理论力学2.2、平面任意力系的合成与平衡
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理论力学第2章平面任意力系
力系的平衡条件
1 平衡是什么？
当一个力系的合力和 力矩均为零时，力系 处于平衡状态。
2 两种平衡条件
3 例子带你理解
静力平衡：合力为零； 动力平衡：合力和力 矩均为零。
想象一根平衡的杆子 上有两个重物，它们 的合力和力矩必须为 零才能保持平衡。
力系的分解与合成1源自分解为矢量我们可以将力系拆分为矢量来计算各个力的作用效果。
3 举个例子！
假设我们有一辆汽车，它受到来自引擎、摩擦力和空气阻力的多个力的作用，这些力构 成了一个平面任意力系。
力系的合力和力矩
1 合力是什么？
合力指的是将力系中所有力的作用效果合成为一个力的过程。
2 力矩有何作用？
力矩描述了力对物体的旋转效应，它是力与力臂之乘积。
3 实际应用！
在建筑工程中，我们需要计算各个力的合力和力矩，以保证结构的稳定性和安全性。
2 应用广泛
平面任意力系的原理和方法在工程、建筑、力学等领域有着广泛的应用。
3 继续探索
通过实际问题的解题和应用，进一步深入理解和掌握平面任意力系的知识。
2
合成为合力
将分解后的矢量合成为一个力，即合力。
3
应用灵活多样
分解与合成的方法在解决实际问题时非常有用，可以简化复杂的力系分析。
力系的简化
简化示意图
通过使用简化的示意图，我们可以更清晰地表 示和分析复杂的力系。
矢量图
利用矢量图的方法，我们可以将复杂的力系简 化为几个简单的力的作用效果。
解题方法与实例
理论力学第2章平面任意 力系
欢迎来到理论力学第2章的精彩世界！在本章中，我们将了解平面任意力系的 定义、合力和力矩、平衡条件、分解与合成、简化、解题方法、实例以及总 结与应用。
理论力学平面任意力系课件
则都是基于矢量运算的基本原理。
05
平面任意力系的应用
平面任意力系在工程中的应用
桥梁和建筑结构
在桥梁和建筑结构的设计和施工中， 需要分析平面任意力系对结构的影响 ，以确保结构的稳定性和安全性。
机械系统
航空航天
在航空航天领域，平面任意力系分析 对于飞行器的设计和性能优化至关重 要，它涉及到飞行器的稳定性、操控 性和安全性等方面。
平衡方程的应用举例
总结词
理解平衡方程的应用场景
详细描述
通过具体的应用举例，能够更好地理解平衡方程的应用场景和实际意义。例如，在工程 实际中，可以运用平衡方程解决各种平面力系的平衡问题，如吊车梁、桥梁、支架等结 构的稳定性分析。此外，平衡方程在机械、航空航天、土木工程等领域也有广泛的应用
。
04
平面力系的合成与分解
力矩和力矩的平衡方程
要点一
总结词
力矩是描述力的转动效果的物理量，其平衡方程是解决转 动问题的关键。
要点二
详细描述
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂 的乘积。在平面问题中，通常需要分析力和力矩的作用效 果，以确定物体的运动状态。通过建立力矩的平衡方程， 可以求解出未知量，从而解决转动问题。
应用场景
在分析刚体平衡时，可以将力平移到 刚体的任意一点，简化分析过程。
平面任意力系的简化结果
主矢
所有力矢量按平行移动到同一点 后的等效力矢量。
主矩
所有力矩矢量按平行移动到同一 点后的等效力矩矢量。
固定点和刚体的选择对简化结果的影响
固定点选择
选择不同的固定点进行力的平移，会得到不同的主矢和主矩 。固定点的选择会影响到平面任意力系的简化结果。
刚体选择
05
平面任意力系的应用
平面任意力系在工程中的应用
桥梁和建筑结构
在桥梁和建筑结构的设计和施工中， 需要分析平面任意力系对结构的影响 ，以确保结构的稳定性和安全性。
机械系统
航空航天
在航空航天领域，平面任意力系分析 对于飞行器的设计和性能优化至关重 要，它涉及到飞行器的稳定性、操控 性和安全性等方面。
平衡方程的应用举例
总结词
理解平衡方程的应用场景
详细描述
通过具体的应用举例，能够更好地理解平衡方程的应用场景和实际意义。例如，在工程 实际中，可以运用平衡方程解决各种平面力系的平衡问题，如吊车梁、桥梁、支架等结 构的稳定性分析。此外，平衡方程在机械、航空航天、土木工程等领域也有广泛的应用
。
04
平面力系的合成与分解
力矩和力矩的平衡方程
要点一
总结词
力矩是描述力的转动效果的物理量，其平衡方程是解决转 动问题的关键。
要点二
详细描述
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂 的乘积。在平面问题中，通常需要分析力和力矩的作用效 果，以确定物体的运动状态。通过建立力矩的平衡方程， 可以求解出未知量，从而解决转动问题。
应用场景
在分析刚体平衡时，可以将力平移到 刚体的任意一点，简化分析过程。
平面任意力系的简化结果
主矢
所有力矢量按平行移动到同一点 后的等效力矢量。
主矩
所有力矩矢量按平行移动到同一 点后的等效力矩矢量。
固定点和刚体的选择对简化结果的影响
固定点选择
选择不同的固定点进行力的平移，会得到不同的主矢和主矩 。固定点的选择会影响到平面任意力系的简化结果。
