2020年高考理科数学之高频考点解密06 定积分与微积分基本定理(解析版)

考点解密 定积分与微积分基本定理
考点1 定积分的计算
题组一 用牛顿—莱布尼茨公式求定积分 调研1
e
1
1
d x x
=⎰
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．e
【答案】C
【解析】因为()1ln x x
'=
，所以e e
111d ln |1x x x ==⎰．故选C ．
【名师点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数或者利用其几何意义，属于基础题．先求出被积函数1
x 的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可． 调研2 已知()21f x x =+，若()()1
d f x x f a =⎰，则a 的值为
A ．1
2
-
B ．2
-
C ．
1
2
D ．1
【答案】C 【解析】因为
()()1
d f x x f a =⎰，所以()
2
10|21x
x a +=+，
所以221a =+，解得1
2
a =
．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力．直接利用微积分基本原理化简
()()1
d f x x f a =⎰即得a 的值．
调研3 若函数()1
f x x x
=+，则()e 1d f x x =⎰______________．
【答案】2e 1
2
+ 【解析】()1f x x x =+Q ，则()2
e e 2e 11111e 1
d d ln |22f x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰．
【名师点睛】本题主要考查微积分基本定理求函数的定积分，意在考查对基本定理的掌握与应用，属于简单题．
调研4 已知函数1(10)()πcos (0)2
x x f x x x +-≤≤⎧⎪
=⎨<≤⎪⎩，则π21()d f x x -=⎰______________．
【答案】
3
2
【解析】
πππ
20
0222
101
1
13()d (1)d cos d ()|sin |1222
x f x x x x x x x x ---=++=++=+=⎰
⎰⎰
．
☆技巧点拨☆
1．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤
（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值． 2．分段函数的定积分
分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．
题组二 用定积分的几何意义求定积分 调研5 计算3
33
(cos )d x x x -=⎰
______________．
【答案】0
【解析】因为3
cos y x x =为奇函数， 所以
3
33
(cos )d 0x x x -=⎰
．
调研6 已知函数()f x 为偶函数，且6
()d 8f x x =⎰
，则6
6
()d f x x -=⎰______________．
【答案】16
【解析】因为函数()f x 为偶函数， 所以
6
6
6
()d 2()d 16f x x f x x -==⎰
⎰．
调研7
．
【答案】
4
π
调研8 已知函数()(]sin ,π,00,1x x f x x ⎧∈-⎪
=∈，则()1π
d f x x -=⎰______________．
【答案】π
24
-
【解析】
()1
0π
π
d sin d f x x x x x
--=+⎰
⎰⎰，
0ππsin d cos |2x x x --
=-=-⎰
，
x ⎰的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的14
， 故
01π,4x =⎰()1ππd 24
f x x -∴=-⎰．
☆技巧点拨☆
1．求定积分的三种方法
（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；
（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例
如，定积分
x ⎰
的几何意义是求单位圆面积的1
4，所以π=4
x ⎰．
2．奇偶函数的定积分
（1）若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则
()d 0a
a f x x -=⎰
；
（2）若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则
0()d 2()d a
a
a
g x x g x x -=⎰
⎰．
考点2 定积分的应用
题组一 利用定积分求平面图形的面积
调研1 如图，抛物线的方程为2
1y x =-，则图中阴影部分的面积可表示为
A ．2
20()1d x x -⎰
B ．|2
20
()1d x x -⎰
|
C ．
2
2
||1d x x -⎰
D ．
1
2
2
20
1
1d 1)d (()x
x x x -+-⎰⎰
【答案】C
【解析】由图形可知阴影部分的面积为1
2
220
1
1d 1)d (()x x x x -+-⎰
⎰，
而
2
1
220
||(1)d 1d x x x x -=-+
⎰
⎰2
21
()1d x x -⎰
，故选C ．
调研2 如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为 A ．2
