新高考数学二轮复习： 策略4 妙用8个二级结论巧解高考题

奇函数的最值性质
＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为() A．－5B．－3
C．－1 D．5
(2)(2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝log3(x＋x2＋1)＋
2e x
e x＋1
在[－k，k]，(k>0)上
的最大值与最小值分别为M和m，则M＋m＝()
A．4 B．2
C．1 D．0
(1)C(2)B[(1)令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，所以F(x)为奇函数，
∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5,
∴F(x)＝h(x)－2≤3.
又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
F(－x)≤3⇒F(x)≥－3，
∴h(x)≥－3＋2＝－1，故选C.
(2)已知f(x)＝log3(x＋x2＋1)＋
2e x
e x＋1
，则f(－x)＝log3(－x＋x2＋1)＋
2e－x
e－x＋1
，
则f(x)＋f(－x)＝2，函数f(x)在定义域内为非奇非偶函数，
令g(x)＝f(x)－1，
则g(x)＋g(－x)＝f(x)－1＋f(－x)－1＝0，
则g(x)在定义域内为奇函数．
设g(x)的最大值为t，则最小值为－t，则f(x)的最大值为M＝t＋1，最小值为m＝－t＋1，则M＋m＝2，故选B.]
【链接高考1】(2012·新课标全国)设函数f(x)＝(x＋1)2＋sin x
x2＋1
的最大值为M，
最小值为m，则M＋m＝________.
2[显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝(x＋1)2＋sin x
x2＋1
＝1＋
2x＋sin x
x2＋1
，
设g(x)＝2x＋sin x
x2＋1
，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称
性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]
抽象函数的周期性与对称性
＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 019)＝()
A．2 0192B．1
C．0 D．－1
(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，g(x)＝(x－1)3＋1，若函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 019，y2 019)，则∑
2 019
i＝1 (x i＋y i)＝________.
(1)D(2)4 038[(1)根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝
－f(x＋2)＝f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2 019)＝f(－1＋2 020)＝f(－
1)，又由函数为奇函数，则f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(2 019)＝－1，故选D.
(2)由g(x)＝(x－1)3＋1知g(x)＋g(2－x)＝2，得函数y＝g(x)的图象关于点(1,1)对称
又函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，则函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点关于点(1,1)对称，则x1＋x2 019＝x2＋x2 018＝x3＋x2 017＝…＝2x1 010＝2，y1＋y2 019＝y2＋y2 018＝y3＋y2 017＝…＝2y1 010＝2，
故x1＋x2＋…＋x2 018＋x2 019＝2 019，y1＋y2＋…＋y2 018＋y2 018＝2 019，
即∑
2 019
i＝1
(x i＋y i)＝4 038.]
【链接高考2】(2014·大纲高考)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()
A．－2 B．－1
C．0 D．1
D[由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，
又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，
所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.]
两个经典不等式
【典例3】设函数f(x)＝1－e－x，证明：当x＞－1时，f(x)≥
x
x＋1
.
[证明]当x＞－1时，f(x)≥
x
x＋1
当且仅当e x≥x＋1.
令g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1.
当x≤0时g′(x)≤0，g(x)在(－∞，0]是减函数；当x≥0时g′(x)≥0，g(x)在[0，＋∞)是增函数．
于是函数g(x)在x＝0处达到最小值，因而当x∈R时，g(x)≥g(0)，即e x≥x
＋1.
所以当x ＞－1时，f (x )≥x
x ＋1
.
【链接高考3】(2012·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝1
ln (x ＋1)－x
，则y ＝f (x )的图象
大致为( )
B [由题意得f (x )的定义域为{x |x >－1且x ≠0}，所以排除选项D.令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则由不等式ln(x ＋1)≤x 知，g (x )≤0恒成立，故f (x )＝1
g (x )
＜0恒成立，所以排除A ，C ，故选B.]
三点共线的充要条件及其结论推广
图1 图2
OA ，OB →为基底时，OC ′→
对应的系数和依然为
【典例4】 [一题多解]在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →
，则λ＋μ＝________.
4
5 [法一：(常规解法)如图，连接MN 并延长交AB 的延长线于T .
由已知易得AB ＝4
5AT ， ∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →， ∴AT →＝54λAM →＋54μAN →，
∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1，∴λ＋μ＝4
5. 法二：(等和线定理法) 如图，连接MN 并延长交AB
的延长线于T .
由已知易得AB ＝45AT ，又AB →＝λAM →＋μAN →
，结合等和线定理得 λ＋μ＝4
5.]
