第二章 数学基础201010

命题 2.2.2
对于欧拉函数 j (n) 有下面的性质
设 n 是一正整数，小于 n 且与 n 互素的正整数的个数 称为 n 的欧拉函数，记为 j (n) 。 （1 ） j ( p ) = p - 1 （2 ） Euler 函数是一个积性函数， 也就是说若 (m, n) = 1 ，
模运算
• 定理:设a∈Zn,gcd(a,n)=1,则a在Zn有逆元 证明思路：
1. 用反证法证明a和Zn中任何两个不同的数相乘 结果都不相同 2. 从1得出a×Zn=Zn,因此存在x∈Zn,使a×x=1 mod n
• 设p为素数，Zp中每一个非零元素都与p互 素，因此有乘法逆元，有乘法可约律 (a×b)=(a×c) mod n, b=c mod n
2.8.,模运算举例
• • • • • • • • -21 -20 -19 -18 -17 -16 –15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
＋ 0 0 1 2 3 0 1 2 3 1 1 2 3 4 2 2 3 4 5 3 3 4 5 6 4 4 5 6 7 5 5 6 7 0 6 6 7 0 1 7 7 0 1 2 × 0 0 1 2 3 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 4 6 3 0 3 6 1 4 0 4 0 4 5 0 5 2 7 6 0 6 4 2 7 0 7 6 5
模运算
• Zn上模运算的性质
–交换律 （x+w) mod n=(w+x) mod n (x×w) mod n=(w×x) mod n –结合律 [(x+w)+y] mod n=[x+(w+y)] mod n [(x×w) ×y] mod n=[x×(w×y)] mod n –分配律 [w×(x+y)] mod n=[w×x+w×y)] mod n
e a = a e = a（ e 称为单位元）____(1)、 （2）幺半群
（ 3 ） 对 每 一 个 aÎ G ， 有 一 个
b
，使得
a b = ba = e
（ b 称为 a 的逆元）____(1)、 （2 ） 、 （3）群 一个群 G 称为 Abel 群，若二元运算 "" 满足交换群和加法 律。 （4） a b = b a (" a, b ? G) 如果 G 是有限的，则称 G 是一个有限群，一个有限群的个数 称为它的阶。
， 则称 G 是一个循环群， 对于循环群
，
a 称为它的一个生成元。
定义 2.1.4
(G ,) 是一个群， a Î G ， a 的阶定义为使得 at = 1 的最小正整
数t ， （假定这样的正整数存在的话） ，如果这样的正整数 t ，则称 a 的 阶元无穷大为∞。
环
环: abel 群，及一个乘法运算： 满足结合律与加法的分配律 如果加法满足交换律, 则称交换环 例：整数 mod N （for any N ）
模运算
– 单位元 (0+w) mod n=w mod n (1×w) mod n=w mod n – 加法逆元：对w∈Zn,有z∈Zn，满足w+z=0 mod n, z为w的加法逆元，记为z=-w。 – 加法的可约律 (a+b)≡(a+c) mod n, 则b≡c mod n 对乘法不一定成立，因为乘法逆元不一定存在。
Greatest Common Divisor
• 数论中的一个普遍问题：决定最大公因子 （greatest common divisor(GCD) ） • GCD (a,b) 是整除a,b的最大整数 • 经常用于证明两个数互素
模运算
• 例：Z8={0,1,2,3,4,5,6,7},模8加法和乘法
2.12.运算法则
类似于正常算术运算: • 结合律: • (a+b)+c = a+(b+c) mod n • 交换 律 • 分配律 • (a+b).c = (a.c)+(b.c) mod n • 加法单位元\乘法单位元 • 0+w = w mod n • 1×w = w mod n 乘法运算类同
2.9.模算术运算
• 加法a+b mod n
• 减法 • a-b mod n = a+(-b) mod n
模运算
• 模运算的性质
–[(a mod n)+(b mod n)] mod n=(a+b) mod n –[(a mod n)-(b mod n)] mod n=(a-b) mod n –[(a mod n)×(b mod n)] mod n=(a×b) mod n
x
x 的素数的数目，
P ( x) =1 x ln x
P ( x) 可用 x ln x 来近似表示。 此定理表示， 对充分大的 x ， （4） （算术基本定理）每个整数 n(n ³ 2) 均可以解成
ek e1 e2 n = p p p 素数幂的乘积 1 2 k
运算概念
• • • • • 运算: 模数运算 模多项式运算 进一步运算: 指数运算,逆运算
4
5 6
4
5 6
5
6 7
6
7 0
7
0 1
0
1 2
1
2 3
2
3 4
3
4 5
4
5 6
0
0 0
4
5 6
0
2 4
4
7 2
0
4 0
4
1 6
0
6 4
4
3 2
7
7
0
1

2
3
4
5
6
7
0
7
6
5
4
3
2
1
模运算
• 若x+y=0 mod n, y为x的加法逆元。每一元 素都有加法逆元 • 若对x，有xy=1 mod n，称y为x的乘法逆元。 在上例中，并非所有x都有乘法逆元 • 定义Zn={0,1,..,n-1}为模n的同余类集合。
2.10.乘法\除法
• 乘法 • a.b mod n
–
重复加法 a/b mod n 乘以b的逆元: a/b = a.b-1 mod n 如果n是素数, b-1 mod n 存在 s.t b.b-1 = 1 mod n 例. 2.3=1 mod 5 hence 4/2=4.3=2 mod 5
• 除法
2.7.模算式
