高中数学第二章2.2 等差数列教案新课标人教A版必修五

2.2 等差数列
知识梳理
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母“d 〞表示。

⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵对于数列{n a },假设n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +
，那么此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：
①普通式：1(1)n a a n d =+-； ②推广式：()n m a a n m d =+-； ③变式：1(1)n a a n d =--；
11n a a d n -=
-；n m
a a d n m
-=-； 注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数n 的次数不高于一次的多项式函数即a n =An +B (假设{a n }为常数列时,A =0).
3．如果a ,A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项；且A =
2
a b
+。

}{n a 是等差数列⇔)1(2
1
1≥+=
+-n a a a n n n 4．等差数列的单调性：由等差数列的定义知a n +1－a n =d , 当d ＞0时a n +1＞a n 即{a n }为递增数列； 当d =0时，a n +1=a n 即{a n }为常数列； 当d ＜0时，a n +1＜a n 即{a n }为递减数列. 注：等差数列不会是摆动数列. 5．}{n a 是等差数列，假设q p n m +=+，那么q p n m a a a a +=+ 第一课时： 典例剖析
题型一 等差数列的通项公式 例1⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：⑴由35285,81-=-=-==d a ， n=20，
得49)3()120(820-=-⨯-+=a
⑵由4)5(9,51-=---=-=d a ， 得数列通项公式为：)1(45---=n a n
由题意可知，此题是要回答是否存在正整数n ，
使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。

评析：只要等差数列的两个条件，就可求出等差数列的通项公式。

题型二 等差数列通项公式的形式
例2. 数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？假设是，首项与公差分别是什么？
解：当n ≥2时,〔取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a 〔n ≥2〕〕
])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数
∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p 。

评析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a 〔n ≥2〕是不是一个与n 无关的常数。

①假设p=0，那么{n a }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，…
②假设p ≠0, 那么{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q.
③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =pn+q (p 、q 是常数)。

备选题
例3. 如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝２１ｃｍ，这
三个正方形的面积之和是１７９ｃｍ２
． 〔１〕求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长；
〔２〕以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？
[解]
（１） 设公差为ｄ〔ｄ＞０〕，ＢＣ＝x ，那么ＡＢ＝x －ｄ，ＣＤ＝x ＋ｄ．
由题意得⎩⎨⎧=+++-=+++-179)()(21)()(2
22d x x d x d x x d x 解得⎩⎨⎧==47d x 或⎩
⎨⎧-==47d x 〔舍去〕
ＡＢ＝３〔ｃｍ〕，ＢＣ＝７〔ｃｍ〕，ＣＤ＝１１〔ｃｍ〕
〔２〕正方形的边长组成首项是３，公差是４的等差数列｛ａｎ｝，所以
ａ１０＝３＋〔１０－１〕×４＝３９． ａ２１０＝３９２＝１５２１〔ｃｍ２〕．
所求正方形的面积为１５２１ｃｍ２
．
评析：等差数列的通项公式的求出后，其余的量也就随着确定。