刚体选择
平面力偶系的合成与平衡
目录
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
1.1 平面力偶系的合成
设在刚体某一平面内作用有两个力偶M1、M2（图a）。 根据力偶的等效性质，任取一线段AB=d作为公共力偶臂，根据 力偶的等效性质，将力偶M1、M2移动，并把力偶中的力分别改变为 （图b）
F1
F1
M1 d
,
F2Biblioteka F2M2 d目录
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
M=20kN·m，梁的跨长l=5m，倾角＝30，求支座A、B处的反力，
梁的自重不计。
目录
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
【解】取梁AB为研究对象。
受力如图所示。
由力偶系的平衡方程，有
FBl cos M 0
得
FB
M
l cos
20k N m 5 m c os30
4.62kN
故
FA FB 4.62kN
目录
理论力学
若平面力偶系的合力偶的矩为零，则刚体在该力偶系作用下将 不转动而处于平衡；反之，若刚体在平面力偶系作用下处于平衡， 则该力偶系的合力偶的矩为零。故平面力偶系平衡的充要条件是合 力偶的矩等于零，即
M 0
该式称为平面力偶系的平衡方程。平面力偶系只有一个独立的平衡 方程，只能求解一个未知量。
目录
平面力系\平面力偶系的合成与平衡 【例3.5】 如图所示梁AB受一力偶的作用，力偶的矩
理论力学
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系的合成与平衡
作用面都位于同一平面内的若干个力偶，称为平面力偶系。例 如，齿轮箱的两个外伸轴上各作用一力偶（如图），为保持平衡， 螺栓A、B在铅垂方向的两个作用力也组成一力偶，这样齿轮箱受到 三个在同一平面内的力偶的作用，这三个力偶组成一平面力偶系。
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
1.1 平面力偶系的合成
设在刚体某一平面内作用有两个力偶M1、M2（图a）。 根据力偶的等效性质，任取一线段AB=d作为公共力偶臂，根据 力偶的等效性质，将力偶M1、M2移动，并把力偶中的力分别改变为 （图b）
F1
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,
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平面力系\平面力偶系的合成与平衡
M=20kN·m，梁的跨长l=5m，倾角＝30，求支座A、B处的反力，
梁的自重不计。
目录
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
【解】取梁AB为研究对象。
受力如图所示。
由力偶系的平衡方程，有
FBl cos M 0
得
FB
M
l cos
20k N m 5 m c os30
4.62kN
故
FA FB 4.62kN
目录
理论力学
若平面力偶系的合力偶的矩为零，则刚体在该力偶系作用下将 不转动而处于平衡；反之，若刚体在平面力偶系作用下处于平衡， 则该力偶系的合力偶的矩为零。故平面力偶系平衡的充要条件是合 力偶的矩等于零，即
M 0
该式称为平面力偶系的平衡方程。平面力偶系只有一个独立的平衡 方程，只能求解一个未知量。
目录
平面力系\平面力偶系的合成与平衡 【例3.5】 如图所示梁AB受一力偶的作用，力偶的矩
理论力学
平面力系\平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系的合成与平衡
作用面都位于同一平面内的若干个力偶，称为平面力偶系。例 如，齿轮箱的两个外伸轴上各作用一力偶（如图），为保持平衡， 螺栓A、B在铅垂方向的两个作用力也组成一力偶，这样齿轮箱受到 三个在同一平面内的力偶的作用，这三个力偶组成一平面力偶系。
理论力学02平面力系的简化和平衡
M o ( FR ) FRY x FRX y
注意该式对作用线上任意点的x和y都成立。即它就是作用线 方程
例题 2.1
2.3 平面力偶系
作用在同一平面的多个力偶构成平面力偶系 以其中任一力偶为基准，通过移转、改变力偶臂长度， 将其他力偶与该基准力偶叠合，得到两个汇交力系，再 分别合成可以得到一个新力偶-------原力偶系的合力偶
2. 力影
两个力，一个未知
注
[例] 已知：P=20kN, m=16kN· m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
Rx Fx
Ry 方向： tg Rx
作用点： 平衡方程为
tg
1
Ry Rx
tg
1
F F
y
x
为该力系的汇交点
Rx Fx 0
Ry Fy 0
合力矩定理： 合力对任意点之矩，等于其各个 分力对同一点之矩的代数和
M o ( FR ) M o ( Fi )
X 0 平面 Y 0 任意力系
