人教版八年级下册数学期末试卷综合测试卷(word含答案)

人教版八年级下册数学期末试卷综合测试卷（word 含答案）
一、选择题
1．要使1x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ）
A ．1x ≥-
B ．1≥x
C ．0x ≥
D ．0x ≤ 2．以下列各组线段为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A ．6，8，10
B ．2，3，4
C ．1，5，26
D ．2，2，22
3．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形
ABCD 是平行四边形的是（ ）
A ．//A
B D
C ，ABC ADC ∠=∠ B ．AB DC =，A
D BC = C ．OA OC =，OB OD = D ．//AD BC ，AB CD =
4．甲、乙两人一周中每天制作工艺品的数量如图所示，则对甲、乙两人每天制作工艺品数
量描述正确的是（ ）
A ．甲比乙稳定
B ．乙比甲稳定
C ．甲与乙一样稳定
D ．无法确定
5．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则AM 的最小值是（ ）
A ．2.4
B ．2
C ．1.5
D ．1.2
6．如图，一块三角板放在一张菱形纸片上，斜边与菱形的一边平行，则1∠的度数是
（ ）
A ．45︒
B ．50︒
C ．60︒
D ．75︒
7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是边BC 的中点，4AB =，则OE =（ ）．
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
8．如图，若正比例函数y ＝kx 图象与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2相交围成的正方形有公共点，则k 的取值范围是( )
A ．k ≤2
B ．k ≥1
2
C ．0＜k ＜1
2
D ．1
2≤k ≤2
二、填空题
9．函数2
x y x
+=
中，自变量x 的取值范围是______． 10．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝6，BD ＝8，则菱形的面积等于 ___．
11．直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，若3a =，4b =，则c =__________． 12．如图，折叠长方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DE ，若AB ＝4，BC ＝3，则AE 的长是____．
13．直线y=kx+3经过点（1，2），则k=_____________．
14．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20 cm，AE＝5 cm，则AB的长为____cm.
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，A1，A2，…在x轴上，点P，P1，P2，…在直线l：y
＝kx+3
4
（k＞0）上，∠OPA＝90°，点P（1，1），A（2，0），且AP1，A1P2，…均与OP
平行，A1P1，A2P2，…均与AP平行，则有下列结论：①直线AP1的函数解析式为y＝x﹣
2；②点P2的纵坐标是25
9
；③点P2021的纵坐标为（
5
3
）2021．其中正确的是_____（填序
号）．
16．某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出的速度保持不变）．该仓库库存物资m（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是________小时．
三、解答题
17．计算：
（180205
（2）(53)(53)．
18．位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的
游船从点A 拉回点B 的位置（如图）．在离水面高度为8m 的岸上点C ，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC 的长为17m ，工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒后游船移动到点D 的位置，问此时游船移动的距离AD 的长是多少？
19．阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：__________，__________．
（2）如图，已知格点（小正方形的顶点）()0,0O ，()3,0A ，()0,4B ，请你画出以格点为顶点，OA ，OB 为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB ． 20．已知：如图，在ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，//,//DE AC DF AB ． 求证：四边形AEDF 是菱形．
21．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a +bi （a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似．
例如：计算：（2﹣i ）+（5+3i ）＝（2+5）+（﹣1+3）i ＝7+2i ； （1+i ）×（2﹣i ）＝1×2﹣i +2×i ﹣i 2＝2+（﹣1+2）i +1＝3+i ； 根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i 3＝ ，i 4＝ ，i +i 2+i 3+…+i 2021＝ ；
（2）计算：（1+i ）×（3﹣4i ）﹣（﹣2+3i ）（﹣2﹣3i ）； （3）已知a +bi ＝
25
43i
-（a ，b 为实数），求2222(24)x a x b ++-+的最小值． 22．清明期间，某校计划组织八年级学生去树湘纪念馆参观，与某公交公司洽谈后，得知该公司有A ，B 两种不同型号客车，它们的载客量和租金如下表所示： 类别
A 型客车
B 型客车 载客量（人/辆） 50 30 租金（元/辆）
300
180
经计算，租用A ，B 型客车共15辆较为合理，设租用A 型客车x 辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x 的代数式填写下表： 类别 车辆数（辆） 载客量（人） 租金（元） A 型客车 x 50x 300x B 型客车
15﹣x
（2）若租用A 型客车的数量不小于B 型客车数量的2倍，采用怎样的方案可以使租车总费用y 最少，最少是多少？
23．如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，E 是对角线BD 上一点，F 是线段AB 延长线上一点且BF DE =，连接AE ．
