第59届IMO中国数学奥林匹克国家集训队考试(一)

IMO中国国家集训队选拔考试试题与解答(1995-2010)

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C2x1 + C2x2 + …+ C2x16 ≤C211 = 55.
①
容易看出 , 当 x1 , x2 , …, x16尽量平均 (至多相差
1) 时 , 上式左端和数最小 , 从而 , x1 + x2 + …+ x16 最
大. 因此 , 当 x1 , x2 , …, x16 中有两个 4 和 14 个 3 时 ,
=
1.
②
比较 ①、②两式可得
AP AQ
=
PC QC
.
③
过 P 作 EF 的平行线分别交 OA 、OC 于 I 、J ,则有
PI QO
=
AP AQ
,
JP QO
=
PC QC
.
④
由 ③、④可得
PI QO
=
JP QO
]
PI = PJ .
又 OP ⊥IJ ,则 OP 平分 ∠IOJ ,
即 OP 平分 ∠AOC.
去掉前 2 行与前 10 列 , 至多去掉 22 + 16 = 38 个红点 ,余下的 15 ×7 的方格表中至少还有 34 个红点 , 34 = 3 ×4 + 2 ×11. 这些红点至少构成
3 ×4 + 11 = 23 个不同的“红点对”, 23 > 21 = C27 , 必导致边平行于网格线的红顶点矩形 ,矛盾.

何天成：从高联到IMO金牌-超详细数学竞赛学习方法(一)

何天成：从高联到IMO金牌，超详细数学竞赛学习方法（一）本文作者何天成，第58届国际数学奥林匹克（IMO）金牌获得者，华南师大附中2017届毕业生，大学数学科学学院2017级新生。

本文首发于数学新星网。

作者非常详细地阐述了从高联一试/二试，到参加CMO，国家集训队，走向IMO，各级竞赛的心路历程和学习方法，对于参加竞赛的同学具有非常大的指导意义，因为篇幅较长，故分为三篇分享给大家。

请看过的同学温故知新，没看过的同学一定要认真做好笔记，满满的干货~正文如下：2017年7月，我有幸作为中国国家队的一员参加了第 58 届国际中学生数学奥林匹克竞赛（ IMO ) ，并获得了一枚金牌。

回顾六年竞赛之路，我从开始的一个懵懂无知的新人，一路上经历了不少挫折，走了不少弯路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一套学习竞赛的方法，最后的结局也是幸运的。

而正是这份幸运，让我觉得有责任把自己学习数学竞赛的经验与心得分享出来，希望后来者能吸取我的经验和教训，找到自己的不足，并更好地看清未来。

引言对于一场考试，我喜欢用以下 3 个参数来衡量最终的分数：最终分数=实力分 x 运气分 x 状态分。

其中实力，运气，状态均为非负实数。

这里，“实力”顾名思义，尽管不好量化，但是一般来说实力相差很大还是能看出来的。

“运气”主要代表“题目是否对路”，比如一个擅长几何的选手参加一场几何送分的考试，当然运气分较低；而参加一场几何难度他刚刚好能做出来的考试，运气分就比较高了。

当然，运气分是取决于考试本身的，可以认为主观上不能改变它，但是在集训队这样的多次考试中，平均下来，运气会比较稳定；并且，我们可以用比如“补短板”或者“狂刷一科”等方法改变运气分的波动大小。

