景县第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

景县第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[0，+∞）
B ．[0，3]
C ．（﹣3，0]
D ．（﹣3，+∞）
2． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ） A ．()()22210x y -++= B ．()()22
214x y -++= C ．()()2
2
218x y -++= D ．()()2
2
2116x y -++=
4． 已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
5． 已知三棱锥S ABC -外接球的表面积为32π，0
90ABC ∠=，三棱锥S ABC -的三视图如图 所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）
A ．4
B ．
C ．8
D ．
6． 如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（ ）
A ．i ≥7？
B ．i ＞15？
C ．i ≥15？
D ．i ＞31？
7． 已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（ ）
A ．2017
B ．﹣8
C ．
D ．
8． 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =
-++-+-在02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A ．117⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
B ．117⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，
C.1
(][1)7
-∞-+∞，，
D ．[1)+∞， 9． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．64 B ．72 C ．80 D ．112
【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 11．将函数)63sin(
2)(π+=x x f 的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）
A ．3)43sin(
2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=π
x x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)12
3sin(2)(--=π
x x g
【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 12．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A ．y=1，y=x 0
B ．y=
•
，y=
C ．y=x ，y=
D ．y=|x|，t=（
）2
13．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270 C ．390 D ．300
14．从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
15．已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=
，则
•
=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣
D ．
二、填空题
16．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．
17．定积分
sintcostdt= ．
18．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
19．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.
【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
三、解答题
20．如图，平面ABB 1A 1为圆柱OO 1的轴截面，点C 为底面圆周上异于A ，B 的任意一点． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面A 1AC ；
（Ⅱ）若D 为AC 的中点，求证：A 1D ∥平面O 1BC ．
21．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4
（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD 的中点，求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．
23．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．
24．已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
25．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥
A1B1，D为棱A1B1上的点．
（1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
景县第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，
易知当x=0时上式不成立；
故a==2x﹣，
令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x﹣的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，
故选：D．
2．【答案】B
【解析】
考点：空间直线与平面的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．
3．【答案】B
【解析】
考点：圆的方程.1111]
4．【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30°
故选D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
5．【答案】A
【解析】
考点:三视图．
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图.
6．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
S=2，i=0
不满足条件，S=5，i=1
不满足条件，S=8，i=3
不满足条件，S=11，i=7
不满足条件，S=14，i=15
由题意，此时退出循环，输出S的值即为14，
结合选项可知判断框内应填的条件是：i≥15？
故选：C．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
7．【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即f（x+4）=f（x），
即函数的周期是4．
∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），
∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，
∴f（1）=f（﹣1）=，
∴a 2017=f （1）=， 故选：D ．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．
8． 【答案】D 【
解
析
】
考
点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.
9． 【答案】B
【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性 【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A 、D ；
对C ：
在（-和（
上单调递增，
但在定义域上不单调，故C 错； 故答案为：B 10．【答案】C. 【
解
析
】
11．【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移
4
π个单位得到函数)4(π
+x f 的图
象，再将)4(π+x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4
(++π
x f
3)4
3sin(23]6)4(31sin[2++=+++=π
ππx x .
12．【答案】C
【解析】解：A中的两个函数y=1，y=x0，定义域不同，故不是同一个函数．
B中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．
C中的两个函数定义域相同，y=x，y==x，对应关系一样，故是同一个函数．
D中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．综上，只有C中的两个函数是同一个函数．
故选：C．
13．【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，
首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有：++=390．
故选：C．
14．【答案】B
【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到，
这三个事件是相互独立的，
第一次不被抽到的概率为，
第二次不被抽到的概率为，
第三次被抽到的概率是，
∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是=，
故选B．
15．【答案】B
【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，
即有||2+||2=||2，
可得△OAB为等腰直角三角形，
则，的夹角为45°，
即有•=||•||•cos45°=1××=1．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．
二、填空题
16．【答案】．
【解析】解：∵=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，
∴，解得b=1，a=2．
∴|a﹣bi|=|2﹣i|=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
17．【答案】．
【解析】解：0sintcostdt=0sin2td（2t）=（﹣cos2t）|=×（1+1）=．
故答案为：
18．【答案】3+．
【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．
前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第3+个，
即为3+．
故答案为：3+．
19．【答案】
7
【解析】
三、解答题
20．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）因为AB为圆O的直径，点C为圆O上的任意一点∴BC⊥AC …
又圆柱OO1中，AA1⊥底面圆O，
∴AA1⊥BC，即BC⊥AA1…
而AA1∩AC=A
∴BC⊥平面A1AC …
（Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O1E，
∵D为AC的中点
∴△ABC中，DE∥AB，且DE=AB …
又圆柱OO1中，A1O1∥AB，且
∴DE∥A1O1，DE=A1O1
∴A1DEO1为平行四边形…
∴A1D∥EO1…
而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC
∴A1D∥平面O1BC …
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．
21．【答案】
【解析】
【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l1与l2的方程．
【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；
∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）
圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2
∴d==1（2分）
d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣
∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）
（2）设点P（a，b）满足条件，
由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0
则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）
∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，
∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等
即=（8分）
整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|
∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5
因k的取值有无穷多个，所以或（10分）
解得或
这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）
22．【答案】
【解析】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．
又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD
所以直线EF∥平面PCD．
（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．
所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．
又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．
【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．
23．【答案】
【解析】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．
∴1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解得或．
∴a n=1，b n=1；
或a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=3n﹣1．
（II）当时，c n=a n b n=1，S n=n．
当时，c n=a n b n=（2n﹣1）3n﹣1，
∴S n=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1，
3S n=3+3×32+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，
∴﹣2S n=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）3n=﹣1﹣（2n﹣1）3n=（2﹣2n）3n﹣2，
∴S n=（n﹣1）3n+1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）由a n+1=，可得a2==，
a3===，
a4===．
（2）猜测a n=（n∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，
右边==a，猜测成立．
②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，
即a k=．
则当n=k+1时，a k+1==
==
．
故当n=k+1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n∈N*都有a n=成立．
25．【答案】
【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，
又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，
又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），
则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），
∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；
（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．
理由如下：
设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，
∵=（，，），=（，﹣1），
∴，即，
令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．
由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，
∴|cos＜，＞|==，即=，
解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．
【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．。