20-21版：12.3 波长、频率和波速（步步高）

3波长、频率和波速
[学习目标] 1.理解波长、频率和波速的物理意义及其关系.2.理解波的周期、频率与质点振动周期和频率的关系.3.会进行波长、频率和波速之间的计算.4.会处理由波的双向性和周期性引起的多解问题．
一、波长、周期和频率
1．波长λ
(1)定义：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离．
(2)特征
①在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长．
②在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长．
2．周期T、频率f
(1)周期(频率)：在波动中，各个质点的振动周期(或频率)叫波的周期(或频率)．
(2)周期T和频率f的关系：互为倒数，即f＝1 T.
(3)波长与周期的关系：经过一个周期T，振动在介质中传播的距离等于一个波长．
二、波速
1．定义：机械波在介质中的传播速度．
2．决定因素：由介质本身的性质决定，在不同的介质中，波速是不同(填“相同”或“不同”)的．
3．波长、周期、频率和波速的关系：v＝λ
T＝fλ.
1．判断下列说法的正误．
(1)两个波峰(或波谷)之间的距离为一个波长．(×)
(2)在波的传播方向上振动速度始终相同的相邻两质点间的距离等于波长．(√)
(3)在质点振动一个周期内波传播的距离为一个波长．(√)
(4)波的频率由介质决定．(×)
(5)根据v＝λ
T可知，机械波的波长越长，波速越大．(×)
2．一列简谐横波在某一时刻的波形图如图1所示，由该图象可知该波的振幅为________ cm，波长为________ m；若该波波源的振动周期为T＝0.2 s，则该波的频率f＝________ Hz，波
速v＝________ m/s.
图1
答案2 1.0 5.0 5.0
一、波长
如图2所示为一列向右传播的机械波的图象．
图2
(1)1和9、2和10、3和11…每两个点的振动有什么共同的特点？
(2) 1和9、2和10、3和11…每两个点到平衡位置的距离是否相等？
答案(1) 它们的振动是完全相同的，只是后一质点比前一质点晚振动一个周期；
(2)相等．
波长的三种确定方法
1．根据定义确定波长
(1)在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离等于一个波长．
注意两个关键词：“振动相位总是相同”、“两个相邻质点”．“振动相位总是相同”的两质点，在波的图象上振动位移总是相同，振动速度总是相同．
(2)波在一个周期内传播的距离等于一个波长．
2．由波的图象确定波长
(1)在波的图象上，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离为一个波长．
(2)在波的图象上，无论从什么位置开始，一个完整的正(余)弦曲线对应的水平距离为一个波长．
3．根据波长与周期、频率和波速的关系式v＝λ
T＝fλ来确定波长．
例1(多选)如图3所示是一列向右传播的简谐横波在某一时刻的波形图，下列说法正确的是()
图3
A．质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同
B．质点B、F在振动过程中位移总是相同
C．质点D、H间的距离是一个波长
D．质点A、I在振动过程中位移总是相同，它们间的距离是一个波长
答案BC
解析从题图可以看出质点A、C、E、G、I在该时刻的位移都是零，由于波的传播方向是向右的，容易判断出质点A、E、I的速度方向是向下的，而质点C、G的速度方向是向上的，因而这五个质点的位移不总是相同，A错误；质点B、F是同处在相邻的波峰的两个点，它们的振动相位完全相同，在振动过程中位移总是相同，B正确；质点D、H是同处在相邻的波谷的两个点，它们之间的距离等于一个波长，C正确；虽然质点A、I在振动过程中位移总是相同，振动相位也完全相同，但由于它们不是相邻的振动相位完全相同的两个点，它们之间的距离不是一个波长而是两个波长，D错误．
二、波速与波长、周期、频率的关系
已知声波在钢轨中传播的速度远大于在空气中传播的速度，则当声音由钢轨传到空气中时，频率如何变化？波长如何变化？
答案当声音由钢轨传到空气中时，频率不变，波速减小，由波速与波长、频率的关系式v ＝λf可知，波长变短．
1．波速与波长、周期、频率的关系为：v＝λ
T＝λf.