另一方面的运气来自于改卷，即能不能得到预想中的分数，这一点理论上来说也是不能自己操纵的，但是可以通过加强书写等方法提升。

“状态”源于自身，常见的影响状态的因素有，比如考前一晚睡不着，考试很冻手、冻僵了，旁边的同学一直发出噪音等等。

IMO历届试题

IMO历届试题2010年第51届国际奥林匹克数学竞赛（IMO）试题及答案1．△ABC的内心为I，三角形内一点P满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB．求证，AP ≥AI，而且等号当且仅当P=I时成立．证：∠PBC+∠PCB= 12(∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，从而P，B，C，I四点共圆．但由内外角平分线相垂直知B，C，I与BC 边上的旁切圆心T 共圆，且IT是这个圆的直径，IT的中点O为圆心．由于A，I，T共线(∠BAC的平分线)，且P在圆周上，AP+PO≥AO=AI+IO，PO=IO，故AP≥AI．等号当且仅当P为线段AO与圆周的交点即P=I时成立．2．正2006 边形P 的一条对角线称为好的，如果它的两端点将P 的边界分成的两部分各含P的奇数条边．P的边也是好的．设P被不在P的内部相交的2003 条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值．解：对于剖分图中的任一三角形ABC，P的边界被A，B，C分为3段，A-B段所含P 的边数记作m(AB)．由于m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形．考虑任一好三角形ABC(AB=AC)．A-B 段上若有别的好三角形，其两腰所截下的P 的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，而A-B 段上P 的边数为奇数，故A-B 段上必有P的一边α不属于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一边β不属于更小的腰段，令△ABC 对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无公共元，因此好三角形不多于20062=1003 个．设P=A1A2…A2006，用对角线A1A2k+1(1≤k≤1002)及A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有1003 个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003．3．求最小实数M ，使得对一切实数 a ，b ，c 都成立不等式2222222222|()()()|()ab a b bc b c ca c a M a b c -+-+-++≤解：222222()()()ab a b bc b c ca c a -+-+-()()()()a b b c c a a b c =----++．设a b x b c y c a z a b c s -=-=-=++=，，，，则22222221()3a b c x y z s ++=+++．原不等式成为22222()9||(0)M x y z s xyzs x y z +++++=≥．x y z ，，中两个同号而与另一个反号．不妨设 x y ，≥0．则2221||()2z x y x y x y =+++，≥，2()4x y xy +≥．于是由算术－几何平均不等式222222223()(())2x y z s x y s +++++≥＝22222111(()()())222x y x y x y s ++++++6223414())42()||162||8x y s x y s xyzs +=+≥(≥即9232M =时原不等式成立．等号在21s x y ===，，2z =-，即::(23):2:(23)a b c =+-时达到，故所求的最小的9232M =．4．求所有的整数对（x y ，），使得212122x x y +++=．解：对于每组解（x y ，），显然0x ≥，且()x y -，也是解．0x =时给出两组解(02)±，．设x y ，>0，原式化为12(21)(1)(1)x x y y ++=+-．1y +与1y -同为偶数且只有一个被4整除．故3x ≥，且可令12x y m ε-=+ ，其中m 为正的奇数，1ε=±．代入化简得2212(8)x m m ε--=-．若1ε=，2801m m -=≤，．不满足上式．故必1ε=-，此时22212(8)2(8)x m m m -+=--≥，解得3m ≤．但1m =不符合，只有3m =，4x =，23y =．因此共有4组整数解(02)(423)±±，，，．5．设()P x 为n 次(n >1)整系数多项式，k 是一个正整数．考虑多项式()(((())))Q x P P P x = ，其中 P 出现k 次．证明，最多存在 n 个整数t ，使得()Q t t =．证：若Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点，结论显然成立．设有整数0x 使得00()Q x x =，00()P x x ≠．作递推数列 1()(012)i i x P x i +== ，，．它以 k 为周期．差分数列1(12)i i i x x i -∆=-= ，，的每一项整除后一项．由周期性及10∆≠，所有||i ∆ 为同一个正整数u ．令121111min{}m k m m m m m m x x x x u x x x x x x -++-==-=-= ，，，，，．数列的周期为 2．即0x 是 P 的2-周期点．设 a 是P 的另一个2-周期点，() b P a =(允许b =a )．则0a x -与1b x -互相整除，故01||||a x b x -=-，同理01||||b x a x -=-．展开绝对值号，若二者同取正号，推出01x x =，矛盾．故必有一个取负号而得到01a b x x +=+．记01x x C +=，我们得到：Q 的每个整数不动点都是方程 ()P x x C +=的根．由于P 的次数n 大于 1，这个方程为n 次．故得本题结论．6．对于凸多边形P 的每一边b ，以b 为一边在P 内作一个面积最大的三角形．证明，所有这些三角形的面积之和不小于P 的面积的两倍．证：过P 的每个顶点有唯一的直线平分P 的面积，将该直线与P 的边界的另一交点也看作 P 的顶点(允许若干个相继顶点共线)．每两条面积平分线都交于 P 内．P 可看成一个 2n 边形122-12n n A A A A ，每条对角线i i n A A +是P 的面积平分线(i =1，2，…，n ，2i n i A A +=)．设i i n A A +与11i i n A A +++交于 i O (i n i O O +=)，由面积关系得到，11()()i i i i i n i n S O A A S O A A ++++=△△，11i i i i i i n i i n O A O A O A O A ++++= ，故i i n i iO A O A +和11i i n i i O A O A +++中必有一个不小于 1，于是以 1i i A A +为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面积11111()max{()()}2()i i i n i i i n i i i i i S A A S A A A S A A A S O A A +++++++≥△，△≥△．对于每条有向线段i i n A A +，P 内部的每一点T 或在它的左侧或在它的右侧．由于T 在11n A A + 和12111n n n A A A A +++= 的相反侧，故必有i 使得T 在i i n A A + 和11i i n A A +++的相反侧，从而Ｔ在1i i i O A A +△或1i i n i n O A A +++△中．即211ni i i i O A A P +=⊇ △．于是221111()2()2()nnii i i i i i S A AS O A A S P ++==∑∑≥△≥P 中同一边上的各个1()i i S A A +之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积．。

另解一道中国国家集训队选拔考试题

ｓｉｎＤＣＨ —ｓｉｎ
ＢＨＯＣｌＩＯ‘
＝
而／ｘＤＢＣ为正三角形，则可把△ ＤＢＨ
ＡＩｔＭ
绕点Ｄ逆时针旋转６０。至／ＸＤＣＫ位置，联结
ＩｌＫ．显然， △ＤＨＫ是正三角形．
由ＢＭＨ＝／ＣＮＨ，ＭＢＨ＝ＮＣＨ
＝
又ＡＨＮ＝ＣＮＨ一ＣＡＨ
●
：
ＤＢＣ一
ＣＢＨ＝
ＤＢＨ．
ＢＡＣ＋１２０。一ＭＮＨＢＡＣ＋ＡＮＭ＝ＢＭＮ．
同理，ＡＨＭ＝ＤＣＨ．则ｓｉｎＤＢＨｓｉｎＡＨＮ
ＭＢＨ∽ △ ＮＣＨ
收稿日期：２０１２ — ０５一ｌ５
—
ＡＮｓｉｎＡＭ —ｓｉｎ
从而，式①成立，进而命题得证．
参考文献：
［１］２０１２中国国家集训队选拔考试［Ｊ］．中等数学，２０１２
（７）．
ＢＨＯ
。。ＣＤ・ｓｉｎ
ＤＣＨ
明・ＣＨｓｉｎ
，０
ｓｉｎ／ＤＢＨｓｉｎＢＨｏｎＣＨｏ‘
由证法１得
ＢＨＯ＝ＢＭＮ＝１８０。一Ａ肘 Ⅳ．
①
（２０１２，中国国家集训队选拔考试）
本文介绍两种证法．
证法１如图１，联结ＨＯ、ＨＤ．易知
Ｄ、０、Ｈ三点共线甘ＢＨＯ＝ＢＨＤ，

