第59届IMO中国数学奥林匹克国家集训队考试(一)

第59届IMO 中国数学奥林匹克国家集训队

考试一

2017年12月30日 8:00~12:30

1. 设p 、q 是给定的两个和为1的正实数．证明：对任意一个2017元实数组()122017,,,y y y ．都存在唯一的2017元实数组()122017,,,x x x 满足

{}{}11max ,min ,i i i i i p x x q x x y ++⋅+⋅=．

1,2,,2017i =,这里20181x x =．

2. 若一个正整数的正约数个数能被2018整除,则称该数为有趣数．确定所有正整数d ,使得存在一个公差为d 的无穷项等差数列,该数列中每一项都是有趣数．

3. 在ABC △中, 圆ω与边AB 、AC 分别相切于点D 和E ,D B ≠,E C ≠,且

BD CE BC +<．

点F 、G 在BC 边上,满足BF BD =,CG CE =．设线段DG 、EF 交于点K ．点L 在圆ω的劣弧DE 上,使得圆ω在L 处的切线平行于BC ． 证明：ABC △的内心在直线KL 上．