集训01 精选2020各地名校模拟试题汇编01(解析版)

精选2020各地名校模拟试题汇编01
理科数学试题
本试卷共 23 题。

满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.
3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效. 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

） 1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z =( ) A ．
1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122
i -- 【答案】A 【解析】
由()1i 1z +=，得()()11i 1111
i,i 1i 1i 1i 2222
z z -=
==-∴=+++-，故选A. 2．已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}
2
|20,M x x x x N =--<∈，则U C M =（ ）
A ．{}2,1,2-
B ．{}2,1,2--
C ．{}2-
D ．{}2
【答案】B 【解析】 【详解】
集合{}{}|12,0,1M x x x N =-<<∈=，∴{}2,1,2U C M =--. 故选：B.
3．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）
A ．甲的极差是29
B ．甲的中位数是24
C ．甲罚球命中率比乙高
D ．乙的众数是21
【答案】B 【解析】 由茎叶图知
甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A 对 甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为
2224
232
+=故B 不对 甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C 对 乙的数据中出现次数最多的是21，所以D 对 故选B ．
4．函数2
()ln f x x x
=-
的零点所在的区间是（ ） A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,)+∞ 【答案】B 【解析】
()()()()()10,20,30230f f f f f <<>∴<Q g ，所以函数2
()ln f x x x
=-
的零点所在的区间是(2,3) 5．若tan 22
θ
=，则sin 2cos2θθ+=（ ）
A ．45-
B ．2725-
C ．65-
D ．31
25
- 【答案】D 【解析】
由22tan
442tan 1431tan 2
θ
θθ=
==---，
则222
2
22
2sin cos cos sin sin 2cos 22sin cos cos sin cos sin θθθθ
θθθθθθθθ
+-+=+-=+
222tan 1tan 1tan θθθ+-=
+=81613139162519
-+-
=-+， 故选：D .
6．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ）
A ．4
B ．5
C ．2
D ．3
【答案】A 【解析】
模拟执行程序，可得 a =1,A =1,S =0,n =1， S =2，
不满足条件S ≥10，执行循环体，n =2,a =1
2,A =2,S =9
2， 不满足条件S ≥10，执行循环体，n =3,a =1
4,A =4,S =354
， 不满足条件S ≥10，执行循环体，n =4,a =18,A =8,S =1358
，
满足条件S ≥10，退出循环，输出n 的值为4. 故选：A.
7．已知双曲线()22
22:100x y a b a b
Γ--=>>，的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ
的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于C 点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（ ） A ．
17
3
B ．
32 C ．53 D ．102
【答案】D
【解析】记双曲线的左、右焦点分别为'F F 、，设双曲线的实半轴长为a ，半焦距为c ．连接'''AF BF CF 、、．
∵AF FB ⊥，结合双曲线的对称性可知四边形'AFBF 是矩形，∴'2
F BF π
∠=．
设FB x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'23CF a x =+．
在'Rt CBF V 中，2
2
2
''BF BC CF =+，即()()2
2
221623a x x a x ++=+可得x a =， 从而'23BF a x a =+=，FB a =，
在'Rt BFF △中，2
2
2
''BF FB FF =+，即()()2
2
232a a c +=， ∴22104a c =，∴10
2
e =， 故选：D 8．若()
4
2
1ax x -+的展开式中5x 的系数为56-，则实数a 的值为
A ．2-
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】
()
()4
4
2211ax x
x ax ⎡⎤-+=+-⎣⎦
,所以(
)4
21x ax ⎡⎤
+-⎣
⎦
的展开式的通项为
()()
()
()2221444r
r t
t
t
r
r t r t
r t
r r r T C x ax C C x ax C C a x --+=-=-=-，
其
中
0,1,2,3,4;0,1,r t r ==L ，
令25r t -=，所以1,3t r =⎧⎨
=⎩或3
4t r =⎧⎨=⎩
， 当13
t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()31
4312C C a a ⋅⋅-=-， 当34
t r =⎧⎨
=⎩时，5x 的系数为()343
3444C C a a ⋅⋅-=-， 因为5x 的系数为56-，所以312456a a --=-，即33140a a +-=，即
()()22270a a a -++=，所以2,a =
故选：B .