数学奥林匹克小丛书(第三版)高中卷13：复数与几何

中国数学奥林匹克高级教练倪明华东师范大学出版社教辅分社社长、编审、《数学奥林匹克小丛书》总策划瞿振华第59届IMO中国队领队、国家集训队教练、华东师范大学副教授单墫第30、31届IMO中国队领队、南京师范大学教授、博士生导师吴建平中国数学会普及工作委员会原主任、中国数学奥林匹克委员会原副主席熊斌华东师范大学教授、博士生导师、多届IMO中国队领队姚一隽第55、58届IMO中国队领队、复旦大学教授、博士生导师余红兵国家集训队教练、苏州大学教授、博士生导师张景中中国科学院院士、中国教育数学学会名誉理事长朱华伟第50届IMO中国队领队、中国教育数学学会常务副理事长、博士生导师
欢迎广大师生加入相应的群中。
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数学奥林匹克小丛书 (第三Fra bibliotek) 编委会冯志刚国家督学、上海中学特级教师、正高级教师、多届IMO中国队副领队葛军博士、中国数学奥林匹克高级教练、南京师范大学兼职教授、
江苏省中学数学教学研究会副理事长孔令志华东师范大学出版社教辅分社副社长、《数学奥林匹克小丛书》项目编辑冷岗松国家集训队教练、上海大学教授、博士生导师李胜宏第44届IMO中国队领队、浙江大学教授、博士生导师李伟固国家集训队教练、北京大学教授、博士生导师刘鸿坤第31、32届IMO中国队副领队、华东师范大学教授刘诗雄华南师范大学中山附属中学校长、中学数学特级教师、

2018年第59届IMO中国集训队测试题第一阶段

2. 若一个正整数的正约数的个数被 2018 整除, 则称该数为有趣数, 确定所有正整数 d, 使得存在一个公差为 d 的无穷项等差数列, 该数列中每一项都是有趣数.
3. ⊙Ω 与线段 AB, AC 分别切于点 D, E, 且 BD + CE 小于 BC, F, G 在线段 BC 上, 使得 BF = BD, CE = CG, EF 交于 GD 于点 K, L 是 ⊙Ω 离 BC 最远的点. 证明: KL 上有 △ABC 的内心.
∑n »
ai
⩽ λ.
i=1 a2i + a2i+1 + · · · + a2i+k
其中下标模 n.
6. 设 M, a, b, r 为非负整数,a ⩾ 2, r ⩾ 2, 假设存在函数 f : Z → Z 满足如下条件: (1) 对 ∀n, f (r) = an + b(f (r) 为 r 次 f 迭代). (2) 对 ∀n ⩾ M , 有 f (n) ⩾ 0. (3) 对 ∀n > m > M , 有 n − m | f (n) − f (m). 求证: 存在 c ∈ Z 使得 a = cr.
A
L D
I E
K
B
C
F
G
第 59 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一第二天
2017 年 12 月 31 日上午 8:00-12：30
4. 函数 f, g : Z → Z 满足: f (g(x) + y) = g(f (y) + x), 若 f 有界, 证明: g 为周期函数.
5. 给定 k ∈ N +, 若 Cn0, Cn1, · · · , Cnn 中有不小于 0.99n 个能被 k 整除, 则 n 是“好的”, 证明: 存在正整数 N , 使得 1, 2, · · · , N 中“好的”数不小于 0.99N 个.

2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。

若A B ⊆，则实数m 的取值范围为。

2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。

3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为。

4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。

5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。

6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。

7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。

8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。

9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。

10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（，A 为C 的圆心。

直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。

则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。

学奥数,这里总有一本适合你

学奥数这里总有一本适合你奥数图书出版大事记2000年《奥数教程》（10种）第一版问世2001年《奥数教程》获优秀畅销书奖2002年《奥数教程》在香港出版繁体字版和网络版2002年《奥数测试》（第一版）出版2003年《奥数教程》（第二版）出版，并开展“有奖订正”、“巧解共享”活动2003年《奥数教程》（3~6年级）VCD出版2003年~ 陆续出版由IMO中国国家集训队教练组编写的《走向IMO：数学奥林匹克试题集锦》2005年 “奥数”图书累计销量近1000万册2005年出版《数学奥林匹克小丛书》（30种）2006年《奥数教程》（第三版）、《奥数测试》（第二版）出版2006年《数学奥林匹克小丛书》（12种）繁体字版在台湾出版2007~2008年《多功能题典》丛书中的小学、初中和高中数学竞赛相继出版2008年《日本小学数学奥林匹克（六年级）》出版2009年~ 《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》陆续出版2009年《Mathematical Olympiad in China》、《Problems of Number Theory in Mathematical Competitions》和《Graph Theory》相继与新加坡世界科技出版公司联合出版2010年《全俄中学生数学奥林匹克（1993~2006）》出版2010~2011年《高思学校竞赛数学课本》和《高思学校竞赛数学导引》（3~6年级）相继出版2011年《从课本到奥数》（1~9年级A、B版）出版2011年《初中数学联赛考前辅导》和《高中数学联赛考前辅导》出版学奥数，这里总有一本适合你2000年华东师范大学出版社出版了《奥数教程》丛书，首次在书名中使用“奥数”一词。

《奥数教程》由国家集训队教练组执笔联合编写，获得第十届全国教育图书展优秀畅销图书奖，深受读者喜爱，被奉为经典奥数蓝皮书。

自《奥数教程》出版以来，华东师范大学出版社聚集国内最顶尖的作者团队，陆续为不同层次、不同需求的读者打造了近200种奥数图书, 形成多品种、多层次、全系列的格局，“奥数”图书累计销量超1000万册，由此奠定了奥数品牌出版社的地位。

(完整版)(完整版)2018年(第59届)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题及答案图片版

