辽宁省沈阳市2021届高三数学教学质量监测试题(三)文(含解析).doc

辽宁省沈阳市2021届高三数学教学质量监测试题（三）文（含解析）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++等于（ ）
A. i
B. 1
C. i -
D. 1-
【答案】D 【解析】 【分析】
利用)n
i n N *
∈（的周期求解.
【详解】由于234110i i i i i i +++=--+=， 且)n
i n N *
∈（的周期为4，2019=4504+3⋅， 所以原式=2311i i i i i ++=--=-. 故选：D
【点睛】本题主要考查复数的计算和)n
i n N *
∈（的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ）． A. 1 B. 5 C. 6 D. 无数个
【答案】C 【解析】 【分析】
直接列举求出A 和A 中元素的个数得解.
【详解】由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =， 所以A 中元素的个数为6. 故选：C
【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3.“k =
”是“直线:(2)l y k x =+与圆22
1x y +=相切”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
先化简直线:(2)l y k x =+与圆22
1x y +=相切，再利用充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因
直线:(2)l y k x =+与圆2
2
1x y +=相切，
1,3
k =∴=±
.
所以“k =”是“直线:(2)l y k x =+与圆22
1x y +=相切”的充分不必要条件. 故选：A
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4.若非零向量,a b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则,a b 的夹角为（ ）． A.
6
π
B.
3
π C.
56
π D.
23
π 【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用数量积的运算法则化简已知即得解.
【详解】由题得2
2
2
2+=02cos ,0a b b b a b b ⋅∴<>+=，， 所以1
2cos ,,,23
a b a b π<>=-∴<>=. 故选：D
【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5.已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35t (an )a a +的值为（ ）.
B.
D. -
【答案】A 【解析】 试
题
分
析
：
1472a a a π
++=，所以
443543524432,,2,tan()tan 333
a a a a a a a ππππ==
+==+==考点：1、等差数列；2、三角函数求值.
6.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为（ ）．
【答案】B 【解析】 【分析】
三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的 对角线的长，即可求出其侧棱长．
【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球， 因为外接球的表面积是4π，所以球的半径为1， 所以正方体的对角线的长为2，
设侧棱长为a,2,
a =∴=
=.
． 故选：B ．
【点睛】本题主要考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，推理能力，解题
的关键就
是将三棱锥扩展成正方体，属于中档题．
7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切岗外的概率是（）．
A. 2
15
π
B.
3
20
π
C.
2
1
15
π
- D.
3
1
15
π
-
【答案】C
【解析】
【分析】
求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．
【详解】直角三角形的斜边长为22
51213
+=，
设内切圆的半径为r，则51213
r r
-+-=，解得2
r．
∴内切圆的面积为24
r
ππ
=，
∴豆子落在内切圆外部的概率
42
11
115
512
2
P
ππ
=-=-
⨯⨯，
故选：C
【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理
能力.
8.已知函数3
1
()21x
x
f x x x e
e
=-++-，其中e是自然对数的底数．若
()2
(1)22
f a f a
-+≤，则实数a的取值范围是（）．
A. 31,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B. 3,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C. 11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D.
1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
令31
()()12x x
g x f x x x e e =-=-+-
，x R ∈．判断其奇偶性单调性即可得出． 【详解】令31
()()12x
x
g x f x x x e e =-=-+-
，x R ∈． 则()()g x g x -=-，()g x ∴在R 上为奇函数． 21
()320220x x
g x x e e '=-++
+-=， ∴函数()g x 在R 上单调递增．
2(1)(2)2f a f a -+，化为：2(1)1(2)10f a f a --+-，
即2(1)(2)0g a g a -+，化为：2(2)(1)(1)g a g a g a --=-， 221a a ∴-，
即2210a a +-， 解得112
a
-． ∴实数a 的取值范围是1
[1,]2
-．
故选：C ．
【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
9.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -，中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为
1
3
，则正四棱柱的高为（ ）．
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C 【解析】 【分析】
建立空间坐标系，设棱柱高为a ，求出平面1ACD 的法向量n ，令|cos n <，11
|3
CC >=求出a
的值．
【详解】以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 设1DD a =，则(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，1(0D ，0，)a ， 则(2AC =-，2，0)，1(2AD =-，0，)a ，1(0CC =，0，)a ，
设平面1ACD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1·0·0n AC n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴22020
x y x az -+=⎧⎨
-+=⎩，令1x =可得(1n =，1，2
)a ，
故cos n <，
11212||||
4
242
n CC CC n CC a a a
>=
=
=
+⨯+．
直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为
13
， ∴
21
3
24
a =
+，解得：4a =． 故选：C ．
【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．
10.已知函数()(0,0,0)()x
f x Asin x e A ωϕωϕπ-=⋅+＞＞＜＜的图象如图所示，则A ω的可
能取值为（ ）.