1π
- B ．
2
π C ．
22
π
D ．22
1π
-
【答案】A
【解析】∵π×
1=πS =矩形，()π
π
00
sin d cos |cos πcos02x x x =-=--=⎰
，
π2S ∴=-阴影，∴豆子落在图中阴影部分的概率为
π22
1ππ
-=-． 故选A ．
【名师点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键．分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．
调研3 求由曲线y =2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误的为
A ．4
0(2x x -⎰ B ．0x ⎰
C ．
2
22
(2)d y y y ---⎰
D ．
22
(4)d y y --⎰
【答案】C
【解析】曲线y =2y x =-+及y 轴所围成的图形如下图中阴影部分所示：
则阴影部分的面积可表示为4
(2x x -+⎰
，可知A 正确；
根据对称性可知
2
40
2
(2)d (2)d x x x x -=-⎰
⎰，
所以阴影部分的面积可表示为
4
[0(x x -=⎰
⎰
，可知B 正确；
同理，根据对称性可知，阴影部分的面积可表示为022
(4)d y y --⎰
，可知D 正确；
故选C ．
调研4 若从区间[0,2]内随机取两个数，则这两个数之积大于2的概率为______________．
【答案】
1ln2
2
- 【解析】设这两个数为,x y ，则,[0,2]x y ∈，且2xy >， 令2xy =，则2
y x
=
，则可作出如下图所示图象，
要使2xy >，则(,)x y 必须在曲线2
y x
=的上方， 则阴影部分的面积为
2
21
142ln 2(22ln1)222(2)d (222)ln ln x x x x =---=--=-⎰，
则所求概率22ln 21ln 2
222
P --=⨯=．
☆技巧点拨☆
利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向，多以选择题、填空题的形式考查．难度一般不大，属中低档题型．常见的题型及其解法如下： 1．利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．
注意：当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．知图形的面积求参数
求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值． 3．与概率相交汇问题
解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算．
题组二 定积分的物理意义
调研5 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是
A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面
B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面
C ．在t 0时刻，两车的位置相同
D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面
【答案】A
【解析】由图可知，曲线v 甲，直线0t t =和t 轴所围成图形的面积大于曲线v 乙，直线0t t =和t 轴所围成图形的面积，则在t 0时刻，甲车在乙车前面，故C 错误； 同理，在t 1时刻，甲车在乙车前面，故A 正确，D 错误；
t 1时刻后，甲车会领先乙车一小段时间，但从两曲线的趋势可知某时刻乙车会超过甲车，故B 错误． 故选A ．
调研6 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )作的功为
A
B
C
D ．
【答案】C
【解析】由于()F x 与位移方向成30︒角，如图：
F 在位移方向上的分力cos30F F ︒='⋅，
所以(
)
()
2
222
3211
115cos30d 5d 5|2233
W x x x x x x ︒⎫=-⋅=
-=-=⎪⎝⎭⎰⎰ 故选C ．
【名师点睛】本题体现了数形结合的思想方法．由物理学知识知，变力()F x 所作的功对应“位移—力”，只要求()2
2
1
5cos30d W x x ︒
=
-⋅⎰，进而计算可得答案．
☆技巧点拨☆
利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．
1．（九师联盟2020届高三上学期10月质量检测）计算2
1
3
(1)d x x
+⎰
的值为 A ．ln21+ B ．2ln 21+ C ．3ln23+
D ．3ln 21+
【答案】D
【分析】直接利用微积分基本原理计算求值得解． 【解析】
2
1
3(1)d x x
+⎰
2
1(3ln )(3ln 22)(3ln11)3ln 21x x =+=+-+=+， 故选D ．
【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力．
2．（重庆市第一中学2019-2020学年高三上学期摸底考试）若函数()f x 在R 上可导，32
()3f x x x =-，则
2
()d f x x =⎰
A ．2
B ．4
C ．2-
D ．4-
【答案】D 【解析】
2
2
2
32430
00
1
