安徽省天长市第二中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理

安徽省天长市第二中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.i为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.的展开式的所有二项式系数之和为128，则n为
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
3.函数，其导函数为，则
A. B. C. D.
4.若，则
A. 8
B. 7
C. 6
D. 4
5.曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
6.用反证法证明：“若，，，求证：x，y中至少有一个大于1”时，
反设正确的是
A. 假设x，y都不大于1
B. 假设x，y都小于1
C. 假设x，y至多有一个大于1
D. 假设x，y至多有两个大于1
7.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中的白色地面砖有
A. 块
B. 块
C. 块
D. 块
8.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生
物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A. 48
B. 72
C. 90
D. 96
9.已知抛物线与直线交于点P，Q，则如图所示阴影
部分的面积为
A. B. C. D.
10.用5种不同的颜色给如图标有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻
两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有( )
A. 160种
B. 240种
C. 260种
D. 360种
11.已知函数，若方程有一个根，则实数m的取值范围
是
A. B.
C. D.
12.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_______．
14.的展开式中只有第6项二项式系数最大，则展开式中的常数项是________
15.中国古代数学名草周髀算经曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示
为b，，我们把a，b，c叫做勾股数下列给出几组勾股数：3，4，
5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是______．
16.已知可导函数的导函数满足，则不等式的解集是
______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.（10分）已知复数z满足是虚数单位
求复数z的虚部；
若复数是纯虚数，求实数a的值；
若复数z的共轭复数为，求复数的模．
18.（12分）五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
（1）甲必须在排头；
（2）甲、乙相邻；
（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；
（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．
19.（12分）已知数列，，，，，，记数列的前
n项和．
Ⅰ计算，，，；
Ⅱ猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
20.（12分）已知展开式前三项的二项式系数和为22．
求n的值；
求展开式中的常数项；
求展开式中二项式系数最大的项．
21.（12分）已知函数的极值点为1和2．
求实数a，b的值．
求函数在区间上的最大值．
22.（12分）已知函数是自然对数的底数．
求证：；
若不等式在上恒成立，求正数a的取值范围．
天长二中高二数学（理）期中试卷
【答案】
1. C
2. C
3. A
4. A
5. C
6. A
7. B
8. D9. A10. C11. A12. B
13.
14. 180
15. 11，60，61
16.
17. 解：由，
得，
复数z的虚部为：；
，
复数是纯虚数，
，
解得．
实数a的值为：；
由，
得．
则，
．
复数的模为：．
18. 解：特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”不动，再排其它4个位置，所以共有：种，
把甲、乙看成一个人来排有种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数
为种；
甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：种；
先将其余3个全排列种，再将甲、乙插入4个空位种，所以，一共有种不同排法．
19. 解：；
；
；
；
猜想．
证明：当时，结论显然成立；
假设当时，结论成立，即，
则当时，，
当时，结论也成立，
综上可知，对任意，．
20. 解：由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．
二项式定理展开：前三项的二项式系数为：，
解得：或舍去．
即n的值为6．
由通项公式，
令，
可得：．
展开式中的常数项为；
是偶数，展开式共有7项则第四项最大
展开式中二项式系数最大的项为．21. 解：
的极值点为1和2，
的两根为1和2，
，解得，．
由得，，
当x变化时，与的变化情况如下表：
，
．
22. 证明：由题意知，要证，只需证，求导得，当时，，
当时，，
在是增函数，在时是减函数，
即在时取最小值，
，即，
．
不等式在上恒成立，即在上恒成立，
亦即在上恒成立，令，，
以下求在上的最小值，
，当时，，
当时，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
在处取得最小值为，
正数a的取值范围是．
【解析】
1. 【分析】
本题主要考查复数的几何意义，根据条件先进行化简是解决本题的关键．
根据复数的几何意义以及复数的基本运算进行化简求解即可．
解：，
对应点的坐标为位于第三象限，
故选C．
2. 【分析】
本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题令，可得，解得n．
【解答】
解：令，可得，解得．
故选C．
3. 【分析】
本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．
先求导，再代值计算即可．
【解答】
解：函数，其导函数为，
，
故选A．
4. 解：，
，
化简得；
解得．
故选：A．
利用排列与组合数公式，进行化简计算即可．
本题考查了排列与组合的计算与化简问题，是基础题目．
5. 【分析】
求导函数，确定曲线在点处的切线斜率，从而可求切线方程本题考查导数的几何意义，考查切线方程，属于基础题．
【解答】
解：求导函数可得，
当时，，
曲线在点处的切线方程为
故选C．
6. 解：，y中至少有一个大于1，
其否定为x，y均不大于1，
故选：A．
假设原命题不成立，也就是x，y均不大于1成立．
本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
7. 解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；