（1）如图，若E 是线段BD 的中点，连接EF ，其他条件不变，直接写出线段AE 与EF 的数量关系；
（2）如图，若E 是线段BD 上任意一点，连接EF ，其他条件不变，猜想线段AE 与EF 的数量关系是什么？并证明你的猜想；
（3）如图，若E 是线段DB 延长线上一点，其他条件不变，且30EAB ∠=︒，菱形ABCD 的周长为7DF 的长度．
24．直线1l ：3y x =-交x 轴于A ，交y 轴于B ．
（1）求AB 的长；
（2）如图1，直线1l 关于y 轴对称的直线2l 交x 轴于点C ，直线3l ：12
y x b =+经过点C ，点D 、T 分别在直线2l 、3l 上．若以A 、B 、D 、T 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；
（3）如图2，平行y 轴的直线2x =交x 轴于点E ，将直线1l 向上平移5个单位长度后交x
轴于M ，交y 轴于N ，交直线2x =于点P ．点()
2
,F t t 在四边形ONPE 内部，直线PF 交OE
于G ，直线OF 交PE 于H ，求()GE ME HE +的值．
25．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．
（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α． ①按要求补全图形；
②∠EBF =______________（用含α的式子表示）； ③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．
（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明． 26．综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，AB AC =，
DE DF =，点A ，D 在EF 的同侧，点B ，C 在线段EF 上，连接DA 并延长DA 交EF 于
点O ，已知DO EF ⊥．将DEF 从图1中的位置开始，绕点O 顺时针旋转（ABC 保持不动），旋转角为α．
数学思考：（1）“求索小组”的同学发现图1中BE CF =，请证明这个结论； 操作探究：（2）如图2，当0180α︒<<︒时，“笃行小组”的同学连接线段AD ，BE ． 请从下面A ，B 两题中任选一题作答．我选择________题． A ．①猜想AD ，BE 满足的数量关系，并说明理由；
②若2OE AB ==，请直接写出45α=︒时，C ，E 两点间的距离； B ．①猜想AD ，BE 满足的位置关系，并说明理由；
②若2OE AB ==，请直接写出点F 落在AC 延长线时，C ，F 两点间的距离．
【参考答案】
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据二次根式有意义的条件进行解答即可． 【详解】 解：∵
1x -
∴10x -≥， 解得：1≥x ， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次根式有意义得条件，熟知根号下为非负数是解题的关键．
2．B
解析：B 【分析】
利用勾股定理的逆定理进行逐一判断即可得到答案. 【详解】
解：A 、22268=100=10+，可以构成直角三角形，不符合题意； B 、22223=134=16+≠，不可以构成三角形，符合题意；
C 、22215=26=+，可以构成直角三角形，不符合题意；
D 、(2
2
2
22=8=+，可以构成直角三角形，不符合题意；
故选B. 【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】
A 、由//A
B D
C ，得180ABC AC
D ∠+∠=︒，又ABC ADC ∠=∠，得180ADC ACD ∠+∠=︒，得//AD BC ，可得到四边形ABCD 是平行四边形，故A 选项不符合题意
B 、由AB D
C =，A
D BC =，可得到四边形ABCD 是平行四边形，故B 选项不符合题意； C 、由OA OC =，OB OD =，可得到四边形ABCD 是平行四边形，故C 选项不符合题意； D 、由//AD BC ，AB CD =，不可得到四边形ABCD 是平行四边形，故D 选项符合题意． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解并掌握平行四边形的判定定理，并会灵活运用．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
先根据折线统计图得出甲、乙每天制作的个数，从而得出两组数据之间的关系，继而得出方差关系． 【详解】
解：由折线统计图知，甲5天制作的个数分别为15、20、15、25、20， 乙5天制作的个数分别为10、15、10、20、15，
∴甲从周一至周五每天制作的个数分别比乙每天制作的个数多5个， ∴甲、乙制作的个数稳定性一样， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了利用方差进行决策，准确分析判断是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
首先连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得AP＝EF，即AP＝2AM，然后由当AP⊥BC时，AP最小，即可求得AM的最小值．
【详解】
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，
∴AM＝1
2EF＝1
2
AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝22
AB AC
＝5，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC＝1
2×3×4＝1
2
×5×AP，
解得AP＝2.4，
∴AP的最小值为2.4，
∴AM的最小值是1.2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
由菱形的可得∠ADB=∠BDC=30°，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵EF ∥CD ，
∴∠GEF =∠ADC =60°， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ADB =∠BDC =30°， ∵∠G =90°， ∴∠1=60°， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用平行四边形的性质，先证明OE 是ABC ∆的中位线，可得24AB OE ==，从而可得答案. 【详解】
解：四边形ABCD 是平行四边形，
OA OC ∴=；
又点E 是BC 的中点，
OE ∴是ABC ∆的中位线，
∴根据三角形的中位线定理可得：24AB OE ==．
则2OE = 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，三角形的中位线的性质，证明OE 是ABC ∆的中位线，是解本题的关键.