()d (3)d ()4844f x x x x x x x =-=-=-=-⎰
⎰，
故选D ．
3．（重庆市南开中学2019-2020学年高三上学期第二次教学质量检测）e
1
1
(1)d x x
-⎰
的值为
A ．e 2-
B ．e
C ．e 1+
D ．e 1-
【答案】A 【解析】
e
e e e 1e
111111(1)d 1d d ln e 110e 2x x x x x x x -=-=-=--+=-⎰⎰⎰， 故选A ．
4．（福建省华安一中、龙海二中2019-2020学年高三上学期第一次联考）已知1
2
(1)d a x
x =
-⎰，
2log 3b =，cos
6
c π
=，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b <<
D ．b c a <<
【答案】C
【解析】由题可得1
2
(1)d a x x =
-=⎰（13x 3﹣x ）101|3=-1203
=-<， b ＝log 23>log 22=1，cos 6c π
=(0,1)=， 所以a ＜c ＜b ， 故选C ．
5．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019-2020学年高三上学期10月联考）若ln 2a =，
1
2
5b -
=，
20
1cos d 2c x x π
=⎰，则a ，b ，c 的大小关系
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
【答案】D
【分析】由定积分的运算可得c =
1
sin 2x |20π=11(sin sin 0)222
π-=，再由以e 为底的对数函数的单调性
可得1ln 2ln 2a =>=，再由以12y x -
=的单调性可得11221542b --=<=，比较即可得解．
【解析】由题可得20
1cos d 2c x x π
==
⎰1sin 2x |20π11(sin sin 0)222π=-=，
又1
12
2
1
5
4
2
b -
-
=<=
，1ln 22a =>=，
所以b c a <<， 故选D ．
【名师点睛】本题考查了定积分的运算、对数值比较大小，指数幂比较大小，重点考查了不等关系，属中档题．
6．（江西省抚州市临川第一中学等2019-2020学年高三上学期第一次联考）设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6
x π=
围成的封闭图形的面积为b ，若2
()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是 A ．[0,)+∞ B ．(0,)+∞ C ．[1,)+∞
D ．(1,)+∞
【答案】A
【分析】由定积分可以求出b ，2
()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上的单调递减可转化为()0g'x ≤在
[1,)+∞上恒成立，由此即可求解．
【解析】由题意可得660
1cos d sin 2
|b x x x ππ=
==
⎰
， 所以2
()2ln g x x x kx =--，
因为2
()2ln g x x x kx =--在[1,)+∞上的单调递减，
所以222
()0x kx g x x
--+'=≤在[1,)+∞上恒成立，
即2
()220h x x kx =--+≤在[1,)+∞上恒成立，
只需14(1)0
h -≤⎪⎨⎪≤⎩即可，解得0k ≥，所以实数k 的取值范围是[0,)+∞．
故选A ．
【名师点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题．
7．（湖北省百校大联盟高三上学期10月联考）4片叶子由曲线2
||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的
面积为 A ．
1
6 B
C ．13
D ．
23
【答案】C
【分析】先计算图象交点，再利用定积分计算面积． 【解析】如图所示：
由2
y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩1
1x y =⎧⎨=⎩
，
根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为1
31
2
3200
211)d ()333x x x x =-=⎰，
故选C ．
8．（安徽省合肥一中2019-2020学年9
月高三阶段性检测）
(sin x x -π
=⎰
A ．3
4
π
B ．3
24
π+
C ．24
-
D ．2
【答案】C
【解析】由题可得0
00
(sin sin d x x x x x -π
-π
=+⎰
⎰⎰
，
易得
sin d x x -π
⎰
()0
cos |2x -π=-=-，
x ⎰
是半径为π的圆的面积的四分之一，为34π
，
所以0
(sin x x -π=⎰3
24
π-，
故选C ．
9．（安徽省蚌埠市2019-2020学年高三上学期9月第一次教学质量检查）定积分2
32
sin )d x x x
-+⎰
的值是 A ．π B ．2π C ．2π+2cos2
D ．π+2cos2
【答案】B
【分析】根据定积分的性质，将定积分
2
3
2
sin )d x x x -+⎰
可以展开为
2
x -+
⎰
2
2
32
2
(sin )d d x x x x ---+⎰
⎰，利用定积分的运算，分别求出定积分值．
【解析】由题可得
2
2
22
332
2
2
sin )d (sin )d d x x x x x x x x ----+=+-+⎰