2．波的周期和频率由波源决定，与v、λ无关，当波从一种介质进入另一种介质时，周期和频率不发生改变．
3．波速由介质本身的性质决定，在同一种均匀介质中波速不变．
例2下表给出30 ℃时，声波在不同介质中的传播速度．显然当声波由空气进入纯水中时，波速增大，则下列说法中正确的是()
介质空气纯水盐水橡胶软木铜铁波速(m/s)332 1 490 1 53130～50480 3 800 4 900
A.频率增大，波长不变 B ．频率不变，波长增大 C ．频率和波长都不变 D ．频率和波长都变大
答案 B
解析 波从空气进入纯水中时，频率f 不变，波速v 增大，则由v ＝fλ可知波长增大． 例3 (2018·江苏卷)一列简谐横波沿x 轴正方向传播，在x ＝0和x ＝0.6 m 处的两个质点A 、B 的振动图象如图4所示．已知该波的波长大于0.6 m ，求其波速和波长．
图4
答案 2 m/s 0.8 m
解析 由题图图象可知，周期T ＝0.4 s
由于波长大于0.6 m ，故A 传到B 的时间小于1个周期．由图象可知，波从A 到B 的传播时间Δt ＝0.3 s
波速v ＝Δx
Δt ，代入数据得v ＝2 m/s ，
波长λ＝v T ，代入数据得λ＝0.8 m. 三、波的多解性
如图5所示为一列周期为T 的机械波某时刻的波形图．
图5
(1)a 质点需多长时间第一次运动到波峰？
(2)该图中与a 质点运动速度始终相等的质点有几个？
答案 (1)若波沿x 轴正方向传播，该时刻a 质点向y 轴正方向运动，经1
4T 第一次运动到波峰．
若波沿x 轴负方向传播，该时刻a 质点向y 轴负方向运动，经3
4T 第一次运动到波峰．
(2)与a 质点的距离为nλ(n ＝1,2,3，…)的所有质点与a 质点的运动速度始终相等，在该图中只有一个．
1．波的传播方向的双向性形成多解
凡是没有指明机械波沿哪个方向传播，就要讨论两个方向的可能性． 2．波的时间的周期性形成多解
机械波在介质中传播的过程中，t 时刻与t ＋nT (n ＝1,2，…)时刻的波形完全重合，即同一波形图可能是不同时刻形成的． 3．波的空间的周期性形成多解
将某一波形沿波的传播方向平移波长的整数倍的距离，平移后的波形与原波形完全重合，这就是波的空间周期性．
4．质点的振动情况不明形成多解
在波动问题中，如讲到某质点在某时刻处于最大位移处，就包含有处于正向最大移位处与负向最大位移处两种可能；讲到质点从平衡位置开始振动，就可能是沿y 轴正向或负向两个方向振动．
例4 一列简谐横波图象如图6，t 1时刻的波形如图中实线所示，t 2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt ＝t 2－t 1＝0.5 s ，
图6
(1)这列波周期可能是多大？这列波可能的波速表达式是怎样的？ (2)若波向左传播，且3T ＜Δt ＜4T ，波速为多大？ (3)若波速v ＝68 m/s ，则波向哪个方向传播？ 答案 见解析
解析 (1)因未明确波的传播方向和Δt 与T 的关系，故波的周期的可能表达式为： 若波向右传播，0.5 s ＝(n ＋14)T 右，则T 右＝24n ＋1(n ＝0,1,2,3…)
若波向左传播，0.5 s ＝(n ＋34)T 左，则T 左＝2
4n ＋3(n ＝0,1,2,3…)
由题图可知，波长λ＝8 m ，
若波向右传播，v 右＝λ
T 右＝4(4n ＋1) m/s(n ＝0,1,2,3…)
若波向左传播，v 左＝λ
T 左
＝4(4n ＋3) m/s(n ＝0,1,2,3…)
(2)若波向左传播，且3T ＜Δt ＜4T ，则Δt ＝334T ，T ＝215 s ，v 左＝λ
T ＝60 m/s.
(3)在Δt 时间内波传播的距离x ＝v Δt ＝68×0.5 m ＝34 m ＝41
4λ，故波向右传播．
例5 (多选)一列简谐横波沿直线传播，在波的传播方向上有A 、B 两点，在t 时刻A 、B 两点间形成如图7甲所示波形，在(t ＋3 s)时刻A 、B 两点间形成如图乙所示波形，已知A 、B 两点平衡位置间距离a ＝9 m ，则( )
图7
A ．若周期为4 s ，波一定向右传播
B ．若周期大于4 s ，波可能向右传播
C ．若波速为8.5 m/s ，波一定向左传播
D ．该波波速可能的最小值为0.5 m/s 答案 ACD
解析 若波向右传播，3 s ＝(n ＋34)T 1(n ＝0,1,2,3…)，T 1＝12
4n ＋3 s ；若波向左传播，3 s ＝(n ＋
14)T 2(n ＝0,1,2,3…)，T 2＝12
4n ＋1 s ．由于n 是整数，当n ＝0，T ＝4 s 时，符合T 1通式，波向右传播，故A 正确；由于T 1＝
12