8．D
解析：D 【分析】
如图，可知当直线y kx =在过点A 和点C 两点之间的时候满足条件，把A 、B 两点分别代入可求得k 的最小值和最大值，可求得答案． 【详解】 解：
直线y kx =与正方形ABCD 有公共点，
∴直线y kx =在过点A 和点C 两直线之间之间，
如图，可知(2,1)A ，(1,2)C ，
当直线y kx =过A 点时，代入可得12k =，解得12
k =， 当直线y kx =过C 点时，代入可得2k =，解得2k =，
k ∴的取值范围为：
122k ， 故选D ．
【点睛】 本题主要考查一次函数图象点的坐标，由条件得出直线在过A 和C 两点间的直线是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
二、填空题
9．2x ≥-且0x ≠
【解析】
【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的定义即可得．
【详解】
由题意得：200
x x +≥⎧⎨≠⎩， 解得2x ≥-且0x ≠，
故答案为：2x ≥-且0x ≠．
【点睛】
本题考查了求函数自变量的取值范围、分式的分母不能为0、二次根式的定义，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．
10．24
【解析】
【分析】
根据菱形的面积=对角线积的一半，可求菱形的面积．
【详解】
四边形ABCD 是菱形， ∴11682422
S AC BD =⋅=⨯⨯=．
故答案为：24．
【点睛】
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质．
115
【解析】
【分析】
根据斜边分类讨论，然后利用勾股定理分别求出c的值即可．
【详解】
解：①若b是斜边长
根据勾股定理可得：
c==
②若c是斜边长
根据勾股定理可得：5
c
综上所述：c=5
5
【点睛】
此题考查的是勾股定理，掌握用勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
12．A
解析：3 2
【分析】
由折叠的可知，AD=A'D，AE=A'E，∠A=∠DA'E，分别求出A'D=3，BD=5，A'B=2，在
Rt△A'EB中，由勾股定理得（4-AE）2=AE2+22，即可求AE=3
2
．
【详解】
解：由折叠的可知，AD=A'D，AE=A'E，∠A=∠DA'E，∵AB=4，BC=3，
∴A'D=3，BD
，
∴A'B=2，
在Rt△A'EB中，EB2=A'E2+A'B2，
∴（4-AE）2=AE2+22，
∴AE=3
2
，
故答案为：3
2
．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质，熟练应用勾股定理是解题的关键．
13．-1．
【详解】
试题分析：把（1，2）代入直线y=kx+3，即可得方程k+3=2，解得k=-1．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
14．A
解析：4
【解析】
试题分析：设AB=xcm ，则由矩形ABCD 的周长是20cm 可得BC=10﹣xcm ，
∵E 是BC 的中点，∴BE=12BC=10x 2
-． 在Rt △ABE 中，AE=5cm ，根据勾股定理，得AB 2+BE 2=AE 2，即x 2+（
10x 2
-）2=52，解得：x=4．
∴AB 的长为4cm ． 15．①②③
【分析】
由已知易求得直线的解析式为：，直线为：，进而根据待定系数法可求得 的解析式为：即可判断①；解析式联立构成方程组可求得 的坐标，同理求得 的坐标，即可判断②；由、的坐标得出规律即可得
解析：①②③
【分析】
由已知易求得直线OP 的解析式为：y x =，直线l 为：1344
y x =+，进而根据待定系数法可求得 1AP 的解析式为：2y x =-即可判断①；解析式联立构成方程组可求得 1P 的坐标，同理求得 2P 的坐标，即可判断②；由1P 、2P 的坐标得出规律即可得出点 2021P 的纵坐标为202153⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可判断③．
【详解】
解：设1AP 的解析式为y kx b =+，
∵P （1，1），
∴直线OP 为y x =，
∵AP 1∥OP ，
∴k ＝1，即y x b =+，
∵A （2，0），
∴2+b ＝0，解得b ＝﹣2，
∴AP 1的解析式为2y x =-，故①正确；
∵点P ，P 1，P 2，…在直线l ：34
y kx =+（k ＞0）上， ∴1＝k +34
，解得k ＝14，
∴直线l 为：1344
y x =+， 解21344y x y x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得11353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴115133P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， 设11A P 的解析式为y x b =-+， 代入111533P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，可得，11A P 的解析式为：163y x =-+， ∴A 1的坐标为（163
