一元二次方程的根的判别定理之应用

一元二次方程根的判别定理的应用
一元二次方程根的判别定理的应用1：不解方程判别方程的根的情况. 例题不解方程，判别下列各方程的根的情况
（1）x²+x+1=0 （2）x²-3x+2=0 （3） 3x²-√2x=2
练习
对于一元二次方程ax²+bx+c=0,根据下列情况判断方程
根的情况：
（1）当a,c异号时；
（2）当a,c同号时，且满足（a-b）2+|b-c|=0时.
注意：
1.方程ax²+bx+c=0有实根与方程ax²+bx+c=0（a≠0）有实根有
什么不同吗？
方程ax²+bx+c=0有实根包括三种情况
（1）有唯一实根，此时a=0，b≠0
（2）有两个根，此时a≠0，b²-4ac≥0
（3）有无数个实根，此时a=0，b=0，c=0
方程ax²+bx+c=0（a≠0）有实根只有一种情况就是有两个实数根，此时a≠0，b²-4ac≥0
2.方程ax²+bx+c=0无实根与方程ax²+bx+c=0（a≠0）无实根有
什么不同吗？
方程ax²+bx+c=0无实根包括两种情况
（1）a=0，b=0 ,c≠0
（2）a≠0，b²-4ac＜0
方程ax²+bx+c=0（a≠0）无实根只有一种情况，此时a≠0，b²-4ac＜0
根据一元二次方程的根的情况确定方程中参数的值或取值范围
例题1.若关于x的一元二次方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围
2.如果关于x的方程k²x²-（2k+1）x+1=0有两个实数根，
求k的取值范围？
3.已知于x的方程x²-√2k+4x+2=0无实数根，
（1）求k的取值范围
（2）|-k-2|+√k2−4k+4
练习
1.已知一元二次方程ax²+x+c=0能用公式法求解,求a,c所满足的条件
2.已知关于x的二次方程（1-2k）x²-2√k x-1=0有实数根,求k的取值范围.
3.若关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x²+6=0没有实数根，
求满足条件的最小整数k.
4.若a,b,c为△ABC的三边长，且关于x的方程a(1+x²)+2bx-c (1-x²)=0
的两根相等，试判断的形状并证明.
5.若关于x一元二次方程（a-2）x²-2ax+a+1=0没有实数根.
求ax+3＞0的解集.（用含a的式子表示）
6.已知方程(m-2) x²- √3−m x+ 1
4
=0,有两个实数根，求m的取值范围. 7.已知一元二次方程方程(ab-2b)x²+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等实根，
求1
a
+1
b
的值.
8.关于x的方程x²-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 . 一元二次方程根的判别定理的应用之三：进行有关的证明
例题已知关于x的一元二次方程x²-2kx+ 1
2
k²-2=0
求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根
练习
1.求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程x²-mx+m-2=0都有两个不相
等的实数根.
2.已知关于x的一元二次方程mx²+nx+p=0,其中m,n同号，且m+n+p=0,
求证：方程有两个不相等的实数根.
3.已知a,b,c为△ABC的三边长，
求证：方程bx²+2(a-c)x-(a+b-c)=0有两个不相等的实数根.
一元二次方程根的判别定理的应用之四：求二次三项式的最大或最小值求下列各式的最大值或最小值
（1）-2x²+3x-2
（2） 2x²+3x+1。