4n ＋3
s ≤4 s ，故B 错误；由题图知波长λ＝6 m ，若波速为8.5 m/s ，波在3 s 内传播的距离为x ＝v t ＝8.5×3 m ＝25.5 m ＝41
4λ，根据波形的平移，波一定向左传播，
故C 正确；波在3 s 内传播的最小距离为向左传播1.5 m ，波速可能的最小值为v min ＝1.5
3
m /s ＝0.5 m/s ，故D 正确．
1．(波长、频率、周期、波速)(多选)关于机械波的频率、波速、波长，下列说法正确的是( ) A ．两个相邻的均处于平衡位置的质点间的距离为一个波长 B ．波的频率等于波源的振动频率 C ．波速等于波源的振动速度
D ．波由一种介质进入另一种介质，波速和波长都要改变 答案 BD
解析 由波长的定义可知，两个相邻的均处于平衡位置的质点间的距离为半个波长，选项A 错误；由波的频率的定义可知，选项B 正确；波速是波的传播速度，与波源的振动速度无关，选项C 错误；波在同一种均匀介质中匀速传播，进入另一种介质时，频率不变，但波速改变，由v ＝λf 可知波长改变，选项D 正确．
2．(波长、频率、周期、波速)如图8所示，位于介质Ⅰ和Ⅱ分界面上的波源S ，产生两列分别沿x 轴负方向与正方向传播的机械波．若在两种介质中波的频率及传播速度分别为f 1、f 2和v 1、v 2，则( )
图8
A ．f 1＝2f 2，v 1＝v 2
B ．f 1＝f 2，v 1＝0.5v 2
C ．f 1＝f 2，v 1＝2v 2
D ．f 1＝0.5f 2，v 1＝v 2
答案 C
解析 频率只取决于波源，由于波源相同，则f 1＝f 2；由公式v ＝λf 得v 1v 2＝λ1f 1λ2f 2＝λ1λ2＝2
1，所以
v 1＝2v 2.故C 正确．
3．(波长、频率、周期、波速)(2019·吉林八校联考高二下学期期中)一列简谐横波沿x 轴正向传播，传到M 点时波形如图9所示，再经0.6 s ，N 点开始振动，则该波的振幅A 和频率f 为( )
图9
A ．A ＝1 m f ＝5 Hz
B ．A ＝0.5 m f ＝5 Hz
C ．A ＝0.5 m f ＝2.5 Hz
D ．A ＝1 m f ＝2.5 Hz
答案 C
解析 由题图可知，该波的振幅A ＝0.5 m ，波长λ＝4 m ，再经0.6 s ，N 点开始振动，则该波的波速v ＝Δx Δt ＝11－50.6 m /s ＝10 m/s ，所以该波的频率f ＝v λ＝104 Hz ＝2.5 Hz ，故A 、B 、D 错
误，C 正确．
4．(波的多解性)(2020·沈阳市郊联体高二上学期期末)如图10所示，实线是某时刻某机械波的波形图，虚线表示0.2 s 后该波的波形图，下列说法正确的是( )
图10
A ．若这列波向左传播，则可确定它传播的距离的大小
B ．若这列波向右传播，则可求它的最大周期
C ．若波速是35 m/s ，则波的传播方向向右
D ．不管波的传播方向如何，由图象都可以确定x ＝0的质点在0.2 s 时间内的位移和路程 答案 B
解析 若波向左传播，它传播的距离的大小Δx ＝(n ＋3
4)λ(n ＝0,1,2,3…)，无法确定，A 错误；
若波向右传播，则这列波传播的时间t ＝kT ＋14T (k ＝0,1,2,3…)，得到T ＝4t
4k ＋1，当k ＝0时，
T 有最大值，最大周期T ＝4t ＝0.8 s ，B 正确；由题图知，该波的波长λ＝4 m ，当波速v ＝35 m/s 时，波传播的位移：x ＝v t ＝35×0.2 m ＝7 m ＝13
4λ，根据波形的平移得到，波向左传播，
C 错误；由于周期不确定，所以无法确定x ＝0的质点在0.2 s 时间内的位移和路程，
D 错误． 5．(波动和振动的综合应用)一列简谐横波沿x 轴传播，如图11所示，其中图甲是t ＝1 s 时的波形图，图乙是该波中某质点的振动图象(两图用同一时间起点)．
图11
(1)求这列波的传播速度；
(2)根据图乙质点的振动图象判断，图乙描述的可能是图甲中哪个质点的振动图象？ (3)若该波沿x 轴正方向传播，试画出t ＝3 s 时的波形图；
(4)若该波沿x 轴负方向传播，试画出x ＝3 m 处的质点的振动图象． 答案 见解析
解析 (1)由题图甲可知，该波的波长λ＝4 m ，由题图乙可知，该波的周期T ＝4 s ，故该波的波速v ＝λ
T
＝1 m/s.
(2)由题图乙可知，当t ＝1 s 时，质点在平衡位置，正沿y 轴负方向运动．若波沿x 轴正方向传播，由题图甲可知，t ＝1 s 时，x ＝2 m 和x ＝6 m 处的质点在平衡位置，且正沿y 轴负方向运动；若该波沿x 轴负方向传播，由题图甲知此时x ＝0和x ＝4 m 处的质点在平衡位置，且正沿y 轴负方向运动． (3)
(4)。