，0）， 同理求得A 1P 2的解析式为：163y x =-
， 解1631344y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得739259
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴P 2纵坐标为259
，故②正确； ∵P 1纵坐标为53，P 2纵坐标为259＝（53
）2， 以此类推，点P 2021的纵坐标为（53
）2021．故③正确． 故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，总结出点的纵坐标的规律是解题的关键．
16．8
【分析】
通过分析题意和图象可以求出调进物资的速度，调出物资的速度，即可求出结果．
【详解】
解：调进物资的速度是：（吨/小时），
当在第4个小时时，库存物资有60吨，在第8个小时时，库存物资是 解析：8
【分析】
通过分析题意和图象可以求出调进物资的速度，调出物资的速度，即可求出结果．
【详解】
解：调进物资的速度是：60415÷=（吨/小时），
当在第4个小时时，库存物资有60吨，在第8个小时时，库存物资是20吨，
∴调出速度是：()6020154425-+⨯÷=（吨/小时），
∴剩余的20吨完全调出需要：20250.8÷=（小时），
∴这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是：80.88.8+=（小时）．
故答案是：8.8．
【点睛】
本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是将函数图象与实际意义相联系，分析出关键信息进行求解．
三、解答题
17．（1）3；（2）2
【分析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝
（2）原式＝5﹣3＝2．
【点睛】
本题考查的是二次根式
解析：（1）2）2
【分析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝=（2）原式＝5﹣3＝2．
【点睛】
本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，掌握利用平方差公式进行简便运算是解题的关键.
18．游船移动的距离AD 的长是9米
【分析】
根据条件先计算经过10秒拉回绳子的长，然后计算出绳子CD 的长，在中，在中，，即可求出最终结果．
【详解】
解：工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，
经过10秒
解析：游船移动的距离AD 的长是9米
【分析】
根据条件先计算经过10秒拉回绳子的长，然后计算出绳子CD的长，在Rt BCD中
BD Rt ABC中，AB=
【详解】
解：工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，
∴经过10秒拉回绳子100.7=7
⨯米，
开始时绳子AC的长为17m，
∴拉了10秒后，绳子CD的长为17-7=10米，
∴在Rt BCD中，
BD===米，
6
在Rt ABC中，
AB=米，
15
∴AD=15-6=9米，
答：游船移动的距离AD的长是9米．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的运用，属于综合题，难度一般，熟练掌握勾股定理解三角形是解决本题的关键．
19．（1）矩形，正方形；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据勾股四边形的定义即可求解；
（2）由勾股定理可知可知四边形对角线为5，据此即可作图．
【详解】
解：（1）由勾股四边形的定义矩形、正方
解析：（1）矩形，正方形；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据勾股四边形的定义即可求解；
（2）由勾股定理可知可知四边形OAMB对角线为5，据此即可作图．
【详解】
解：（1）由勾股四边形的定义矩形、正方形都满足一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，
故答案为：矩形，正方形；
（2）如图，
证明：∵∠AOB=90°，
∴222
+=,
OA OB AB
∴四边形OAMB为勾股四边形，
由勾股定理得,22
OM+
345
∴AB=OM，
∴四边形OAMB都是勾股四边形，符合题意．
【点睛】
本题为新定义问题，考查了勾股定理等知识，矩形、正方形的性质，熟知勾股定理，理解勾股四边形的定义是解题关键．
20．见解析．
【分析】
根据四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等即可．
【详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了
解析：见解析．
【分析】
DE AC DF AB四边形AEDF是平行四边形，再证明有一组邻边相等即可．
