【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.2(二)知能优化训练 新人教A版选修2

1．函数y ＝x 3
cos x 的导数是( )
A ．3x 2cos x ＋x 3sin x
B ．3x 2cos x －x 3
sin x
C ．3x 2cos x
D ．－x 3
sin x
解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3
sin x ，故选B.
2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2
＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133 D.103
解析：选D.∵f ′(x )＝3ax 2
＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4.∴a ＝103
.
3．曲线y ＝x ln x 在x ＝1处的切线方程为________． 解析：∵y ＝x ln x ，
∴y ′＝ln x ＋1，则切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线方程为y ＝x －1. 答案：y ＝x －1
4．求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2
＋x cos x ；(2)y ＝
x
1＋x
；(3)y ＝lg x －e x
；
(4)y ＝sin2x －cos2x .
解：(1)y ′＝6x ＋cos x －x sin x .
(2)y ′＝1＋x －x ＋x 2＝1
＋x
2.
(3)y ′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln10
－e x
.
(4)法一：y ′＝(sin2x －cos2x )′
＝(sin2x )′－(cos2x )′＝2cos2x ＋2sin2x
＝22sin(2x ＋π
4
)．
法二：∵y ＝2sin(2x －π
4)，
∴y ′＝2cos(2x －π4) ·2＝22sin(2x ＋π
4
)．
一、选择题
1．下列求导运算正确的是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x
2
B ．(log 2x )′＝
1
x ln 2
C ．(3x )′＝3x
·log 3e
D ．(x 2
cos x )′＝－2x sin x
解析：选B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x
2，(3x )′＝3x
ln3，
(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2
sin x .
2．曲线y ＝x 3－3x 2
＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5
解析：选B.由y ′＝3x 2
－6x 在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y ＋1＝－3(x －1)．即y ＝－3x ＋2.
3．(2011年高考湖南卷)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π
4
，0)处的切线的斜率为( )
A ．－12 B.12
C ．－
22
D.
22
解析：选B.y ′＝cos x
x ＋cos x －
x －sin x
x
x ＋cos x
2
＝
1
x ＋cos x
2
.故y ′|x ＝π
4
＝12
， ∴曲线在点M (π4，0)处的切线的斜率为1
2.
4．函数y ＝x 2
cos2x 的导数为( )
A ．y ′＝2x cos2x －x 2
sin2x
B ．y ′＝2x cos2x －2x 2
sin2x
C ．y ′＝x 2
cos2x －2x sin2x
D ．y ′＝2x cos2x ＋2x 2
sin2x
解析：选B.y ′＝(x 2
cos2x )′
＝(x 2)′·cos2x ＋x 2
·(cos2x )′
＝2x cos2x －2x 2
sin2x .
5．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2
＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0
解析：选B.由题意知f ′(x )＝4ax 3
＋2bx ，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x )为奇函数，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2，故选B.
6．若函数f (x )＝12
f ′(－1)x 2
－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：选B.∵f (x )＝12
f ′(－1)x 2
－2x ＋3，
∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.
∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2. ∴f ′(－1)＝－1. 二、填空题
7．令f (x )＝x 2·e x
，则f ′(x )等于________．
解析：f ′(x )＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x )′＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2
)．
答案：e x (2x ＋x 2
)
8．设f (x )＝ax 2
－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12
，则a ＝________，b ＝________.
解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ， ∴f ′(0)＝－b ＝1，得b ＝－1，
f ′(π3)＝23πa ＋12＝1
2
，得a ＝0.
答案：0 －1
9．若函数f (x )＝e
x
x
在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，则c 的值为________．
解析：∵f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e
c
c ，
又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝
e x
x －
x 2
，∴f ′(c )＝
e
c
c －
c 2
.
依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c
c
＋
e
c
c －c 2
＝0，
∴2c －1＝0得c ＝1
2
.
答案：12
三、解答题
10．求下列函数的导数： (1)f (x )＝ln(8x )；
(2)f (x )＝(x ＋1)(1
x
－1)；
(3)y ＝5log 2(2x ＋1)．
解：(1)因为f (x )＝ln(8x )＝ln8＋ln x ，
所以f ′(x )＝(ln8)′＋(ln x )′＝1
x
.
(2)因为f (x )＝(x ＋1)(1
x
－1)
＝1－x ＋1x －1
＝－x ＋
1
x
＝1－x x
，
所以f ′(x )＝
－1·x －
－x
12x
x
＝－12x
(1＋1x )．
(3)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝
10u ln2
＝10x ＋
2
. 11．设f (x )＝a ·e x
＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e
.求a ，b 的值．
解：由f (x )＝a ·e x
＋b ln x ， ∴f ′(x )＝a ·e x
＋b x
，
根据题意有⎩
⎪⎨
⎪
⎧
f ＝a e ＋b ＝e f －
＝a e －b ＝1
e
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1
b ＝0，
所以a ，b 的值分别是1,0.
12．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.求f(x)的解析式．解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1得：
x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.
要使方程对任意x恒成立，则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，
解得a＝2，b＝2，c＝1，
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.。