A.
2
π B. π
C.
32
π D. 2π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数图象的对称性得函数为偶函数，可得2
π
ϕ=，由(0)2f =可得2A =，由f （1）f
=（3）0=可得ω可取2
π
． 【详解】
()f x 的图象关于y 轴对称，()f x ∴为偶函数，
2
k π
ϕπ∴=+
，k Z ∈，
0ϕπ<<，
2
π
ϕ∴=
，
||()cos x f x A x e ω-∴=，
(0)2f A ∴==，
f （1）f =（3）0=，311
cos cos30e e
ω
ω∴==， cos cos30ωω∴==，取2
π
ω=
，则A ωπ=．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.
设2018log a =2019log b =，1
20182019c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c >>
B. a c b >>
C. c a b >>
D.
c b a >>
【答案】C 【解析】 【分析】
先确定1,,1c a b ><，然后将,a b 利用对数的运算，求得11
,22
a b ><，从而得到,,a b c 的大小关系.
【详解】由于0
2018201920181,log 20181,log 20191c a b >=<=<=，所以c 为三个数中最
大的.由于
20182018111
log 2019log 2018222
a =
>=，而
20192019111
log 2018log 2019222
b =
<=，故a b >.综上所述c a b >>，故选C. 【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“
12和1”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于1的，有一个是介于12
和1之间的，还有一个是小于1
2
的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对
数和指数函数的性质.
12.已知抛物线C ：2
0)2(y px p
=＞的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1:0l x my -=与抛物线C 交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方）
，与准线l 交于点R ，若3QF =，则
QRF PRF
S S ∆∆=（ ）.
A.
57
B.
37
C.
67
D.
97
【答案】C 【解析】
设1122(,),(,)P x y Q x y ，易知120,0y y ><.由题意知2p =，则抛物线2
:4C y x =.因为3QF =，所以22
22(1)9x y -+=，又2224y x =，得22x = （负值舍去）
，2y =-
立2
04x my y x
⎧-=⎪⎨
=⎪⎩，
得2
40y my --=，
故12y y =-，
所以1y =，故152x =，过点P 作PP '垂直于准线:1l x =-，垂足为P '，过点Q 作QQ '垂直于准线:1l x =-，垂足
为Q '，易知RQQ RPP ''∽，故36
772QRF PRF
S
QR
QQ S
PR PP =='='=，故选C ．
二、填空题．
13.已知球O 的内接圆锥体积为23
π
，其底面半径为1，则球O 的表面积为__________. 【答案】
254
π
【解析】 【分析】
利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于R 的方程，即可得解. 【详解】由圆锥体积为23
π
，其底面半径为1，设圆锥高为h 则
221
133
h ππ=⨯⨯，可求得2h = 设球半径为R ，可得方程：()2
221R R --=，解得：54
R =
25254=164
S ππ∴=⨯
本题正确结果：254
π
【点睛】此题考查了球的内接圆锥问题，关键是利用勾股定理建立关于半径的方程，属于基础题.
14.下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中
,l m 为直线，,αβ为平面），则此条件是__________.
①____l m m α⎫⎪⎬⎪⎭l α⇒；②____m l m α⊂⎫⎪⎬⎪⎭
l α⇒；③____l m m α⊥⎫
⎪
⊥⎬⎪⎭l α⇒ 【答案】l α⊄ 【解析】 【分析】
由线面平行的性质和判断可得①；由线面平行的判定定理可得②；由线面垂直的性质和线面平行的判断可得③．
【详解】①//l m ，////m l αα⇒或l α⊂，由//l l αα⊂⇒/； ②l α⊂/，m α⊂，////l m l α⇒；
③l m ⊥，//m l αα⊥⇒或l α⊂，由//l l αα⊂⇒⇒/． 故答案为：l α⊂/．
【点睛】本题考查空间线线、线面的位置关系，考查线面平行的判定，考查推理能力，属于基础题．
15.若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b
-=>>）的一条渐近线被圆22
24x y +
+=（）所截得的弦长为2，双曲线C 的离心率为__________.
