2019-2020学年山东省滕州市高二下学期第二次月考数学试题

2019-2020学年山东省滕州市第一中学高二下学期第二次月
考数学试题
一、单选题 1．复数2i
i
+的虚部为（ ） A ．2- B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】A
【解析】由复数除法化复数为代数形式，根据复数概念可得． 【详解】
因为()()()2i i 2i 12i i i i +⋅-+==-⋅-，所以复数2i
i
+的虚部为2-， 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查复数的概念．属于简单题． 2．曲线sin y x =在6
x π
=处的切线的斜率为（ ）
A ．
B ．12
-
C ．
12
D 【答案】D
【解析】求出导函数，再代入6
x π
=即得．
【详解】
因为()sin cos y x x ''==，所以所求切线的斜率为cos 6
2
π
=
， 故选：D. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数是解题关键．
3．为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关，随机抽取部分华为手机使用者和苹果机使用者进行统计，统计结果如下表：
附：
根据表格计算得2K 的观测值8.249k ≈，据此判断下列结论正确的是（ ） A ．没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
B ．可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
C ．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
D ．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小无关” 【答案】C
【解析】根据2K 的意义判断． 【详解】
因为6.6358.24910.828<<，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”， 故选：C. 【点睛】
本题考查独立性检验，属于简单题．
4．甲、乙、丙、丁4个人跑接力赛，则甲乙两人必须相邻的排法有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．18种 D ．24种
【答案】B
【解析】甲乙两人捆绑一起作为一个人与其他2人全排列，内部2人全排列． 【详解】
因为甲乙两人必须相邻，看成一个整体，所以甲乙两人必须相邻的排法有23
2312A A =种，
故选：B.
【点睛】
本题考查排列问题，相邻问题用捆绑法求解． 5．函数()()
3
212f x x =-+的极值点是（ ） A ．2x = B ．1x =- C ．1x =或1-或0 D ．0x =
【答案】D
【解析】由已知，得()()
2
261f x x x '=-，由0f x
得0x =或1x =±，结合()
f x 的单调性即可. 【详解】
对()()
3
212f x x =-+求导，得：
()()()()2222231161f x x x x x ''=-⋅-=-
令0f x ，得0x =或1x =± 由0f
x
，得0x <；由0f
x
，得0x >，
所以()f x 在
,0上单调递减；在0,
上单调递增，
所以只有0x =是()f x 的极值点，而1x =±不是. 故选：D 【点睛】
本题考查了函数极值点的判断，须同时满足两个条件：（1）()00f
x '
=；
（2）在0x x =左右相邻的区间上单调性相反.那么0x x =才是()f x 的极值点.
6．已知一组样本点(,)i i x y ，其中1,2,3,,30i =⋅⋅⋅.根据最小二乘法求得的回归方程是
y bx a =+，则下列说法正确的是（ ）
A ．若所有样本点都在y bx a =+上，则变量间的相关系数为1
B ．至少有一个样本点落在回归直线y bx a =+上
C ．对所有的预报变量(1,2,3,,30)i x i =⋅⋅⋅，i bx a +的值一定与i y 有误差
D ．若y bx a =+斜率0b >，则变量x 与y 正相关 【答案】D
【解析】分析：样本点均在直线ˆy
bx a =+上，则变量间的相关系数1r =，A 错误；
样本点可能都不在直线ˆy
bx a =+上，B 错误；样本点可能在直线ˆy bx a =+上，即预报变量i x 对应的估计值i bx a +可能与i y 可以相等，C 错误；相关系数r 与b 符号相同D 正确.
详解：选项A ：所有样本点都在ˆy
bx a =+，则变量间的相关系数1r =，相关系数可以为 1r =±， 故A 错误.
选项B ：回归直线必过样本中心点，但样本点可能都不在回归直线上，故B 错误.
选项C ：样本点可能在直线ˆy
bx a =+上，即可以存在预报变量i x 对应的估计值i bx a +与i y 没有误差，故C 错误.
选项D ：相关系数r 与b 符号相同，若ˆy
bx a =+斜率0b >，则0r >，样本点分布从左至右上升，变量x 与y 正相关，故D 正确.
点睛：本题考查线性回归分析的相关系数、样本点、回归直线、样本中心点等基本数据，基本概念的准确把握是解题关键.
