第八章 图论原理(缩)

Leonhard Euler ， (1707—1783)，瑞士数学 家、力学家、天文学家、 物理学家，图论的创始人， 变分法的奠基人，复变函 数论的先驱者，理论流体 力学的创始人。
8.1.1 图
• 著名的柯尼斯堡七桥问题。在柯尼斯堡的普莱格 尔河上有七座桥将河中的岛及岛与河岸联结起来， 如下图所示，A、B、C，D表示陆地。 • 问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每 一座桥正好一次，再回到起点。
8.1.2 图的基本概念
8.1.2 图的基本概念
• 补图： 设有一图G=(V,E), 对图G’=(V,E’), 如果有 G=(V,E E') 是完全图且E∩E’= Ø 则称G’是G的补图. • 一个图与其补图是互补的 • 一个图的补图的补图还是自己
8.1.3 图的同构
• 定义8.2
设有图G=<V,E>与G’=<V’,E’>, 如果它们的结点 间存在一一对应关系, 而且这种对应关系也反映 在表示边的结点对中(如果是有向边, 则对应的结 点对还保持相同的顺序), 则称此两图是同构的.
8.1.4 图中结点的次数
• 题(8.1) 设V={u,v,w,x,y}, 画出图G=<V,E>： 1) E = {(u,v),(u,x),(v,w),(v,y)(x,y)} 2) E = {(u,v),(v,w),(w,x),(w,y)(x,y)} 再求每个结点的次数. • 解： u u 1) 2)
8.2.1 通路与回路
• 定义8.4
• 从一有向图的结点vi到另一vj如果存在一条通路, 则称从vi到vj是可达的.
• vi到vj是可达的不一定表示它们间只有一条通路, 也可能有若干条通路, 它们间最短的通路, 这种通 路称为短程线, 而短程线的长度则称从vi到vj间的 距离, 可用d(vi , vj)表示.
8.2.1 通路与回路
• 图中的一条通路如果其起始结点与终止结点相同, 则称此通路为回路. • 回路是一种特殊的通路. • 图中各边全不同的回路称为简单回路, 各点全不 同的称为基本回路. • 任一通路如果删去所有回路，则必得基本回路; 任一回路中删去其中间的所有其余回路,必得基 本回路.
C1: (1,1) C2: (1,2,1) C2: (1,2,1) C4: (1,2,3,1) 均是基本回路. C5: (1,2,3,2,1) 是简单回路但不是基本回路.
8.1.2 图的基本概念
• (n,m)图: 一个具有n个结点、m条边所组成的图 • 零图: 由一些孤立点组成的图, 即(n,0)图 • 平凡图: 由一个孤立结点组成的图, 即(1,0)图 • 完全图: 一个(n,m)图G如果其n个结点(n≥2)中的 每一个均与其中n-1个结点邻接, 可记为Kn. m=n(n-1)/2
8.1.2 图的基本概念
• 例8.2 有4个程序p1,p2,p3,p4, 它们间有一些调用 关系：p1调用p2；p2能调用p3；p1能调用p4, 试将 此事实用图的方式表示.
• 解： 图中的结点集为:V={p1,p2,p3,p4} 边集为E={c1,c2,c3} c1={p1,p2}, c2={p2,p3}, c3={p1,p4}, -----有序结点对 这个图可以用G=<V,E>表示
8.2.2 连通性
• 无向图中的连通性是一种等价关系 • 其等价类是V的一个划分
8.2.2 连通性
• 例：简单图G有n个结点, e条边, 设e>(n-1)(n2)/2, 证明G是连通的 • 证明: (反证法) 假设G=<V,E>不连通, 设G可分成两个不相连通 的连通分支(子图)G1和G2, 并设G1和G2分别有 n1,n2个结点, 显然n1+n2=n. 因为ni≥1, 所以ni≤n-1 (i=1,2).
• 例8.1 有4个城市: v1,v2,v3,v4, 其中v1与v2间; v1与 v4间; v2与v3间有直达长话线路相连, 将此试试用 图的方式表示
• 解: 图中的结点集为:V={v1,v2,v3,v4} 边集为E={l1,l2,l3} l1={v1,v2}, l2={v1,v4}, l3={v2,v3}, -------无序结点对 这个图可以用G=<V,E>表示
• 例8.3 R={R1,R2,R3,R4} P={P1,P2,P3,P4} 其资源分配状况是： P1占有资源R4且申请资源R1; P2占有资源R1且申请资源R2及R3; P3占有资源R2且申请资源R3; P4占有资源R3且申请资源R1及R4. • 解： 其资源分配图：
8.2.1 通路与回路
• 例8.4 用有向图刻画过程间的调用关系，来判断某过 程是否是递归的. 一个过程集合P={P1,P2,P3,P4,P5} 调用关系： P1调用P2； P2调用P4； P3调用P1； P4调用P5； P5调用P2； • 某过程是递归的充分必要条件是包括此过程在内的结 点构成一个回路. • (P2,P4,P5, P2 )构成一条回路, 故过程P2,P4和P5是递归 的
v w x y x y v w
1)中结点：deg(u)=2, deg(v)=3, deg(w)=1, deg(x)=2, deg(y)=2. 2)中结点：deg(u)=1, deg(v)=2, deg(w)=3, deg(x)=2, deg(y)=2.