【链接高考4】(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →
，则λ＋μ的最大值为( )
A ．3
B ．2 2 C. 5
D ．2
A [建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．
设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ， 则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，
即圆C 的半径为25
5，
∴P 点的轨迹方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝4
5.
设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝2＋25
5cos θ，
y 0＝1＋25
5sin θ
(θ为参数)，
而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →
＝(2,0)． ∵AP →＝λAB →＋μAD →
＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋25
5sin θ. 两式相加，得
λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋5
5cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3 ⎝
⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，
当且仅当θ＝π
2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.]
数列的相关结论
【典例5】(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9
S 6＝( )
A ．2 B.73 C.8
3
D ．3
(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2
m ＝0，S 2m －1＝38，则m
＝________.
(1)B (2)10 [由已知S 6
S 3
＝3，得S 6＝3S 3，因为S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也为等比数
列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，则(2S 3)2＝S 3(S 9－3S 3)．
化简得S 9＝7S 3，从而S 9S 6
＝7S 33S 3
＝7
3.
(2)由公式a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2
m ＝0，解得a m ＝0或2.
又S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m ＝38.
显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.
代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.]
【链接高考5】(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
C [∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，
由公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2， 得⎩⎪⎨⎪⎧
ma 1＋m (m －1)
2＝0， ①(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)
2＝－2， ②
由①得a 1＝1－m
2，代入②可得m ＝5.]
多面体的外接球和内切球
球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为( )
A．14 B．2 3
C．4 6 D．3
A[由于直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形．把直三棱柱ABC-A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长2，所以该三棱柱的侧棱长为16－2＝14.]
【链接高考6】(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()
A．12π B.32 3π
C．8πD．4π
A[设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.
所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.]
圆锥曲线的中点弦问题
图1图2图3
：x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)中，类比上述结论有：
【典例7】 [一题多解]过点P (4,2)作一直线AB 与双曲线C ：x 2－y 2
＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．3 3
D ．4 3
D [法一：由已知可得点P 的位置如图所示，且直
线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，
则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2， 由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k (x －4)＋2，x 22
－y 2
＝1，消去y 得(1－2k 2)x 2＋(16k 2－
8k )x －32k 2＋32k －10＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－16k 2＋8k 1－2k 2，x 1x 2＝
－32k 2＋32k －10
1－2k 2
，
因为P (4,2)为AB 的中点，所以－16k 2＋8k
1－2k 2＝8，解得k ＝1，满足Δ＞0，
所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，
所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43，故选D.
法二：由已知可得点P 的位置如法一中图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，
则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧
x 21－2y 2
1－2＝0，
x 22－2y 2
2－2＝0，
所以(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，
因为P (4,2)为AB 的中点，所以k ＝y 1－y 2
x 1－x 2＝1，所以AB 的方程为y ＝x －2，
由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝x －2，x 22
－y 2
＝1，消去y 得x 2－8x ＋10＝0，
所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，
所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43，故选D.]
【链接高考7】(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．
(1)证明：k <－12；
(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|F A →
|＋|FB →|.
[证明](1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 2
13＝1，x 224＋y 22
3＝1.
两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 2
3·k ＝0.
由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－3
4m . 由题设得0<m <32，故k <－1
2. (2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则
(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．
由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P 1，－32，|FP →|＝3
2.
于是|F A →
|＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋31－x 21
4＝2－x 12.
同理|FB →
|＝2－x 22.
所以|F A →|＋|FB →
|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|.
过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦
|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )
A ．4
B.92 C ．5 D ．6
B [由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B
在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，
设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，
则|AB |＝3m ，
由抛物线的定义知
|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，
所以cos θ＝A E AB ＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2 θ＝8cos 2 θ，∴sin 2 θ＝89.又y 2＝4x ，
知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2 θ＝92.]
【链接高考8】 [一题多解](2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为
( )
A.334
B.938
C.6332
D.94
D [由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.
法一：联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0，
故|y A－y B|＝(y A＋y B)2－4y A y B＝6.
因此S
△OAB ＝
1
2|OF||y A－y B|＝
1
2×
3
4×6＝
9
4.
法二：联立方程得x2－21
2x＋
9
16＝0，故x A＋x B＝
21
2.
根据抛物线的定义有|AB|＝x A＋x B＋p＝21
2＋
3
2＝12，
同时原点到直线AB的距离为h＝
|－3|
42＋(－43)2
＝
3
8，
因此S
△OAB ＝
1
2|AB|·h＝
9
4.]。