岁马尼亚克卢日蜻沐卡第一天«1. itΓ<HΛ三角砒4〃C的外44圈・点D和EAru殳/CAC上∙^nAD ≈ AEφ BI)^CE的•克羊分线⅛Γ上劣弧AB AC分別文于点FG im ADE⅜FG1 ⅛A÷*t•⅛ 2.求所有的整4⅛□23∙便俗存在实软5皿2.・・・.<¼+2∙滿足"*ι = <M∙ 5∙2 Ua2异且<≡∙<<∙⅛1 + 1 = α∣÷3— 1.2. - - ■” 戍立・題3・反忖斷卡三蔦砒是由铁俎戎的一个正三角外障•港足除了鬟下方一行.孕个敦是它下方相你两金铁之屋的绘对值•例*\下而是一金四忡的反恤浙卡三角耐・由Hl MlO tt⅛.42 65 7 18 3 10 9请MΛ5 4Λ2018fτ的反帕浙卡三 E 包含IMl +2十・∙∙ + 2018所亦的蹩典？鈿二夭« 4.我们呀谓一个（IJL是斯d角坐栋丰而上的一个A（X.,V）∙乳中工・"需足不雄述20的正史软.最初时•所有400个位豆那是空的.甲乙两人轮濃霖放石子•由甲先遗ft∙毎次伦刘甲时.他41 一个空的住I±Λ±-¼*的化也若子•要求任急两金红己石子舸息<1 Jt之问的距离都不#于％・每次伦刘乙片•他/1任直一个空的CiJt上崔上一个M6⅛2Lt>&子.（Jl色石子所在位直与戻它石于所在位直之问雎禹可以是任倉值・）4此UAitfTT去直至某金人无法再霖放石子•试确岌遥大的位再无论乙知何报就這色若予.Y⅛*Ef⅛Ui∙>∙4X⅛K个红已若子・« 5. Ha i.a2.…走一个>LfPil正整软斥列.已知4在於敦N>l∙使碍对每个^Kn > .V t Oi i o2 . I Q*1“ I OH――+ — + ・• • + ・■■■・ + —。