点击双基
1．等差数列{a n }的通项公式a n =3-2n ，那么它的公差为 〔 〕 A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-3 解：公差为-2，应选C
2．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，那么a 101的值为 〔 〕 A ．49 B ．50C ．51 D ．52 解：1013
,522
n n a a +=
=，应选D 3. 等差数列{}n a 中，1
916a a ,那么5a 的值为〔 〕
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 解：
19
5
5
16,
216,8a a a a ，应选D
4．数列8,,2,,,7a b c -是等差数列，求未知项abc =
解:5,1,4,20a b c abc ==-=-=,
}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，
那么n a =_____________. 解：213,
3(1)33,3n n n n a a a n n a n -=+=+-==
课外作业 一、选择题
1.数列｛a n ｝的通项公式a n ＝2n ＋5，那么此数列〔 〕
n 的等差数列
解：是公差为2的等差数列 ，应选A
2．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是〔 〕
A ．92
B ．47
C ．46
D ．45
解：首项为1，公差为-2的等差数列，a n ＝-2n ＋3，89=-2n ＋3，46n =，应选C
3.△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，那么B 等于 〔 〕 A ．30°B ．60° C ．90° D ．120° 解：0
180,2,60A B C B A C B ++==+=，应选B
n a a a a ，，，321的公差为d ，那么n ca ca ca ca ，，，321〔c 为常数且0≠c 〕是〔 〕
A 、公差为d 的等差数列
B 、公差为cd 的等差数列
C 、非等差数列
D 、以上都不对
解：1n n ca ca cd +-=，应选B
}{n a 的前三项依次为x ，12+x ，24+x ，那么它的第5项为〔 〕
A 、55+x
B 、12+x
C 、5
D 、4 解：2(21)(42),0x x x x +=++=，它的第5项为4，应选D
}{n a 中，17,594==a a ,那么14a 的值等于〔 〕
A 、11
B 、22
C 、29
D 、12 解：149517312,5171229d a a d =-==+=+=，应选C
{}n a 的首项25
1
1=
a ，第10项是第一个比1大的项，那么公差d 的取值X 围是〔 〕 A 、875d > B 、3
25
d < C 、837525d << D 、837525d <≤
解：109
1912518125a d a d ⎧
=+>⎪⎪⎨⎪=+≤⎪⎩
，837525d <≤
，应选D {}n a 中，3
11=a ，45
2=+a a ，33=n a ，那么n 是〔 〕
A 、48
B 、49
C 、50
D 、51
解：311=
a ，452=+a a ，212
,33(1),50333
d n n ==+-=，应选C 二、填空
9.在－1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，那么公差为 解：d =
1
4)
1(8---=3 10.等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 那么{}n a 的公差为_____________ 解：
52339
85252
a a d --===-- 11.等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 那么35a a +=_________ 解：352638a a a a +=+=
三、解答
12．在等差数列{}n a 中,,1.3,3.0125==a a 求2221201918a a a a a ++++的值．
1. 解：解：1819202122201255,7
2.8,0.4a a a a a a a a d d ++++=-===
20128 3.1 3.2 6.3a a d =+=+=
∴1819202122205 6.3531.5a a a a a a ++++==⨯=
13. 成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数 2. 解：设四数为3,,,3a d a d a d a d --++，那么2
2
426,40a a d =-=
即1333,222a d =
=-或， 当3
2d =时，四数为2,5,8,11
当3
2
d =-时，四数为11,8,5,2
14.等差数列{a n }中,公差d>0,且满足a 2·a 3=45,a 1+a 4=14,求数列{a n }的通项公式. 解:∵a 1+a 4=14, ∴a 2+a 3=14. 由⎩⎨
⎧=+=•,
14,
453232a a a a
解得⎩⎨⎧==5,932a a 或⎩⎨⎧==.9,
53
2a a
∵d>0,∴⎩⎨
⎧==.
9,
532a a
∴d=4,a n =5+(n-2)×4=4n-3. 思悟小结
1、深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起〞和“差是同一常数〞这两点.
2、等差数列中，四个元素a 1，a n ，n ，d ，中的任意三个，便可求出其余两个.
3、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥
第二课时： 典例剖析
题型一 求等差数列的项
例1. 在等差数列{n a }中，假设1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a . 解：∵ {a n }是等差数列
∴1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2
∴d=4a －3a =7－2=5
∴9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2, 9a =32
评析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式。

而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项。

题型二 等差数列的通项公式
[例2]在等差数列{}n a 中，105=a ，3112=a ，求n a a ,20 [解法一]：∵105=a ，3112=a ，那么
⎩⎨
⎧=+=+31
1110411d a d a ⇒⎩⎨
⎧=-=3
2
1
d a
∴53)1(1-=-+=n d n a a n
5519120=+=d a a
[解法二]：
1257311073
a a d d d =+⇒=+⇒=53)12(12-=-+=n d n a a n
2012855a a d =+=
评析：等差数列的通项公式涉及到四个量a 1、a n 、n 、d ，用方程的观点知三求一。

列方程组
求基本量是解决等差数列问题的常用方法，注意通项公式更一般的形式
d m n a a m n )(-+=
备选题
[例3]假设2
()4()()0z x x y y z ----=，那么,,x y z 成等差数列。

[证明]由2()4()()0z x x y y z ----=得
22242440z x y zx xy yz +++--=，
即2
(2)0z x y +-=，2y x z ∴=+，
,,x y z ∴成等差数列。

