与圆的切线有关的计算与证明25712

与圆的切线有关的计算与证明（1）

类型之一与切线的性质有关的计算或证明

【经典母题】

如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P ＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__．

图Z12－1 经典母题答图

【解析】如答图，连结OC.

∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，

在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，

∴OP＝2OC＝2，

∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.

【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．

【中考变形】

[2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.

(1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小；

(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．

图Z12－2

解：(1)如答图①，连结AC，

∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，

∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°，

由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；

中考变形答图①中考变形答图②

(2)如答图②，连结AD，

在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，

∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，

∵∠ADC＝∠ABC＝50°，

∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.

【中考预测】

[2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.

(1)求证：AP＝AB；

(2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．

图Z12－3 中考预测答图

解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，

∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，

∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°，

∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，

∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO，

∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；

(2)如答图，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，∴OA＝32＋42＝5，∵AP＝AB＝3，

∴PO＝2.

在Rt△POC中，PC＝OC2＋OP2＝25，

∵1

2PC·OH＝

1

2OC·OP，

∴OH＝OP·OC

PC＝

45

5，

∴CH＝OC2－OH2＝85 5，

∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝165 5，

∴BP＝BC－PC＝165

5－25＝

65

5.

类型之二与切线的判定有关的计算或证明

【经典母题】

已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．

图Z12－4经典母题答图

证明：如答图，连结OB，

∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，

∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，

∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.

∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，

∴AB⊥OB，又∵OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线．

【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．

【中考变形】

1．[2016·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD ⊥CD.

(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；

(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．

图Z12－5 中考变形1答图

解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，

∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，

∴由勾股定理，得AC＝4；

(2)证明：如答图，连结OC，

∵AC是∠DAB的平分线，

∴∠DAC＝∠BAC，

又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，

又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，

∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，

∴直线CD是⊙O的切线．

2．[2017·南充]如图Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O 交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．

图Z12－6 中考变形2答图

【解析】(1)连结OD，欲证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE，即需证∠ODE ＝90°，而∠ACB＝90°，连结CD，根据“等边对等角”可知∠ODE＝∠OCE ＝90°，从而得证；

(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解．

解：(1)证明：如答图，连结OD，CD.

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.

∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点，

∴DE＝1

2BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.

∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.

∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.

∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；

(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，

即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径为6.

【中考预测】

如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E 在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.

(1)求证：DE与⊙O相切；

(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．

图Z12－7 中考预测答图