根据//,//
【详解】
解：∵//,//DE AC DF AB ，
∴四边形AEDF 是平行四边形，
∵AD 平分BAC ∠，
∴12∠=∠，
∵//DE AC ，
∴23∠∠=，
∴13∠=∠，
∴AE DE =，
∴平行四边形AEDF 是菱形．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，解题关键是熟练运用相关性质，准确进行推理证明．
21．（1）﹣i ，1，；（2）﹣i ﹣6；（3）的最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给条件可得i3=i2•i ，i4=i2•i2计算即可得出答案；
（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所
解析：（1）﹣i ，1，2022
1i i i
--；（2）﹣i ﹣6；（325．
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给条件可得i 3=i 2•i ，i 4=i 2•i 2计算即可得出答案；
（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所给已知条件即可得出答案；
（3）根据题目已知条件，a +bi ＝4+3i ，求出a 、b ，即可得出答案．
【详解】
（1）i 3＝i 2•i ＝﹣1×i ＝﹣i ，
i 4＝i 2•i 2＝﹣1×（﹣1）＝1，
设S ＝i +i 2+i 3+…+i 2021，
iS ＝i 2+i 3+…+i 2021+i 2022，
∴（1﹣i ）S ＝i ﹣i 2022，
∴S ＝2022
1i i i
--， 故答案为﹣i ，1，2022
1i i i
--； （2）（1+i ）×（3﹣4i ）﹣（﹣2+3i ）（﹣2﹣3i ）
＝3﹣4i +3i ﹣4i 2﹣（4﹣9i 2）
＝3﹣i +4﹣4﹣9
＝﹣i ﹣6；
（3）a+bi＝
25
43i
-
＝
25(43)
(43)(43)
i
i i
+
-+
＝
10075
169
i
+
+
＝4+3i，
∴a＝4，b＝3，
x，0）到点A（0，4），B（24，3）的最小距离，
∵点A（0，4）关于x轴对称的点为A'（0，﹣4），连接A'B即为最短距离，
∴A'B25，
25．
【点睛】
此题考查了实数的运算，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的新定义是解本题的关键．
22．（1）30（15﹣x），180（15﹣x）；（2）租A型客车10辆，B型客车5辆，可使租车总费用y最少，最少为3900元
【分析】
（1）根据“B型车的载客量＝租的辆数×满载人数”以及“租B型车应付
解析：（1）30（15﹣x），180（15﹣x）；（2）租A型客车10辆，B型客车5辆，可使租车总费用y最少，最少为3900元
【分析】
（1）根据“B型车的载客量＝租的辆数×满载人数”以及“租B型车应付租金＝每辆的租金×租的辆数”即可得出结论；
（2）设租车的总费用为y元，根据“总租金＝租A型车的租金+租B型车的租金”即可得出y关于x的函数关系式，再根据A型客车的数量不小于B型客车数量的2倍，列出关于x 的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，根据一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车（15﹣x）辆，
B型车的载客量30（15﹣x），租金为180（15﹣x）．
故答案为：30（15﹣x），180（15﹣x）；
（2）根据题意得：x≥2（15﹣x），
解得：x≥10，
∵y＝300x+180（15﹣x）＝120x+2700，
又∵120＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x是正整数，
∴当x取最小值10时，y有最小值3900，
答：租A型客车10辆，B型客车5辆，可使租车总费用y最少，最少为3900元．
【点睛】
本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，根据一次函数的的性质求最值是解题的关键．
23．（1）；（2），证明见解析；（3）7
【分析】
（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结论．
（2）
解析：（1）AE EF =；（2）AE EF =，证明见解析；（3）7
【分析】
（1）由菱形的性质和已知条件得出DAB ∆是等边三角形，得出60ABD ∠=︒，由等边三角形的性质和已知条件得出BE BF =，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出BAE F ∠=∠，即可得出结论．
（2）过点E 作//EG AB 交AD 于点G ，先证明DAB ∆是等边三角形，得出AD BD =，60ADB ∠=︒，再证明DGE ∆是等边三角形，得出DG DE GE ==，60DGE ∠=︒，然后由SAS 证得AGE EBF ∆≅∆，即可得出结论．
（3）过点E 作//EG AB 交DA 延长线于点G ，证明同（2），得出AE EF =，证明
