2025年九年级中考数学二轮复习课件(全国通用)：趋势一 阅读理解
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仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉. 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止 时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺(5尺为一步)，秋千的踏板就和某 人一样高，这个人的身高为5尺.(假设秋千的绳索拉得很直)
(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度.
200赫兹，则k的值为____1_8_0____.
4.(2024吉林)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲 所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C， BC＝0.5尺，B′C＝2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为_x_2＋__2_2_＝__x_＋_0_._5_ _2.
①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆 放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接AB；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度， 端点M的落点记为点C(点A，B，C不在同一条直线上)；
③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与 点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；
解：(2)(m＋2)2－m2＝2 024. 整理，得 4m＝2 020. 解得 m＝505.∴m＋2＝507. ∴m，m＋2 都是奇数，不符合题意．∴小明的说法不正确． (3)能. 理由如下： (2k＋2)2－(2k)2＝4k2＋8k＋4－4k2＝4(2k＋1). ∴(2k＋2)2－(2k)2 能够被 4 整除，即由这两个连续偶数构造得到的“神秘 数”能够被 4 整除．
若节目按“A－B－C－D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候 场时间为___6_0____min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节 目应按__C__－__A_－__B_－__D__的先后顺序彩排.
类型 动手操作
14.(2024兰州)观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又 便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”.如图1，他用木条能 快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
解：设 BG＝x，则 DB＝DG＋x＝1.5＋x，D′B＝D′D＋DG＋x＝24＋1.5＋
x＝25.5＋x.
由题意，得△DGC∽△DBA，△D′G′C′∽△D′BA.
∴CAGB ＝DDGB ，CA′GB′ ＝DD′′GB′ ，
即
1.8 AB
＝1.51.＋5 x
，A1.B2
＝25.52＋x
.
∴AB＝1.8（11..55＋x） ＝1.2（252.5＋x） .解得 x＝22.5.
A.2 022
第10题图
B.2 023
C.2 024
D.2 025
11.(2024 遂宁)在等边△ABC 三边上分别取点 D，E，F，使得 AD＝BE＝CF，连
接三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设 S△ABC＝1，则 S△DEF＝1－3S△ADF.
如图 1，当 AD ＝1 时， AB 2
第12题图
13.(2024北京)联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员 到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每 个节目的演员人数和彩排时长(单位： min)如下：
节目
ABCD
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个 彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考 虑换场时间等其他因素).
2.(2024内江)如图所示的电路中，当随机闭合开关S1，S2，S3中的两 个时，灯泡能发光的概率为( A )
第2题图
A.23
B.12
C.13
D.16
3.(2024湖南)在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例
关系，即f＝
k l
(k为常数，k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为
第4题图
5.(2024吉林)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A) 与电阻R(单位： Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.
(1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围)； (2)当电阻R为3 Ω时，求此时的电流I.
第5题图
解：(1)设这个反比例函数的解析式为 I＝UR
U≠0
.
将 9，4
代入 I＝UR
，得 4＝U9
.
解得 U＝36.
∴这个反比例函数的解析式为 I＝3R6 .
(2)对于 I＝3R6 ，当 R＝3 时，I＝336 ＝12.
∴此时的电流 I 为 12 A.
类型 数学文化
6.(2024自贡)我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，
运用弦图(如图所示)巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24
趋势一 阅读理解
类型 跨学科
1.(2024山西)一只杯子静止在斜面上，其受力分析
如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向 与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的 坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度 数为( C )
A.155°
B.125°
C.115°
D.65°
第1题图
答图2
15.(2024自贡)为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运 用了多种测量方法.
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自 己的身高DE.此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m，据此可得 旗杆高度为____1_1_._3___m.
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观 测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5 m，小李到镜面 距离EC＝2 m，镜面到旗杆的距离CB＝16 m.求旗杆高度.
④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是 直角.
操作体验：(1)根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法.如图2， BA＝BC，请画出以点A为顶点的直角，记作∠DAC.
解：画出∠DAC如答图1所示．
答图1
推理论证：(2)如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括 号里的证明依据.
解：如答图1，过点A′作A′B⊥OA于点B. 设OA＝x，则OA′＝OA＝x. 由题意，得AB＝5－1＝4，A′B＝10. ∴OB＝OA－AB＝x－4. 在Rt△OA′B中，由勾股定理， 得A′B2＋OB2＝OA′2，即102＋(x－4)2＝x2. 解得x＝14.5. 答：秋千绳索OA的长度为14.5尺．
在 Rt△OA′P 中，cos α＝OOAP′ .