设由n个物体组成
N1个二力杆（或力偶系） n1个独立平衡方程 N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系） X 0 2*n2个独立平衡方程 Y 0
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0 mO ( Fi ) 0
平衡方程总数：
3×n3三个独立方程，
雨搭
车刀
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一
平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交
分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,
理论力学平面任意力系资料课件
稳定性判定准则
根据受力情况，可以判定一个平衡 状态是否稳定，准则包括牛顿第二 定律、虚位移原理和最小势能原理 等。
04 平面任意力系的实例分析
固定端约束的受力分析
01
固定端约束的定义
固定端约束是指物体在某个固定点受到限制，不能沿约束方向移动或转
动。
02 03
固定端约束的受力特点
固定端约束限制了物体在约束方向上的移动和转动，因此会产生约束反 力。约束反力的大小和方向取决于物体的质量、物体的运动状态以及约 束的形式。
光滑接触面的受力分析方法
对于光滑接触面，我们需要分析接触点处物体的受力情况。根据牛顿第三定律，接触点处 物体受到的法向力大小相等、方向相反。因此，只需要分析其中一个物体的受力情况即可 。
弹性力学问题的受力分析
要点一
弹性力学问题的定义
弹性力学问题是指物体在受到外力作 用时，其内部会产生应力和应变，当 外力消失时，物体能够恢复到原来的 状态。
力的合成
两个或多个分力可以合成一个合力。合力的大小和方向等于 各分力大小和方向的矢量和。
力的矩与转动
力的矩
力对某点产生的力矩等于该点到该力的距离乘以该力的大小。力矩的方向垂直于由力作用点到该点的 向量和该点到转动轴的向量所组成的平面。
转动平衡
当物体所受的合力矩为零时，物体处于转动平衡状态。此时，物体的角速度为零，或者角加速度也为 零。
05 平面任意力系的计算方法
解析法求解平衡问题
01
02
03
解析法
通过已知的约束反力和未 知的约束反力，建立平衡 方程，求解未知的约束反 力。
平衡方程
根据力的平衡条件，建立 的关于约束反力的代数方 程。
求解步骤
根据受力情况，可以判定一个平衡 状态是否稳定，准则包括牛顿第二 定律、虚位移原理和最小势能原理 等。
04 平面任意力系的实例分析
固定端约束的受力分析
01
固定端约束的定义
固定端约束是指物体在某个固定点受到限制，不能沿约束方向移动或转
动。
02 03
固定端约束的受力特点
固定端约束限制了物体在约束方向上的移动和转动，因此会产生约束反 力。约束反力的大小和方向取决于物体的质量、物体的运动状态以及约 束的形式。
光滑接触面的受力分析方法
对于光滑接触面，我们需要分析接触点处物体的受力情况。根据牛顿第三定律，接触点处 物体受到的法向力大小相等、方向相反。因此，只需要分析其中一个物体的受力情况即可 。
弹性力学问题的受力分析
要点一
弹性力学问题的定义
弹性力学问题是指物体在受到外力作 用时，其内部会产生应力和应变，当 外力消失时，物体能够恢复到原来的 状态。
力的合成
两个或多个分力可以合成一个合力。合力的大小和方向等于 各分力大小和方向的矢量和。
力的矩与转动
力的矩
力对某点产生的力矩等于该点到该力的距离乘以该力的大小。力矩的方向垂直于由力作用点到该点的 向量和该点到转动轴的向量所组成的平面。
转动平衡
当物体所受的合力矩为零时，物体处于转动平衡状态。此时，物体的角速度为零，或者角加速度也为 零。
05 平面任意力系的计算方法
解析法求解平衡问题
01
02
03
解析法
通过已知的约束反力和未 知的约束反力，建立平衡 方程，求解未知的约束反 力。
平衡方程
根据力的平衡条件，建立 的关于约束反力的代数方 程。
求解步骤
理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
理论力学 第2章 平面力系的简化和平衡
l 0
xq
(
x ) dx
FR'0，MO0；故可合成为一个合力，且
FR=
FR'=
l 0
q
(
x ) dx
FR大小等于分布载荷图形的面积
合力FR的作用线到O的距离为：
h=MO/FR'=
l xq
0
(x)dx
/
lq
0
(x ) dx
FR的作用线通过分布载荷图形的形心。 33
情况 向O点简化的结果 力系简化的最终结果
分类 主矢FR' 主矩MO （与简化中心无关）
1
FR’=0 MO=0 平衡状态（力系对物体的移动
和转动作用效果均为零）。
2
FR'=0
MO0 一个合力偶，M=MO。
3
FR0
MO=0 合力FR=FR，作用线过O点。
4
FR‘0
MO0 一个合力，其大小为 FR=FR，
m
求得： RA AB cos30 144N
0.24
