第4节 万有引力定律与航天(超好用)

v
减 小
(单选 )(2014· 高考山东卷)2013 年 我国相继完成“神十”与“天宫”对接、 “嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程． 某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想： 如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球 表面发射到 h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞 船对接， 然后由飞船送“玉兔”返回地球． 设“玉兔”质量为 m， 月球半径为 R， 月面的重力加速度为 g 月．以月面为零势能面， “玉 GMmh 兔”在 h 高度的引力势能可表示为 Ep＝ ， 其中 G 为引力 R R＋ h 常量，M 为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完 成需要对“玉兔”做的功为 ( D )
(单选)(2014· 高考江苏卷)已知地球的质量约为火星 质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在
火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为 A( A．3.5 km/s B．5.0 km/s
C．17.7 km/s
[解析 ]
)
D．35.2 km/s
v火 GM ， 即 ＝ R v地 M火 R地 M地 R火
2
3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
4.卫星分类（按轨道分）
极 地 卫 星 赤 道 卫 星
其 他 卫 星
F1
F2 F
不 存 在
5.地球同步卫星
24h ① 周期 T = _______
赤道平面（为什么？） ② 轨道平面___________
相对于地面静止且与地球 自转具有相同周期的卫星叫做 地球的同步卫星，又叫通讯卫 星
36000km ③ h =_________
（如何求？）
思考：同步卫星的哪些物理量是 不变的呢？ ④ R、v、ω、T、an “全部固定” _______________ 结论： 地球同步卫星必须发射在赤道正 上方的固定高度，并且以固定的速 度环绕地球做圆周运动。
同步卫星又叫静止轨道卫星，通常用作通讯卫星
一、万有引力定律
太阳与行星之间的引力，与它们质量的 乘积成正比，与它们距离的平方成反比。 这就是牛顿的万有引力定律
公式
m1m2 F G 2 r
G为一个常数，叫做万有引力恒量, G=6.67×10-11N· m2/kg2
万有引力定律的理解
公式的适用条件: 质点或均质球体
r：质点(球心)间的距离
万有引力定律的意义
3、第三宇宙速度
大小：v=16.7km/s 意义：以这个速度发射，物体刚 好能摆脱太阳引力的束缚而飞到 太阳系以外，也叫逃逸速度。
注意：发射速度大于11.2km/s，而小于16.7km/s，卫星绕太阳 作椭圆运动，成为一颗人造行星。如果发射速度大于等于 16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空 间。
根据题设条件可知：M 地 ＝10M 火 ， R 地＝ 2R 火，由万有
2 v GMm 引力提供向心力 2 ＝ m ， 可得 v＝ R R
1 ＝ ，因为地球的第一宇宙速度为 v 地＝ 7.9 km/s，所以航天 5 器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率 v 火≈3.5 km/s， 选项 A 正确．
趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的 地 球同步卫星与现在的相比( A ) A．距地面的高度变大 C．线速度变大 B．向心加速度变大 D．角速度变大
2.(单选 )(2015· 高考福建卷)如图，若两颗人造卫星 a 和 b 均绕地球做匀速圆周运动， a、 b 到地心 O 的距离分别为 r1、 r2， 线速度大小分别为 v1、 v2， 则( A ) v1 r2 A. ＝ v2 r1 v1 B. ＝ v2 r1 r2
GM g' ( R h) 2
考点一、研究天体运动的基本方法
F引=F向
天体质量的计算
应 用
发现未知天体
计算天体质量的两条基本思路
1、物体在天体表面时受到的 重力等于万有引力
Mm mg G 2 R来自黄金代换：GM＝gR
g---------天体表面的重力加速度 R--------天体的半径
4.卫星运动中的机械能
动能 ①卫星的机械能 引力势能 ②同一圆轨道卫星动能、势能、 机械能变化吗？ ③相同质量不同圆轨道卫星动能、 势能、机械能有什么关系？
④同一椭圆轨道卫星动能、势能、 机械能变化吗？如何变化？
(单选)(2014· 高考天津卷)研究表明，地球自转在
逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种
Fn
F引
G
由于地球自转缓慢，所以大量的 近似计算中忽略了自转的影响， 认为地球表面处物体所受到的地 球引力近似等于其重力，即
GmM mg 2 R
重力加速度g
1、天体表面的重力加速度为
Mm mg G 2 R
GM g 2 R
2、离表面某一高度的物体的重力加速度（轨 道重力加速度）
Mm G m g' 2 ( R h)
万有引力相同
·
1、卫星在二轨道相切点
2、卫星在椭圆轨道运行
速度—内小外大（切点看轨迹） 近地点---速度大，动能大 远地点---速度小，动能小
卫星变轨原理
mv2 Mm 使卫星加速到v 2 , 使 G 2 R R
