | x 2 | . 则 | x 1 2 1 取 min{ , },则x:0<|x-2|<，有 2 2 x | 2 | . 证毕. x 1
f (x ) x 2 2 x 2
例3 判断下列函数的奇偶性
a x 1 ① yx x a 1
② y ln x x 2 1
(
)
1 1 ax 1 x x x x a 1 1 a a a ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x x x 解 ① 1 a x 1 1 ax 1 ax 1 x x a a x x a 1 a 1 为偶函数。 x x f ( x) ∴函数 y x x a 1 a 1
1
x ln (1 2 x ) ～ 12 x
e
x 0
x 2x lim ( cos sin x 1 x )
1 x
e
2
复习: 若 lim u ( x) 0 , lim v( x) , 则有 x x0 x x0
x x0
lim 1 u ( x)
v( x)
lim
1 (1 x 3 ) 2 x 3 1 x 3 x 2
x 3

高等数学习题课(1)函数极限与连续性

连续,
证明 f (x) 对一切 x 都连续 .
提示:
lim f (x x) lim [ f (x) f (x)]
x0
x0
f (x) f (0)
f (x 0) f (x)
P73 题5. 证明: 若 f (x) 在 (, )内连续, lim f (x)
x
存在, 则 f (x) 必在 (, )内有界.
III.课堂训练题 1. 求数列极限
1 lim[ n n n n ] n
2 lim 1 a1 a2 1 a2n ，( a 1) n
2. 求下列极限
1 lim x0
1 tan x 1 sin x sin3 x
2 lim sin x 1 sin x x
公式：sin A sin B 2cos A B sin A B
xx0
f (x)
f
(x0 )
6. 连续函数的性质
1) 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零），仍为连续函数；
2) 单值单调连续函数的反函数在对应区间上也为单值单调的连续函数；
3) 连续函数的复合函数也是连续函数； 4) 一切初等函数在其定义区间内都是连续函数。
7. 闭区间上连续函数的性质
有 y f (x0 x) f (x0 )
如果 lim y 0
①
x0
或
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
②
或
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
③
则称函数y f (x) 在点 x0 处连续。
命题：lim xx0
f
(x)
f

数列和函数极限部分习题课

n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
例： lim (
n→ ∞
12 + 2 1 n +n
2
+L+ ≤ 1
1 n2 + n ≤ 1
) 1 n2 +1 ≤
注意到对任意的 k ，
n +k
2
，因此
n n +n
2
≤
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
n n +1
2
n +n
2
而 lim
n→ ∞
n n2 +1
1
（5）使用两个基本极限 lim
例： lim
x→0
sin 2 x 2 sin x cos x sin x = lim = 2 lim lim cos x = 2 ⋅1⋅1 = 2 x → 0 x → 0 x x x x→0
也可以这样做：
sin 2 x sin 2 x sin u = 2 lim = 2 lim = 2 ⋅1 = 2(其中令u = 2 x) x→0 x→ 0 u →0 x 2x u arctan x 例： lim ，令 u = arctan x ，即 x = tan u ， x → 0 变为 u → 0 。 x→0 x arctan x u u lim = lim = lim cos u = 1 。 x→0 u → 0 tan u u → 0 sin u x lim
（3）分子有理化和分母有理化
例：
lim 3
x→1
x −1 ( x − 1)( x + 1)(3 x 2 + 3 x + 1) ( x − 1)(3 x 2 + 3 x + 1) = lim = lim x − 1 x→1 (3 x − 1)(3 x 2 + 3 x + 1)( x + 1) x→1 ( x − 1)( x + 1)

大学数列极限(习题课)

特别地, 当a R,
sup(a A) a sup A; inf(a A) a inf A;
一. 确界的若干性质 Ex.1 设非空数集 A, B R+, 定义
AB {ab | a A, b B}.
证明:
1) sup AB sup A sup B; 2) inf AB inf A inf B.
| xn1 A | q | xn A | (n N )
证明: 数列{xn}收敛于A.
四. 数列极限存在的判别法小结
xn 2 (n 1, 2, ) 例6 设x1 = 1, xn1 xn 1
证明: 数列{xn}收敛并求极限值. 提示: 按下面思路给出两种证法方法一利用定理1; 方法二分奇偶子列利用单调有界定理.
5n 2 n 1 5 . (采用适当放大法) 例3 按定义证明 lim 2 n 3n 5 3
例4 (习题2/6) 设 lim an a , 且a 0. 用定义证明: n
an 1 lim 1. n a n
三. 数列的构造性证明问题例5 设E为非空上无界集. 证明: 自E中可选取严格
Chap2 ― 1
数列极限—习题课
一. 确界的若干性质
例1(习题1/补充题3) 设非空数集 A, B 有界, 定义
A B {x1 x2 | x1 A, x2 B}.
证明: 1) sup( A B) sup A sup B;
2) inf( A B) inf A inf B.
特别地, 当a > 0时,
sup(aA) a sup A; inf(aA) a inf A;
又问, 当a 0时, 结论如何?