2020年国际数学奥林匹克(IMO)全部试题解答

2020年第61届国际数学奥林匹克（IMO）全部试题解答海亮高级中学高三康榕博高二陈昶旭第一天第1题. 考虑凸四边形ABCD. 设P 是ABCD 内部一点. 且以下比例等式成立:∠PAD:∠PBA:∠DPA＝1: 2 :3＝∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明: ∠ADP 的内角平分线、∠PCB 的内角平分线和线段AB 的垂直平分线三线共点.证明：如图，设∠PAD＝α,∠PBC＝β,则∠ABP＝2α,∠BAP＝2β, ∠APD＝3α,∠BPC＝3β,取△ABP外心O, 则∠AOP＝4α＝π－∠ADP∴A, O, P, D共圆.∴∠ADO＝∠APO＝∠PAO＝∠PDO∴OD平分∠PDA.同理, OC平分∠PCB.而O为△ABP外心, 显然在AB中垂线上.故∠PDA平分线, ∠PCB平分线, AB中垂线均过点O.证毕.第2题. 设实数a, b, c, d 满足a ≥b ≥c ≥d > 0, 且 a + b + c + d = 1. 证明:(234)1a b c d a b c d a b c d +++<. 证明: 由加权AM －GM 不等式, 我们有2222a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d <⋅+⋅+⋅+⋅=+++ 故只需证明22223(234)()()cyca b c d a b c d a ++++++<∑ (*)注意到332()36cyc cyc sym cyca a ab abc =++∑∑∑∑, 及32222cyca ab ad a a ++≥∑2232222222cyca b ab b bc bd b a ++++≥∑2222233333cyca cbc ac cd c a +++≥∑22234444cyc a d a b abd acd bcd d a ++++≥∑∴ (*)成立. 故原不等式成立.第3题. 有4n 枚小石子, 重量分别为1, 2, 3, . . . , 4n. 每一枚小石子都染了n 种颜色之一, 使得每种颜色的小石子恰有四枚. 证明: 我们可以把这些小石子分成两堆, 同时满足以下两个条件:• 两堆小石子有相同的总重量;• 每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.证明: 引理:将n 种颜色的点个4个两两分组, 则可取n 组使得每种颜色的点各2个.即证: n 阶4-正则图G(不一定简单)必有2-正则生成子图. n ＝1, G 为v 的2个自环, 成立.设0n n ≤成立, 则01n n =+时:若G 有点含两自环或有两点含4重边, 对其余部分用归纳假设,该部分取1自环或2重边即可.下设无这样的结构.若G 含三重边,设x,y 间有三条边, 且,(,)xu yv G u y v x ∈≠≠. 考虑将x,y 去掉, 并添入边uv 得到图G ’. 由归纳假设, 图G ’有2-正则生成子图, 若该图含添入的边 uv, 删去该边并加入ux, xy, yv 即可. 若不含, 加入xy, xy 即可.下设无三重边.显然G 有圈. 设最小圈为121,,...,t x x x x . 由G 无2自环,3重边知01t n <+, i x 有两边不指向12,,...t x x x . 设这两边指向,i i u v ，以下下标模t.在G 中删去点12,,...t x x x 并加入边1(1)i i i e u v i t +=≤≤得到G’. 由归纳假设, G ’有2-正则子图G 1.对1≤i ≤t, 若1i e G ∈, 则选择G 中的边11,i i i i x u x v ++, 若1i e G ∉, 则选自1i i x x +, 其余边按G 1中边选择, 则选出的边即为G 的2-正则生成子图的边集.结论成立.回到原题. 将重量为{,41}k n k +-的小石子分为一组.(12)k n ≤≤, 由引理可取n 组使每种颜色的小石子恰2个. 这2n 个分为一组, 其余分为一组, 此即满足条件的分法, 命题成立.第二天第4题. 给定整数n > 1. 在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站. 有两家缆车公司A和B, 各运营k辆缆车; 每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站). A 公司的k辆缆车的k个起点互不相同，k个终点也互不相同, 并且起点较高的缆车，它的终点也较高. B公司的缆车也满足相同的条件. 我们称两个车站被某个公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动). 确定最小的正整数k, 使得一定有两个车站被两个公司同时连接.解: 由题意得, 每个缆车与1或2个缆车相连. (否则有两辆缆车起点不同, 终点相同)∴A, B各自的缆车线路图可划分为若干个链.注意到每条链长度大于等于2, 且首尾两点不能作为终点和起点, 故恰有2n k-条链.若21k n n≥-+, 则A最多由n－1条链.由抽屉原理, 其中至少有一条链上有221nnn⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥个点, 设为P. 而B仅有n－1条链, 故P上一定有两个点同时在B 的一条链上, 则这两点可被两个公司同时连接.另一方面, 2k n n=-时, 记2n个车站高度排序为21,2,...n (从低到高)令A的2n n-辆缆车为2(1)i n i i n n→+≤≤-令B的2n n-辆缆车为21(11,|)i i i n n i→+≤≤-/易见此时任两个车站不能被两个公司同时相连.2 min 1k n n∴=-+.第5题. 有一叠n > 1张卡片. 在每张卡片上写有一个正整数. 这叠卡片具有如下性质：其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.确定所有的n, 使得可以推出这叠卡片上的数均相等? 解: 设这n 张卡片上的数为1212,,....(...)n n x x x x x x ≤≤. 若12gcd(,,...)1n x x x d =>, 用i x d 代替i x , 不影响结果. 故不妨设12gcd(,,...)1n x x x =.由题意得, 1,2i jx x i j n +∀≤≤≤为代数整数.则2|i j i x x x +⇒模2同余. 又12gcd(,,...)1n x x x =, 故i x 全为奇数.任取一个素数p, p ≥3.记{|1,|},{|1,|}i i i i A x i n p x B x i n p x =≤≤=≤≤/ 则对,,2x y x A y B +∀∈∈不为p 的倍数. 设121(...)2k k i i i x y x x x +=, 则121|(...)2k k i i i x y p x x x +=/ ∴对1,j i j k x B ∀≤≤∈.max 2i i x B x y x ∈+∴≤. 取max ,max i i i i x A x B x x y x ∈∈==, 则max max i i i i x A x B x x ∈∈≤若1n x ≠, 取n x 的奇素因子p, 由12gcd(,,...)1n x x x =知, i ∃, 使|i p x /.取0max{|1,|}i i i i n p x =≤≤/, 由上述结论知0n i x x ≤, 则o n i x x =. 又0|,|i n p x p x /, 矛盾!1n x ∴=. 则1,1i i n x ∀≤≤=.∴对任意n ≥2, 卡片上的所有数均相等.第6题. 证明: 存在正常数c 具有如下性质:对任意整数n > 1, 以及平面上n 个点的集合S, 若S 中任意两点之间的距离不小于1，则存在一条分离S 的直线ℓ, 使得S 中的每个点到直线ℓ 的距离不小于13cn -.(我们称直线ℓ分离点集S, 如果某条以S 中两点为端点的线段与ℓ 相交.)证明: 以每个点为圆心,12为半径作圆, 则这些圆两两公共部分面积为0.引理1: 对凸多边形P, 其内部最多由421s l π++个点在S 中,其中s,l 代表P 的面积和周长. 证明: 如图, 将P 的每条边往外侧平移12, 并以P 上每个点为圆心, 12为半径作圆, 拓展区域面积为124l π+. ∴P 内部最多1422414S l s l πππ+++=+个点. 现在对于一条直线l, 作S 中每个点在l 上的投影. 任取相邻两个投影点, 则这两点连线的中垂线分离点集S, 且所有的到该直线的距离≥12投影点距离.设S 的直径为D, 则可作一个以D 为边长的正方形覆盖S. 由引理1, 122481()D Dn D n π++≥⇒=Ω 设P,Q ∈S, PQ ＝D. 将PQ 作为上述l, 记我们所能做到的使每个点到一条直线的距离均不小于该数的最大值为d.由于仅与夹角有关, 故d 存在.而l 上除P,Q 外有n －2个投影点.2(1)2D D d n n∴≥>-. 又12()D n =Ω, 故12()d n -=Ω. 需证明13()d n -=Ω .取点集S 的凸包P. 若一直线过P 上一点且使得S 中所有点都在该线一侧, 我们认为其亦分离S. 称其为支撑边. 对于任一常数C, 作两条平行的距离为C 的直线, 满足这两条直线分离S. 作他们的垂线l, 设这个带状区域内有m 个S 中的点, 则11c c d m m d≥⇒≥-+. 不妨设(1)d o =, 则可以认为m 远远大于1. 为使m 尽量小, 应取两直线其中之一为支撑边.∴现在对于一条分离S 的直线l, 设l 与P 围成的区域内部有B 个点. P 中与l 距离最近的点到l 距离为0s , 则01s d B ≥+ (以下用≥代表数量级估计) 我们证明d≥从而311D d n D n ≥⋅= 则13()d n -=Ω. 如图, P 夹在这样一个区域里, 取XY 上一点Z, 使得0YZ s =. 过Z 作MN ⊥XY , 点M,N 在以X 为圆心, D 为半径的圆上. 则B ≤YMN 内S 中点的个数.不妨设XY 为x 轴, 对YMN 内任意两点1122(,),(,)x y x y , 221201212||,()()1x x s x x y y -≤-+-≥, 则12||1y y B -≥⇒≤+.而MN =02s d MN∴≥=+由于0(1)s =Θd ∴≥, 则13d n -≥, 即13()d n -=Ω证毕.。