对CD杆：m 0 m Rc 0.182 0.242 0.2322 0
§2–3 平面任意力系的合成与平衡
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点 又不相互平行的力系叫∼。
[例]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
现mo (R ) mo (F1)mo (F2 )证毕
3、平面汇交力系合成与平衡的解析法
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即：
R 0 Rx2 Ry2 0
Rx X 0 Ry Y 0
大学本科理论力学课程第2章平面汇交力系
F1
F1 b F2
O
F3
F2 a FR
c
F3
d
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第二章 平面汇交力系
二、平衡
平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭， 即P28
FR 0 或
F1 F2 F3 F4 0
F4
F1
O
F2
F3
两个矢量关系图
F1
a
b F2
c
F4
F3
d
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第二章 平面汇交力系
思考题
试指出图示平面汇交力系所作的力多边形各力 矢量关系如何？合成结果是什么？
(a)
(b)
(c)
(d)
P36
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第二章 平面汇交力系
例2-1 水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成
60º角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力 。梁的自重不计。
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第二章 平面汇交力系
由图a知，若已知力FR 的大小FR 和
其与x轴、y轴的夹角为a、b，则
y
Fx FR cosa
Fy FR cos b FR sin a
即力在某个轴上的投影等于力的大小 乘以力与该轴的正向间夹角的余弦。
b1 a1
Fy
b
B
a FR
A
当a、b为锐角时，Fx、Fy均为正值； 当a、b为钝角时，Fx、Fy为负值。 O
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第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
1、平面汇交力系合成与平衡的几何法
（1）平面汇交力系的合力为力多边形（各力依次首尾连接）的封闭边 （2）平面汇交力系平衡的充要条件（几何法）是：力多边形（各力依次首尾连接）自行封闭
第二章 理论力学平面力系
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系) 平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
2.1 平面汇交力系的合成与平衡
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 1、几何法
Y X
87.46 8.852, 83.55O 9.88
由于FRx为负，FRY为正，故 在第二象限，合力 FR的作用线通过汇交点O，如图2.12
【例2.5】
如图2.1 3所示为建筑工地使用的 井架把杆装置，杆AB的一端铰接在井架上， 另一端用钢索BC与井架连接。重物通过卷扬 机由绕过滑轮BC的钢索起吊。已知重物 Fw=2kN，把杆重量、滑轮的重量及滑轮的大 小不计，滑轮的轴承是光滑的。试求钢索BC 的拉力和把杆AB所受的力。
由图2.14(b)可知 DB CB cot l cot 30 0 tan 0.866 AB 2l 2l 40.90 将 40.90 代入方程并求解得 FA 13.2 KN FB 8.66 KN
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
2、主矢和主矩
主矢：力系各力的矢量和，即 主矩：力系中各力对于任选简化中心O之矩的矢量和，即
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）任何第四个方程只是前三个方程的线 性组合，因而不是独立的。
我们可以利用这个方程来校核计算的结果。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
四、平面平行力系