90DAE DAB EAB ∠=∠+∠=︒，30AED ∠=︒，则2DE AD ==AE EF ，得出30EAB EFA ∠=∠=︒，120AEF ∠=︒，则90DEF AEF AED ∠=∠-∠=︒，由勾股定理即可得出结果．
【详解】
解：（1）AE EF =；理由如下：
四边形ABCD 是菱形，
AD AB ∴=，
60DAB ∠=︒，
DAB ∴∆是等边三角形，
60ABD ∴∠=︒， E 是线段BD 的中点，
30BAE DAE ∴∠=∠=︒，BE DE =，
BF DE =，
BE BF ∴=，
1302
F BEF ABD ∴∠=∠=∠=︒， 30BAE F ∴∠=∠=︒，
AE EF ∴=．
故答案为AE EF =；
（2）猜想线段AE 与EF 的数量关系为：AE EF =；
证明：过点E 作//EG AB 交AD 于点G ，如图所示：
四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，
AD AB ∴=，120ABC ∠=︒，//AD BC ，DAB ∆与DBC ∆都是等边三角形，
60DBC ∴∠=︒，60CBF DAB ∠=∠=︒，
120EBF ∴∠=︒，
又//EG AB ，
60DGE DAB ∴∠=∠=︒，
又60ADB ∠=︒，
DGE ∴∆是等边三角形，
DG DE GE ∴==，
AG BE ∴=，120AGE EBF ∠=︒=∠，
又BF DE =，
GE BF ∴=，
在AGE ∆和EBF ∆中，
AG EB AGE EBF GE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()AGE EBF SAS ∴∆≅∆，
AE EF ∴=；
（3）过点E 作//EG AB 交DA 延长线于点G ，如图：
四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，菱形ABCD 的周长为7
DAB ∴∆是等边三角形，7AD AB BC CD ===
AD BD ∴=，60ADB ∠=︒，
60EBF ∴∠=︒，
又//EG AB ，
60DGE DAB ∴∠=∠=︒，
又60ADB ∠=︒，
DGE ∴∆是等边三角形，
DG DE GE ∴==，
AG BE ∴=，DGE EBF ∠=∠，
又BF DE =，
GE BF ∴=，
在AGE ∆和EBF ∆中，
AG BE AGE EBF GE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()AGE EBF SAS ∴∆≅∆，
AE EF ∴=，
60DAB ∠=︒，30EAB ∠=︒，
603090DAE DAB EAB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，
DAB ∆是等边三角形，
60ADB ∴∠=︒，
180180906030AED DAE ADE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
在Rt DAE 中，30AED ∠=︒，
2DE AD ∴==
AE EF ===，
AE EF =，
30EAB EFA ∴∠=∠=︒，
1803030120AEF ∴∠=︒-︒-︒=︒，
1203090DEF AEF AED ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
由勾股定理得：7DF ．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含30角直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形．
24．（1）；（2）点D 的坐标为或或；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据直线的解析式求出其与x 轴的交点A 和与y 轴的交点B 的坐标，进而求出OA 与OB 的长度，再使用勾股定理即可求出AB 的长度；
（2）根
解析：（1
）AB =2）点D 的坐标为(2,1)--或(4,1)-或(2,5)-；（3）
()8GE ME HE +=．
【解析】
【分析】
（1）根据直线1l 的解析式求出其与x 轴的交点A 和与y 轴的交点B 的坐标，进而求出OA
与OB 的长度，再使用勾股定理即可求出AB 的长度；
（2）根据直线1l 和直线2l 关于y 轴对称求出直线2l 的解析式，再求出直线3l 的解析式，根据点D 在直线2l 上，可设点(,3)D m m --，然后分类讨论点D 是在线段BC 上，还是在线段BC 的延长线上，或者在线段CB 的延长线上，在每一种情况下结合平行四边形的性质和平移的性质，可用含有m 的式子表示点T 的坐标，再根据点T 在直线3l 上求出m 的值，即可求出点D 的坐标；
（3）根据平移的性质求出直线MN 的解析式，再结合直线x =2求出点(2,0)E ，点(2,4)
P 和点(2,0)M -，进而求出ME 的长度，然后再结合点()
2,F t t 求出直线:(2)2PF y t x t =+-和直线:OF y tx =，进而求出点2,02t G t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