1959年至2016年历届IMO试题(不含答案)

第一届（1959年）罗马尼亚布拉索夫（Bra şov ，Romania ）1. 求证314421++n n 对每个自然数 n 都是最简分数。

（波兰）2. 设A x x x x =--+-+1212，试在以下3种情况下分别求出x 的实数解： a)2=A ；b)A =1；c)A =2。

（罗马尼亚）3. a 、b 、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程0cos cos 2=++c x b x a试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a =4,b =2,c =-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。

（匈牙利）4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c ，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

（匈牙利）5. 在线段AB 上任意选取一点M ，在AB 的同一侧分别以 AM 、MB 为底作正方形AMCD 、 MBEF ，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P 、Q ，设这两个外接圆又交于 M 、N 。

a) 求证：AF 、BC 相交于N 点；b) 求证：不论点M 如何选取，直线MN 都通过定点S ；c) 当M 在A 与B 之间变动时，求线段PQ 的中点的轨迹。

（罗马尼亚）6. 两个平面P 、Q 的公共边为 p ，A 为P 上给定一点，C 为Q 上给定一点，并且这两点都不在直线p 上。

试作一等腰梯形ABCD （AB 平行于CD ），使得它有一个内切圆，并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。

（捷克斯洛伐克）第二届（1960年）罗马尼亚锡纳亚（Sinaia ，Romania ）1. 找出所有具有下列性质的三位数N ：N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。

（保加利亚）2. 寻找使下式成立的实数x ：（匈牙利）()92211422+<+-x x x3. 直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ，将它分成n 等份（n 为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A 到BC 边的高长为h ，求证：（罗马尼亚）()a n nh 14tan 2-=α 4. 已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、hb 以及从 A 引出的中线长m a ，求作三角形ABC 。