【解析】 【分析】
求出双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线方程，利用被圆截得的弦长为2，列出关系
式，然后求解双曲线C 的离心率．
【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线0bx ay +=被圆22
(2)4x y ++=所
截得的弦长为2，
可得2
41-=，解得2243a c =，可得c e a ==．
故答案为：
3
． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．
16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S =-，则数列2
76n n n b a a =-+的最小值为
__________. 【答案】6- 【解析】 【分析】 由已知求得12n n
a ，再由配方法求数列2
76n n n b a a =-+的最小值．
【详解】由21n n S =-，得111a S ==，
当2n 时，11121212n n n n n n a S S ---=-=--+=，
11a =适合上式， ∴12n n
a ．
则2
272576()24
n n n n b a a a =-+=--．
∴当4n a =时2725
()(4)624
n min b =--
=-． 故答案为：6-．
【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且满足2222a c b a c b =+-（）
（其中b c ≠）
（Ⅰ）求证：2A B =；
（Ⅱ）若()sin cos f x x x =+，求()f B 的取值范围. 【答案】（1）见证明；（2
）1()f B <<
【解析】 【分析】
（1）由余弦定理化简已知等式可得2cos a b B =，由正弦定理，二倍角公式可得sin sin 2A B =，可证A=2B ；
（2）由两角和的正弦函数公式可得f （B
）)4
B π
=+，由由(1)及b c ≠可得03
4
B B π
π
<<
≠
且，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【详解】（1）由已知，两边同时除以2abc ，
得()222222b a c b a c abc abc
+-= 化简，得22222a a c b b ac
+-=
由正弦定理和余弦定理，得
sin cos 2sin A
B B
=
解得，sin 2sin cos sin 2A B B B == 所以A=2B 或2A B π+= 所以A=2B 或B=C
又因为b c ≠，所以A=2B ． （2
）由()sin cos 4f x x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭．
得()4f B B π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭
由002033B A B C B B C B
ππππ
π⎧
⎪<<⎪⎪
<=<⎨⎪<=-<⎪≠=-⎪⎩，解得034B B ππ<<≠且,
所以
74
4
122
4B B π
π
πππ
<+
<
+≠且
，所以1()f B <<
【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；
（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；
（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率. （3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下22
⨯列联表，并判断是否有99．9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，n a b c d
=+++
【答案】（1）平均值为16.92．（2）2
7
（3）见解析 【解析】 【分析】
()1根据平均数的公式进行计算即可;()2利用分层抽样的方法，
利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可;()3完成22⨯列联表，计算2K 的值，利用独立性检验的性质进行判断即可．
【详解】()1由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为
()1
7.51812.51217.5922.5927.5632.5437.5216.9260
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈； 所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．
()2设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A ，
依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[)5,10，[)0,15l ，[
)15,20的女性客户中抽取1人(设为)a ，2人(设为A ，)B
4人，(设为1c ，2c ，3c ，4)c ，从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：
aA ，aB ，1ac ，2ac ，3ac ，4ac ，AB ，1Ac ，2Ac ，3Ac ，4Ac ，1Bc ，2Bc ，3Bc ，4Bc ，12c c ，
13c c ，14c c ，23c c ，24c c ，34c c ，共21种，
其中事件A 所包含的基本事件为：12c c ，13c c ，14c c ，23c c ，24c c ，34c c ，共6个， 则事件A 发生的概率62217
P =
=． ()3依题意得22⨯列联表如下
男性 48 12 60 女性 16 24 40 合计 64
36
100
则()()()()
22
2
()100(48241612)16.66710.82864366040n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯=
=≈>++++⨯⨯⨯． 故有99.9%6
的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关．
【点睛】本题主要考查古典概型的
概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键.考查学生的计算能力．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，
E 为PC 上的点，且BE ⊥平面APC
（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；
（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值； 【答案】（1）见证明；（2）2
3
【解析】 【分析】
（1）由BE ⊥平面APC 可得AP BE ⊥，由BC ⊥平面APB 可得AP BC ⊥，故而AP ⊥平面PBC ，于是平面PAD ⊥平面PBC ；（2）代入体积公式可知1
3
P ABC C APB V V PA PB --==，
根据基本不等式求出PA PB 的最大值即可．
【详解】证明：∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，
四边形ABCD
正方形，
∴BC AB ⊥，BC ⊂面ABCD ， ∴BC ⊥面PAB ， 又AP ⊂面PAB ， ∴AP BC ⊥，
BE ⊥平面APC ，AP ⊂面PAC ，
∴AP BE ⊥，
BC BE B =，,BC BE ⊂平面PBC ，
∴AP ⊥面PBC ，
AP ⊂面PAD ，
∴平面PAD ⊥平面PBC ． （2）111
323
P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， 求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⨯的最大值． 令,PA x PB y ==，由（1）知，PA PB ⊥， ∴2
2
4x y +=，
而22112
3323
P ABC
x y V xy -+=≤⨯=，
当且仅当x y ==
PA PB ==时，P ABC V -的最大值为
2
3
． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算及基本不等式求最值，属于中档题．
20.设椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B
两点，若椭圆E 的离心率为1
2
，2ABF 的周长为16． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点,C D ，设弦,AB CD 的中点
分别为,M N .证明：,,O M N 三点共线.