⎰
⎰⎰，
易得
2
x -⎰
表示以()0,0为圆心，2为半径1
2
圆的面积，
所以
2
1
422
x -=⨯π=π⎰
，
易得sin y x =-与3
y x =都是奇函数，
所以2
2
322
(sin )d d 000x x x x ---+=+=⎰
⎰，
所以
2
32
sin )d 2x x x -+=π⎰
．
故选B ．
【名师点睛】本题考查定积分的性质，学生应熟练掌握定积分的运算法则和几何意义，属于中档题．
10．（安徽省全国示范高中名校2019-2020学年高三上学期9月月考）由曲线2
2y x x =-+与直线y x =围
成的封闭图形的面积为______________． 【答案】
1
6
【分析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)，结合图像可知围成的封闭图形的面积．
【解析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)， 如图：
结合图像可知围成的封闭图形的面积为1
1
23200
111
(2)d ()326x x x x x x -+-=-+=⎰．
11．（2019年河北唐山市区县高三上学期第一次段考）若
2
1
1
(2)d 3ln 2mx x x
+=+⎰
，则实数m 的值为______________． 【答案】1
【分析】先找出
1
2mx x +的原函数，然后根据定积分运算法则，两边进行计算即可求出实数m 的值． 【解析】由于22
112(ln )1(|(ln 24)(ln1)ln 32)d 2mx x x
x mx m m m =+=+-+=++⎰，
所以3ln 23ln 2m +=+，解得1m =．
12．（安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第一次联考）若
1
21
4
()d 3
a x x --=
⎰
，则a =______________．
【答案】1
【分析】根据定积分的运算，得到
1
2
3111
1()d ()|3
a x x ax x ---=-⎰，代入即可求解． 【解析】由12
31111114()d ()|()()3333
a x x ax x a a ---=-=---+=⎰，解得1a =．
【名师点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中求得被积函数的原函数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
13．（湖南省师大附中2019-2020学年高三上学期10
月月考）定积分
x =⎰
______________．
【答案】
4
π
【解析】令0)y y =≥，
则（x -1）2+y 2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π，
所以
0x ⎰
表示半径为1的四分之一圆的面积，如下图所示，
所以
x =
⎰
4
π．
【名师点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题． 14．（2019年河北省石家庄市二模）已知
2
30
d x x n =⎰
，则(1)n x y ++展开式中2
x y 的系数为______________．
【答案】12
【分析】由题意求定积分得到n 的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中2
x y
的系数． 【解析】因为
2
3
d x x ⎰
2
40
44
x n =
==，则4( 1)(1)n x y x y ++=++，
它表示4个因式(1)x y ++的乘积，
故其中有2个因式取x ，一个因式取y ，剩下的一个因式取1，可得2
x y 的项． 故展开式中2
x y 的系数211421C C C 12⋅⋅=．
【名师点睛】本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题．
15．（河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调）如图，阴影部分是由曲线2
2y x =和2x +
23y =及x 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______________．
【答案】
28
π-
【分析】首先求出曲线的交点，
然后求直线y =与2
2y x =围成的面积1S ，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB 的面积2S ，则阴影部分的面积为21S S S =-，计算即可求得结果．
【解析】曲线2
2y x =和圆2
2
3x y +=
的在第一象限的交点为3(
,)22
A ， 则直线OA
的方程为y =，如图，
则2231
232d (
2)2324838S x x x x =-=-=⨯-⨯=， 又扇形AOB 圆心角为3
απ=， 则扇形AOB 的面积221132232
S r αππ=
=⨯⨯=，
所以阴影部分的面积2128
S S S π=-=
-
． 【名师点睛】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分正确表示对应的面积，属中档题．
16．（广东省佛山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考）如图，曲线2y x =与2y x =-的图象