7．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（ ） A ．
1
3
B ．
49
C ．
59
D ．
23
【答案】D
【解析】求出两次点均为偶数的所有基本事件的个数，再求出在两次均为偶数而且和不大于8的基本事件的个数后可得概率． 【详解】
记{}
A =两次的点数均为偶数，{}
8B =两次的点数之和不大于， 因为()339n A =⨯=，()6n AB =， 所以()
()()
6293
n AB P B A n A ==
=． 故选：D. 【点睛】
本题考查条件概率，本题解题关键是求出两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8所含有的基本事件的个数．
8．已知在二项式n
的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式
中，有理项的项数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】由二项式系数最大项确定16n =，然后利用二项式展开式的通项公式即可求得有理项. 【详解】
二项式n
的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，
16n ∴=
则()325166
116
162r
r
r
r r
r r T C C x
--+⎛==- ⎝
， 当
3256
r
Z -∈时，1r T +为有理项， 016r ≤≤且r Z ∈，
4,10,16r ∴=符合要求，
所以有理项有3项，分别为5，11，17项. 故选：C 【点睛】
本题考查了二项式系数和二项式展开式，属于中档题.
9．2021年起，新高考科目设置采用“312++”模式，普通高中学生从高一升高二时将面临着选择物理还是历史的问题，某校抽取了部分男、女学生调查选科意向，制作出如右图等高条形图，现给出下列结论： ①样本中的女生更倾向于选历史； ②样本中的男生更倾向于选物理； ③样本中的男生和女生数量一样多；
④样本中意向物理的学生数量多于意向历史的学生数量. 根据两幅条形图的信息，可以判断上述结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】分析条形图，第一幅图从性别方面看选物理历史的人数的多少，第二幅图从选物理历史的人数上观察男女人数的多少， 【详解】
由图2知样本中的男生数量多于女生数量，由图1有物理意愿的学生数量多于有历史意愿的学生数量，样本中的男生更倾向物理，女生也更倾向物理，所以②④正确， 故选：B. 【点睛】
本题考查条形图的认识，只要分清楚条形图中不同的颜色代表的意义即可判别． 10．函数()4ln x
f x x
=
的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】由()4ln x
f x x
=可知：()f x 的定义域及奇偶性，问题可以得解.
【详解】
由已知得()f x 的定义域为{}
1x x ≠±， 又()()=4ln 4ln x x
f x f x x x
--=
-=--，
所以()f x 为奇函数，可排除A 、C 、D .
故选：B 【点睛】
本题考查了函数奇偶性的定义，考查了用排除法选择正确答案，属于基础题. 11．2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（ ） A ．150种 B ．240种 C ．300种 D ．360种
【答案】A
【解析】根据题意，需要将5个安保小组分成三组，分析可得有2种分组方法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组，求出每一种情况的分组方法数目，由加法计数原理计算可得答案． 【详解】
根据题意，三个区域至少有一个安保小组， 所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法： 按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；
若按照1、1、3分组,共有113
3
54332
2
60C C C A A ⨯=种分组方法； 若按照1、2、2分组,共有1223
54232
2
90C C C A A ⨯=种分组方法， 根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法. 故选：A . 【点睛】
本题考查排列、组合及简单计数问题，本题属于分组再分配问题，根据题意分析可分组方法进行分组再分配，按照分类计数原理相加即可，属于简单题.
12．设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x '∀∈R ，有2
()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '
<，若(4)()84f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为
A ．[2,2]-
B ．[2,)+∞
C ．[0,)
+∞
D ．(,2][2,)-∞-+∞
【答案】B
【解析】令g (x )=f (x )−
12
x 2，
则()()0g x g x +-= ，函数是奇函数， 且()00g = ，在0,
上，()()''0g x f x x =-< ，函数()g x 单调递减，
由题意可得g (x )在R 递减， ∴f (4−m )−f (m )=g (4−m )+12 (4−m )2−g (m )−1
2
m 2=g (4−m )−g (m )+8−4m ⩾8−4m ， ∴g (4−m )⩾g (m )， ∴4−m ⩽m ， 解得：m ⩾2， 故选B.
点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．
二、填空题 13．已知随机变量()21,X N σ，且()210.4P X -<≤=，则()2P X >-=______.
【答案】0.9
【解析】根据正态分布性质计算概率． 【详解】
由正态分布密度曲线知()10.5P X ≤=，又()210.4P X -<≤=，所以
()20.1P X ≤-=，
所以()20.9P X >-=. 【点睛】
本题考查正态分布的性质，由正态分布曲线的对称性得若()2,X
N μσ，则
()()P X P X μμ<=>，()()P X a P X a μμ<-=>+．
14．设复数112Z i =+，234Z i =+，则12Z Z =________.