∴OP＝OA′·cos α＝OA·cos α.同理，OQ＝OA·cos β.
∴PQ＝OQ－OP＝OA·cos β－OA·cos α＝
OA·(cos β－cos α)＝h.
∴OA＝ cos
h β－cos
α
.
第8题图
类型 规律探究
9.(2024扬州)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列
证明：∵AB＝BC＝BD， ∴△ABC与△ABD是等腰三角形. ∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD.( 依据1 ) ∴∠BCA＋∠BDA＝∠BAC＋∠BAD＝∠DAC. ∵∠DAC＋∠BCA＋∠BDA＝180°，.( 依据2 ) ∴2∠DAC＝180°. ∴∠DAC＝90°.
依据1：____等___边__对__等__角_______； 依据2：__三__角__形__内__角__和___定__理___.
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面 M，N两点始终处于同一水平线上.
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面. 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一 水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8 m， DG＝1.5 m.将观测点D后移24 m到D′处，采用同样方法，测得C′G′＝1.2 m，D′G′＝ 2 m.求雕塑高度(结果精确到1 m).
解：由题意，得∠ACB＝∠DCE，AB⊥BE，DE⊥BE.
∴∠ABC＝∠DEC＝90°.∴△ACB∽△DCE.
∴AB DE
＝CB CE
，即AB 1.5
＝16 2
.解得 AB＝12.
答：旗杆高度为 12 m.
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具， 优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成 功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下：
数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数
都等于它的前两个数之和，则在这一列数的前2 024个数中，奇数的个
数为( D )
A.676
B.674
C.1 348
D.1 350
10.(2024牡丹江)如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组 成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10 个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是( B )
届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是( B )
A.是轴对称图形
B.是中心对称图形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形
第6题图
7.(2024德阳)宽与长的比是
5－1 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给
2
我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都
∴AB＝1.8×11..55＋22.5 ＝28.8≈29m .
答：雕塑高度约为 29 m.
类型 新定义
16.(2024泸州)定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平 移a(a＞0)个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动 叫做图形的ρ(a，θ)变换.如：点A(2，0)按照ρ(1，90°)变换后得到点A′ 的坐标为(－1，2)，则点B( 3 ，－1)按照ρ(2，105°)变换后得到点B′ 的坐标为__(_－___2_，___2__)_.
采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形(AB＜BC)，点P是
边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为( D )
A.3
B.2
C.1
D.0
8.(2024乐山)我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统 宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地. 送行二步与人齐，五尺人高曾记.
17.如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这 个正整数为“神秘数”.例如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，故4， 12，20都是神秘数.
(1)写出一个除“4，12，20”以外的“神秘数”：_2_8_(答__案__不__唯__一__)_. (2)小明说：“2 024是神秘数.”为了验证小明的说法，小亮设较小 偶数为m，较大偶数为m＋2，列出方程(m＋2)2－m2＝2 024.请用小亮所 列方程分析小明的说法是否正确. (3)设两个连续偶数为2k和2k＋2(k为非负整数)，则由这两个连续偶 数构造得到的“神秘数”能够被4整除吗？请说明理由.
S△DEF＝1－3×14
＝1 4
；如图 2，当ຫໍສະໝຸດ AD AB＝1 3
时，S△DEF＝1－3×29
＝1 3
；
第11题图
如图 3，当
AD AB
＝1 4
时，S△DEF＝1－3×136
＝7 16
……
直接写出，当AD AB
＝1 10
73
时，S△DEF＝____1_00_____.
类型 逻辑推理 12.(2024德阳)数学活动课上，甲组同学给乙组同 学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的 八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数 字之差的绝对值不等于1.经过探究后，乙组的小高同 学填出了图中两个中心圆圈的数字a，b，你认为a可 以是___1_(或__8_)___.(填上一个数字即可)
第8题图
答图1
(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA′释放，秋千摆动
到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h.根
据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α，β和h的式
子表示；如果不能，请说明理由.
解：能．由题意，得∠OPA′＝∠OQA″ ＝90°，OA′＝OA″ ＝OA.
