高明区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

高明区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =
-++-+-在02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A ．117⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， B ．117⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，
C.1
(][1)7
-∞-+∞，，
D ．[1)+∞，
2． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=，则下列结论
中错误的是（ ）
A ．AC ⊥BE
B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值
D ．异面直线A
E ，B
F 所成的角为定值
3． 如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 下列命题中的假命题是（ ）
A ．∀x ∈R ，2x ﹣1＞0
B ．∃x ∈R ，lgx ＜1
C ．∀x ∈N +，（x ﹣1）2＞0
D ．∃x ∈R ，tanx=2
6． 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若
=2
，
=
，则λ=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
7． 设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若b ⊂α，c ∥α，则b ∥cB ．若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β C ．若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α D ．若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β
8． 已知点P （x ，y ）的坐标满足条件，（k 为常数），若z=3x+y 的最大值为8，则k 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．﹣6
D ．6
9． 下列函数中，为奇函数的是（ ）
A ．y=x+1
B ．y=x 2
C ．y=2x
D ．y=x|x|
10．已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当
]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则
实数的取值范围是（ ）111]
A ．)2
2,
0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(
11．1F ，2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，
若12PF F ∆的内切圆半径与外接圆半径之比为1
2
，则该双曲线的离心率为（ ）
C.
1
D.
1
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
12．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >），以双曲线C 的一个顶点为圆心，为半径的圆
被双曲线C 截得劣弧长为23
a π
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．65
B
C
D 二、填空题
13．抛物线y 2=﹣8x 上到焦点距离等于6的点的坐标是 ．
14．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1D 1在半径为的半球底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都
在此半球面上，则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为 ．
15．已知过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若
1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）
A ．5-
B
C ．6- D
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．
16．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ．
17．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
18．已知函数
为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=cos （ωx+），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x ∈R 且图象相邻两对称轴之间的距离为
；
（1）求f （x ）的对称轴方程和单调递增区间；
（2）求f （x ）的最大值、最小值，并指出f （x ）取得最大值、最小值时所对应的x 的集合．
20．（本小题满分12分）已知函数2
()(21)ln f x x a x a x =-++（a R ∈）.
（I ）若1
2
a >，求)(x f y =的单调区间； （II ）函数()(1)g x a x =-，若0[1,]x e ∃∈使得00()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.
21．已知平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D （2，
0），设点A （1，）． （1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程；
（3）过原点O 的直线交椭圆于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值，并求此时直线BC 的方程．
22．（本小题满分12分）求下列函数的定义域：
（1）()
f x=；
（2）()
f x=.
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
24．为了培养中学生良好的课外阅读习惯，教育局拟向全市中学生建议一周课外阅读时间不少于t0小时．为此，教育局组织有关专家到某“基地校”随机抽取100名学生进行调研，获得他们一周课外阅读时间的数据，整理得到如图频率分布直方图：
（Ⅰ）求任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）（单位：小时）的概率
（Ⅱ）专家调研决定：以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，试确定t0的取值范围
高明区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】
考点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.
2．【答案】D
【解析】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；
∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；
∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面
直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；
故选D．
3．【答案】D
【解析】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，
则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，
如图当E与C重合时，AK==，
取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．
故∠K0A=，∴∠K0D'=，
其所对的弧长为=，
故选：D．
4．【答案】C
【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱，
底面是一个边长是的等边三角形，
侧棱长是，
∴三棱柱的面积是3××2=6+，
故选C．
【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．
5．【答案】C
【解析】解：A．∀x∈R，2x﹣1=0正确；
B．当0＜x＜10时，lgx＜1正确；
C．当x=1，（x﹣1）2=0，因此不正确；
D．存在x∈R，tanx=2成立，正确．
综上可知：只有C错误．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数、正切函数的单调性，属于基础题．
6．【答案】A
【解析】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点
∵=2，=，
∴=，
∴λ=，
故选A．
【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量．
7．【答案】D
【解析】解：对于A，设正方体的上底面为α，下底面为β，直线c是平面β内一条直线
因为α∥β，c⊂β，可得c∥α，而正方体上底面为α内的任意直线b不一定与直线c平行
故b⊂α，c∥α，不能推出b∥c．得A项不正确；
对于B，因为α⊥β，设α∩β=b，若直线c∥b，则满足c∥α，α⊥β，
但此时直线c⊂β或c∥β，推不出c⊥β，故B项不正确；
对于C，当b⊂α，c⊄α且b∥c时，可推出c∥α．
但是条件中缺少“c⊄α”这一条，故C项不正确；
对于D，因为c∥α，设经过c的平面γ交平面α于b，则有c∥b
结合c⊥β得b⊥β，由b⊂α可得α⊥β，故D项是真命题
故选：D
【点评】本题给出空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
8．【答案】B
【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，
由，解得y=0，x=，
（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，
故选B ．
【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．
9． 【答案】D
【解析】解：由于y=x+1为非奇非偶函数，故排除A ； 由于y=x 2为偶函数，故排除B ；
由于y=2x
为非奇非偶函数，故排除C ； 由于y=x|x|是奇函数，满足条件， 故选：D ．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：()()1)2(f x f x f -=+ ，令1-=x ，则()()()111f f f --=，()x f 是定义在R 上的偶函数,()01=∴f ()()2+=∴x f x f ．则函数()x f 是定义在R 上的，周期为的偶函数，又∵当[]3,2∈x 时，
()181222-+-=x x x f ，令()()1log +=x x g a ，则()x f 与()x g 在[)+∞,0的部分图象如下图，
()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点可化为()x f 与()x g 的图象在()+∞,0上至少有三个交点，
()x g 在()+∞,0上单调递减，则⎩⎨⎧-><<2
3log 10a a ，解得：33
0<<a 故选A ．
考点：根的存在性及根的个数判断.
