高考数人教A课后作业：8-1 直线的方程与两条直线的位置关系

1.(2011·安徽文，4)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()
A．－1B．1C．3D．－3
[答案] B
[解析]圆的圆心为(－1,2)，代入直线3x＋y＋a＝0，
∴－3＋2＋a＝0，∴a＝1.
2．(文)(2011·湛江市调研)如果直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋2y －3＝0互相垂直，那么a的值等于()
A．3 B．－1
3C．－3 D.
1
3
[答案] C
[解析]由两直线垂直可得2a＋3×2＝0，所以a＝－3，故选C.
(理)(2011·辽宁沈阳二中检测)“a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”的()
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析]两直线平行的充要条件是2
a＝
a
2≠
－1
－2
，即两直线平行的充
要条件是a＝±2.故a＝2是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．
[点评]如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B
的真子集，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p，q互为充要条件，若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件．3．(2011·皖南八校第三次联考)直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－5＝0
[答案] C
[解析]由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为(1,3)，直线2x－y＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0，选C.
[点评]可由点的对称特征及特值法求解．设所求直线上任一点P(x，y)，P关于x＝1对称的点P1(2－x，y)在直线2x－y＋1＝0上，∴2(2－x)－y＋1＝0，∴2x＋y－5＝0.
4．(2011·山东青岛模拟)已知函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)，当x<0
时，f(x)>1，方程y＝ax＋1
a表示的直线是()
[答案] C
[解析] ∵x <0时，a x >1，∴0<a <1.
则直线y ＝ax ＋1a 的斜率0<a <1，
在y 轴上的截距1a >1.故选C.
5．(文)(2011·西安八校联考)已知直线l 的倾斜角为3π4
，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且直线l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )
A ．－4
B ．－2
C ．0
D ．2
[答案] B
[解析] 依题意知，直线l 的斜率为k ＝tan 3π4
＝－1，则直线l 1的斜率为1，于是有2＋13－a
＝1，∴a ＝0， 又直线l 2与l 1平行，
∴1＝－2b ，∴b ＝－2，∴a ＋b ＝－2，选B.
(理)直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1,0)，且l 2的倾斜角是l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为( )
A ．y ＝6x ＋1
B ．y ＝6(x －1)
C ．y ＝34(x －1)
D ．y ＝－34
(x －1) [答案] D
[解析] 设直线l 1的倾斜角为α，则由tan α＝3可求出直线l 2的斜
率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α
＝－34，再由l 2过点(1,0)可得直线方程为y ＝－34(x －1)，故选D.
[点评] 由l 2过点(1,0)排除A ，由l 1的斜率k 1＝3>1知，其倾斜角大于45°，从而直线l 2的倾斜角大于90°，斜率为负值，排除B 、C ，选D.
6．(2010·温州十校)已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
[答案] C
[解析] 由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入直线方程解得m ＝3.
[点评] 还可利用k AB ⊥k l 求解，或AB
→为l 的法向量，则AB →∥a ，a ＝(1,2)．
7．(文)设点A (1,0)，B (－1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．
[答案] [－2,2]
[解析] 当直线过A 点时，b ＝2，当直线过B 点时，b ＝－2，∴－2≤b ≤2.
(理)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号)
[答案] ①⑤
[解析] 求得两平行线间的距离为2，则m 与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m 的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.
8．(2011·温州一检)已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、
B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．
[答案] 12
[解析] 由题意知A (2,0)，B (0,1)，所以线段AB 的方程用截距式
表示为x 2＋y ＝1，x ∈[0,2]，又动点P (a ，b )在线段AB 上，所以a 2
＋b ＝1，a ∈[0,2]，又a 2＋b ≥2ab 2，所以1≥2ab 2，解得0≤ab ≤12
，当且仅当a 2＝b ＝12，即P (1，12)时，ab 取得最大值12
.
1.(文)(2011·河北省藁城市模拟)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的
点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4
]，则点P 横坐标的取值范围为( )
A ．[－1，－12
] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[12
，1] [答案] A
[解析] 设P (x 0，y 0)，
由y ＝x 2＋2x ＋3，得y ′＝2x ＋2，
根据导数的几何意义，切线的斜率k ＝2x 0＋2.
又切线的倾斜角α的取值范围为[0，π4
]， ∴k ＝tan α∈[0,1]，即0≤2x 0＋2≤1，
解得－1≤x 0≤－12
，故选A.
(理)(2011·福州市期末)定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”．过函数y＝9－x2图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为()
A．10 B．11 C．12 D．13
[答案] B
[解析]依据“左整点”的定义知，函数y＝9－x2的图象上共有七个左整点，如图过两个左整点作直线，倾斜角大于45°的直线有：AC，AB，BG，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共11条，故选B.
2．(文)点(sinθ，cosθ)到直线x cosθ＋y sinθ＋1＝0的距离小于1 2，
则θ的取值范围是()
A．(2kπ－5π
6，2kπ－
π
6)(k∈Z)
B．(kπ－5π
12，kπ－
π
12)(k∈Z)
C．(2kπ－2π
3，2kπ－
π
3)(k∈Z)
D．(kπ－π
3，kπ－
π
6)(k∈Z)
[答案] B
[解析] 由点到直线的距离公式得： |sin θcos θ＋cos θsin θ＋1|cos 2θ＋sin 2θ
<12， ∴|sin2θ＋1|<12，∴－32<sin2θ<－12
. ∴2k π－5π6<2θ<2k π－π6
(k ∈Z)， ∴k π－5π12<θ<k π－π12
(k ∈Z)，故选B. (理)(2011·安徽省高三联考)点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离
相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22
，这样的点P 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[答案] C
[解析] ∵点P 到点A 和定直线x ＝－1距离相等，易知P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x .