9．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2)．当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为( )
A ．350,10π⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
B ．3,10S π⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭
C ．3,510S S ππ⎛⎤
⎥ ⎝⎦ D ．3,102S S ππ⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
【答案】D
【解析】设圆柱的高度与半球的半径分别为h ，
R ，则222S R Rh ππ=+，则
22
S
Rh R ππ=
-， 所以酒杯的容积3232
33224()332323
S S V R R h R R R R R R ππππππ=+=+-=-+…，
又0h >，所以
202
S
R π->， 所以2
2523S R R ππ<
…，解得3102S S R ππ
<…， 故选：D ．
10．已知圆()2
2
:21M x y -+=经过椭圆()22
:133
x y C m m +=>的一个焦点，圆M 与椭
圆C 的公共点为A 、B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为（ ） A ．2105- B ．2104- C ．41011- D ．41010-
【答案】A 【解析】
在圆M 的方程中，令0y =，可得1x =或3，即圆M 与x 轴的交点为()1,0、()3,0.
①若椭圆C 的一个焦点为()3,0，则3912m =+=，椭圆C 的方程为221123
x y +=，
此时，椭圆C 与圆M 无交点，舍去；
②若椭圆C 的一个焦点为()1,0，则314m =+=，椭圆C 的方程为22
143
x y +=，
联立椭圆C 和圆M 的方程()222221
14
3x y x y ⎧-+=⎪
⎨+=⎪⎩，得216240x x -+=，
2x ≤Q ，解得8210x =-，
因此，点P 到直线AB 距离的最大值为()
2821012105--+=-.
故选：A.
11．锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin
5A C b A
a
+=，22BA BC AB AC c ⋅+⋅=uu r uu u r uu u r uuu r
．则ABC ∆面积的取值范围是（ ） A ．14,33⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．
(
)
3,23
C ．()
1,2
D ．433,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】
由题sin sin
5A C b A
a
+=，三角形ABC ∆中，A B C π++=，A C B π+=-， 结合正弦定理，sin sin sin 5sin B B A A π-=，sin sin 5
B
B π-=，B 为锐角， 所以5B B π-=，=6B π
， 22BA BC AB AC c ⋅+⋅=uu r uu u r uu u r uuu r
，即cos cos 22ac B bc A c +=，
由射影定理：22c =， 作图：
在1Rt ABC ∆中，122cos 66BC π
=⨯=uu u r
在2Rt ABC ∆中，222463cos
6
BC π==uu u r
当点C 在线段12C C 之间（不含端点）时，三角形ABC ∆为锐角三角形，
1143223,223ABC
S BC ⎛⎫
=⨯⨯⨯∈ ⎪ ⎪⎝⎭
V uu u r ， 所以面积取值范围433,3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
故选：D
12．已知对于任意的0x >，总有22x b ax xe e -≤成立，其中e 为自然对数的底数，则2
b
a -的最小值为（ ） A ．12-
B ．e 2-
C ．1e -
D ．2e
- 【答案】A 【解析】
由题得(2)21a x b xe --≤， 设(2)2(2)2()(0),()[1(2)]a x b
a x
b f x xe
x f x e x a ----'=>∴=+-，
由()0f x '>得1(2)0,(2)1x a a x +->∴-<，
当2a >时，12x a <
-，所以函数f(x)在1(0,)2a -上单调递增，在1
(
+)2a ∞-，上单调递减， 所以12max 11()(
)1,22
b
f x f e a a --==≤-- 所以121ln(2)2,12ln(2),2
b
a e a
b a b -----≤-∴--≤-∴≥，
所以1ln(2)
22(2)
b a a a ---≥--， 设1lnt
2(0),()2a t t g t t
---=>∴=， 所以2
2ln ()4t
g t t '=
，所以函数()g t 在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增， 所以min 1
()(1)2
g t g ==-.
所以此时2b a -的最小值为1
2
-.