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1．平面平行力系是平面任意力系的一种特 殊情形。 2．如图3-10 所示，设物体受平面平行力系 F1，F2，…，Fn 的作用。如选取 x 轴与各力 垂直，则不必力系是否平衡，每一个力在 x 轴上的投影恒等于零，即 。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解： （1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有： 均布载荷 q， 重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有： 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ，滚动支 座 B 处铅直向上的约束力FB。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程
取坐标系如图3-6 所示，列平面任意力 系的平衡方程，即
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）求解方程
求解以上方程，得
FB 为负值，说明它的方向与假设的方向相 反，即应指向左。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
b．如果力系对另一点 B的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连 线，或者平衡（图3-9）。 c．如果再加上 ，那么力系如 有合力，则此合力必与 x 轴垂直。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-9
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学平面任意力系的平衡条件及方程
理论力学平面任意力系的平衡条件及方程一、平面任意力系的平衡条件平面任意力系平衡的必要和充分条件为：力系的主矢和对任一点的主矩M O 都等于零，F R'=M O =∑M O (F i )二、平面任意力系的平衡方程∑F ix =0∑F iy =0∑M (F )=0O i ⎧⎪⎨⎪⎩⎧∑F x =0⎨∑M A (F )=0⎩∑M B (F )=0条件：x AB⎪⎪⎧∑M A (F )=0⎨∑M B (F )=0⎩∑M C(F )=0条件：A ，B ，C 点⎪⎪上式只有 个独立方程，只能求出 个未知数。
[例]求图示刚架的约束力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
q∑F x =0:F Ax -qb =0∑F y =0:F Ay -F =0∑M A (F )=0:M -Fa -1qb 2=02=qb A解 ：F Ax F Ay =F 212A M =Fa +qbq[例]求图示梁的支座约束力。
解：以梁为研究对象，受力如图。
∑F x =0:F Ax +F cos θ=0∑F y =0:F Ay +F B -F sin θ=0∑M A (F )=0:F B a -F sin θ⋅(a +b )-M =0解 ：=-F cos θF Ax =M +F sin θ(a +b )aB F =-M +Fb sin θAyFa[例] 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F 1=2 kN ，F 2=1.5 kN ，M =1.2 kN·m ， l 1=1.5 m ，l 2=2.5 m ，试求铰支座A 及支座B 的约束力。
60解：1、 梁为研究对象，受力分 如图2、 平衡方程3、解方程∑MA(F )=0F B l 2-M -F 1l 1-F 2(l 1+l 2)sin60=Fx=0F Ax -F 2cos ∑60=0=0∑FyF Ay +F B -F 1-F 2sin 60=0=0.75kN F =3.56kN=-0.261kNF Ax B F Ay[例]悬臂吊车如图所示。
第4章 平面任意力系的合成与平衡 课件
合力FR = 20×3+1/2×（40-20）×3 = 90kN
MA = -（20×3×1.5+1/2×20×3× ×3）= -120kN·m
4.3平面平行力系的合成与平衡
2.平面平行力系的平衡方程
Fy 0 M O ( Fi ) 0
或二力矩式
M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0
谢 谢
4.2平面任意力系的平衡
注意：计算结果为正值，说明力的实际方向与假设 方向一致；计算结果为负值，说明力的实际方向与 假设方向相反。在答案后面的括号内均要注明力的 实际方向。
4.3平面平行力系的合成与平衡
1.合力矩定理 平面力系的合力FR对平面内任一点的矩等于各分 力Fi对同点矩的代数和，即
M（ MO (F1 ) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi ) O FR）
第4章 平面任意力系的 合成与平衡
第4章 平面任意力系的合成与平衡
