圆的方程(第2课时)(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

2
设M ( x, y ), 则 x 2 y 2 a. 则点M的轨迹方程为x 2 y 2 a 2 .
定义法
解 : 设AB的中点M ( x, y ), 则A(2 x,0), B(0,2 y )
直接法
由 | AB | 2a得 (2 x)2 (2 y )2 2a, 即x 2 y 2 a 2 .
，
= + y b r sin
其中θ为参数，r>0，证明：点P的轨迹是圆心为(a,b)，半径为r的圆.
P89-10.在平面直角坐标系中，若点P的坐标(x,y)满足
x a r cos
圆的参数方程:
, 表示圆心为(a, b), 半径为r的圆.
y b r sin
巩固：求轨迹方程
4. 若圆C1 : x 2 y 2 ax 2 y 1 0与圆C2 : x 2 y 2 1关于直线 l : y x 1
2
y
4 x 4 y_____
8 0.
对称, 过点C (a, a)的圆P与y轴相切, 则圆心P的轨迹方程为__________
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
例4.已知复数z 2 cos (1 sin )i, ( R ), 求复数z在复平面内
对应的点的轨迹方程。
解 : 设z对应的点为Z ( x, y ),
2
2
C不能与A, B共线, y 0.
顶点C的轨迹方程为( x 6)2 y 2 36 ( y 0).
巩固：求轨迹方程
3.已知△ABC的顶点A(－3,0), B(0,－3), 另一个顶点C在曲线 x2＋y2＝9
上运动.求△ABC的重心M的轨迹方程．
解：设△ABC的重心M(x，y)，顶点C(a，b)，
将①代入②得(2 x 3) (2 y 3) 4.
3 2
3 2
整理得点M的轨迹方程为( x ) ( y ) 1.
2
2
2
2
点A的运动
引起
点M的运动
点A的方程
坐标 代换
关系
点M的方程
求轨迹方程——③定义法
例3(P88-7).等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2)，底边一端点B的坐标是
动点M的特征满
足某曲线的定义
巩固：求轨迹方程
2.已知ABC的边AB长为4, 若BC边上的中线长为3, 求顶点C的轨迹方程.
解 : 以AB中点O为原点, 建立如图平面直角坐标系. 则A( 2,0), B(2,0).
x2 y
, ).
设C ( x, y ), 则BC的中点D(
2 2
定义法
x2
y 2
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解 : 设M ( x, y ), A(a, b).
求谁设谁为(x,y)
a4
b3
M是AB的中点,
x,
y.
2
2
即a 2 x 4, b 2 y 3.①
(x,y)
(a,b)
(x0,y0)
点A(a, b)在圆上, (a 1)2 b2 4.②
定义法
【课后练习】求轨迹方程
1.已知RtABC斜边为AB, 且A(1, 0), B(3, 0), 求 :
(1) 直角顶点C的轨迹方程；
(2) 直角边BC中点M的轨迹方程.
解： (2)设M(x, y)，C(x0, y0),
相关点法
x0 3
y0
则x
, y , 即x0 2 x 3, y0 2 y.
2
2
④代：将点的坐标代入几何关系式中；

