2021-2022学年广东省江门市高一下期中考试数学试卷及答案解析

19．已知向量 ， ，h在同一平面上，且 （2，1）． （1） （﹣1，m），且 3 与 2 平行，求 m 的值； （2）若 ⊥h，且|h|＝2 ，求向量h的坐标；
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20．设△ABC 中角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A ． （1）若 c＝2，a＝2 ，求 b； （2）若△ABC 为锐角三角形，求 cos（2A+2B）+sinC 的取值范围．
D．
6．设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（ ）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m⊥n
B．若 m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C．若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n
7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何
积为 π，则该圆锥的表面积为
．
16．在△ABC 中，角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，若 R
则 B＝
，S△ABC＝
， ht
四．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，第 18-22 题各 12 分，共 70 分）
，c＝2，
17．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，cosB ，R （1）求△ABC 的面积； （2）若 a＝7，求角 C．
计算公式，即 V 牟＝r3 V 方盖差，从而计算出 V 球 πr3，记棱长均为 r 的正四棱锥的体
积为 V 正，则（ ）
A． V 方盖差＞V 正
B． V 方盖差＝V 正
C． V 方盖差＜V 正 解：由题意， V 方盖差＝r3 V 牟＝r3
D．以上结果均有可能 πr3 r3，
所有棱长都为 r 的正四棱锥的体积为 V 正
2021-2022 学年广东省江门市高一下期中考试数学试卷
注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在 试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以 C 满足条件；
用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以 D 满足条件．
故选：ACD．
11．设向量 （2，0）， （1，1），则（ ）
A．| |＝| | C．（ ）⊥
B．（ ）∥ D． 与 的夹角为
解：∵
，
，∴A 错误；
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确；
对于 C，若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α、β可能平行或相交，故 C 错误；
对于 D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m，n 可能平行或异面，故 D 错误．
故选：B．
7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何
体，得到“牟合方盖”的体积与球的体积之比为 4：π，也得到了“牟合方盖”的 体积
（Rt R ）＝mR
所以Rt mR
R ，因为点 P 在 BN 上，即 P，B，N 三点共线，
所以 m
1，解得 m
故选：D．
．
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Rt，
6．设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（ ）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m⊥n
B．若 m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
积为（ ）
A．
B．
C．4π
二．多选题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
9．若复数 z＝3﹣i，其共轭复数为 ，则（ ）
A．z 的虚部为﹣i
B．z• 10 C． 在复平面上对应的点在第四象限
D．
i
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D．16π
10．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（ ）
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21．如图，在三棱锥 A﹣BOC 中，AO⊥平面 COB，∠OAB＝∠OAC ，AB＝AC＝2，BC ， D，E 分别为 AB，OB 的中点． （1）求证：CO⊥平面 AOB； （2）在线段 CB 上是否存在一点 F，使得平面 DEF∥平面 AOC，若存在，试确定 F 的位 置；若不存在，请说明理由．
，故 D 正确．
故选：BD．
10．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（ ）
A．圆锥
B．圆柱
C．三棱锥
D．正方体
解：用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以 A 满足条件；
用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状不可能是一个三角形，所以 B 不满足条件；
A．圆锥
B．圆柱
C．三棱锥
D．正方体
11．设向量 （2，0）， （1，1），则（ ）
A．| |＝| |
B．（ ）∥
C．（ ）⊥
D． 与 的夹角为
12．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A．a：b：c＝sinA：sinB：sinC
B．若 sin2A＝sin2B，则 a＝b
一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．已知复数 z＝1+i，则
（）
A．2
B．﹣2
C．2i
D．﹣2i
2．已知矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，E 为 AB 上的点，且 2 R，F 为 BC 的中点，
则R • （ ）
A．﹣2
B．﹣5
C．﹣6
D．﹣8
3．在△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 3a2+3c2﹣3b2＝2ac， R⋅ t 2，则 △ABC 的面积为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
4．已知点 A（1，2），B（3，4），则与R 共线的单位向量为（ ）
A． ，
B．
，
C． ， 或
，
D．（2，2）
5．如图，在△ABC 中，N 为线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 P 在 BN 上且Rt h
R
t，则实数 m 的值为（ ）
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A．1
B．
C．
r2
r3，
∴ V 方盖差＞V 正． 故选：A． 8．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为 4π，则球的体 积为（ ）