4.1平面任意力系的简化 4.2平面任意力系的平衡方程 4.3平面平行力系的合成与平衡 4.4物体系统的平衡问题
学习目标
通过本章的学习，熟悉平面任意力
系的简化与平衡，掌握平面平行力
系的合成与平衡方程，能对物体系
统的平衡问题进行分析。
A、B、C不共线
x AB
4.2平面任意力系的平衡
平面任意力系平衡方程的解题步骤 （1）确定研究对象，画出受力图。应取有 已知力和未知力作用的物体，画出其分离体 的受力图。 （2）列平衡方程并求解。适当选取坐标轴 和矩心。若受力图上有两个未知力互相平行 ,可选垂直于此二力的坐标轴,列出投影方程 。如不存在两未知力平行，则选任意两未知 力的交点为矩心列出力矩方程，先行求解。 一般水平和垂直的坐标轴可画可不画，但倾 斜的坐标轴必须画。
工程力学第二章平面力系的合成与平衡汇总
工程力学第二章平面力系的合成与平衡汇总平面力系的合成与平衡在工程力学中是一个重要的概念，它主要涉及到力的合成、力的平衡等内容。
本文将对平面力系的合成与平衡进行详细介绍，内容包括力的合成原理、平面力系的合成方法、平面力系的合力与合力矩计算、平面力系的平衡条件等。
一、力的合成原理力的合成是指将多个力合成为一个力的过程。
根据几何矢量的加法原理，力的合成可以利用力的几何矢量的三角法来求解。
对于平面力系的合成，常用的方法有三角法和平行四边形法。
三角法是指利用三角形的几何性质，将力矢量首尾相接形成一个封闭的多边形，通过测量角度和边长计算出合力的大小和方向。
根据三角法，合力的大小可以用正弦定理或余弦定理求解，合力的方向可以用正切函数求解。
平行四边形法是指将力矢量按照一定比例平移，使它们首尾相接并形成一个平行四边形，通过测量平行四边形的对角线计算出合力的大小和方向。
根据平行四边形法，合力的大小等于对角线的长度，合力的方向与对角线的方向相同。
二、平面力系的合成方法平面力系的合成方法有两种，即图解法和代数法。
图解法是指利用力的几何图形进行合成计算。
它可以根据力的合成原理，通过画出力矢量的几何图形，测量几何图形的相关参数来求解合力的大小和方向。
代数法是指利用向量的代数运算进行合成计算。
它可以根据力的合成原理，通过将力矢量分解为水平和垂直方向的分量，然后将这些分量相互相加来求解合力的大小和方向。
三、平面力系的合力与合力矩计算合力是指平面力系中所有力的矢量和。
合力的大小等于各个力的大小的矢量和，合力的方向与各个力的方向相同。
合力矩是指平面力系中所有力矢量与其中一点的矢量积的矢量和。
合力矩的大小等于各个力矢量和它们到该点的距离的乘积的矢量和，合力矩的方向可以通过右手定则或左手定则确定。
四、平面力系的平衡条件平面力系的平衡表示力系的合力和合力矩都等于零。
根据平衡条件，可以推导出平面力系平衡的两个基本方程：合力矢量和合力矩矢量分别等于零。
第二章平面力系的合成与平衡
对任意一个汇交力，有
Rx Fx1 Fx2 Fxn Fx Ry Fy1 Fy2 Fyn Fy
合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。
第二节 平面汇交力系的合成与平衡
、
3、用解析法求平面汇交力系的合力
（1）可选直角坐标系，先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影， （2）再根据合力投影定理求得合力在x，y轴上的投影Rx,Ry （3）合力R的大小和方向由下式定，即
Rx 66.5
44.4
第二节 平面汇交力系的合成与平衡
4、平面汇交力系的平衡
平面汇交力系平衡的充分必要条件是平面汇交力系的合力为零
Rx Fx 0 Ry Fy 0
平面汇交力系平衡问题的解析法解题步骤如下。 (1)选取研究对象，画受力图。 (2)建立坐标系。 (3)根据平衡条件列出平衡方程，并求解未知量。
一、力的性质 性质一 力的三要素
大小 方向 作用点
确定力的必要因素
力的表示法 ——力是一矢量，用数学上的矢量记号
来表示，如图。
F
力的单位 —— 在国际单位制中，力的单位是牛顿
第一节 力、力矩、力偶及物体受力分析 力在刚体上的可传性
作用于刚体上的力，其作用点可以沿作用线在该 刚体上任意移动，而不改变力对该物体的外效应。
的大小相等，方向相反，作用线重合
第一节 力、力矩、力偶及物体受力分析
当物体在两个力作用下处于平衡，则该物体称之为二力体， 当物体是杆件时，称为二力杆
第一节 力、力矩、力偶及物体受力分析
三力平衡汇交定理
刚体受三个力作用而平衡时，若其中两个力的作用线交于一点，则此三 力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点
FR
O
MO
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m F1 OA F2 OB F1 ( OB OA) F1 AB
m F1 OA F2 OB F1 ( OA OB ) F1 AB
3
力 线 作用在刚体上的力可以离开其作用线而平 平 行移动到刚体上任意位置处,但必须对刚体 移 附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原力 定 对平移后所得新力作用点的力矩。 理