拓展探究：(3)小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的 误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差.如图3，点O在直线l 上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作 ∠POQ，使得直角边OP(或OQ)在直线l上.(保留作图痕迹，不写作法)
解：画出∠POQ如答图2所示．
(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度.
200赫兹，则k的值为____1_8_0____.
4.(2024吉林)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲 所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C， BC＝0.5尺，B′C＝2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为_x_2＋__2_2_＝__x_＋_0_._5_ _2.
①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆 放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接AB；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度， 端点M的落点记为点C(点A，B，C不在同一条直线上)；
③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与 点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；
解：(2)(m＋2)2－m2＝2 024. 整理，得 4m＝2 020. 解得 m＝505.∴m＋2＝507. ∴m，m＋2 都是奇数，不符合题意．∴小明的说法不正确． (3)能. 理由如下： (2k＋2)2－(2k)2＝4k2＋8k＋4－4k2＝4(2k＋1). ∴(2k＋2)2－(2k)2 能够被 4 整除，即由这两个连续偶数构造得到的“神秘 数”能够被 4 整除．
若节目按“A－B－C－D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候 场时间为___6_0____min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节 目应按__C__－__A_－__B_－__D__的先后顺序彩排.
类型 动手操作
14.(2024兰州)观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又 便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”.如图1，他用木条能 快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
解：设 BG＝x，则 DB＝DG＋x＝1.5＋x，D′B＝D′D＋DG＋x＝24＋1.5＋
x＝25.5＋x.
由题意，得△DGC∽△DBA，△D′G′C′∽△D′BA.
∴CAGB ＝DDGB ，CA′GB′ ＝DD′′GB′ ，
即
1.8 AB
＝1.51.＋5 x
，A1.B2
＝25.52＋x
.
∴AB＝1.8（11..55＋x） ＝1.2（252.5＋x） .解得 x＝22.5.
A.2 022
第10题图
B.2 023
C.2 024
D.2 025
11.(2024 遂宁)在等边△ABC 三边上分别取点 D，E，F，使得 AD＝BE＝CF，连
接三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设 S△ABC＝1，则 S△DEF＝1－3S△ADF.
如图 1，当 AD ＝1 时， AB 2
第12题图
13.(2024北京)联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员 到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每 个节目的演员人数和彩排时长(单位： min)如下：
节目
ABCD
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个 彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考 虑换场时间等其他因素).
2.(2024内江)如图所示的电路中，当随机闭合开关S1，S2，S3中的两 个时，灯泡能发光的概率为( A )
第2题图
A.23
B.12
C.13
D.16
3.(2024湖南)在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例
关系，即f＝
k l
(k为常数，k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为
第4题图
5.(2024吉林)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A) 与电阻R(单位： Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.
(1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围)； (2)当电阻R为3 Ω时，求此时的电流I.
第5题图
解：(1)设这个反比例函数的解析式为 I＝UR
U≠0
.
将 9，4
代入 I＝UR
，得 4＝U9
.
解得 U＝36.
∴这个反比例函数的解析式为 I＝3R6 .
(2)对于 I＝3R6 ，当 R＝3 时，I＝336 ＝12.
∴此时的电流 I 为 12 A.
类型 数学文化
6.(2024自贡)我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，
运用弦图(如图所示)巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24
趋势一 阅读理解
类型 跨学科
1.(2024山西)一只杯子静止在斜面上，其受力分析
如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向 与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的 坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度 数为( C )
A.155°
B.125°
C.115°
D.65°
第1题图
答图2
15.(2024自贡)为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运 用了多种测量方法.
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自 己的身高DE.此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m，据此可得 旗杆高度为____1_1_._3___m.
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观 测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5 m，小李到镜面 距离EC＝2 m，镜面到旗杆的距离CB＝16 m.求旗杆高度.
④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是 直角.
操作体验：(1)根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法.如图2， BA＝BC，请画出以点A为顶点的直角，记作∠DAC.
解：画出∠DAC如答图1所示．
答图1
推理论证：(2)如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括 号里的证明依据.
解：如答图1，过点A′作A′B⊥OA于点B. 设OA＝x，则OA′＝OA＝x. 由题意，得AB＝5－1＝4，A′B＝10. ∴OB＝OA－AB＝x－4. 在Rt△OA′B中，由勾股定理， 得A′B2＋OB2＝OA′2，即102＋(x－4)2＝x2. 解得x＝14.5. 答：秋千绳索OA的长度为14.5尺．
在 Rt△OA′P 中，cos α＝OOAP′ .