高数习题课(全)

2. 设函数 f ( x)在[a, b]上连续，在 ( a, b) 内可导，其中 a , b均为方程 f ( x) 0 的实根，则方程 f ( x) 0 在( a, b)内( C )
( A) 仅有一实根； (C ) 至少有一实根； ( B) 至少有2个实根；
( D) 没有实根.
dy d 2 y , 2 dx dx
.
x 0
f ( x) 3, 求 f (2). 2.设 f ( x) 在 x 2 处连续，且 lim x2 x 2 1 sin x x 3.设 y e sin e f (arctan ) , 其中 f ( x) 可微，求 x y, dy.
lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
两者的关系无穷小
极限存在的充要条件判定极限存在的准则
左右极限两个重要极限
极限的性质极限的运算法则
lim f ( x ) 0
无穷小的性质
求极限的常用方法
等价无穷小及其性质
无穷小的比较
（三）连续
连
x 0
续定义
x cos t 3, 3. 已知曲线 y t sin t , 分 ds 2 sin t dt 2
(0 t ) ，则弧微
4.
5.
a a a 求 lim x n 2 3 求函数 f ( x) ( x 1) 3 2
5.设 y f (arctan x) ，其中 f ( x) 可导，则 dy 1 f (arctan x ) dx 2 1 x
二、选择题
f ( x0 3h) f ( x0 ) 6.设 f ( x0 )存在，则 lim (C ) h 0 h f ( x0 ) f ( x0 ) ( B ) ( A) 3 3

习题课二数列的极限(有解答)

习题课数列的极限
习题课二数列的极限
一、计算下列各题
1.
lim 12
n
22 n3
n2
；
1 3
2
2. lim[ n
12 n
1 2 (n 1)] 2
cosn sinn
3.
lim
n
cosn
sinn
(0 )
2
1,
0,
0 x
4
x 4
4．
lim
n
x x
n n
xn x n
解法
2：显然
an
an n!
。
对于a ， kN ，ak
，有1 a a a ，
k1 k2 k3
k项 nk项 n k ，有 0 an a a a a a a a a
n ! 1 2 3 k k 1 k 2 n1 n
ak a ak1 1 。 k! n k! n
（即将kan1
k，，k有a20， ann!
，akkna!11
1放，大为 n
1。）
∵
lim
ak1 1 0
，
n k ! n
∴由夹逼定理得
lim an
n
lim
n
an n!
0
10
。
习题课二数列的极限
三、解答题
1．设 x110 ， xn1 6 xn ， n1, 2, ，试证数列 xn
极限存在，并求此极限。 2. 设{ xn } 满足条件： x1 0 ， xn1 6 xn ， n1, 2, ，
∵ lim qn x1 x1 lim qn 0 (0q1 )，
n
n
∴ lim xn1 0 lim xn1 0 lim xn 0 。