所围成的阴影部分面积为______________．
【答案】
92
【分析】由于2y x =不是函数，不方便直接用定积分求面积，可先将整个图像关于y x =作对称变换得到2
y x =与2y x =+，再根据定积分的方法求解即可．
【解析】将曲线2y x =与2y x =-作关于y x =的对称图象，得到2
y x =与2y x =+，
求出2
y x =与2y x =+交点坐标分别为(1,1)-与(2,4)，
故所求面积表达式为2
2
1(2)x x dx -+-⎰，易得原函数23
()223
x x F x x =+-，
故所求面积为232322(1)(1)9
(2)(1)(22)(2(1))23232
F F ----=+⨯--+⨯--=，
即阴影部分面积为
9
2
．
【名师点睛】对于不方便直接用定积分求面积的问题，可以找寻与之面积相等的图像进行求解．本题中的抛物线焦点在x 轴上不易求解，故转换到y 轴上．
1．【2014年高考山东卷理数】直线3
4x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
A ．22
B ．24
C ．2
D ．4
【答案】D
【解析】由已知得，2
32
4200
1(4)d (2)|44
S x x x x x =-=-=⎰， 故选D ．
2．【2014年高考湖北卷理数】若函数()f x 、()g x 满足1
1
()()d 0f x g x x -=⎰
，则称()f x 、()g x 为区间]
1,1[-上的一组正交函数，给出三组函数： ①1()sin
2f x x =，1
()cos 2
g x x =； ②()1f x x =+，()1g x x =-；
③()f x x =，2
()g x x =．
其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是 A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】对于①：1
11
1111111(sin cos )d (sin )d (cos )|02222
x x x x x x ---⋅==-=⎰⎰，
则()f x 、()g x 为区间]1,1[-上的正交函数；
对于②：
1
1231
111
14(1)(1)d (1)d ()|33x x x x x x x ---+-=-=-=-⎰⎰， 则()f x 、()g x 不为区间]1,1[-上的正交函数； 对于③：
1
341
11
1d |04
x x x --=
=⎰
，则()f x 、()g x 为区间]1,1[-上的正交函数． 所以满足条件的正交函数有2组， 故选C ．
3．【2015年高考湖南卷理数】2
(1)d x x -=⎰
______________．
【答案】0 【解析】
2
22
00
11(1)d ()|42022
x x x x -=-=⨯-=⎰． 4．【2015年高考天津卷理数】曲线2
y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为______________．
【答案】
1
6
【解析】由题意可得封闭图形的面积为
1
2
23100
11111()d ()|23236
x x x x x -=-=-=⎰． 5．【2015年高考山东卷理数】执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为______________．
【答案】
116
【解析】开始n =1，T =1，
因为1<3，所以1
121200
1131d 1|11222
T x x x =+
=+
=+⨯=⎰，n =1+1=2； 因为2<3，所以13130023313111
d |1223236
T x x x =+=+=+⨯=⎰，n =2+1=3．
因为3<3不成立，所以输出T ，即输出的T 的值为11
6
．
6．【2015年高考福建卷理数】如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )=x 2．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______________．
【答案】
5
12
【解析】依题意知点D 的坐标为(1，4)，所以矩形ABCD 的面积S =1×
4=4， 阴影部分的面积S 阴影=32
2
211
1754d 44333
| x x x =-
=--=⎰， 根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P =5
53412
S S ==阴影． 7．【2015年高考陕西卷理数】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为______________．
【答案】1.2
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是
()1
1010222162
⨯+-⨯⨯=， 设抛物线的方程为2
2x py =(0p >)，
因为该抛物线过点()5,2，所以2
225p ⨯=，解得254
p =
， 所以2
252x y =
，即2
225
y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753
x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰， 故原始的最大流量与当前最大流量的比值是16
1.2
403
=，
所以答案为1.2．。