和(2,2)H t ，即可得到GE 与HE 的长度，最后再代入计算()GE ME HE +即可．
【详解】
解：（1）∵直线1:3l y x =-交x 轴于A ，交y 轴于B ，
∴0A y =，0B x =．
∴03A x =-，03B y =-．
∴3A x =，3B y =-．
∴(3,0)A ，(0,3)B -．
∴3OA =，3OB =．
∵AO BO ⊥， ∴
AB =
（2）∵直线1l 关于y 轴对称的直线2l 交x 轴于点C ，直线1l 交x 轴与点(3,0)A ， ∴点A 与点C 关于y 轴对称．
∴(3,0)C -．
∵点(0,3)B -在y 轴上，
∴直线2l 经过点B ．
∴设直线23:l y kx =-．
∵直线2l 经过点(3,0)C -，
∴033k =--．
解得：1k =-．
∴直线23:l y x =--．
∵直线31:2
l y x b =+经过点(3,0)C -， ∴10(3)2
b =⨯-+． 解得：32
b =． ∴直线31322:y x l =
+．
∵点D 在直线23:l y x =--上，
∴设点(,3)D m m --．
①如下图所示，当点D 在线段BC 上时．
∵四边形ABDT 是平行四边形，
∴//,AT BD AT BD =．
∴BD 经过平移之后到达AT ．
∴(3,)T m m +-．
∵点T 在直线31322:y x l =+上， ∴13(3)22
m m -=++，解得2m =-． ∴1(2,1)D --； ②如下图所示，当点D 在线段BC 的延长线上时．
∵四边形ABTD 是平行四边形，
∴//,AD BT AD BT =．
∴AD 经过平移之后到达BT ．
∴(3,6)T m m ---．
∵点T 在直线31322
:y x l =+上， ∴136(3)22
m m --=-+，解得4m =-． ∴2(4,1)D -；
③如下图所示，当点D 在线段CB 的延长线上时．
∵四边形ADBT 是平行四边形，
∴//,AT DB AT DB =．
∴BD 经过平移之后到达TA ．
∴(3,)T m m -．
∵点T 在直线31322
:y x l =+上， ∴13(3)22
m m =-+，解得2m =． ∴3(2,5)D -．
综上所述，点D 的坐标为(2,1)--或(4,1)-或(2,5)-．
（3）直线1l 向上平移5个单位长度得到的直线MN 解析式为352y x x =-+=+． ∵直线x =2与x 轴交于点E ，与直线MN 交于点P ，直线MN 交x 轴于点M ，
∴(2,0)E ，2P x =，0M y =．
∴22P y =+，02M x =+．
∴4P y =，2M x =-．
∴(2,4)P ，(2,0)M -．
∴2(2)4E M ME x x =-=--=，
设直线PF 的解析式为y px q =+，
∵直线PF 经过点(2,4)P 与()
2,F t t ， ∴242,,p q t tp q =+⎧⎨=+⎩解得2,2p t q t =+⎧⎨=-⎩
． ∴直线PF 的解析式为(2)2y t x t =+-．
∵直线PF 与x 轴交于点G ，
∴0G y =．
∴0(2)2G t x t =+-． 解得：22
G t x t =+． ∴2,02t G t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
．
∴24222
E G t GE x x t t =-=-=++． 设直线O
F 的解析式为y =cx ，
∵直线OF 经过点()
2,F t t ， ∴2t ct =．
解得：c t =．
∴直线OF 的解析式为y tx =．
∵直线OF 与直线2x =交于点H ．
∴2H x =．
∴22H H y tx t t ==⨯=．
∴(2,2)H t ．
∴202H E HE y y t t =-=-=． ∴4()(42)82
GE ME HE t t +=
+=+． 【点睛】
本题考查了一次函数的综合应用，涉及坐标与长度的关系，勾股定理，轴对称和平移的性质，平行四边形的性质和判定定理，代数式求值，应用一次函数的性质正确求出点的坐标是解题关键． 25．（1）①详见解析；②45°-α；③，详见解析；（2），或，或
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出即可；
③在DF 上截取DM
解析：（1）①详见解析；②45°-α；③DF BF =，详见解析；（2）
DF BF =，或BF DF =，或BF DF +=
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出1452
DBE ABC ∠=∠=，由三角形的外角性质得出45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，由直角三角形的性质得出9045EBF BEF α∠=-∠=-即可；
③在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，证明△CDM ≌△CBF ，得出CM=CF ， ∠DCM=∠BCF ，
得出即可得出结论；
（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，，理由同(1)③；
