19-20版：7.3.1 复数的三角表示式~7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（创新设

7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
教材知识探究
前面已经学习过了复数的两种表示.一是代数表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )；二是几何表示，复数z 既可以用复平面上的点Z (a ，b )表示，也可以用复平面上的向量OZ →
来表示.现在需要学习复数的三角表示，即用复数z 的模和辐角来表示复数. 问题 复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？
提示 复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好由复数的代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
1.复数的三角形式
一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos__θ＋isin__θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ
→所在射线(射线OZ
)
为终
边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
2.辐角主值
规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg__z . 3.复数三角形式的乘法
两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. 4.复数三角形式的除法
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1
r 2
[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].
教材拓展补遗
[微判断]
1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.(√)
2.复数0的辐角是任意的.(√)
3.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式可以转化为代数形式.(√) [微训练]
1.复数1＋i 的辐角主值为( ) A.π6
B.π3
C.π4
D.π2 解析 因为复数1＋i 对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝π
4. 答案 C
2.将复数i 对应的向量ON →绕原点按逆时针方向旋转π3，得到向量OM →，则OM →对应的
复数是( )
A.32＋12i
B.－32＋12i
C.－32－12i
D.32－12i
解析 i ＝cos π2＋isin π2，将ON
→绕原点按逆时针方向旋转π3得到OM →＝cos 5π6
＋isin
5π6＝－32＋12i. 答案 B
3.若z ＝cos 30°＋isin 30°，则arg z 2＝( ) A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
解析 因为z ＝cos 30°＋isin 30°，
则z 2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝(cos 30°＋isin 30°)×(cos 30°＋isin 30°)＝cos 60°＋isin 60°，故arg z 2＝60°. 答案 B [微思考]
1.复数的辐角有怎样的特征？
提示 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍，复数0因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.
2.你能根据复数的三角形式来解释i 2＝－1的几何意义吗？
提示 i 本身可以用坐标平面上y 轴的点(0，1)表示.而i 2＝i ×i 表示把y 轴上的点(0，1)绕原点逆时针转90度，就变为x 轴上的点(－1，0).
题型一 复数的代数形式化为三角形式 【例1】 将下列复数代数式化成三角形式： (1)3＋i ；(2)1－i.
解 (1)r ＝（3）2＋12＝2，所以cos θ＝32，
对应的点在第一象限，所以arg(3＋i)＝π
6，
所以3＋i ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos π6＋isin π6. (2)r ＝12＋（－1）2
＝2，所以cos θ＝22，
对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝7π
4，
所以1－i ＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.
规律方法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的三角形式.
【训练1】 复数z ＝3－i 的三角形式为( ) A.2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3 B.2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫cos 5π3－isin 5π3 C.2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫cos 7π6－isin 7π6 D.2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6 解析 因为r ＝2，所以cos θ＝3
2，与z ＝3－i 对应的点在第四象限，所以arg(3
－i)＝11π6，
所以z ＝3－i ＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6.
答案 D
题型二 复数的三角形式化为代数形式
【例2】 复数z ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 2π
3＋icos 2π3化为代数形式为( )
A.32＋32i
B.－32＋32i
C.－32－32i
D.32－32i
解析 z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π
3＋icos 2π3
＝3sin 2π3＋3icos 2π3＝3×32＋i 3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12
＝32－32i. 答案 D
规律方法 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z ＝r (cos A ＋isin A )，代数形式为z ＝x ＋y i ，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x ＝r cos A ，y ＝r sin A .
【训练2】 将复数z ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4化为代数形式为________.
解析 z ＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos π4－isin π4＝2×cos π4－i 2×sin π4＝1－i.
答案 1－i
题型三 复数三角形式的乘法运算 【例3】 计算：
(1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3×3⎝ ⎛
⎭
⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6；
(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×1
2(cos 25°＋isin 25°). 解 (1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3×3⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6
＝23⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos 3π2＋isin 3π2
＝－23i.
(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×1
2(cos 25°＋isin 25°)＝8(cos 35°＋isin 35°)×1
2(cos 25°＋isin 25°) ＝4(cos 60°＋isin 60°) ＝2＋23i.
规律方法 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.
【训练3】 计算：(3＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝________. 解析 法一 (3＋i)(cos 60°＋isin 60°) ＝2(cos 30°＋isin 30°)(cos 60°＋isin 60°) ＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i.
法二 (3＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝()3＋i ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＋32i
＝32＋32i ＋12i －3
2＝2i. 答案 2i
题型四 复数三角形式的除法运算
【例4】 (1)设π<θ<5π
4，则复数cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ的辐角主值为( )
A.2π－3θ
B.3θ－2π
C.3θ
D.3θ－π 解析
cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ＝cos 2θ＋isin 2θ
cos （－θ）＋isin （－θ）
＝cos 3θ＋isin 3θ，
∵π<θ<5π4，∴3π<3θ<15π
4， ∴π<3θ－2π<7π
4，故本题应选B. 答案 B
(2)计算：8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6＋isin 7π6÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3. 解 8⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos 7π6＋isin 7π6÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3
＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i ＝－3＋i.
规律方法 直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.
【训练4】 计算：2i÷⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12（cos 30°＋isin 30°）.
解 2i÷⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12（cos 30°＋isin 30°）
＝2(cos 90°＋isin 90°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12（cos 30°＋isin 30°）
＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋23i.
一、素养落地
1.通过了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，体会数学抽象素养.通过了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义体会数学运算素养.
2.代数形式与三角形式的互化：
3.复数三角形式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数z 的一个辐角，不一定是辐角主值. 二、素养训练
1.将复数i 对应的向量ON →绕原点按顺时针方向旋转π3
，得到向量OM →，则OM
→对应的
复数是( )
A.32＋12i
B.－32＋12i
C.－32－12i
D.32－12i
解析 i ＝cos π2＋isin π2，将OM
→绕原点按顺时针方向旋转π3得到OM →＝cos π6＋isin π
6
＝32＋12i. 答案 A
2.将复数z ＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin π
3＋icos π3化为代数形式为________.
解析 z ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π
3＋icos π3＝8×32＋8×12i ＝43＋4i. 答案 43＋4i
3.arg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12－32i ＝________.
解析 复数z ＝－12－32 i 对应的点位于第三象限，且cos θ＝－1
2，所以arg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12－32i ＝4π3. 答案 4π3
4.计算(cos π＋isin π)÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos π3＋isin π3＝________. 解析 (cos π＋isin π)÷⎝
⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝cos 2π3＋isin 2π3＝－12＋32i. 答案 －12＋3
2i。