∴OP＝OA′·cos α＝OA·cos α.同理，OQ＝OA·cos β.
∴PQ＝OQ－OP＝OA·cos β－OA·cos α＝
OA·(cos β－cos α)＝h.
∴OA＝ cos
h β－cos
α
.
第8题图
类型 规律探究
9.(2024扬州)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列
证明：∵AB＝BC＝BD， ∴△ABC与△ABD是等腰三角形. ∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD.( 依据1 ) ∴∠BCA＋∠BDA＝∠BAC＋∠BAD＝∠DAC. ∵∠DAC＋∠BCA＋∠BDA＝180°，.( 依据2 ) ∴2∠DAC＝180°. ∴∠DAC＝90°.
依据1：____等___边__对__等__角_______； 依据2：__三__角__形__内__角__和___定__理___.
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面 M，N两点始终处于同一水平线上.
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面. 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一 水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8 m， DG＝1.5 m.将观测点D后移24 m到D′处，采用同样方法，测得C′G′＝1.2 m，D′G′＝ 2 m.求雕塑高度(结果精确到1 m).
解：由题意，得∠ACB＝∠DCE，AB⊥BE，DE⊥BE.
∴∠ABC＝∠DEC＝90°.∴△ACB∽△DCE.
∴AB DE
＝CB CE
，即AB 1.5
＝16 2
.解得 AB＝12.
答：旗杆高度为 12 m.
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具， 优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成 功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下：
数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数
都等于它的前两个数之和，则在这一列数的前2 024个数中，奇数的个
数为( D )
A.676
B.674
C.1 348
D.1 350
10.(2024牡丹江)如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组 成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10 个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是( B )
届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是( B )
A.是轴对称图形
B.是中心对称图形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形
第6题图
7.(2024德阳)宽与长的比是
5－1 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给
2
我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都
∴AB＝1.8×11..55＋22.5 ＝28.8≈29m .
答：雕塑高度约为 29 m.
类型 新定义
16.(2024泸州)定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平 移a(a＞0)个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动 叫做图形的ρ(a，θ)变换.如：点A(2，0)按照ρ(1，90°)变换后得到点A′ 的坐标为(－1，2)，则点B( 3 ，－1)按照ρ(2，105°)变换后得到点B′ 的坐标为__(_－___2_，___2__)_.
采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形(AB＜BC)，点P是
边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为( D )
A.3
B.2
C.1
D.0
8.(2024乐山)我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统 宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地. 送行二步与人齐，五尺人高曾记.
17.如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这 个正整数为“神秘数”.例如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，故4， 12，20都是神秘数.
(1)写出一个除“4，12，20”以外的“神秘数”：_2_8_(答__案__不__唯__一__)_. (2)小明说：“2 024是神秘数.”为了验证小明的说法，小亮设较小 偶数为m，较大偶数为m＋2，列出方程(m＋2)2－m2＝2 024.请用小亮所 列方程分析小明的说法是否正确. (3)设两个连续偶数为2k和2k＋2(k为非负整数)，则由这两个连续偶 数构造得到的“神秘数”能够被4整除吗？请说明理由.
S△DEF＝1－3×14
＝1 4
；如图 2，当ຫໍສະໝຸດ AD AB＝1 3
时，S△DEF＝1－3×29
＝1 3
；
第11题图
如图 3，当
AD AB
＝1 4
时，S△DEF＝1－3×136
＝7 16
……
直接写出，当AD AB
＝1 10
73
时，S△DEF＝____1_00_____.
类型 逻辑推理 12.(2024德阳)数学活动课上，甲组同学给乙组同 学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的 八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数 字之差的绝对值不等于1.经过探究后，乙组的小高同 学填出了图中两个中心圆圈的数字a，b，你认为a可 以是___1_(或__8_)___.(填上一个数字即可)
第8题图
答图1
(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA′释放，秋千摆动
到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h.根
据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α，β和h的式
子表示；如果不能，请说明理由.
解：能．由题意，得∠OPA′＝∠OQA″ ＝90°，OA′＝OA″ ＝OA.
拓展探究：(3)小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的 误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差.如图3，点O在直线l 上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作 ∠POQ，使得直角边OP(或OQ)在直线l上.(保留作图痕迹，不写作法)
解：画出∠POQ如答图2所示．