• 除法取余运算 • • • • • • • 同余( congruence) for a = b mod n 如果a,b 除以n,余数相同 eg. 100 = 34 mod 11 b 叫做a模n的剩余 通常 0<=b<=n-1 eg. -12mod7 = -5mod7 = 2mod7 = 9mod7 可以进行整数运算
b = ae mod p 重复乘法运算 eg. 75 = 7.7.7.7.7 一个好的方法是不是平方 和乘法
平方、乘法运算
计算指数的快速有效算法 思想：重复平方运算 计算最终结果的乘法运算
平方乘法运算
例 75 = 74.7 = 3.7 = 10 mod 11; 3129 mod 11 = 4 • ·let base = a, result =1· • for each bit ei (LSB to MSB) of exponent · • if ei=0 then· • square base mod p· • if ei=1 then· • multiply result by base mod p·
定义 2.1.2 定义 2.1.3
" 运算之下还是一 (G ,) 是一个群， H (蛊 ) ? G ，若 H 本身在 "
个群，则称 H 是 G 的一个子群。记作 H £ G 。
(G ,) 是一个群， a = {a n | n ? }，则 a
是 G 的一个子群，对于
a
G， 若存在一个 a ， 使得 G = a
2.2 数论 关于整数中的整除，带余除法，最大公约数，最小公倍 数认为都是以知。 命题 2.2.1 关于素数，有下面结论 称整数 p( p > 1) 是素数，如果
p 的因子只有 北p,
1。
（1） p 是素数，若 p | ab ，则 p | a 或 p | b （2）有无穷多个素数 （3） （素数定理） 设 P ( x) 表示不大于 则 lim
base)
base, square
• 5.5=25=3 0 (square base) • 3.3=9 7.3=21=10 1 (result=result x base, square base)
GF(p)中的离散对数
• • • • • • • • •
指数的逆问题是寻找 整数模 p 的离散对数 即：求 x 使得 ax = b mod p eg. x = log3 4 mod ? (ie x st. 3x = 4 mod ?) 无解 eg. x = log 2 3 mod 13 = 4 （利用连续实验） 计算指数相对容易，求离散对数一般很难 可以证明若 p 素数,则总存在 离散对数（ for any b!=0 ） a 的连续指数可以生成群（the group mod p ） a 叫做一个本原根（ a primitive root ） 较困难的问题
理解公钥算法的基础
2.2整除
• 对整数 b!=0 及 a , 如果存在整数 m 使得 a=mb,称 b 整除 a, 也称b是a的因子 • 记作 b|a • 例 1,2,3,4,6,8,12,24 整除 24
2.3.素数与不可约多项式
• • • • • • 素数: 只有因子 1 和自身 1 是一个平凡素数 例 2,3,5,7 是素数, 4,6,8,9,10 不是 素多项式或不可约多项式irreducible: 不可写成其他因式的乘积 x2+x = x × x+1 是非不可约多项式; x3+x+1 是不可约多项式
2.5.素数分解(PrimeFactorisation)
• 把整数n写成素数的成绩 • 分解整数要比乘法困难 • 整数 n的素数分解是把它写素数的乘积 eg. 91 = 7 × 13 ; 3600 = 24 × 32 × 52
2.6.整数互素
• 整数 a, b 互素是指 它们没有除1之外的其 它因子 • 8 与15 互素 • 8的因子1,2,4,8 • 15的因子 1,3,5,15 • 1 是唯一的公因子 •
有单位元逆元?如果是可交换的则成为abel群定义211g是一个非空集合若在g上有一个二元运算满足1abcabc????结合律1半群2在g中存在一个元e使得对所有的aeaaea??g?有e称为单位元12幺半群3对每一个ag?有一个b使得ab?ba?eb称为a的逆元123群一个群g称为abel群若二元运算满足交换群和加法律
– – – –
2.11模递归运算
• • • • • 模递归运算是“模除求余” 例.r = a mod n 计算 a = d.n + r 33 mod 7 = 4.7 + 5; 得数是 5 通常, r 取正数 例 -18 mod 7 = -3.7 + 3; 答案是3
• a+/-b mod n = [a mod n +/- b mod n] mod n
2.4.一些素数
• 200 以内的素数: • 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199
域
域：
abel 加群 环 abel 乘群 (ignoring 0) 例： integers mod P （ P 为素数）
Galois 域
如果 n是素数 p 则模运算modulo p 形成 Galois Field modulo p 记为： GF(p)
GF(p) 中的指数运算
许多加密运算需要指数运算
• square base mod p (except for MSB)·
• at end the required answer is result
平方乘法举例
• • • • 75 = 74.7 = 3.7 = 10 mod 11 base res exp (5=1012) 7 1 initialise 7.7=49=5 1.7=7 result=result x
2.13群.环.域
群的定义: 一些数字组成的集合 一个加法运算，运算结果属于此集合（封 闭性） 服从结合律。有单位元，逆元 如果是可交换的，则成为abel群
定义 2.1.1 G 是一个非空集合，若在 G 上有一个二元运算 满足 （1） (a b) c = a (b c) （结合律）____(1)半群 （ 2 ）在 G 中存在一个元 e ，使得对所有的 a Î G ，有