精编高中数学单元测试试题-推理与证明专题考试题库(含标准答案)

2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含
答案）
学校：
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第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四体的下列的一些性质，①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；②各个面都是全等的正三角形， 相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等．
你认为比较恰当的是 ．
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
2．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有
221cos αcos β+=。

类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，
对角线1AC 与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有＿＿＿。

3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ， ，
16
12
T T 成等比数
列．
4．从22112343=++=2
，，3+4+5+6+7=5中，可得到一般规律为 (用数学表达式表示)
5．从2
2
2
11,2343,345675=++=++++=中得出一般性结论是
6． 已知整数的数对列如
下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第30个数对是 .
7．若ABC 的三边长分别为a, b, c ，其内切圆半径为r ，则S △ABC =1
2 （a+b+c ）·r ，类比这一结论到空间，写出三棱锥中的一个正确结论为
8．已知x x x f cos sin )(1+=,且21()()f x f x '=,32()()f x f x '=,…,1()()n n f x f x -'=,…
*(,2)n n ∈N ≥,则122012()()()44
4
f f f πππ
++
+= ▲ ．
9．数列}{n a 是正项等差数列，若n
na a a a b n
n ++++++++= 32132321，则数列}{n b 也为等差
数列. 类比上述结论，写出正项等比数列}{n c ，若n d = 则数列{n d }也为等比数列。

n n n
c c c c ++++⋅⋅⋅⋅⋅ 3211
33
2
21)
(
10．如图3都是由边长为1的正方体叠成的图形
图3
例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第n 个图形的表面积是__________个平方单位．
11．观察下列等式：
231111222⨯=-⨯，22
31411
112223232
⨯+⨯=-⨯⨯⨯， 233
3141511
112223234242⨯+⨯+⨯=-
⨯⨯⨯⨯，……由以上等式推测到一个一般的结论： 对于n ∈*N ，
23141
21
122232
(1)2n n n n +⨯+⨯++
⨯=⨯⨯+ ▲ ．()1112n
n -
+⋅ 12．在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的
1
3
”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 .
13．在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，两直角边长分别为a ，b ，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC 补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为
；按此方法，在三棱锥S ﹣ABC 中，
三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a ，b ，c ，通过类比可得三棱锥S ﹣ABC 外接球的
半径为 ．（3分）
14．设x >0，从不等式12x x +
≥和2244
322x x x x x
+=++≥，启发我们可推广到：x +
n
x ≥( )
n +1，则括号内应填写的是 ▲ . 15． 在平面上,若两个正方形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4； 类似地，在空间，若两个正方体的棱长的比为1：2，则它们的体积比 为 ▲ .
16．已知结论：“在等边ABC ∆中，若D 是边BC 的中点， G 是ABC ∆外接圆的圆心，则
2AG
GD
=”。

若把该结论推广到空间，则有结论”在正四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆三条中线的交点，O 为正四面体外接球的球心，则AO
OM
= ▲ . 17．把1，3，6，10，15，21，
这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成
18．一列具有某种特殊规律的数为：x 则其中x =
19．半径为r 的圆的面积2
()S r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作(0,)+∞上的变量，则2
()'2r r ππ=，即圆的面积关于半径的函数的导数等于圆的周长关于半径的函数。

对于球，请你写出类似的结论：____________________________。

三、解答题
20．已知n x x f )2()(+
=, 其中*N n ∈．
（1）若展开式中含3x 项的系数为14, 求n 的值；
（2）当3=x 时, 求证：)(x f *)s N ∈的形式. （本小题满分15分）
21．用数学归纳法证明: 24
13
212111>
+++++n n n ),1(*∈>N n n
22．已知正项数列{}n a 中，对于一切的*
n N ∈均有21n n n a a a +≤-成立。

（1）证明：数列{}n a 中的任意一项都小于1； （2）探究n a 与1
n
的大小，并证明你的结论.
23．大家知道，在数列{}n a 中，若n a n =，则n s =211123 (22)
n n n ++++=
+，
若2n a n =，则n s =222232
111123 (326)
n n n n ++++=++，于是，猜想：若3n a n =，
则n s =3333432
123...n an bn cn dn ++++=+++。

问：（1）这种猜想，你认为正确吗？
（2）不管猜想是否正确，这个结论是通过什么推理方法得到的？ （3）如果结论正确，请用数学归纳法给予证明。

24．已知数列{n a }和{n b }满足：对于任何*
N ∈n ，有n n n b b a -=+1，
λλλ()1(12n n n b b b -+=++为非零常数），且2121==b b ，．
（1）求数列{n a }和{n b }的通项公式；
（2）若3b 是6b 与9b 的等差中项，试求λ的值，并研究：对任意的*
N ∈n ，n b 是否一定能是数列{n b }中某两项（不同于n b ）的等差中项，并证明你的结论．（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．
25．用数学归纳法证明21243n n +++能被13整除，其中n N *∈.
26．已知ΔABC 的三条边分别为a b c ，，求证：11a b c
a b c
+>
+++
27． 通过计算可得下列等式：
1121222+⨯=-
1222322+⨯=- 1323422+⨯=-
┅┅
12)1(22+⨯=-+n n n
将以上各式分别相加得：n n n +++++⨯=-+)321(21)1(2
2
即：2
)
1(321+=
++++n n n 类比上述求法：请你求出2
2
2
2
321n ++++ 的值.
28．在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
n n n a a S 121 （1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S
29．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n
n
a a 21+，
(1)写出数列{a n }的前5项； (2)猜想出数列的一个通项公式．
30． 2条直线将一个平面最多分成4部分，3条直线将一个平面最多分成7部分，4条直
线将一个平面最多分成11部分，
；4＝02C +1222C C +，7＝0
3C +1233C C +，11＝
4
C + 1244C C +；
.
(1)n 条直线将一个平面最多分成多少个部分(1n >)?证明你的结论； (2)n 个平面最多将空间分割成多少个部分(2n >)?证明你的结论.。