求细绳的拉力和A、B两处的支持力。
解、研究对象：AB，受力 如图所示，则有：
Fix Fiy mD
0 0
(Fi )
0
FB FD G FA c
FA
os
sin 0
FB
BD
G
AB 2
0 sin
FA
AD
0
FA 115.5(N) FB 72.2(N ) FD 129.9(N) 12
例2.2-6、匀质细杆AB长度为L，重量为mg，静 止在半径为r的光滑半圆槽内（图2.2-17），
L=3r；求AB杆与水平线之间的夹角
解、研究对象:AB杆,受力如 图所示,则有:
Fix 0 Fiy 0 mO (Fi ) 0
FB FB
cos(2 ) FD sin sin(2 ) FD cos
d mO 2402 3.39(m) FR 709 .5
xE
d
sin
3.39 sin 70.8
3.59(m)
y yE tan 70.8 (x xE ) y 2.87x 10.31 0
10
课堂练习题(图示)：
a 1m F1 10KN F2 14.14KN
8
例2.2-2、某重力坝受力如图所示；G1=450KN， G2=200KN，F1=300KN，F2=70KN; 求: （1）力系向坐标原点O简化后的结果； （2）力系合力与坐标原点O之间的垂直距离； （3）力系合力作用线在坐标系oxy中的直线方程;
三峡混凝土重力坝
9
G1=450KN F1=300KN G2=200KN F2=70KN
F4'
F1
F2
F3
F4
FR
Fi
mO mO (F1 ) mO (F2 ) mO (F3 ) mO (F4 ) mO (Fi )
d mO / F
称 FR 为原力系的主矢;
称 mO 为原力系的主矩;
称 F 为原力系的合力;
力系合成思想对n个力构成的力系都成立（n≥27 ）
平面任意力系合成结果讨论
（1） FR 0 mO 0 得原力系的合力 F
（2） FR 0
mO 0 原力系的合力刚好
经过简化中心（O点）
பைடு நூலகம்
（3）FR 0
mO 0 原力系等效于一个力偶 mO
（4） FR 0
mO 0 原力系对物体的作用效果
相互抵消，是平衡力系
平面任意力系最终的简化合成结果有三种:一个 合力/一个合力偶/一个平衡力系。
650 70 sin16.7
670.1(KN )
FR FR2X FR2Y 709.5 arctan670.1/ 233.0 70.8
mO 3 F1 1.5 G1 4 G2 1.2 F2 cos (5.7 1.2 tan ) F2 sin 2402
2.2、平面任意力系的合成与平衡 通常所说的平面任意力系： 1、作用线既不汇交于同一点处，也不全部相 互平行的平面力系 2、如果一个空间力系（力的作用线不在同一 个平面内）关于某个平面对称，也可以把这 个空间力系简化为对称平面内的平面力系
1
平面力矩
力F对O点的矩 矩心：O点 力臂：d 力矩：m=F·d
力是滑动矢量，但不是自由矢量。
4
力线平移定理的应用：力与力偶之间的 “合成”
5
例确性2.2；-1左、图平所行示力的的两合 个成平问行题力，证F明1 杠F杆2 定可律以的合正并
为右图所示的合力F12。现在要 证明三个结论：
F12 F1 F2 F1 // F12 // F2 F1 AE F2 BE
F3 20 KN F4 10KN 求这四个力的合力（大小、方向、作用线与 梁轴线交点的位置）
11
物体在平面任意力系作用下的平衡条件是什么？
例2.2-3、均质杆AB重量G=100N，长度为L=1m, 两端分别靠在光滑的斜面和竖直墙面上(图示),被
一根水平细绳DE拉住而保持平衡状态， 30
m1 F1 BC F1 AB cos
F12 F1 F2
m12 m1
BE cos BD m1
F12
F2 BE F1 AE
6
平面任意力系的合成（以4个力构成的力系为例）
FR'
F1'
F 2'
F3'
平面力矩是代数量：大小、旋向； 平面汇交力系的合力对作用面内任意一点的力矩 ，等于各分力对该点力矩的代数和
2SOAC 2SOAD 2SOAB
2
力偶中的两个力对力作用面内任 意一点力矩的代数和恒等于力偶矩 本身,与矩心点位置无关
m F1 OA F2 OB F1 ( OB OA) F1 AB
0 mg
FD
mg cos(2 ) cos
FD cos r mg[r (2r cos 0.5L) cos ] 0
4cos2 1.5cos 2 0 23.2
13
例2.2-4、图示无重水平梁,力F=10KN, m 20KN m 均布载荷的集度 q 8KN / m ,a=1m;求支座A/B处 的约束力。
解： arctan[(5.7 3) / 9]
16.7
y 3m
A
B
1.5m
9m
G1
F1
4m
3m O
G2
5.7m
F2
1.2m
Cx
FRX F1 F2 cos 300 70 cos16.7 233.0(KN )
FRY
G1 G2
F2 sin
m F1 OA F2 OB F1 ( OA OB ) F1 AB
3