设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列表示，则，，，可知
，
数列是以6为首项，4为公差的等差数列，
．
故选：B．
通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．
由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键．
8. 【分析】
本题考查排列、组合的实际应用，注意优先考虑特殊元素，属于基础题根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，、选出的4人没有甲，、选出的4人有甲，分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，
分2种情况讨论：
、选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有种情况，
、选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，
在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有种选法，
则此时共有种选法，
则有种不同的参赛方案．
故选D．
9. 解：联立方程组得，
解得或，
抛物线与直线交于点P，Q，则所示阴影部分的面积
，
故选：A．
根据方程组得解求出积分上下限，再根据定积分的应用得到则所示阴影部分的面积，
求定积分即可．
本题考查了定积分在求面积中的应用，属于基础题．
10. 解：对于A区域，有5种颜色可选，即有5种涂法，
分类讨论其他3个区域：若B、D区域涂不同的颜色，则有种涂法，C区域有3种涂法，此时其他3个区域有种涂法；
若B、D区域涂相同的颜色，则有4种涂法，C区域有4种涂法，此时其他3个区域有有
种涂法；
则共有种；
故选：C．
根据题意，先分析A区域，有5种颜色可选，即有5种涂法方案，再分若B、D区域涂不同的颜色，若B、D区域涂相同的颜色，两种情况讨论其他3个区域的涂色方案，由分类计数原理可得其他个区域的涂色方案的数目；再由分步计数原理计算可得答案．
本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
11. 【分析】
本题主要考查函数与方程的应用，利用条件
转化为两个函数的交点问题，求的导数，研
究函数的极值和图象是解决本题的关键．
由得，求出函数的导数
研究函数的极值，利用数形
结合进行求解即可．
【解答】
解：若方程有一个根，
则得有一个解，
即函数与的图象有一个交点，
，，
函数的导数
由得，即或，此时函数为增函数，
由得，即，此时函数为减函数，
则当时，函数取得极小值，，
当时，函数取得极大值，，
作出函数的图象如图：
由图象知要使与的图象有一个交点，
则或，
即实数m的取值范围是，
故选：A．
12. 【分析】
本题考查的是导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，属于中档题．
由求导公式和法则求出，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．
【解答】
解：由题意得，，
因为在上是单调函数，
所以或在上恒成立，
当时，则在上恒成立，
即，设，
因为，所以，
当时，取到最大值是：0，
所以，
当时，则在上恒成立，
即，设，
因为，所以，
当时，取到最大值是：，
所以，
综上可得，或，
所以数a的取值范围是，
故选B．
13. 【分析】
运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值，
本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．
【解答】
解：，i为虚数单位，
由为实数，
可得，
解得．
故答案为．
14. 【分析】
本题考查了二项式定理的应用和二项展开式的特定项与特定项的系数，利用二项展开式的二项式系数性质得，再利用二项展开式的特定项的系数计算得结论．
【解答】
解：展开式中只有第六项二项式系数最大，．
则展开式的通项为，
令，得，所以展开式中的常数项为．
故答案为180．
15. 【分析】
本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础先找出勾股数的规律：以上各组数均满足；最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数；最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，即可得出结论．
【解答】
解：先找出勾股数的规律：以上各组数均满足；最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数；最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，
如，，，，由以上特点我们可第
组勾股数：，
故答案为11，60，61．
16. 【分析】
本题考查导数的运算和不等式求解，构造函数，求导后结合f (x)'/>，可知函数是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集，属中档题．【解答】
解：令，
则，
因为f (x)'/>，
所以，
所以函数为上的增函数，
因为函数不等式，
所以，
所以．
故答案为．
17. 由，得，然后由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案；
把复数z代入化简，再由已知条件列出方程组，求解可得答案；
由复数z求出，然后代入复数化简，再由复数求模公式计算得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是中档题．
18. 特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”不动，再排其它4个位置，
利用捆绑法，把甲乙二人看作一个复合元素，再和另外3的全排列．
利用间接法，先任意排，再排除甲在排头，乙在排尾的情况，
先排剩余的3人，形成4个空，再插入甲乙即可．
本题考查了排队问题中的几种常用的方法，审清题意，选择合理的方法是关键，属于中档题．19. 本题考查了归纳推理得出数列前n项和公式，利用数学归纳法证明，属于基础题．
分别计算出、、、，归纳出；
用数学归纳法证明数学命题时的基本步骤：检验成立，假设时成立，由成立推导成立，要注意由归纳假设到检验的递推，利用数学归纳法的步骤证明即可．
20. 本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的计算，属于基础题．
利用公式展开得前三项，系数和为22，即可求出n．
利用通项公式求解展开式中的常数项即可．
利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项．
21. 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题由导数的运算法则可得：，
由的极值点为1和2，可知的两根为1和2，利用根与系数的关系即可得出；
由得，当x变化时，与的变化情况列出表格．
22. 要证，只需证，求导得，利用导数性质能证明
．
不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，，利用导数性质求在上的最小值，由此能求出正数a的取值范围．
本题考查不等式的证明，考查正数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。