当2a <时，函数f(x)单调递增，不符合题意(2)21a x b xe --≤. 故选：A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知ABC ∆中，43AB i j =+u u u r r r ，34AC i j =+u u u r r r ，其中,i j r r
是垂直的单位向量，则ABC ∆的面积为________. 【答案】72
【解析】
由题意1,0i j i j ==⋅=r r r r
，
22
2(43)162491695AB i j i i j j =+=+⋅+=+=uu u r r r r r r r ，同理5AC =uuu r ，
22
(43)(34)12251224AB AC i j i j i i j j ⋅=+⋅+=+⋅+=uu u r uu u r r r r r r r r r ，
24cos 25AB AC BAC AB AC ⋅∠==⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ，则7sin 25BAC ∠=． ∴1177
sin 5522252ABC S AB AC BAC ∆=∠=⨯⨯⨯
=uu u r uu u r ． 故答案为：7
2
．
14．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时, ()12
log (1),[0,1)13,[1,)
x x f x x x +∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩
则函数()()()01F x f x a a =-<<的所有零点之和为_____． 【答案】12x - 【解析】 ∵当x ≥0时，
f （x ）＝12
log (1),[0,1)
13,[1,)
x x x x +∈⎧⎪⎨⎪--∈+∞⎩
即x ∈[0，1）时，f （x ）＝
12
log （x +1）∈（﹣1，0]；
x ∈[1，3]时，f （x ）＝x ﹣2∈[﹣1，1]；
x ∈（3，+∞）时，f （x ）＝4﹣x ∈（﹣∞，﹣1）； 画出x ≥0时f （x ）的图象，
再利用奇函数的对称性，画出x ＜0时f （x ）的图象，如图所示；
则直线y ＝a ，与y ＝f （x ）的图象有5个交点，则方程f （x ）﹣a ＝0共有五个实根， 最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6， ∵x ∈（﹣1，0）时，﹣x ∈（0，1），
∴f （﹣x ）＝12
log （﹣x +1），
又f （﹣x ）＝﹣f （x ），
∴f （x ）＝﹣12
log （﹣x +1）＝12
log （1﹣x ）﹣1＝log 2
（1﹣x ）， ∴中间的一个根满足log 2（1﹣x ）＝a ，即1﹣x ＝2a ， 解得x ＝1﹣2a ， ∴所有根的和为1﹣2a ． 故答案为：1﹣2a ．
15．已知将函数()()sin 06,2
2f x x π
πωϕωϕ⎛
⎫
=+<<-
<<
⎪⎝
⎭
的图象向右平移3π
个单位长
度得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对称，则⋅=ωϕ______.
【答案】34
π
- 【解析】
由题意知：()sin 33g x f x x ππωωϕ⎛⎫
⎛⎫
=-
=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
()f x Q 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对称
,42,4
32k k Z k k Z π
πωϕππππωωϕπ''⎧+=+∈⎪⎪∴⎨⎪++=+∈⎪⎩，解得：()3k k ω'=-，,k k Z '∈ 06ω<<Q 3ω∴= ,4
k k Z π
ϕπ∴=-
+∈
又2
2
π
π
ϕ-
<<
4
π
ϕ∴=-
34
π
ωϕ∴⋅=-
本题正确结果：34
π-
16．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，1
AB BC AD 12
==
=，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P -ABCEF 的体积的取值范围为______．
【答案】（0，1
3
） 【解析】
因为PF ⊥AF ，PF ⊥EF ，且AF 交EF 与点F ，所以PF ⊥平面ABCEF 设(01)DF x x =<<,则,2EF x AF x ==-
22111
(12)1(3)222
ABCEF ABCD DEF S S S x x =-=+⨯-=-
所以五棱锥P ABCEF -的体积为23
111()(3)(3)326
V x x x x x =⨯-⋅=-
21
()(1)012
V x x x '=-=∴=或1x =-（舍）
当01,()0,()x V x V x '<<>递增， 故(0)()(1)V V x V <<
1(0)0,(1)3
V
V ==
所以()V x 的取值范围是（0，13
） 故答案为（0，
13
） 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
17．（本小题满分12分）
已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且acosB ＝4，bsinA ＝3． （1）求a ；
（2）若△ABC 的面积为9，求△ABC 的周长． 【答案】(1) 5a = (2) 周长为1113+【解析】 (1)
ABC ∆中，cos 4a B =，sin 3b A =．
由正弦定理得
sin sin sin 3
tan cos sin cos 4
b A B A B a B A B ===．
又cos 4a B =，所以cos 0B >，所以cos 4
5
B =． 所以5a =． (2)由(1)知，cos 4
5B =
，所以3sin 5
B =． 因为AB
C ∆的面积1
sin 92
ABC S ac B ∆=
=，所以6c =． 由余弦定理得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以13b = 所以ABC ∆的周长为1113a b c ++=+． 18．（本小题满分12分）
如图所示，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，120BCD ∠=o ，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.