【答案】（Ⅰ）22
11612
x y +=；
（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知椭圆E 的离心率为1
2
，2ABF 的周长为16，解得a ，b 的值，可得椭圆E 的方程；（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，00M x y （，）．利用点差法，可得34OM k k =-，3
4ON k k
=-，
由此可得O ，M ，N 三点共线．
【详解】（Ⅰ）解：由题意知，416a =，4a =．又
1
2
e =
， 2c ∴=
，b =，
∴椭圆E 的方程为22
11612
x y +=；
（Ⅱ）证明：当直线AB 、CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知， 中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线； 当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，
且设()11A x y ，，()22B x y ，，00M x y （，）．
则221111612x y +=，22
2211612x y +=，相减得22221212--=-1612x x y y ， 1212121234y y y y x x x x -+∴
⋅=--+，即01
21203
4y y y x x x -⋅=--，即34
OM k k ⋅=-， 3
4OM k k
∴=-
； 同理可得34ON k k
=-
， OM ON k k ∴=，
所以O ，M ，N 三点共线．
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题．
21.已知函数()ln 2
a
f x x x =-
（a 为常数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设函数()()g x xf x =有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1 【解析】 【分析】
（1）函数的定义域为(0,)+∞，其导数1()2
a
f x x '=-，对a 分类讨论即可得出单调性．（2）2()2a
g x xlnx x =-
，其导函数()1g x lnx ax '=+-．令()10g x lnx ax '=+-=，可得1lnx a x
+=，令1()lnx h x x +=
，令2()0lnx
h x x
-'==，列出表格即可得出单调性，结合图象即可得出． 【详解】（1）函数的定义域为(,)∞+0，其导数1'()2
a
f x x =- ①若0a ≤，则'()0f x ≥，函数
(,)∞+0上单调递增；
②若0a >，令'()0f x =，解得2x a
=， 函数在20,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减． （2）2
()ln 2
a g x x x x =-，其导函数'()ln 1g x x ax =+-， 令'()ln 10g x x ax =+-=，ln 1
x a x
=⇒+，
令ln 1()x h x x +=，则2ln '()x h x x -=，由2
ln 01x
x x
-=⇒=， x
（0，1）
1
()1+∞，
+ 0
-
()h x
取极大值
又因为
时，ln 1
()0x h x x
+=
>恒成立，于是函数()h x 的图像如图所示
要使()g x 有两个不同的极值点，则需
，即a 的取值范围为()0,1．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
2sin 2co )s (0a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2
22
242
x t y t ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.
（Ⅰ）写出曲线C 的平面直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若,,PM MN PN 成等比数列，求实数a 的值. 【答案】（1）；（2）
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用
222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将曲线
:C 2sin 2cos (0)a a ρθθ=>极坐标方程化为直角坐标方程y 2＝2ax （a ＞0）
；利用加减消元消去参数t 将直线l 的参数方程2
22
{2
4x t y =-+
=-+化为普通方程x －y －2＝0． （Ⅱ）利用直线
参数方程几何意义，将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程所得关于参数t 的方程，其中|PM|＝|t 1|，|PN|＝|t 2|，|MN|＝|t 1－t 2|．再根据,,PM MN PN 成等比数列列等量关系解得a ＝1．
试题解析：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为y 2
＝2ax （a ＞0）； 直线l 的普通方程为x －y －2＝0． 4分
（Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得t 2－2（4＋a
t ＋8（4＋a ）＝0 （*） △＝8a （4＋a ）＞0．
设点M ，N 分别对应参数t 1，t 2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t 1|，|PN|＝|t 2|，|MN|＝|t 1－t 2|．
由题设得（t 1－t 2）2＝|t 1t 2|，即（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝|t 1t 2|．由（*）得t 1＋t 2＝2（4＋a
，t 1t 2＝8（4＋a ）＞0，则有
（4＋a ）2－5（4＋a ）＝0，得a ＝1，或a ＝－4．因为a ＞0，所以a ＝1． 10分 考点：极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程，直线参数方程几何意义
23.已知函数1(1)f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；
（2）若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）4,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；（Ⅱ）4m ≥ 【解析】
试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围． 试题解析：
（1）当5m =时，()()
()()521311521x x f x x x x ⎧+<-⎪
=-≤≤⎨⎪->⎩
，
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- 21 - / 21- 21 - 由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.
（2）由二次函数()222312y x x x =++=++，
知函数在1x =-取得最小值2，
因为()()
()()
2121121m x x f x m x m x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，
所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点. 只需22m -≥，即4m ≥.。