课时作业1：1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直

第3课时 空间中直线、平面的垂直
1．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．10 D ．6
答案 C
解析 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0， 解得m ＝10.
2．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，且α⊥β，则x 的值为( ) A ．10 B ．－10 C.12 D ．－1
2
答案 B
解析 因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直， 所以a ·b ＝(－1,2,4)·(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10.
3．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x ，0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( ) A ．(1,0，－2) B ．(1,0,2) C ．(－1,0,2) D ．(2,0，－1) 答案 C
解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →
＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →
＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0.① AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，② 联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．
4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．BD B ．AC C ．A 1D D ．A 1A 答案 A
解析 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1.
则C (0,1,0)，B (1,1,0)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1，1)，A 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫
12，12，1， ∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12
，－12，1，AC →
＝(－1,1,0)， BD →＝(－1，－1,0)，A 1D —→＝(－1,0，－1)，A 1A —→
＝(0,0，－1)， ∵CE →·BD →
＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD .
5．(多选)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱DD 1，D 1C 1的中点，则直线OM ( )
A ．和AC 垂直
B ．和AA 1垂直
C ．和MN 垂直
D ．与AC ，MN 都不垂直 答案 AC
解析 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2a ，
则D (0,0，0)，D 1(0,0,2a )，M (0,0，a )，A (2a ，0,0)，C (0,2a ，0)，O (a ，a ，0)，N (0，a ，2a )． ∴OM →＝(－a ，－a ，a )，MN →＝(0，a ，a )，AC →
＝(－2a ，2a ，0)． ∴OM →·MN →＝0，OM →·AC →＝0，
∴OM ⊥AC ，OM ⊥MN .OM 和AA 1显然不垂直， 故选AC.
6．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________. 答案 －9
解析 由题意得u ⊥v ，∴u ·v ＝3＋6＋z ＝0， ∴z ＝－9.
7．在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC 的三个顶点为A (－3，－2,1)，B (－1，－1，－1)，C (－5，x ，0)，则x 的值为________． 答案 0或9
解析 ∵A (－3，－2,1)，B (－1，－1，－1)，C (－5，x ，0)， ∴AB →＝(2,1，－2)，BC →＝(－4，x ＋1,1)，AC →
＝(－2，x ＋2，－1) 分三种情况：
①A 为直角，AB →·AC →
＝0，∴－4＋x ＋2＋2＝0，∴x ＝0； ②B 为直角，AB →·BC →＝0，∴－8＋x ＋1－2＝0，∴x ＝9；
③C 为直角，AC →·BC →＝0，∴8＋(x ＋1)(x ＋2)－1＝0，x 2＋3x ＋9＝0，方程无解． 综上，x 的值为0或9.
8．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________． 答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)
解析 据题意，得AB →＝(－1，－1,2)，AC →
＝(1,0,2)． 设n ＝(x ，y ，z )，∵n 与平面ABC 垂直， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
n ·
AB →＝0，n ·
AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪
⎧
－x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，
可得⎩⎨⎧
x ＝－y 2
，
z ＝y 4.
∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21， 解得y ＝4或y ＝－4.
当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1. ∴n 的坐标为(－2,4,1)或(2，－4，－1)．
9.如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1，设P 为AC 的中点，Q 在AB 上且AB ＝3AQ ，证明：PQ ⊥OA .
证明 如图，连接OP ，OQ ，PQ ，取O 为坐标原点，以OA ，OC 所在直线为x 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz (如图所示)．
则A (1,0,0)，C (0,0,1)，B ⎝⎛⎭⎫－12，3
2，0.
∵P 为AC 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎫12，0，12. ∴AB →
＝⎝⎛⎭
⎫－32，32，0，
又由已知，可得AQ →＝13AB →
＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.
又OQ →＝OA →＋AQ →
＝⎝⎛⎭⎫12，36，0，
∴PQ →＝OQ →－OP →
＝⎝⎛⎭⎫0，36，－12.
∵PQ →·OA →＝0，∴PQ →⊥OA →
，即PQ ⊥OA .
10.如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°，
求证：平面ADE ⊥平面ABE . 证明 取BE 的中点O ，连接OC ， 又AB ⊥平面BCE ，
所以以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz (如图所示)．
则有C (1,0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 于是AE →＝(0，－23，－2)，DA →
＝(－1，3，1)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，
则n ·AE →＝(a ，b ，c )·(0，－23，－2)＝－23b －2c ＝0，
n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0. 令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， 所以n ＝(0,1，－3)．
又AB ⊥平面BCE ，OC ⊂平面BCE ， 所以AB ⊥OC .
因为BE ⊥OC ，AB ∩BE ＝B ，AB ，BE ⊂平面ABE ， 所以OC ⊥平面ABE .
