3-【课时作业】3-3-2两点间的距离

课时作业 两点间的距离、两条平行线间的距离
一、选择题
1．到两条直线l 1：3x ＋4y －5＝0和l 2：3x ＋4y －9＝0距离相等的点P (x ，y )满足的方程是( )
A ．6x ＋8y －7＝0
B ．3x ＋4y ＋7＝0
C ．3x ＋4y －10＝0
D ．3x ＋4y －7＝0
2．两平行直线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：6x ＋8y －5＝0间的距离等于( ) A ．3 B ．0.1 C ．0.5
D ．7
3．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y
n
＝1的距离等于( )
A.m 2＋n 2
B.m 2－n 2
C.
n 2－m 2
D.
m 2±n 2
4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2
C.
2
D ．16
5．设a 、b 、k 、p 分别表示同一直线的横截距、纵截距、斜率和原点到直线的距离，则有( )
A ．a 2k 2＝p 2(1＋k 2)
B ．k ＝b a
C.1a ＋1
b
＝p
D ．a ＝－kb
6．在西气东输工程中，有一段煤气管道所在的直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，最近的两座城市在同一直角坐标系下的坐标为A (1,2)，B (5,0)，现要在管道l 边上建一煤气调度中心M ，使其到两城市A ，B 的距离之和最短，则点M 的坐标为( )
A ．(6,2)
B ．(3，7
2)
C ．(4,3)
D ．(52，152
)
二、填空题
7．已知定点A (0,1)，点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为________．
8．经过点P (－4,3)且与原点距离等于3的直线方程为________．
9．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4,5)到l 的距离相等，则l 的方程为________．
三、解答题
10．已知直线l 过点(0，－1)，且点(1，－3)到l 点的距离为3
2
2
，求直线l 的方程，
并求出坐标原点到直线l 的距离．
11．已知直线l 1和l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0，直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且
d 1d 2＝12
，求直线l 的方程．
12．过点A (－1,1)作直线l 被两平行线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求直线l 的方程．
参考答案：
1.解析：由题意有|3x ＋4y －5|5＝|3x ＋4y －9|
5，即3x ＋4y －7＝0.
答案：D
2.解析：l 1的方程可化为6x ＋8y －4＝0，
∴其距离d ＝|－4－(－5)|62＋82＝1
10.
答案：B 3.解析：将
x m
＋
y n
＝1化为一般式nx ＋my －mn ＝0，由公式得d ＝
|n (m －n )＋m (－m )－mn |
m 2＋n 2
＝
m 2＋n 2.
答案：A
4.解析：由x 2＋y 2的实际意义可知，它代表直线x ＋y －4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x 2＋y 2)min ＝(
42
)2＝8. 答案：A
5.解析：由题意，设直线方程为y ＝kx ＋b ，令y ＝0，则x ＝－b k
，∴a ＝－b k
.原点到直
线的距离为p ＝
|b |
k 2＋1
，∴p 2(1＋k 2)＝b 2＝(－ak )2＝a 2k 2. 答案：A
6.解析：点B 关于直线l ：x ＋2y －10＝0的对称点为C (7,4)，则直线AC 的方程为x －3y ＋5＝0，联立AC 与l 两直线方程得M (4,3)．
答案：C
7.解析：过点A (0,1)与x ＋y ＝0垂直的直线方程为y －1＝1·(x －0)，即y ＝x ＋1，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋1，y ＋x ＝0，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－12
，
y ＝12.
答案：(－12，1
2
)
8.解析：设所求直线方程为y －3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＋3＝0，所以|4k ＋3|
k 2＋1
＝3.
所以k ＝0或k ＝－24
7.所以所求直线方程为y ＝3或24x ＋7y ＋75＝0.
答案：y ＝3或24x ＋7y ＋75＝0
10.解析：显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1；
设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，由于点A ，B 到l 的距离相等．
∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1.
∴|1－3k |＝|3k －5|，
∴k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0或x ＝1
11.解：若直线l 的斜率不存在，此时l 的方程为x ＝0，点(1，－3)到l 的距离为1，不满足题意，从而可知直线l 的斜率一定存在，设为k ，则其方程为y ＝kx －1.
由点到直线的距离公式得， 3
2
2＝|k ＋3－1|1＋k 2，解得k ＝1或k ＝17，所以直线l 的方程为y ＝x －1或y ＝17x －1，即x －y －1＝0或x －7y －7＝0.根据点到直线的距离公式可得，坐标原点到直线x －y －1＝0
的距离为22，到直线x －7y －7＝0的距离为7210
.
12.解：由题意知l 1∥l 2，故l 1∥l 2∥l . 设l 的方程为7x ＋8y ＋c ＝0， 则2·
|c －9|
72＋82＝|c －(－3)|
72＋8
2， 解得c ＝21或c ＝5， ∴直线l 的方程为
7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.
创新题型
13.解：设直线l 被l 1、l 2所截得线段为BC ，l 与两平行线l 1、l 2等距离的直线为l 4：x ＋2y ＋c ＝0，
∴|c ＋1|12＋22
＝
|c ＋3|12＋22
，
解得c ＝－2， ∴l 4：x ＋2y －2＝0.
又∵BC 的中点P 在l 3：x －y －1＝0上，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y －1＝0，x ＋2y －2＝0，解得
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝43
，y ＝13.
∴线段BC 中点为(43，1
3
)．
又∵直线l 过点A (－1,1)，由直线的两点式方程得直线l 的方程为2x ＋7y －5＝0.。