卫星在圆 轨道运行 速度V1
2
R
1
F引
θ＞900
2
V2
mv1 Mm G 2 R R
2
注意：发射速度与运行速度是两个不同的概念！
（ 1 ）发射速度：指被发射物在地面附近离开发射装置， 并且再无能量补充时获得的初速度，此时被发射物仅 依靠自己的初动能克服地球引力上升一定的高度，进 入运动轨道． 宇宙速度都是指发射速度 （2）环绕速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做 匀速圆周运动的线速度．当卫星“贴着”地面运行时， 运行速度等于第一宇宙速度． 卫星的实际环绕速度一定小于发射速度！
圆轨道b上经过N点时的加速度为a2，则a1＞a2
D．嫦娥三号在圆轨道a上的机械能小于在椭圆轨道b上的机 械能
考点四
宇宙速度的理解与计算
24kg
1.第一宇宙速度 计算 地球半径R=6400km，地球质量M=5.98×10
v=
GM = 7.9km / s R
卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动所必须具有的 速度——第一宇宙速度 。 要发射一颗半径大于地球半径的人造卫星，发射速度必须大 于7.9km/s 。但所有卫星的环绕速度（在轨道上的速度）都 一定小于7.9Km/s。所以第一宇宙速度是：
gR M G 2
2
计算天体质量的两条基本思路
2、行星（或卫星）做匀速圆周
运动所需的万有引力提供向心力
2
F引=F向
Mm v 2 2 2 G 2 ma向 m mr mr ( ) r r T
rvr M M G G
322
4 r M 2 GT
2
3
只能求出中心天体的质量！！！
(多选 )1798 年， 英国物理学家卡文迪许测出万有引力 常量 G， 因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人． 若已 知万有引力常量 G， 地球表面处的重力加速度 g， 地球半径 R， 地球上一个昼夜的时间 T1(地球自转周期 )，一年的时间 T2(地 球公转周期 )，地球中心到月球中心的距离 L1，地球中心到太 阳中心的距离 L2.你能计算出 ( AB ) gR2 A．地球的质量 m 地 ＝ G 4π2L3 2 B．太阳的质量 m 太＝ GT2 2 2 3 4π L1 C．月球的质量 m 月 ＝ GT2 1 D．可求月球、地球及太阳的密度
4.(单选 )一宇航员在某星球上以速率 v0 竖直上抛 一物体，经 t 秒落回原处，已知该星球半径为 R，那么该星 球的第一宇宙速度是( B ) v0t A. R C. v0R t B. D. 2v0R t v0 Rt
2v0 解析：由 2v0＝gt 得 g＝ ，由 v＝ gR得第一宇宙速度 t 2v0R 为 ，B 正确． t
v1 r2 2 C. ＝ ( ) v2 r1 v1 r1 2 D. ＝ ( ) v2 r2
考点三、卫星（航天器）变轨问题
卫星变轨原理
V
m
A
F引
Mm F引 G 2 r
v2 F向 m r
F引＜F向
F引＞F向
M
F引 F向
在A点万有引力相同
A点速度—内小外大（在A点看轨迹）
卫星变轨原理
思考：人造卫星在低轨道上运行，要想让其在 高轨道上运行，应采取什么措施？ 在低轨道上加速，使其沿椭 圆轨道运行，当行至椭圆轨 道的远点处时再次加速，即 可使其沿高轨道运行。
最小的发射速度 ,最大的环绕速度。（半径最小）
2、第二宇宙速度
大小：v=11.2km/s 意义：以这个速度发射，物 体刚好能克服地球的引力作 用，永远的离开地球而绕太 阳运动。也叫脱离速度。
注意：发射速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，卫星绕地 球运动的轨迹不是圆，而是椭圆；等于或大于11.2km/s时， 卫星就会脱离地球的引力，不再绕地球运行。
考点二
卫星运行参量的比较与运算
牛顿的设想 1、牛顿对人造卫星原理的描绘
2、卫星绕地球运行的动力学原因。
卫星在绕地球运行时，只受到地球对 它的万有引力作用，卫星作匀速圆周 运动的向心力由万有引力提供。
F引=F向
Mm v 2 2 2 G 2 ma向 m mr mr ( ) r r T
1.(单选 )(2014· 高考新课标全国卷Ⅱ)假设地球可视 为质量均匀分布的球体． 已知地球表面重力加速度在两极的大 小为 g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期为 T，引力常量 为 G.地球的密度为( B ) 3π g0－g A. 2 GT g0 3π C. 2 GT 3π g0 B. 2 GT g0－g 3π g0 D. 2 GT g
17世纪自然科学最伟大的成果之一，第 一次揭示 了自然界中的一种基本相互作用 的规律，在人类认识自然的历史上树立了一 座里程碑。 在文化发展史上的重大意义：使人们建立 了有能力理解天地间的各种事物的信心，解 放了人们的思想，在科学文化的发展史上起 了积极的推动作用。
万有引力恒量的测定
• 100多年后，英国人卡文迪许 利用扭秤才巧妙地测出了这个 恒量
3.(多选)(2015· 湖北八校第二次联考)如图为嫦 娥三号登月轨迹示意图．图中M点为环地球运行的近地 点， N点为环月球运行的近月点．a为环月球运行的圆轨道，b为
环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是(BD
)
A．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2 km/s B．嫦娥三号在M点进入地月转移轨道时应点火加速 C．设嫦娥三号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