IMO中国国家队历年获奖情况汇总

IMO中国国家队历年获奖情况汇总IMO是中学数学竞赛最高级别的赛事，中国国家队成绩一直优异，所有代表国家出战的选手，都是我们的榜样。

网上对于IMO每年的获奖情况都有介绍，可是汇总介绍很少。

为了方便大家查阅，我整理了IMO中国国家队历年的获奖情况（截止2019年），希望这些“大神”能被大家认识！IMO中国国家队历年获奖情况汇总：2019年（第60届）谢柏庭（浙江乐清知临中学、金牌）袁祉祯（湖北武钢三中、金牌）胡苏麟（华南师大附中、金牌）邓明扬（中国人民大学附中、金牌）俞然枫（南京师大附中、金牌）黄嘉俊（上海市上海中学、金牌）2018年（59届）陈伊一（湖南雅礼中学、金牌）欧阳泽轩（浙江温州中学、金牌）李一笑（江苏天一中学、金牌）王泽宇（西北工业大学附中、金牌）姚睿（华中师大一附中、银牌）叶奇（浙江乐清知临中学、银牌）2017年（58届）任秋宇（华南师大附中、金牌）张禄（湖南长郡中学、金牌）吴金泽（湖北武汉二中、金牌）何天成（华南师大附中、金牌）江元旸（浙江省鄞州中学、金牌）周行健（中国人民大学附中、银牌）2016年（57届）杨远（河北石家庄二中、金牌）梅灵捷（复旦大学附中、金牌）张盛桐（上海市上海中学、金牌）贾泽宇（中国人民大学附中、金牌）王逸轩（湖北武钢三中、银牌）宋政钦（湖南师大附中、银牌）2015年（56届）俞辰捷（华东师大二附中、金牌）贺嘉帆（湖南雅礼中学、金牌）王诺舟（辽宁实验中学、金牌）高继扬（上海市上海中学、金牌）谢昌志（湖南雅礼中学、银牌）王正（中国人民大学附中、银牌）2014年（55届）高继扬（上海市上海中学、金牌）浦鸿铭（东北师大附中、金牌）周韫坤（广东深圳中学、金牌）齐仁睿（山东历城二中、金牌）谌澜天（湖南师大附中、金牌）黄一山（湖北武钢三中、银牌）2013年（54届）刘宇韬（上海市上海中学、金牌）张灵夫（四川绵阳中学、金牌）刘潇（浙江乐清知临中学、金牌）廖宇轩（河南郑州外国语学校、金牌）顾超（上海格致中学、金牌）饶家鼎（广东深圳三中、银牌）2012年（53届）佘毅阳（上海市上海中学、金牌）王昊宇（湖北武钢三中、金牌）陈景文（中国人民大学附中、金牌）吴昊（辽宁师大附中、金牌）左浩（华中师大一附中、金牌）刘宇韬（上海市上海中学、铜牌）2011年（52届）陈麟（中国人民大学附中、金牌）周天佑（上海市上海中学、金牌）姚博文（河南实验中学、金牌）龙子超（湖南师大附中、金牌）靳兆融（中国人民大学附中、金牌）吴梦希（江苏南菁高级中学、金牌）2010年（51届）聂子佩（上海市上海中学、金牌）李嘉伦（浙江乐清知临中学、金牌）肖伊康（河北唐山一中、金牌）张敏（华中师大一附中、金牌）赖力（重庆南开中学、金牌）苏钧（福建福州一中、金牌）2009年（50届）韦东奕（山东师大附中、金牌）郑凡（上海市上海中学、金牌）郑志伟（浙江乐清知临中学、金牌）林博（中国人民大学附中、金牌）赵彦霖（东北师大附中、金牌）黄骄阳（四川成都七中、金牌）2008年（49届）牟晓生（上海市上海中学、金牌）韦东奕（山东师大附中、金牌）张瑞祥（中国人民大学附中、金牌）张成（华东师大二附中、金牌）陈卓（华中师大一附中、金牌）吴天琦（浙江嘉兴一中、银牌）2007年（48届）沈才立（浙江镇海中学、金牌）付雷（湖北武钢三中、金牌）王烜（广东深圳中学、金牌）杨奔（中国人民大学附中、金牌）马腾宇（东北师大附中、银牌）胡涵（湖南师大附中、银牌）2006年（47届）柳智宇（华中师大一附中、金牌）沈才立（浙江镇海中学、金牌）邓煜（广东深圳高级中学、金牌）金龙（东北师大附中、金牌）甘文颖（湖北武钢三中、金牌）2005年（46届）刁晗生（华东师大二附中、金牌）任庆春（天津耀华中学、金牌）罗晔（江西师大附中、金牌）邵烜程（复旦大学附中、金牌）康嘉引（广东深圳中学、金牌）赵彤远（河北石家庄二中、银牌）2004年（45届）黄志毅（华南师大附中、金牌）朱庆三（华南师大附中、金牌）李先颖（湖南师大附中、金牌）林运成（上海市上海中学、金牌）彭闽昱（江西鹰潭一中、金牌）杨诗武（湖北黄冈中学、金牌）2003年（44届）付云皓（清华大学附中、金牌）王伟（湖南师大附中、金牌）向振（湖南长沙一中、金牌）方家聪（华南师大附中、金牌）万昕（四川彭州中学、金牌）周游（湖北武钢三中、银牌）2002年（43届）王博潼（辽宁东北育才中学、金牌）付云皓（清华大学附中、金牌）王彬（陕西西安铁路一中、金牌）曾宪乙（湖北武钢三中、金牌）肖维（湖南师大附中、金牌）符文杰（华东师大二附中、金牌）2001年（42届）肖梁（中国人民大学附中、金牌）张志强（湖南长沙一中、金牌）余君（湖南师大附中、金牌）郑晖（湖北武钢三中、金牌）陈建鑫（江苏启东中学、金牌）2000年（41届）恽之玮（江苏常州高级中学、金牌）李鑫（华南师大附中、金牌）袁新意（湖北黄冈中学、金牌）朱琪慧（华南师大附中、金牌）吴忠涛（上海市上海中学、金牌）刘志鹏（湖南长沙一中、金牌）1999年（40届）瞿振华（上海延安中学、金牌）李鑫（华南师大附中、金牌）刘若川（辽宁东北育才中学、金牌）程晓龙（湖北武钢三中、金牌）孔文彬（湖南师大附中、银牌）朱琪慧（华南师大附中、银牌）1998年（39届）因故未参加1997年（38届）邹瑾（湖北武钢三中、金牌）孙晓明（山东青岛二中、金牌）郑常津（福建福安一中、金牌）倪忆（湖北黄冈中学、金牌）韩嘉睿（广东深圳中学、金牌）安金鹏（天津一中、金牌）1996年（37届）陈华一（福建福安一中、金牌）阎珺（北京二十二中、金牌）何旭华（重庆十八中、金牌）王烈（辽宁东北育才学校、银牌）蔡凯华（江苏启东中学、银牌）刘拂（复旦大学附中、铜牌）1995年（36届）常成（哈尔滨师大附中、金牌）柳耸（山东实验中学、金牌）朱辰畅（湖北武钢三中、金牌）王海栋（华东师大二附中、金牌）林逸舟（山东实验中学、银牌）姚一隽（复旦大学附中、银牌）1994年（35届）张健（上海建平中学、金牌）姚健钢（中国人民大学附中、金牌）彭建波（湖南师大附中、金牌）奚晨海（北京大学附中、银牌）王海栋（华东师大二附中、银牌）李挺（四川安岳中学、银牌）1993年（34届）周宏（北京大学附中、金牌）袁汉辉（华南师大附中、金牌）杨克（湖北武钢三中、金牌）刘炀（湖南师大附中、金牌）张镭（山东青岛二中、金牌）冯炯（上海向明中学、金牌）1992年（33届）沈凯（南京师大附中、金牌）杨保中（河南郑州一中、金牌）罗炜（哈尔滨师大附中、金牌）何斯迈（安徽安庆一中、金牌）周宏（北京大学附中、金牌）章寅（四川成都七中、金牌）1991年（32届）罗炜（哈尔滨师大附中、金牌）张里钊（北京大学附中、金牌）王绍昱（北京大学附中、金牌）王崧（湖北黄冈中学、金牌）郭早阳（湖南师大附中、银牌）刘彤威（北京大学附中、银牌）1990年（31届）周彤（湖北武钢三中、金牌）汪建华（陕西西乡一中、金牌）王崧（湖北黄冈中学、金牌）余嘉联（安徽铜陵一中、金牌）张朝晖（北京四中、金牌）库超（湖北黄冈中学、银牌）1989年（30届）罗华章（重庆水川中学、金牌）蒋步星（新疆石河子五中、金牌）俞扬（东北师大附中、金牌）霍晓明（江西景光中学、金牌）唐若曦（四川成都九中、银牌）颜华菲（中国人民大学附中、银牌）1988年（29届）何宏宇（四川彭州中学、金牌）陈唏（复旦大学附中、金牌）韦国恒（湖北武钢三中、银牌）查宇涵（江苏南京十中、银牌）邹钢（江苏镇海中学、银牌）王建梅（天津南开中学、银牌）1987年（28届）刘雄（湖南湘阴中学、金牌）滕峻（北京大学附中、金牌）林强（湖北黄冈中学、银牌）潘子刚（上海向明中学、银牌）何建勋（华南师大附中、铜牌）高峡（北京大学附中、铜牌）1986年（27届）李平立（天津南开中学、金牌）方为民（河南实验中学、金牌）张浩（上海大同中学、金牌）荆秦（陕西西安八十五中学、银牌）林强（湖北黄冈中学、铜牌）沈建（江苏姜堰中学、无）1985年（26届）吴思皓（上海向明中学、铜牌）王锋（北京大学附中、无）。