（1）求证：EF ⊥平面BCF ；
（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，试求cos θ的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）71cos ,72θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦ 【解析】
（1）证明：设1AD CD BC ===， ∵AB CD ∥，120BCD ∠=o ，∴2AB =， ∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅=o ， ∴222AB AC BC =+，则BC AC ⊥. ∵四边形ACFE 为矩形，∴AC CF ⊥，
而,CF BC ⊂平面BCF ，且CF BC C =I ，∴AC ⊥平面BCF . ∵EF AC P ，∴EF ⊥平面BCF .
（2）以C 为坐标原点，分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴、
y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令()
03FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，(
)
3,0,0A
，
()0,1,0B ，(),0,1M λ，
所以()
3,1,0AB =-uu u r ，(),1,1BM λ=-uuu r
，
设()1,,n x y z =u r 为平面MAB 的一个法向量，由1100
n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v uu u v u v uuu v
，得30
0x y x y z λ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取1x =，所以()
11,3,3n λ=-u r ，因为()21,0,0n =u u r 是平面FCB 的一个法向量.
所以()
12
2
12
cos 1331
n n n n θλ⋅==++-⨯u r u u r u r u u r ()
2
34
λ=-+.
因为03λ≤≤，所以当0λ=时，cos θ有最小值
7，
当3λ=cos θ有最大值1
2，所以71cos 72θ⎤∈⎥⎣⎦
. 19．（本小题满分12分）
已知动圆过定点A （4，0），且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）已知点B （－1，0），长为6PQ 的两端点在轨迹C 上滑动．当x 轴是
∠PBQ 的角平分线时，求直线PQ 的方程． 【答案】（1）2
8y x =．；（2）2
102
x y ±
-=或3x = 【解析】解:（1）A （4，0），设圆心(,)C x y ，线段MN 的中点为E ， 则由圆的性质得：2
MN
ME =
，2222CA CM ME EC ==+， ∴2
2
2
(4)4x y x -+=+，即2
8y x =．
（2）设11(,)P x y ，11(,)Q x y ，由题意可知2
118y x =，2228y x =．
（ⅰ）当PQ 与x 轴不垂直时，120y y +≠，120y y ⋅<，由x 轴平分PBQ ∠， 得
121211
y y
x x =-++，∴122212088y y y y +=++，
∴1212()(8)0y y y y ++⋅=，∴1280y y +⋅=． 设直线PQ ：x my n =+，代入C 的方程得：2
880y my n --=． ∴880n -=，即1n =。

由于，2
2
21211643246PQ m y m m =+-=++= ∴21
2
m =
，因此，直线PQ 的方程为2102x y ±-=． （ⅱ）当PQ 与x 轴垂直时，46PQ =，可得直线PQ 的方程为3x =．
综上，直线PQ 的方程为2
102
x y ±-=或3x =． 20．（本小题满分12分）
已知．
（Ⅰ）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）证明：当时，．
【答案】（1．；（2）证明见解析
【解析】解：（Ⅰ）法一：由题意，
①若，即时，，则在单调递增，
则，则在单调递增，故，满足题意；②若，即时，存在，使得，且当时，
，则在上单调递减，则，则在单调递减，此时，舍去；
③若，即时，，则在上单调递减，则
，则在单调递减，，舍去；
故．
法二：由题知，且，，
要使得在上恒成立，则必须满足，即，．①若时，，则在单调递增，则，
则在单调递增，故，满足题意；
②若时，存在时，，则在上单调递减，则
，则在单调递减，此时，舍去；
故．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，．取，
则
由（Ⅰ），则，故，
要证，只需证．
令，则，
，
当时，，则在
上单调递增，有
，
故在
单调递增，故， 故
，即有
，得证．
21．（本小题满分12分）
一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）． （1）求P 0，P 1，P 2，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用P n －2和P n －1表示P n ； （2）求证：{P n －P n －1}（n ＝1，2，…，100）为等比数列； （3）求玩该游戏获胜的概率． 【答案】（1）2111
22
n n n P P P --=
+．；（2）证明见解析；（3）10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭．
【解析】 (1)棋子开始在第0站是必然事件，所以01P =．
棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为
12，所以1
1