【答案】【解析】由已知得12510Z Z i =-+，再由复数模的计算公式即可得解. 【详解】
由已知，得：()()2
121234=3108510Z Z i i i i i =++++=-+
所以12Z Z =
=
故答案为：【点睛】
本题考查了复数的运算和复数的模，考查了计算能力，属于基础题. 15．已知随机变量ξ服从二项分布，即16,3B ξ
⎛⎫
⎪⎝⎭
，则()2P ξ=的值为_______. 【答案】
80243
【解析】由二项分布的概率公式即可得解. 【详解】
随机变量ξ服从二项分布，即16,3B ξ
⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴()2
4
261280233243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
. 故答案为：80
243
【点睛】
本题考查了二项分布的概率公式，属于基础题. 16．若不等式
32
1032
a a x x -+<有且只有1个正整数解，则实数a 的取值范围是______. 【答案】()6,+∞ 【解析】令()32132
a a f x x x =
-+（0x >），求出()()2
1f x ax ax ax x '=-=-，由导数研究函数()f x 的单调性，可得唯一的正整数解是什么，从而得出a 的范围． 【详解】 令()32132
a a f x x x =
-+（0x >），则()()2
1f x ax ax ax x '=-=-. 当0a <时，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >； 所以()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，不合题意，舍去； 当0a =时，有10<，显然不成立；
当0a >时，由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得01x <<；
所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，
依题意，需()()110,32
84210,
32a a f a a f ⎧=-+<⎪⎪⎨⎪=-+≥⎪⎩
解得6a >，
故实数a 的取值范围是()6,+∞. 【点睛】
本题考查不等式的正整数解，实质考查用导数研究函数的单调性．掌握用导数研究函数单调性的方法是解题关键．
三、解答题
17．已知()10
210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.
（1）求m ；
（2）求246810a a a a a ++++. 【答案】（1）2m =-（2）29524
【解析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ； （2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】
（1）因为10i
i i a C m =，1,2,3
10i =，
依题意得：6
6
3
3
1010140C m C m +=，3
3
1098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=
⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()10
2100121012x a a x a x a x -=+++
令1x =得：()10
012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()10
10012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10
024*******a a a a a a +++++=+，
即100246810132
a a a a a a ++++++=.
又()0
01021a C =-=，
所以1010246810133112952422
a a a a a +-++++=-==
【点睛】
本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 18．设函数()e a x f x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为
(e 1)4y x =-+，
（1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.
【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据(2)22,(2)1f e f e =+=-'求a,b
的值即可； （Ⅱ）由题意判断
的符号，即判断1
()1x g x x e
-=-+的单调性，知g(x)>0，即
>0，由此求得f(x)的单调区间. 试题解析：（Ⅰ）因为()a x
f x xe
bx -=+，所以()(1)a x f x x e b -=-+'.
依题设，(2)22,{(2)1,f e f e =+=-'即22
2222,
{1,
a a e
b e e b e --+=+-+=- 解得2,e a b ==.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()x
f x xe ex -=+.
由21()(1)x
x f x e
x e --=-+'及20x e ->知，
与11x x e --+同号.
令1
()1x g x x e -=-+，则1
()1x g x e
-=-+'. 所以，当时，，在区间
上单调递减； 当时，
，
在区间上单调递增.
故是
在区间
上的最小值，
从而
.
综上可知，，.故的单调递增区间为.
【考点】导数的应用；运算求解能力
【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．
19．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：
（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望； 【答案】（1）0.4P =（2）X 的分布列为：
；数学期望
()1E X =
【解析】（1）由样本数据可得，A 、B 两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A 的有30人，仅使用B 的有25人，则A 、B 两种支付方式都使用的人数为40人，问题得解； （2）由样本数据可得，X 的可能取值为0，1，2，对应的概率分别为：()0P X ==
6
25
；()13125P X ==
；()6225
P X ==，进而可得X 的分布列和数学期望. 【详解】
（1）由样本数据可得：
从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中：A 、B 两种支付方式都不使用的有5
人，
仅使用A 的有30人，仅使用B 的有25人，
∴A 、B 两种支付方式都使用的人数为：1005302540---=，
∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率：
40
0.4100
P =
= （2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数， 则X 的可能取值为0，1，2， 由样本数据可得：
()18106
0302525
P X ==⨯=
()1815121013
130********P X ==⨯+⨯=
()12156
2302525
P X ==
⨯=
∴X 的分布列为：
数学期望()61360121252525
E X =⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算和数学期望的求法，属于中档题题.
20．已知函数()ln 1f x x ax =-+. （1）当1a =时，证明：()0f x ≤；
（2）若()f x 在[]2,3的最大值为2，求a 的值.
【答案】（1）见解析（2）
ln 31
3
-
【解析】（1）由导数求出()f x 的最大值即可证；
（2）求出导函数，分类讨论确定()f x '的正负，得()f x 的单调性及最大值后可得a ． 【详解】
解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+， 当1a =时，()ln 1f x x x =-+，()1x
f x x
-'=
. 令()0f x '>，得01x <<，令()0f x '<，得1x >； 所以()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减. 所以()()max 10f x f ==，即()0f x ≤. （2）()11ax f x a x x
-'=-=， （i ）当1
3
a ≤时，()f x 在[]2,3单调递增，它的最大值为()3ln3312f a =-+=， 所以ln 311
33
a -=
<符合题意； （ii ）当
1132a <<时，()f x 在12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
单调递增，在1,3a ⎛⎤
⎥⎝⎦单调递减， 它的最大值为11ln 112f a a ⎛⎫
=-+=
⎪
⎝⎭
， 解得211
e 3
a =
<（不合，舍去）； （iii ）当1
2
a ≥时，()f x 在[]2,3单调递减，它的最大值为()2ln 2212f a =-+=， 所以ln 21
02
a -=
<（不合，舍去）； 综上，a 的值为ln 31
3
-. 【点睛】
本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值等问题，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，体现综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的关注.