第59届IMO试题

故ＰＤＨ＝ＤＰＨ＝ＰＡＡ
＝ＰＢＡ＝ＰＤＥ．
以下同证法１．（２）利用对称性及同一法证明．证法３如图１，设Ｄ关于边ＢＣ、ＡＣ的对称点分别为Ｄ、Ｄ”．
１定理证明
Ｆ
பைடு நூலகம்
（１）利用垂心关于各边对称点在外接圆上及等腰梯形性质中位线定理证明．
红石子．
（亚美尼亚供题）
５．设ａ，ａ２，…为一个无限项正整数序列．
已知存在整数Ｎ＞１，使得对每个整数ｎ≥Ⅳ，
４
中等数学
斯坦纳定理的证明及应用
金磊
（西安交通大学附属中学，７１００４３）中图分类号：０１２３．１文献标识码：Ａ文章编号：１００５—６４１６（２０１８）０８—００ｏ４—０５
３Ｏ分银牌
华中师范大学第一附属中学
３Ｏ分银牌
第５９届ＩＭ０试题
１．设厂为锐角△ ＡＢＣ的外接圆，点Ｄ、Ｅ分别在线段ＡＢ、ＡＣ上，满足ＡＤ＝ＡＥ，线段ＢＤ、ＣＥ的垂直平分线分别与圆厂的劣弧
四边形ＰＨＨＦ为等腰梯形．故ＰＦＨ：ＰＨＨ＝ＰＢＣ＝Ｐ肋ＦＤ∥ＦＨ，ＦＤ为△ Ｐ胛的中位线ｊＦＤ平分ＰＨ．证法２设点Ｐ关于ＢＣ的对称点为
Ｄ，为ＰＤ与外接圆的另一个交点．同上有四边形ＰＨＨＤ为等腰梯形．
（本讲适合高中）西姆松定理三角形外接圆上的点在三边上的垂足共线，反之亦然．斯坦纳定理… 有多种等价的表达形式，最简单的叙述为：斯坦纳定理若日为 △ ＡＢＣ的垂心，Ｐ为△ ＡＢＣ外接圆厂上的任意一点，加上ＢＣ于点Ｄ，ＰＦ上ＡＢ于点Ｆ，则直线ＦＤ平分线段ＰＨ．另一种常见叙述：△ ＡＢＣ外接圆，上的任意点关于三边对称点及垂心Ｈ四点共线．由西姆松定理及中位线定理，知上述两种叙述等价．本文先展示斯坦纳定理的几种经典证明思想，从不同角度观察和研究此定理，并应用此定理解决一些问题．

imo数学奥林匹克历届试题

imo数学奥林匹克历届试题IMO（International Mathematical Olympiad）是国际数学奥林匹克竞赛的英文简称，是世界范围内最具影响力的数学竞赛之一。

自1959年起，IMO每年都在不同国家举办，每个国家都会派出一支由高中生组成的代表队参赛。

这场竞赛旨在挑战学生的数学智力、培养他们的创新思维和解决问题的能力。

在这篇文章中，我们将回顾IMO数学奥林匹克的历届试题，展示一些经典问题的解决方法。

1. 第一届IMO（1959年）题目：证明当n为整数时，n^2 + n + 41为素数。

解析：我们可以通过代入不同的整数n来验证这个结论。

当n=1时，结果为43，为素数；当n=2时，结果为47，同样为素数。

我们可以继续代入更多的整数，发现每次结果都是素数。

虽然这种代入法不能证明对于所有的整数n都成立，但是通过大量的例子验证，我们可以有很高的信心认为这个结论是成立的。

2. 第十届IMO（1968年）题目：证明不等式(1+1/n)^n < 3，其中n是大于1的整数。

解析：我们可以通过数学归纳法证明这个不等式。

首先，当n=2时，不等式成立：(1+1/2)^2 = 2.25 < 3。

假设当n=k时不等式成立，即(1+1/k)^k < 3。

我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立。

通过观察(1+1/k)^k，我们可以发现随着k的增大，(1+1/k)^k的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。

而e约等于2.71828，小于3。

因此，当n=k+1时，(1+1/(k+1))^(k+1) < (1+1/k)^k < 3。

根据数学归纳法原理，我们可以得出对于所有的n大于1的整数，不等式(1+1/n)^n < 3成立。

3. 第二十二届IMO（1981年）题目：设a、b、c是一个正数的三个边长，证明不等式(a^2 + b^2)/(a+b) + (b^2 + c^2)/(b+c) + (c^2 + a^2)/(c+a) ≥ a + b + c。

2018年第59届IMO中国国家集训队选拔考试试题

6. 求所有正整数对 (��, ��), 使得 (�� + 1)(�� + �� + 2) 是完全平方数.
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1. 多项式序列 {�� (��)}��≥1 定义如下:��1 (��) = 1, ��2�� (��) = �� (��), ��2��+1 (��) = �� (��) + ��+1 (��), �� ≥ 1. 求所有有理数 ��, 使得 �� 是某个 �� (��) 的根.
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2018 年第 59 届 IMO 中国国家队选拔考试
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第 59 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三第一天 2018 年 3 月 20 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第 59 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三第二天 2018 年 3 月 21 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第 59 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试四第一天 2018 年 3 月 26 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第 59 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试四第二天 2018 年 3 月 27 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第 59 届 IMO 中国国家集训队第二阶段日程安排 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 6 5 4