指数函数与对数函数的关系课件-高一下学期数学人教B版(2019)必修第二册

4.3
指数函数与对数函数的关系
-1-
学习目标：
1．理解指数函数与对数函数性质与图像的关系，知道它们互为反
函数.(重点)
2.了解反函数的概念，能判定一个函数是否存在反函数，并能求出
简单函数的反函数.(重点)
3.掌握互为反函数的函数图像间的关系及其性质.(难点)
激趣诱思
知识点拨
课前篇自主预习
指数函数与对数函数的图像与性质
课堂篇探究学习
课后探究
分层作业B
2x 3
1.求函数f ( x)
的值域.
x 1
2.作出函数f ( x) 1 1 x的图像.
3.已知
1-3
4
f(x)= ,则 f-1 5
1+3
=
.
课前篇自主预习
知识点拨
5
Y=2x
Y
●
4
3
●
-1 O
-1
-2
Y=log2x
●
2
1●
●
Y=X
●
●
●
1 2
●
●
3
4
5
y
6
7 X
log 1 x
2
激趣诱思
课前篇自主预习
知识点拨
同底数的指数函数与对数函数的图像的关系
y=2x
y
结论：同底的指数函
数与对数函数图像关
于直线y=x对称。
Q(a,b)
(0,1)
O
y=x
指数函数y=ax (a>0,a≠1)
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
图
y
y
y=ax
y=logax
y=ax
(a>1)
象 (0<a<1)
(a>1)
1
x
11.定义域、值域互换 o
2.定点横纵坐标互换
y=logax (0<a<1)
x
o 3.单调性一致
(1)定义域： (0,+∞)
性 (1)定义域：R
反函数的概念
1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有
唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.
此时,称y=f(x)存在反函数.而且,如果函数的自变量仍用x表示,因变
量仍用y表示,则函数y=f(x)的反函数的表达式,可以通过对调y=f(x)
中的x与y,然后从x=f(y)中求出y得到.
P(a,b)
(1,0)
y=log2x
x
激趣诱思
知识点拨
课前篇自主预习
指数函数与对数函数的内在关系
指数式、对数式互化
图像不变，x,y互换
引起图像关于直线
y=x对称。
y=ax 互化x=logay x,y互换y=logax
先解后换
思考:
• 第一步变换有没有引起图像的变化？为什么？
• 第二步变换有没有引起图像的变化？为什么？
若函数f(x)存在反函数，
2.利用函数解析式，解出x，如果x是唯一的，则函数的反函数
则f(x)一定单调吗？
存在；
3.确定函数在定义域上的单调性，如果是单调函数，则函数的
反函数存在.
课堂篇探究学习
探究二
例2.求下列函数的反函数:
(1) y 2 x 1 ( x R);
(2) y 1 ln( x 1)(x 1). 规律方法;求函数的反函数的主要步骤
• 这两步变换顺序能否交换？
激趣诱思
课前篇自主预习
知识点拨
ｙ＝2ｘ
y
ｙ＝ｘ
0
xx
ｙ＝
2
x
想一想：函数 y 2 x 的图象和函数y 是否也具
2
有上述关系？
结论：指数函数与对数函数之间的这种关系并不
是它们所特有的，有大量的函数之间具有这种关
系，我们称它们互为反函数。
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
a b 4
a 3

, 解得
1

b

2

b 1
规律方法：反函数图像的应用
(1)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.
(2)若函数y=f(x)图像上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的图像
上;反之,若点(b,a)在反函数的图像上,则点(a,b)必在原函数的图像上.
又 x 11 ln( x 1) R
所求反函数为y e x 1 1( x R)
课堂篇探究学习
探究三
例3.已知函数y a x b(a 0且a 1)的图像过点（1，
4），
其反函数图像过点（2,0），求a, b的值.
解：由题意可知，该函 数过点（1,4），（0,2）
2.反函数的记法
一般地,函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
初试身手
1
(1)若函数y=( 2 )x与y=logax互为反函数,则a=
.
(2)函数y=f(x)的反函数存在,若点(2,1)在y=f(x)的图像上,则其反函
数的图像一定过点
.
(3)函数y=ln(2x)的反函数是
质
(2)值域：(0,+∞)
(2)值域：R
(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1
(3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) a>1时, 在R上是增函数；
(4) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0<a<1时,在R上是减函数
0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
激趣诱思
1 x
2
y ()
课前篇自主预习
知识点拨
课堂小结：
1.反函数概念的理解
当一个函数是一一对应时,有反函数；
可以把这个函数的自变量作为一个新的函数的因变量,而把这个函
数的因变量作为新的函数的自变量,我们称这两个函数互为反函数.
函数y=f(x)的反函数,常用y=f-1(x)表示.
2.反函数的性质
(1)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.
探究一
例1.（多选）下列函数中存在反函数的是（ AD ）
x
1 2 3 4 5
-1 0 1 -2 5
A
.
f(x)
C.
y x2
B.
x
f(x)
D.
1 2
0 0
3 4 5
1 3 5
y x2
规律方法：判定函数存在反函数的方法——一一对应
1.逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，
则函数的反函数存在；
(2)解：
ln( x 1) y 1
x 1 e y 1
x e y 1 1
对调 x, y得y e x 1 1
(1)从y=f(x)中解出x=φ(y);
(2)对调其中的x和y,得y=φ(x);
(3)标明反函数的定义域(即原函数的值
域).
简记为“一解、二换、三写”.
.
1
解析:(1)由题意知,a= 2
.
(2)由互为反函数的图像关于直线y=x对称,
∴(2,1)关于y=x的对称点(1,2)一定在其反函数的图像上.
1
(3)对 y=ln(2x)中 x,y 互换得 x=ln(2y),即 2y=ex,y= ex.
2
1
答案:(1)
2
1
(2)(1,2) (3)y= ex
2
课前篇自主预习
激趣诱思知识点拨源自（4）若函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+∞),则此函数的定
义域为
.
解析:函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+∞),也即这个函数的
值域为(3,+∞),所以log3x+1>3,即log3x>2,所以x>9.所以此函数的定
义域为(9,+∞).
答案:(9,+∞)
课堂篇探究学习
(2)若函数y=f(x)图像上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的图像上;
反之,若点(b,a)在反函数的图像上,则点(a,b)必在原函数的图像上.
(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.
(4)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义
域相同.