设P (t 2,2t )，则22＝|2t －t 2|2
，解之得t 1＝1，t 2＝1＋2， t 3＝1－2，∴P 点有三个，故选C.
3．(2011·安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点P (2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
[答案] C
[解析] 设过点P (2,1)的直线方程为x a ＋y b ＝1，
则2a ＋1b ＝1，即2b ＋a ＝ab ，
又S ＝12
|a ||b |＝4，即|ab |＝8，
⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4－42b ＝－2＋22或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝42－4
b ＝－2－22. 所以所求直线共有3条，故选C.
4．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，那么( )
A ．b >0，d <0，a <c
B ．b >0，d <0，a >c
C ．b <0，d >0，a >c
D ．b <0，d >0，a <c
[答案] C
[解析] 由题意知l 1：y ＝－1a x －b a ， ⎩⎪⎨⎪⎧ －1a >0，
－b a <0，，∴⎩⎨⎧
a <0，
b <0. l 2：y ＝－1
c x －
d c ，由图知⎩⎪⎨⎪⎧ －1c >0，－d c >0，∴⎩⎨⎧
c <0，
d >0.
d －b a －c
>0，因为d －b >0，所以a >c ，故选C. [点评] 由直线的位置提供直线的斜率、在y 轴上的截距和两直线交点的信息，将这些信息用数学表达式表达出来即可解决问题．
5．(2010·河南许昌调研)如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，－3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．
[答案] [0，π2)∪(2π3
，π) [解析] 由题意f ′(x )＝a (x －1)2－3，
∵a >0，∴f ′(x )≥－3，因此曲线y ＝f (x )上任一点的切线斜率k ＝tan α≥－3，
∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α<π2或2π3
<α<π. 6．△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋1＝0y ＝0，得顶点A (－1,0)， ∴k AB ＝1，∵x 轴是∠A 的平分线，
∴k AC ＝－1，∴AC ：y ＝－(x ＋1)，
又k BC ＝－2，∴BC ：y －2＝－2(x －1)，∴C (5，－6)．
7．(文)过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．
[解析] 当k 不存在时B (3,0)，C (3,6)．
此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |，
∴直线l 的斜率存在，
∴设直线l 的方程为：y ＋1＝k (x －3)
令y ＝0得B (3＋1k ，0)
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x y ＋1＝k (x －3)得C 点横坐标x c ＝1＋3k k －2 若|BC |＝2|AB |则|x B －x C |＝2|x A －x B |
∴|1＋3k k －2
－1k －3|＝2|1k | ∴1＋3k k －2－1k －3＝2k 或1＋3k k －2－1k
－3＝－2k 解得k ＝－32或k ＝14
∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.
(理)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x (分)与水量y (升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．
[解析] 当0≤x ≤10时，直线过点O (0,0)，A (10,20)，∴k OA ＝2010
＝2，∴此时直线方程为y ＝2x ；
当10<x ≤40时，直线过点A (10,20)，B (40,30)，
此进k AB ＝30－2040－10＝13
， ∴此时的直线方程为y －20＝13
(x －10)， 即y ＝13x ＋503
； 当x >40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v 1，放水的速度为v 2，在OA 段时是进水过程，∴v 1＝2.在AB 段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v 1＋
v 2＝13
， ∴2＋v 2＝13.∴v 2＝－53
. ∴当x >40时，k ＝－53
. 又过点B (40,30)，
∴此时的直线方程为y ＝－53x ＋2903
. 令y ＝0得，x ＝58，此时到C (58,0)放水完毕．
综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤1013
x ＋503，10<x ≤40－53x ＋2903，40<x ≤58.
1．曲线y ＝k |x |及y ＝x ＋k (k >0)能围成三角形，则k 的取值范围是
( )
A ．0<k <1
B ．0<k ≤1
C ．k >1
D ．k ≥1
[答案] C
[解析] 数形结合法．在同一坐标系中作出两函数的图象，可见k ≤1时围不成三角形，k >1时能围成三角形．
2．已知直线l 1、l 2的方程分别为x ＋ay ＋b ＝0，x ＋cy ＋d ＝0，其图象如图所示，则有(
)
A ．ac <0
B ．a <c
C ．bd <0
D ．b >d
[答案] C
[解析] 由图可知，a 、c 均不为零．直线l 1的斜率、在y 轴上的
截距分别为：－1a 、－b a ；直线l 2的斜率、在y 轴上的截距分别为：－1c 、
－d c ，由图可知－1a <0，－b a >0，－1c <0，－d c <0，－1a >－1c ，于是得a >0，
b <0，
c >0，
d >0，a >c ，所以只有bd <0正确．
3．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的范围是( )
A ．[0，π)
B .⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，3π4 [答案] C
[解析] 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2
；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ
. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，
∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，
∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，3π4. 综上知倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，3π4，故选C. 4．若三直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12
＝0相交于一点，则k 的值为( )
A ．－2
B ．－12
C ．2 D.12
[答案] B
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0得交点P (－1，－2)， P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，∴k ＝－12
. 5．若三直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12
＝0能围成三角形，则k 不等于( )
A.32
B ．－2 C.32和－1 D.32、－1和－12
[答案] D
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0得交点P (－1，－2)， 若P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，则k ＝－12
. 此时三条直线交于一点；
若k ＝32
或k ＝－1时，有两条直线平行． 综上知k ≠－12，32
和－1.。