【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得()x f 是周期函数,其周期为,要使函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点,等价于函数()x f 的
图象与函数()1log +=x y a 的图象在()+∞,0上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.
11．【答案】D
【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PF
PF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴2222
12124PF PF F F c +==，12||2PF PF a -=，则222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-，
2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径
12122PF PF F F r c +-=
=，外接圆半径R c =.c =，整理，得
2()4c
a
=+1e =，故选D. 12．【答案】B
考点：双曲线的性质．
二、填空题
13．【答案】（﹣4，）．
【解析】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8，=2．
∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．
设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，
根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离，
即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，
∴n2=8m=32，可得n=±4，
因此，点P的坐标为（﹣4，）．
故答案为：（﹣4，）．
【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．
14．【答案】2．
【解析】解：如图所示，
连接A1C1，B1D1，相交于点O．
则点O为球心，OA=．
设正方体的边长为x，则A1O=x．
在Rt△OAA1中，由勾股定理可得：+x2=，
解得x=．
∴正方体ABCD﹣A
B1C1D1的体积V==2．
1
故答案为：2．
15．【答案】B
【解析】
16．【答案】．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是：
．
故答案为：．
17．【答案】12
【解析】
考点：球的体积与表面积．
【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键．
18．【答案】2．
【解析】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数，
∴定义域关于原点对称，
即﹣2a+3a﹣1=0，
∴a=1，
∵函数为奇函数，
∴f（﹣x）==﹣，
即b•2x﹣1=﹣b+2x，
∴b=1．
即a+b=2，
故答案为：2．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）=cos（ωx+）的图象的两对称轴之间的距离为=，
∴ω=2，f（x）=cos（2x+）．
令2x+=kπ，求得x=﹣，可得对称轴方程为x=﹣，k∈Z．
令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，
可得函数的增区间为，k∈Z．
（2）当2x+=2kπ，即x=kπ﹣，k∈Z时，f（x）取得最大值为1．
当2x+=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最小值为﹣1．
∴f（x）取最大值时相应的x集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；
f（x）取最小值时相应的x集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想的运用和综合分析问题解决问题的能力．
请21．【答案】
【解析】解；（1）由题意可设椭圆的标准方程为，c为半焦距．
∵右顶点为D（2，0），左焦点为，
∴a=2，，．
∴该椭圆的标准方程为．
（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点M（x，y）．
由中点坐标公式可得，解得．（*）
∵点P是椭圆上的动点，∴．
把（*）代入上式可得，可化为．
即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆．
（3）①当直线BC的斜率不存在时，可得B（0，﹣1），C（0，1）．
∴|BC|=2，点A到y轴的距离为1，∴=1；
②当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B（x1，y1），C（﹣x1，﹣y1）（x1＜0）．
联立，化为（1+4k2）x2=4．解得，
∴．
∴|BC|==2=．
又点A到直线BC的距离d=．
∴==，
∴==，
令f（k）=，则．
令f′（k）=0，解得．列表如下：
又由表格可知：当k=时，函数f （x ）取得极小值，即
取得最大值2，即
．
而当x →+∞时，f （x ）→0，
→1．
综上可得：当k=
时，△ABC 的面积取得最大值
，即
．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值．
22．【答案】（1）()[),11,-∞-+∞；（2）[)(]1,23,4-．
【解析】
考
点：函数的定义域. 1
【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的求解、集合的交集运算等综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确把握函数的定义域，列出相应的不等式或不等式组是解答的关键，同时理解函数的定义域的概念，也是解答的一个重要一环.
23．【答案】
【解析】解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD=90°，得CD ⊥BC ，
又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．
（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．
因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．
因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD=DC=1，所以．
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．
由V
=V P﹣ABC，，得，
A﹣PBC
故点A到平面PBC的距离等于．
【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）一周课外阅读时间在[0，2）的学生人数为0.010×2×100=2人，
一周课外阅读时间在[2，4）的学生人数为0.015×2×100=3人，
记一周课外阅读时间在[0，2）的学生为A，B，一周课外阅读时间在[2，4）的学生为C，D，E，从5人中选取2人，得到基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共有10个基本事件，
记“任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）”为事件M，
其中事件M包含AC，AD，AE，BD，BC，BE，共有6个基本事件，
所以P（M）==，
即恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）的概率为．
（Ⅱ）以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，即一周课外阅读时间未达到t0的学生占20%，由（Ⅰ）知课外阅读时间落在[0，2）的频率为P1=0.02，
课外阅读时间落在[2，4）的频率为P2=0.03，
课外阅读时间落在[4，6）的频率为P3=0.05，
课外阅读时间落在[6，8）的频率为P1=0.2，
因为P1+P2+P3＜0.2，且P1+P2+P3+P4＞0.2，
故t0∈[6，8），
所以P1+P2+P3+0.1×（t0﹣6）=0.2，
解得t0=7，
所以教育局拟向全市中学生的一周课外阅读时间为7小时．
【点评】本题主要考查了用列举法计算随机事件的基本事件，古典概型概以及频率分布直方图等基本知识，考查了数据处理能力和运用概率知识解决实际问题的能力，属于中档题．。