所以平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． 因为n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0，所以n ⊥m ， 所以平面ADE ⊥平面ABE .
11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝1
3AC ，
则( )
A ．EF 至多与A 1D ，AC 中的一个垂直
B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥A
C C ．EF 与B
D 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B
解析 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，
设正方体的棱长为1，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫13，0，13，F ⎝⎛⎭⎫23，1
3，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，
∴A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →
＝(－1,1,0)， EF →＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13，BD 1→
＝(－1，－1,1)， ∴EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝0，AC →·EF →
＝0，
从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，故选B.
12．如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的比值为( )
A.1
2 B ．1 C ．
3 D ．2 答案 B
解析 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，
设正方形边长为1，P A ＝a ，
则B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0,0，a )． 设点F 的坐标为(0，y ，0)，
则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a . 因为BF ⊥PE ，所以BF →·PE →
＝0， 解得y ＝1
2，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0， 所以F 为AD 的中点，所以AF ∶FD ＝1∶1.
13.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 的中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系是________．
答案 垂直
解析 以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则P (0,0,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，12，F ⎝⎛⎭
⎫1
2，0，0，
∴EF →
＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－12，设平面PBC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·PB →＝x ＋y －z ＝0，n ·BC →＝－x ＝0，
取y ＝1，则z ＝1，
平面PBC 的法向量n ＝(0,1,1)， ∵EF →
＝－12n ，
∴EF →
∥n ， ∴EF ⊥平面PBC .
14.如图，已知点E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AA 1的中点，点M ，N 分别是线段D 1E ，C 1F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有________条．
答案 1
解析 假设存在满足条件的直线MN ，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则D 1(2,0,2)，E (1,2,0)，
设M (x ，y ，z )，D 1M —→＝mD 1E —→
(0≤m ≤1)，
所以(x －2，y ，z －2)＝m (－1,2，－2)，x ＝2－m ，y ＝2m ，z ＝2－2m ， 所以M (2－m ，2m ，2－2m )，
同理，若设C 1N —→＝nC 1F —→
(0≤n ≤1)，可得N (2n ，2n ，2－n )， MN →
＝(m ＋2n －2,2n －2m ，2m －n )，
又因为MN ⊥平面ABCD ，CD →＝(2,0,0)，CB →
＝(0,2,0)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＋2n －2＝0，2n －2m ＝0，解得
⎩⎨⎧
m ＝23
，
n ＝23，
即存在满足条件的直线MN ，有且只有一条．
15．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，D 是棱CC 1的中点，P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，若点Q 在线段B 1P 上，则下列结论正确的是( )
A ．当点Q 为线段
B 1P 的中点时，DQ ⊥平面A 1BD B ．当点Q 为线段B 1P 的三等分点时，DQ ⊥平面A 1BD
C ．在线段B 1P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面A 1B
D D ．不存在DQ 与平面A 1BD 垂直 答案 D
解析 以A 1为坐标原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)，
D ⎝⎛⎭⎫0，1，12，P (0,2,0)，A 1B —→＝(1,0,1)，A 1D —→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，B 1P —→＝(－1,2,0)，DB 1
—→＝⎝⎛⎭⎫1，－1，－12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·
A 1
B —→＝x ＋z ＝0，n ·A 1D —→
＝y ＋12z ＝0，取z ＝－2，则x ＝2，y ＝1，
所以平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(2,1，－2)．
假设DQ ⊥平面A 1BD ，且B 1Q ＝λB 1P —→
＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)， 则DQ →＝DB 1—→＋B 1Q —→
＝⎝⎛⎭⎫1－λ，－1＋2λ，－12， 因为DQ →
也是平面A 1BD 的法向量，
所以n ＝(2,1，－2)与DQ →
＝⎝⎛⎭⎫1－λ，－1＋2λ，－12共线，于是有1－λ2＝－1＋2λ1＝－12－2＝14成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ 与平面A 1BD 垂直． 16．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点． (1)求证：A 1E ⊥BD ；
(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．
(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
设正方体棱长为a ，则 A (a ，0,0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )． 设E (0，a ，b )(0≤b ≤a )， A 1E —→
＝(－a ，a ，b －a )， BD →
＝(－a ，－a ，0)，
A 1E —→·BD →＝a 2－a 2＋(b －a )·0＝0， ∴A 1E —→⊥BD →
，即A 1E ⊥BD .
(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1—→＝(a ，0，a )，DE →
＝(0，a ，b )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩
⎪⎨⎪⎧
ax 2＋ay 2＝0，
ay 2＋bz 2＝0.取x 1＝x 2＝1， 得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－1，a
b ， 由平面A 1BD ⊥平面EBD ，得n 1⊥n 2， ∴2－a b ＝0，即b ＝a
2
.
∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。