评析：当a 、b 、c 成等差数列时，通常采用2b =a +c 作为解决问题的出发点.
点击双基 1．｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，那么a 9+a 10+a 11=〔 〕 A.36 B.30
解：由a 7+a 13=20，1010220,10a a ==，a 9+a 10+a 11=10330a =，应选B 2、等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( ) ( )
A 15
B 30
C 31
D 64
解：等差数列}{n a 中，8,2,16889797=∴=+=+a a a a a a 又 又15,2121248=∴+=a a a a ，应选C
3、{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，那么序号n 等于( )
A 667
B 668
C 669
D 670
解：{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，那么1+3(n －1)=2005， 故n=669，应选C
{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，那么n a =23n -.
解：4264210,5a a a a =+==，5375214,7a a a a =+==，
42,2(4)23n d a a n n ==+-=-
5、等差数列1，－3，－7，－11，…的通项公式是_________ 解：54+-=n a n ；-75 课外作业 一、选择题
1.设等差数列}{n a 中，17,594==a a ,那么14a 的值等于〔C 〕 A 、11 B 、22 C 、29 D 、12 解：4914,,a a a 也成等差数列，14a =29，应选C
2.在等差数列{a n }中，假设a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，那么a 2+a 8等于〔 〕 B.75
解：a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，555450,90,a a ==a 2+a 852180a =，应选C 3.等差数列{a n }中，假设a 2+a 4+a 9+a 11=32，那么a 6+a 7= ( ) 〔A 〕9 〔B 〕12 〔C 〕15 〔D 〕16
解：a 2+a 4+a 9+a 11=32，1167142232,21116,21116a d a d a a a d ∴+=+=+=+=， 应选D
4. 设{}n a 是公差为正数的等差数列，假设12315a a a ++=，12380a a a =， 那么111213a a a ++=( )
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75 解：
123215,5a a a a ++==,13112313313102
80,16,,8
16a a a a a a a a a a a +==⎧⎧==⎨⎨==⎩⎩,
11121312133(11)3(2113)105a a a a a d ++==+=+⨯=,应选B
5.假设等差数列}{n a 的公差0≠d ，那么 〔 〕 〔A 〕 5362a a a a > 〔B 〕 5362a a a a <
〔C 〕 5362a a a a = 〔D 〕 62a a 与53a a 的大小不确定
解：03)4)(2()5)((2
11115362<-=++-++=-d d a d a d a d a a a a a ，应选B
6.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，那么公差的取值X 围是〔 〕 A.d ＞
38 B.d ＜3 C.38≤d ＜3 D.3
8
＜d ≤3 解：24902480d d -+>⎧⎨
-+≤⎩，3
8
＜d ≤3，应选D
7、在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ， 那么1a 为〔 〕
A 22.5-
B 21.5
C 20.5-
D 20-
解：5015050
27002005050,1,()2002
d d S a a -=⨯==
+=， 1501118,2498,241,20.5a a a d a a +=+==-=-，应选C
8、方程〔x 2－2x +m 〕〔x 2－2x +n 〕=0的四个根组成一个首项为4
1
的等差数列， 那么|m －n |等于〔 〕
B.
43C.21D.83 解：设4个根分别为x 1、x 2、x 3、x 4，那么x 1+x 2=2，x 3+x 4=2，由等差数列的性质，当m +n =p +q
时，a m +a n =a p +a q .设x 1为第一项，x 2必为第4项，可得数列为41，43，45，47，∴m =16
7
，
n =1615.∴|m －n |=2
1，应选C
二、填空
9.等差数列的第10项为23，第25项为－22，那么此数列的通项公式为a n ＝
解：101545,3,3(10)353n d d a a n n =-=-=--=-+
10.假设等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=那么7__________.a = 解：3710114311104712,,12a a a a a a a a a a +-+-=+=+=
11、数列{}n a 中，11a =-，11n n n n a a a a ++⋅=-，那么数列通项n a =__________
解：
11111111
11,1,1,n n n n n a a a a a a ++⎧⎫-=-=-=⎨⎬⎩⎭
是以11a 为首项，以1-为
公差的等差数列，
11
1(1)(1),n n n n a a n
=-+-⨯-=-=- 三、解答
12.等差数列{}n a 中，p a q =，q a p =〔p q ≠〕，求p q a +的值。

解：公差d=
,1-=--=
--q
p p
q q
p a a q p ()01=-+=+q a a p q p 13．数列))}1({log *
2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a 求数列}{n a 的通项式。

解:设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d .
由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.
所以,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=n
n a
14．数列{}n x 中，11x =
，1n x +=
，求数列{}n x 的通项公式
解：
解：∵1n x +=
∴2
21
2
22
n n n x x
x +=+ ∴
22
22
12111
22n n n n x x x x ++==+
即2211112n n x x +-= ∴ 数列21n x ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是首项为2111x =，公差为12的等差数列 ∴
()()22111111
111222
n n n n x x +=+-⨯=+-= 由可得 0n x >
∴n x = 思悟小结
1、等差中项：假设,,a A b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2
a b
A +=
2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…〔公差为d 〕；偶数个数成等差，可设为…，
3,,,3a d a d a d a d --++,…〔公差为2d 〕
3、当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；假设公差0d >，那么为递增等差数列，假设公差0d <，那么为
递减等差数列，假设公差0d =，那么为常数列。

4、当m n p q +=+时,那么有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，那么有
2m n p a a a +=.
5、假设{}n a 、{}n b 是等差数列，那么{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、
*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；。