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n2 a 2 1 (2) lim n n
x2 4 (3) lim 4 x 2 x 2
0 .99 91 (5) lim n
n个
(4) lim5 x 2 12
x 2
(6) lim n 4 0 2
n 2n
x 3
(7) lim
x x0
x x0
（一）极限的概念 1．概念纵览
2．不同变化过程的联系 3．不同概念的联系
4．不同概念的定义
（一）极限的概念 1．概念纵览
2．不同变化过程的联系 3．不同概念的联系
4．不同概念的定义
定理1 lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
一、内容小结（一）极限的概念
（二）极限的性质（三）主要研究问题
一、内容小结（一）极限的概念
（二）极限的性质（三）主要研究问题
极限的性质唯一性有界性（局部有界性） lim f ( x) A | f ( x) | M
推论 f (x)无界
f (x)极限不存在
保号性 lim f ( x ) 0 f ( x ) 0 推论 f ( x ) 0 lim f ( x ) 0
各过程函数极限的定义
过程时刻时刻以后
恒有使得 “在该时刻以后”
则称函数在该过程中极限存在，极限为A
过程
0 0
时刻
时刻以后
x x x
X 0 x X X 0 x X X 0 x X
xx xx x x0
0 x x0 0 0 0 x x0 0 0 x x0
0 , 使不等式 xn a 成立的正整数n
只有有限个（至多有限项落在（a-ε, a+ε)之外）.
对“恒有”的理解数列极限的定义是否可叙述为：
0 , 正整数 N , 当 n N 时, 有无限多项使
xn a .
（一）概念辨析
对极限趋向方式的理解
（三）主要研究问题 1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
证明极限存在
利用定义利用不同过程之间的关系利用极限与无穷小的关系利用无穷小的性质证明极限不存在利用定义的反面说法
利用极限的性质：无界→极限不存在
利用不同过程之间的关系
（三）主要研究问题 1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
4．不同概念的定义
（一）极限的概念 1．概念纵览
2．不同变化过程的联系 3．不同概念的联系
4．不同概念的定义
函数的变化趋势
有趋势
趋势为常数A
趋势为无穷大 A=0 无穷小 ∞ ＋∞ －∞
无趋势
无界有界振荡
n
自变量的变化过程
x
A≠0 有极限
x
x
x x0
第五讲极限概念习题课
极限概念习题课
一、内容小结
二、题型练习
极限概念习题课
一、内容小结
二、题型练习
一、内容小结（一）极限的概念
（二）极限的性质（三）主要研究问题
一、内容小结（一）极限的概念
（二）极限的性质（三）主要研究问题
（一）极限的概念 1．概念纵览
2．不同变化过程的联系 3．不同概念的联系
5x 1 1 (9) lim x 1 6( x 1) 3 补充证明下列极限
2 n (1) lim 3n 4 0 n 2n 3 9
1 x 1 x 1 x
5
(8) lim x 2 9
(2) lim x 3 1
x 1
二、题型练习（一）概念辨析
无穷小的性质
有限个无穷小之和仍为无穷小.
有界函数与无穷小之积仍为无穷小.
有限个无穷小之积仍为无穷小. 无穷小的正整数次乘幂仍为无穷小.
一、内容小结（一）极限的概念
（二）极限的性质（三）主要研究问题
一、内容小结（一）极限的概念
（二）极限的性质（三）主要研究问题
（三）主要研究问题 1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
无穷小是一个很小的数. 0是无穷小. 无限个无穷小之和仍是无穷小. 两个无穷小的比值仍是无穷小.
二、题型练习（一）概念辨析
（二）用定义证明极限（三）其它证明题
二、题型练习（一）概念辨析
（二）用定义证明极限（三）其它证明题
例1 证明下列极限 3n 1 3 (1) lim n 2n 1 2
x x0
（一）极限的概念 1．概念纵览
2．不同变化过程的联系 3．不同概念的联系
4．不同概念的定义
（一）极限的概念 1．概念纵览
2．不同变化过程的联系 3．不同概念的联系
4．不同概念的定义
函数极限的统一定义考虑自变量的某个变化过程，如果存在常数A具有如下性质：
0 “一个时刻” f ( x) A
例
1 1 n 1 1 n
递减地趋向于1，恒不等于1
递增地趋向于1，恒不等于1
n 1 1 从1的两边趋向于1，恒不等于1 n
1 1n 趋向于0，可以取到0 n
（一）概念辨析
对极限性质的理解
x
A≠0 有极限
x
x
x x0
x x0
x x0
定理1 lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0 x x0
定理2 lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
趋势为无穷大 A=0 无穷小 ∞ ＋∞ －∞
无趋势
无界有界振荡
n
自变量的变化过程
x
A≠0 有极限
x
x
x x0
x x0
x x0
（一）极限的概念 1．概念纵览
2．不同变化过程的联系 3．不同概念的联系
4．不同概念的定义
（一）极限的概念 1．概念纵览
（三）主要研究问题 1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
极限概念习题课
一、内容小结
二、题型练习
极限概念习题课
一、内容小结
二、题型练习
二、题型练习（一）概念辨析
（二）用定义证明极限（三）其它证明题
二、题型练习（一）概念辨析
（二）用定义证明极限（三）其它证明题
（一）概念辨析
对ε的理解
下列说法对吗？发散数列一定无界．若 f ( x ) 0 , 则 lim f ( x ) 0 . 若 f ( x ) g( x ) , 则 lim f ( x ) lim g( x ) .
（一）概念辨析
对无穷小的理解
下列说法对吗？
1 f ( x ) , 有人说是无穷小，有人说是无穷大. x
x x0 x x0 x x0
函数的变化趋势
有趋势
趋势为常数A
趋势为无穷大 A=0 无穷小 ∞ ＋∞ －∞
无趋势
无界有界振荡
n
自变量的变化过程
x
A≠0 有极限
x
x
x x0
x x0
x x0
定理1 lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x x
定理3 lim xn A lim xnk A ({ xnk } { xn })
n k
函数的变化趋势
有趋势
趋势为常数A
趋势为无穷大 A=0 无穷小 ∞ ＋∞ －∞
无趋势
无界有界振荡
n
自变量的变化过程
x
x x x
定理3 lim xn A lim xnk A ({ xnk } { xn })
n k
定理4 lim f ( x ) A lim f ( xn ) A xn
x n
函数的变化趋势
有趋势
趋势为常数A
x x0 x x0 x x0
定理2 lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x x
函数的变化趋势
有趋势
趋势为常数A
趋势为无穷大 A=0 无穷小 ∞ ＋∞ －∞
无趋势
无界有界振荡
n
自变量的变化过程
数列极限的定义是否可叙述为：
（1）
0 (0 1), 正整数 N , 当 n N 时,
恒有：xn a . （2）
0 , 正整数 N , 当 n N 时, 恒有：
xn a k (k 0).
（一）概念辨析
对N的理解
数列极限的定义是否可叙述为：
A≠0 有极限
x
x
x x0
x x0
x x0
定理1 lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0 x x0
定理2 lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
（二）用定义证明极限（三）其它证明题
二、题型练习（一）概念辨析
（二）用定义证明极限（三）其它证明题
例2 例3 例4
设数列xn 有界, lim yn 0 证明 lim xn yn 0