A．
B．
C．4π
D．16π
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解：设圆柱底面半径为 r，则内切球的半径也是 r，圆柱的高为 2r， ∴圆柱的侧面积为：2πr×2r＝4π， ∴r＝1，
体，得到“牟合方盖”的体积与球的体积之比为 4：π，也得到了“牟合方盖”的 体积
计算公式，即 V 牟＝r3 V 方盖差，从而计算出 V 球 πr3，记棱长均为 r 的正四棱锥的体
积为 V 正，则（ ）
A． V 方盖差＞V 正
B． V 方盖差＝V 正
C． V 方盖差＜V 正
D．以上结果均有可能
8．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为 4π，则球的体
A．
B．
C．2
D．4
解：在△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 3a2+3c2﹣3b2＝2ac，
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可得 cosB
h h
，则 sinB
，
R⋅ t 2，可得 cacosB＝2，则 ac＝6，
∴△ABC 的面积为： h 故选：C．
2．
4．已知点 A（1，2），B（3，4），则与R 共线的单位向量为（ ）
一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．已知复数 z＝1+i，则
（）
A．2
B．﹣2
解：因为复数 z＝1+i，
所以
故选：A．
C．2i ．
D．﹣2i
2．已知矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，E 为 AB 上的点，且 2 R，F 为 BC 的中点，
则R • （ ）
A．﹣2
B．﹣5
A． ，
B．
，
C． ， 或
，
D．（2，2）
解：R （2，2），
设与共线的单位向量是 （x，y），
则有
，
解得
或
，
故选：C．
5．如图，在△ABC 中，N 为线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 P 在 BN 上且Rt h
R
t，则实数 m 的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
解：Rt h
R
t （m ）R
N 为线段 AC 上靠近 A 的三等分点，
， ，∴
，∴
，∴B 错误，C 正确；
∵ht ＜ ， ＞
，且 ＜ ， ＞ ，∴ ， 的夹角为 ，∴D 正
确．
故选：CD．
12．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A．a：b：c＝sinA：sinB：sinC C．若 sinA＞sinB，则 A＞B
解：对于 A，由正弦定理 R 2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故正确；
解：因为
，
（其中 i 为虚数单位），则|z|＝ 5 ．
所以
4﹣3i，故|z|＝5．
B．若 sin2A＝sin2B，则 a＝b
h
D． R
t
h t ㈠，可得：a：b：c＝2RsinA：2RsinB：
对于 B，由 sin2A＝sin2B，可得 A＝B，或 2A+2B＝π，即 A＝B，或 A+B ，∴a＝b，
或 a2+b2＝c2，故 B 错误；
对于 C，在△ABC 中，由正弦定理可得 sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此 A＞B 是 sinA＞
∴a＝b•
h h
，∴b2+c2﹣a2＝2ac＝2b2，
∴a2+b2＝c2，∴△ABC 为直角三角形．
由余弦定理，有 cosB ∴cosB
h h
，
ht R
＝cos2A＝sin2B＝1﹣cos2B， ∴cos2B+cosB﹣1＝0，
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∴cosB
或 ht
（舍），
故答案为： ．
14．已知复数 z 的共轭复数为 ，若
C．若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n
解：对于 A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，可得 m，n 相交或平行、异面，故 A 错误；
对于 B，若 m⊥α，m∥n，可得 n⊥α，
又 n∥β，可得过 n 的平面γ与β的交线 l∥n，又 n⊥α，则 l⊥α，l⊂β，可得α⊥β，故 B 正
C．﹣6
D．﹣8
解：以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，BA 所在直线为 y 轴，距离如图所示的直
角坐标系，则 B（0，0），A（0，3），D（4，3），E（0，2），F（2，0），R （2，﹣3），
（﹣4，﹣1），
则R • 2×（﹣4）+（﹣3）×（﹣1）＝﹣5． 故选：B．
3．在△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 3a2+3c2﹣3b2＝2ac， R⋅ t 2，则 △ABC 的面积为（ ）
t 21．
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18．在①z＜0，②z 为虚数，③z 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知复数：z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i． （1）若______，求实数 m 的值； （2）若复数 z﹣m2（1+i）+8 的模为 2 ，求 m 的值．
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C．若 sinA＞sinB，则 A＞B
h
D． R
t
三．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若 b2＝ac，且 a＝数为 ，若
（其中 i 为虚数单位），则|z|＝
．
15．一个底面半径为 2 的圆锥，其内部有一个底面半径为 1 的内接圆柱，若其内接圆柱的体
∴球的体积为：
，
故选：B． 二．多选题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9．若复数 z＝3﹣i，其共轭复数为 ，则（ ）
A．z 的虚部为﹣i B．z• 10 C． 在复平面上对应的点在第四象限
D．
i
解：∵z＝3﹣i，∴z 的虚部为﹣1，故 A 错误； ，故 B 正确；
， 在复平面上对应的点的坐标为（3，1），在第一象限，故 C 错误；
sinB 的充要条件，正确；
对于 D，由正弦定理 R
h t ㈠，可得右边
h t
㈠
㈠t t
2R＝左边，故正确．
故选：ACD．
三．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若 b2＝ac，且 a＝bcosA，则 cosB＝
．
解：∵b2＝ac，且 a＝bcosA，
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22．设函数
ht
ht
，x∈R．
（Ⅰ）求 f（x）的值域；
（Ⅱ）记△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a，b，c（a＞b），若 f（B）＝0，b＝1，
h
，求 a 的值．
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2021-2022 学年广东省江门市高一下期中考试数学试卷
参考答案与试题解析