力 线 作用在刚体上的力可以离开其作用线而平 平 行移动到刚体上任意位置处,但必须对刚体 移 附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原力 定 对平移后所得新力作用点的力矩。 理
求细绳的拉力和A、B两处的支持力。
解、研究对象：AB，受力 如图所示，则有：
Fix Fiy mD
0 0
(Fi )
0
FB FD G FA c
FA
os
sin 0
FB
BD
G
AB 2
0 sin
FA
AD
0
FA 115.5(N) FB 72.2(N ) FD 129.9(N) 12
例2.2-6、匀质细杆AB长度为L，重量为mg，静 止在半径为r的光滑半圆槽内（图2.2-17），
L=3r；求AB杆与水平线之间的夹角
解、研究对象:AB杆,受力如 图所示,则有:
Fix 0 Fiy 0 mO (Fi ) 0
FB FB
cos(2 ) FD sin sin(2 ) FD cos
d mO 2402 3.39(m) FR 709 .5
xE
d
sin
3.39 sin 70.8
3.59(m)
y yE tan 70.8 (x xE ) y 2.87x 10.31 0
10
课堂练习题(图示)：
a 1m F1 10KN F2 14.14KN
8
例2.2-2、某重力坝受力如图所示；G1=450KN， G2=200KN，F1=300KN，F2=70KN; 求: （1）力系向坐标原点O简化后的结果； （2）力系合力与坐标原点O之间的垂直距离； （3）力系合力作用线在坐标系oxy中的直线方程;
三峡混凝土重力坝
9
G1=450KN F1=300KN G2=200KN F2=70KN
F4'
F1
F2
F3
F4
FR
Fi
mO mO (F1 ) mO (F2 ) mO (F3 ) mO (F4 ) mO (Fi )
d mO / F
称 FR 为原力系的主矢;
称 mO 为原力系的主矩;
称 F 为原力系的合力;
力系合成思想对n个力构成的力系都成立（n≥27 ）
平面任意力系合成结果讨论
（1） FR 0 mO 0 得原力系的合力 F
（2） FR 0
mO 0 原力系的合力刚好
经过简化中心（O点）
பைடு நூலகம்
（3）FR 0
mO 0 原力系等效于一个力偶 mO
（4） FR 0
mO 0 原力系对物体的作用效果
相互抵消，是平衡力系
平面任意力系最终的简化合成结果有三种:一个 合力/一个合力偶/一个平衡力系。
650 70 sin16.7
670.1(KN )
FR FR2X FR2Y 709.5 arctan670.1/ 233.0 70.8
mO 3 F1 1.5 G1 4 G2 1.2 F2 cos (5.7 1.2 tan ) F2 sin 2402
2.2、平面任意力系的合成与平衡 通常所说的平面任意力系： 1、作用线既不汇交于同一点处，也不全部相 互平行的平面力系 2、如果一个空间力系（力的作用线不在同一 个平面内）关于某个平面对称，也可以把这 个空间力系简化为对称平面内的平面力系
1
平面力矩
力F对O点的矩 矩心：O点 力臂：d 力矩：m=F·d
力是滑动矢量，但不是自由矢量。
4
力线平移定理的应用：力与力偶之间的 “合成”
5
例确性2.2；-1左、图平所行示力的的两合 个成平问行题力，证F明1 杠F杆2 定可律以的合正并
为右图所示的合力F12。现在要 证明三个结论：
F12 F1 F2 F1 // F12 // F2 F1 AE F2 BE
F3 20 KN F4 10KN 求这四个力的合力（大小、方向、作用线与 梁轴线交点的位置）
11
物体在平面任意力系作用下的平衡条件是什么？
例2.2-3、均质杆AB重量G=100N，长度为L=1m, 两端分别靠在光滑的斜面和竖直墙面上(图示),被
一根水平细绳DE拉住而保持平衡状态， 30
m1 F1 BC F1 AB cos
F12 F1 F2
m12 m1
BE cos BD m1
F12
F2 BE F1 AE
6
平面任意力系的合成（以4个力构成的力系为例）
FR'
F1'
F 2'
F3'
平面力矩是代数量：大小、旋向； 平面汇交力系的合力对作用面内任意一点的力矩 ，等于各分力对该点力矩的代数和
2SOAC 2SOAD 2SOAB
2
力偶中的两个力对力作用面内任 意一点力矩的代数和恒等于力偶矩 本身,与矩心点位置无关
m F1 OA F2 OB F1 ( OB OA) F1 AB
0 mg
FD
mg cos(2 ) cos
FD cos r mg[r (2r cos 0.5L) cos ] 0
4cos2 1.5cos 2 0 23.2
13
例2.2-4、图示无重水平梁,力F=10KN, m 20KN m 均布载荷的集度 q 8KN / m ,a=1m;求支座A/B处 的约束力。
解： arctan[(5.7 3) / 9]
16.7
y 3m
A
B
1.5m
9m
G1
F1
4m
3m O
G2
5.7m
F2
1.2m
Cx
FRX F1 F2 cos 300 70 cos16.7 233.0(KN )
FRY
G1 G2
F2 sin