8.1.4 图中结点的次数
• 定理8.1
• 图G=<V,E>是一个(n,m)图, 其中V={v1,v2,…,vn}, n 此时有 deg(vi ) 2m
8.1.5 多重图与带权图
• 多重图：一个结点对可对应若干条边, 这种边称 为多重边
– 方向相反的两条边可看成是由不同的结点对对应的.
• 简单图：不包含多重边的图
8.1.5 多重图与带权图
• 例：三个点可构成多少个不同构的简单无向图？ • 解： 1) 有点无边 2) 有一条边 3) 有两条边 4) 有三条边 所以一共有4个.
– 第八章 介绍图论一般原理 – 第九章 介绍一些常用的图如平面图、两步图 以及树等
第八章 图论原理
• 本章主要介绍图论的基本原理，包括图论 中的基本概念、基本方法以及图论的矩阵 计算等内容.
8.1.1 图
• 起源：
• 历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立 过。关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736 年的论着中，他所考虑的原始问题有很强的实际 背景。
8.1.2 图的基本概念
• 定义 8.1
图G是由非空结点集合V={v1,v2,…,vn}以及边集合 E={l1,l2,…,lm}所组成, 其中每条边可用一个节点 对表示, 亦即 li = (vi1,vi2), i = 1,2,…,m 这样一个图G可用G = <V,E>表示
8.1.2 图的基本概念
8.1.2 图的基本概念
• 一条边若与两个相同的结点相关联, 则称为环, 即 lk={vi,vi} • 不与任何结点相邻的结点称为孤立点
8.1.2 图的基本概念
• 图G=<V,E>与G’=<V’,E’>间如果有V’⊆V, E⊆E’, 则称G’是G的子图. • 如果有V’⊂V, E⊂E’, 则称G’是G的真子图. • 如果有V’=V, E⊆E’, 则称G’是G的生成子图.
• 定义8.6
一个有向图, 如果忽略其边的方向后得到的无向 图是连通的, 则称此有向图为连通图; 否则, 称为 非连通图.
8.2.2 连通性
• 定义8.7
一个有向连通图G如果其任何两结点间均是互相 可达的, 则称图G是强连通的; 如果其任何两结点间至少存在一向是可达的, 则 称图G是单向连通的; 如果忽略边的方向后其无向图是连通的, 则称图 G是弱连通的.
8.1.3 图的同构
• (a)(b)同构，(c)(d)同构
8.1.4 图中结点的次数
• 定义8.3
• 在有向图中, 以结点v为起点的边的条数称为v的 引出次数, 记以deg(v); 以v为终点的边的条数叫v 的引入次数, 记以deg(v); v的引入次数与引出次 数之和称为v的次数或全次数, 记为deg(v). • 在无向图中, 结点v的次数或全次数是与v相关联 的边的条数, 也用deg(v)表示. • 任一图的所有结点的次数之和必为偶数, 且必为 图中边数的两倍, 因为每条边必与两个结点相关 联.
8.1.2 图的基本概念
• 一般，用带有箭头的边表示有序结点对，而用不 带箭头的边表示无序结点对.
8.1.2 图的基本概念
• 有序结点对所对应的边称为有向边，无序结点对 所对应的边称为无向边 • 有向图：图中的所有边均为有向边 • 无向图：图中的所有边均为无向边
8.1.2 图的基本概念
• 有向边lk={vi,vj}中, vi称为lk的起点, vj称为lk的终点 • 不管lk是有向还是无向, 均称lk与vi和vj相关联, 而vi 和vj称为邻接的. • 若干条边关联于同一个结点, 则这些边称为邻接 的.
8.1.1 图
• 欧拉在1736年解决了这个问题，他用抽象分析 法将这个问题化为第一个图论问题：即把每一块 陆地用一个点来代替，将每一座桥用联接相应的 两个点的一条线来代替，从而相当于得到一个 「图」。欧拉证明了这个问题没有解，并且推广 了这个问题，给出了对於一个给定的图可以某种 方式走遍的判定法则。这项工作使欧拉成为图论 〔及拓扑学〕的创始人。

8.2.1 通路与回路
• 定理8.2
一个有向(n,m)图中任何基本通路长度均小于或 等于n-1, 而任何基本回路长度均小于或等于n.
• 资源分配图：是一个有向图，表示时刻t时系统 中资源分配状态. 当进程Pk占有资源Ri而又深情 资源Rj时，则从结点Ri到Ri用一条有向边相连.
8.2.1 通路与回路
图论
图论
• 图论是用图的方法研究客观世界的一门科 学. • 用“结点”表示事物, 用“边”表示事物 之间联系, 而由结点与边所构成的图表示 所研究的客观对象. • 图论研究图的逻辑结构与性质，是研究图 的抽象性质的一种数学.