2P =． 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为1
2
；
②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为14
，所以2113
244P =+=．
棋子跳到第(299)n n 剟
站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为
212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为11
2
n P -．
故2111
22
n n n P P P --=
+． (2)由(1)知，211122
n n n P P P --=
+，所以112(1
)2n n n n P P P P ----=--．
又因为1012
P P -=-，所以1{}(1,2,,100)n n P P n --=L 是首项为12-，公比为1
2-的等比数
列．
(3)由(2)知，1
1111222n n
n n P P --⎛⎫
⎛⎫-=--=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
． 所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-++-+L 99
98
1111
222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
99
111221112⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
10021132⎛⎫=- ⎪⎝⎭．
所以玩该游戏获胜的概率为10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，方程2sin 2ρθ=的图形为如图所示的“幸运四叶草”，又称为玫瑰线．
（Ⅰ）当玫瑰线的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标； （Ⅱ）求曲线22
sin 4ρπθ=
⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭上的点M 与玫瑰线上的点N 距离的最小值及取得最小值时的点M 、N 的极坐标． 【答案】（1）1,
12π⎛⎫ ⎪⎝⎭和51,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）22,4M π⎛⎫ ⎪⎝
⎭，2,4N π⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】（Ⅰ）以极点为圆心的单位圆为1ρ=与2sin 2ρθ=联立，
得2sin21θ= 所以1sin 22θ=
，因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以12πθ=或512π，则极坐标为1,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭和51,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
（Ⅱ）曲线22
sin 4ρπθ=
⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭的直角坐标方程为4x+y= 玫瑰线2sin 2ρθ=极径的最大值为2，且可于2,
4N π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
取得， 连接O ，2,
4N π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，与4x y +=垂直且交于点2,
4M π⎛⎫
⎪⎝
⎭
． 所以距离的最小值为222，此时2,4M π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，2,
4N π⎛⎫
⎪⎝
⎭
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数，． （Ⅰ）当时，解关于的不等式；
（Ⅱ）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2） 【解析】（Ⅰ）当时，，则
当时，由得，，解得；
当时，恒成立； 当时，由得，，解得． 所以的解集为．
（Ⅱ）对任意，都存在，得成立，所以
()223f x x a x a =-+-+()24,g x x ax a R =++∈1a =x ()4f x ≤1x R ∈2x R ∈()()12f x g x >a {}
22x x -≤≤()2,2,5⎛
⎫
-∞-
+∞ ⎪⎝⎭
U 1a =()11f x x x =-++()2 ,1,
2, 11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-<⎨⎪⎩
≤≥1x <-()f x ≤422x --≤421x -<-≤1
1x -<≤()f x ≤41x ≥
()f x ≤42x ≤412x ≤≤()f x ≤4{}
22x x -≤≤1x ∈R 2x ∈R ()()12f x g x >()()min min f x g x >
因为，所以，
且， ①
当时，①式等号成立，即
又因为， ②
当时，②式等号成立，即
所以，即的取值范围为
()2
2
23120a a a -+=-+>223a a >-()
()222223232323x a x a x a x a a a a a -+-+---+=-+=-+≥2
23a x a -≤≤()2min 23f x a a =-+2
222
444244a a a x ax x ⎛
⎫++=++-- ⎪⎝⎭
≥2
a
x =-()2min 44a g x =-22
2344a a a -+>-a ()2,2,5⎛
⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭U。