已知平面上两点A、B，则满足
=k(k>0且k≠1)的点
⑤化：化简代数式，查漏排余

P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿
波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，又称阿氏圆。
求轨迹方程——①直接法
[变式]已知两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离
的平方和为26，求点M的轨迹方程.
2
2
且
)
将②代入①得(3x＋3) ＋(3y＋3) ＝9 (
b 1 b 2
x 2 a 1
且
)
化简得△ABC重心M的轨迹方程 ( x 1) ( y 1) 1(
b 1 b 2
2
2
C不能与A, B共线， y 0. 顶点C的轨迹方程为( x 6)2 y 2 36( y 0).
析 :| MA |2 | MB |2 26
（法1）设A(0,0)，B(6,0)，M(x,y)
（法2）设A(-3,0)，B(3,0)，M(x,y)
找所求点与已知点的坐标
关系，代入已知点的方程
求轨迹方程——②相关点法
[例2](7)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4
间的关系式．
(2)定义法：如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义，则可直接利用这些已
知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(3)代入法(相关点法)：利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系,把所
求动点转换为已知动点．具体地说,就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已知动
点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此可求得动点坐标(x, y)满足的
选择性必修第一册 第二章《直线和圆的方程》
2.4 圆的方程 第2课时
动点的轨迹方程
轨迹方程的定义
轨迹的定义：平面上一动点M,按照一定规则运动,形成的曲线叫做动点M的轨迹.
轨迹方程的定义：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x, y)满足的关系式.
若求“轨迹方程”，只需写出动点坐标x,y满足的关系式，注意x,y的取值范围；
直接法
【课后练习】求轨迹方程
1.已知RtABC斜边为AB, 且A(1, 0), B(3, 0), 求 :
(1) 直角顶点C的轨迹方程；
(2) 直角边BC中点M的轨迹方程.
解 : (1)设C ( x, y ).
AB BC, AC BC 0, 即( x 1, y ) ( x 3, y ) 0.
P的轨迹方程，并说明它是什么图形.
解 : 设点P( x, y ). MN的中点O(0,0).
定义法
1
在RtPMN中, OP MN 2. 即 x 2 y 2 2. x 2 y 2 4.
2
PMN中, 点P, M , N不重合.
x 2 x 2
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
解 : 设M ( x, y ), 依题意得
MO
1
, 即 MA 2 MO .
(建系不同,方程不同)
MA 2
①建：建立平面直角坐标系；
即 ( x 3) 2 y 2 2 x 2 y 2 .
②设：求谁的轨迹就设谁的坐标为(x,y);
整理得点M的轨迹方程: x y 2 x 3 0. ③限：找限制条件，即动点满足的几何关系；
即( x 1)( x 3) y 2 0, 即( x 1) 2 y 2 4.
几何法
点C的轨迹方程为( x 1) 2 y 2 4 ( y 0).
(1)依题意, 点M的轨迹是以AB为直径的圆, 除去A, B两点.
AB的中点为(1,0), AB 4,
点C的轨迹方程为( x 1) 2 y 2 4 ( y 0).
a
解 : 依题意得, C1 ( , 1)与C2 (0, 0)关于直线l对称.
2
2
kC1C2 1 1, 即 1, a 2, 即C (2,2).
a
设P( x, y ), 则 PC x ,
( x 2) 2 ( y 2) 2 x 2 , 即y 2 4 x 4 y 8 0,
2
| AD | 3, (
2) ( ) 9, 即( x 6) 2 y 2 36 .
2
2
相关点法
x2
y
设C ( x, y ), D(a, b), 则a
, b ①,
2
2
2
| AD | 3, a 2 b2 9②,
x2
y 2
2
将①代入②得(
2) ( ) 9, 即( x 6) 2 y 2 36 .
x 2 cos
x 2 cos
2
2
则
(
x

2
)

(
y

1
)
1,
由题意得
, 即
,
y 1 sin
y 1 sin
复数 z 在复平面内对应的点的轨迹方程为( x 2)2 ( y 1)2 1。
= + x a r cos
邻边作平行四边形MONP, 求点P的轨迹方程。
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
求轨迹方程——④消参法

练习.已知当− <m<1时，方程x2+y2－2(m+3)x+2(1－4m2)y+16m4+9=0表示

一个圆，求圆心C的轨迹方程.
D 2 E 2 4 F 4(m 1)2 0
解 : 设圆心为C ( x, y ),
x 3 x 5
点C的轨迹方程为( x 4) ( y 2) 10,
且
.
y 5 y 1
2
2
点C的轨迹是圆心为( 4,2), 半径为 10的圆, 并除去点(3,5), (5,1).
求轨迹方程——③定义法
[练习]已知M(－2,0)，N(2,0)，求以MN为斜边的直角三角形直角顶点
2
2
起点M的运动
2
2
2
2
2
由 AB 2a得 x0 y0 2a, 即x0 y0 4a ②
B
M
O
A
将①代入②得(2 x )2 (2 y )2 4a 2 , AB的中点的轨迹方程为x 2 y 2 a 2 .
1
解 : 如图, 在RtAOB中, | OM | | AB | a. 当A或B与O重合时,上式仍然成立.
(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形.
解 : 设C( x, y).在等腰ABC中, AB AC .
点C的轨迹是以A为圆心, | AB | 为半径的圆,
除去点B及点B关于点A的对称点B.
| AB | (4 3)2 (2 5)2 10, 点B(3,5)关于点A(4,2)的对称点B' (5,1)
若求“轨迹”，则要先求出“轨迹方程”，再说明方程的轨迹图形，注意“补漏”
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
求轨迹方程——①直接法

[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
，

求点M的轨迹方程.
关系．
巩固：求轨迹方程
1.(P89-8)长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上滑动，
求线段AB的中点的轨迹方程.
解 : 设A( x0 ,0), B(0, y0 ), AB的中点M ( x, y ).
相关点法
x0
y0
则x , y , 即x0 2 x, y0 2 y.①
点A,B的运动引
a 3 a 0
2
2
2
2
C (a, b)在曲线x y 9上, a b 9(
且
)①
b 0 b 3
3 a
3 b
由三角形重心坐标公式得 x
,y
;
3
3
即a 3x 3, b 3 y 3②
x 2 a 1
2
2
又点C在圆( x 1) 2 y 2 4上, ( x0 1)2 y0 2 4 ( y0 0).
(2 x 3 1) 2 (2 y ) 2 4, 即( x 2) 2 y 2 1 ( y 0).
【课后练习】求轨迹方程
2.已知点M (3,4), 动点N在圆O : x 2 y 2 4上运动, 以OM , ON为
2
2
(
1

4
m
)
2(m 3)
2
y



4
m
1,
则x
m 3,
2
2
1
20
2
消去m得y 4( x 3) 1, m 1, x 4.
7
7
20
2
圆心C的轨迹方程为y 4( x 3) 1( x 4)
7
求曲线方程的常见方法
(1)直接法：建立适当的坐标系后，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之