②当点E 在线段BC 的延长线上时，，在BF_上截取BM=DF ，连接CM ．同
(1)③得△CBM ≌△CDF 得出CM=CF ，∠BCM=∠DCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出
，即可得出结论；
③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ，在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，同
(1) ③得:ACDM ≌△CBF 得出CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出MF=2CF ，即可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图，
②∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC=90°，1452DBE ABC ∠=∠=， ∴45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，
∵BF ⊥DE,
∴∠BFE=90°，
∴9045EBF BEF α∠=-∠=-,
故答案为：45°-α；
③线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系是2DF BF CF =．
证明如下：在DF 上截取DM =BF ，连接CM ．如图2所示，
∵ 正方形ABCD ，
∴ BC =CD ，∠BDC =∠DBC =45°，∠BCD =90°
∴∠CDM =∠CBF =45°-α，
∴△CDM ≌△CBF （SAS ）． ∴ DM =BF ， CM =CF ，∠DCM =∠BCF ．
∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE
=∠DCM+∠MCE
=∠BCD =90°，
∴ MF 2CF ． ∴2.DF DM MF BF CF =+=
（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，2CF ，理由如下：
在BF 上截取BM=DF ，连接CM ，如图3所示，
同(1) ③，得：△CBM ≌△CDF (SAS)，
∴CM=CF ， ∠BCM=∠DCF ．
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°，
∴△CMF 是等腰直角三角形，
∴MF=2CF ， ∴BF=BM+MF=DF+2CF ；
③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ；理由如下：
在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，如图4所示，
同（1）③得：△CDM ≌△CBF ，
∴CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，
∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，
∴△CMF 是等腰直角三 角形，
∴MF=2CF ,
即DM+DF=2CF ，
∴BF+DF=2CF ;
综上所述，当点E 在直线BC 上时，线段BF ，CF ，DF 之间的数导关系为：
2DF BF CF =+，或2BF DF CF =+，或2BF DF CF +=．
【点睛】
此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解．
26．（1）见详解；（2）A.①AD=BE ，理由见详解；②；B.①AD ⊥BE ，理由见详解；②-1．
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论；
（2）A.①利用手拉手模型，证明，即可得到
解析：（1）见详解；（2）A.①AD =BE ，理由见详解；10；B.①AD ⊥BE ，理由见详解；3．
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论；
（2）A.①利用手拉手模型，证明EOB DOA ≌，即可得到结论；②过点E 作EH ⊥CB 交CB 的延长线于点H ，连接CE ，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，即可求解；B.①延长DA 交OE 于点Q ，交BE 于点P ，利用“8”字模型得∠EPQ =∠QOD =90°，进而即可得到结论；②过点O 作OQ ⊥AC ，可得QO =1，利用勾股定理得3QF =
【详解】
解：（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，
∴ABC 是等腰直角三角形，
又∵AO EF ⊥，
∴OB =OC ，
同理：OE =OF ，
∴OE -OB =OF -OC ，
∴BE CF =；
（2）A.①AD =BE ，理由如下：
∵AO BC ⊥，OD ⊥EF ，
∴∠AOB =∠DOE =90°，
∴∠EOB =∠DOA ，。