21．若关于某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费y （万元）有如下统计资料：
若由资料知，y 对x 呈线性相关关系．
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+； （2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（精确到两位小数）； （3）计算第2年和第6年的残差.
附：回归直线+y x αβ=的斜率和截距的最小二乘估计分别为
()()
(
)
1
2
1
n
i
i
i n
i
i x x y y x x β==--=
-∑∑；y x αβ=-.
【答案】（1）回归直线方程为 1.2308ˆ.0y
x =+（2）估计使用年限为10年时维修费用约是12.38万元（3）第2年和第6年的残差分别为-0.34和-0.46
【解析】（1）由已知求得ˆb
，ˆa 的值，则线性回归方程可求； （2）由（1）中回归方程，取10x =求值即可； （3）由残差的计算公式即可得解. 【详解】 （1）由已知得：
由上表，得：5
5
2
1
1
4,5,
90,112.3i
i i i i x y x
x y ======∑∑
5
1
5
2
2
21
5112.3545
ˆ 1.239054
5i i
i i i x y x y
b
x x
==--⨯⨯∴==
=-⨯-∑∑ 5 1.2340ˆ.0ˆ8a
y bx =-=-⨯=∴ 所以，回归直线方程为 1.2308ˆ.0y
x =+.
（2）当10x =时， 1.23100.0812.3ˆ8y =⨯+=（万元），
即估计使用年限为10年时维修费用约是12.38万元
（3）当2x =时， 1.2320.0.ˆ8254y
=⨯+=，残差为2.2 2.540.34-=-， 当6x =时， 1.2360.0.ˆ8746y
=⨯+=，残差为7.07.460.46-=-， 所以，第2年和第6年的残差分别为-0.34和-0.46. 【点睛】
本题考查了线性回归方程的求解以及通过回归方程进行预测和计算残差，属于中档题. 22．已知函数()()
e x
f x x a =-.
（1）若1x =是()f x 的一个极值点，判断()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：124x x +<-. 【答案】（1）()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.（2）见解析
【解析】（1）求出导函数，由极值点求出参数a ，确定()f x '
的正负得()f x 的单调性；
（2）求出()(1)x
f x e x a '=+-，得极值点12,x x 满足：()()
12
121e 0,
1e 0,x
x x a x a ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 所以()()12
121e 1e
x
x x x a +=+=，由（1）即()()12g x g x =，不妨设122x x <-<.要
证124x x +<-，则只要证214x x <--，而142x -->-，因此由()g x 的单调性，只要能证21()(4)g x g x <--，即11()(4)g x g x <--即可．令()()()4h x g x g x =---，利用导数的知识可证得结论成立． 【详解】
（1）由已知得()()1e x
f x x a '=+-.
因为1x =是()f x 的一个极值点，所以()12e 0f a '=-=，即2e a =，
所以()()1e 2e x
f x x '=+-，
令()()1e x
g x x =+，则()()2e x
g x x '=+，
令()0g x '<，得2x <-，令()0g x '>，得2x >-； 所以()g x 在(),2-∞-单调递减，在()2,-+∞单调递增， 又当1x <-时，()0g x <，()12e g =，
所以当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>； 即()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.
（2）()(1)x
f x e x a '=+-，因此极值点12,x x 满足：()()1
2
121e 0,1e 0,x x x a x a ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 所以()()12121e 1e x x
x x +=+由（1）即()()12g x g x =，不妨设122x x <-<.
要证124x x +<-，则只要证214x x <--，而142x -->-，因此由()g x 的单调性，只要能证21()(4)g x g x <--，即11()(4)g x g x <--即可． 令()()()4h x g x g x =---， 则()()()()()442e 2e
2e e x
x
x x h x x x x ----'=++--=+-，
当2x <-时，20x +<，4x x <--，4e e x x --<，所以()0h x '>， 即()h x 在(),2-∞-单调递增，又()20h -=， 所以()()()()111420h x g x g x h =---<-=， 所以()()114g x g x <--，即()()214g x g x <--， 又22x >-，142x -->-，()g x 在()2,-+∞单调递增， 所以214x x <--，即124x x +<-. 【点睛】
本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、有限与无限思想，体现综合性、应用性与创新性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的关注.。