对数与对数运算时公开课

对 数 x loga N, (a 0;a 1);
1.为什么限制 a 0?, a 1
这是因为 ax Na 0, a 1
2. N能小于零或等于零吗?
（不能，这是因为a>0,ax=N>0）
结论：对数式中真数要大于零。
（也就是说零和负数没有对数！）
真数大于零
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（4）
log 1 16
2
4 （1 ）4 2
16
（5） ln10 2.303 e2.303 10 （6） lg 0.01 2 102 0.01
方法小指结对： 数的互化关键是抓住对数 式和指数式的关系，弄清楚各个量在 对应式子中扮演的角色。
1.把下列指数式写成对数式：
(1)23 8 3= log2 8 (2)25 32 5= log2 32
思考：你发现了什么？
“1”的对数等于零，即log a 1 0 等价 a0 1
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四、对数的性质
探究活动2 求下列各式的值：
(1) log3 3 1(2) l og2 2 1 (3) log0.5 0.5 1(4) lg10 1
思考：你发现了什么？
指数和对数的关系 (a>0,且a≠1)
指数
对数
幂
真数
a x N loga N x
底数
底数 指数 幂
←a→ ←b→ ←N→
底数 对数 真数
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两个重要对数：
1、常用对数：以10为底的对数
log10 N 简记为 lg N
2、自然对数：以e为底的对数 (e≈2.71828…)
x loga N, (a 0, a 1); ax N x loga N , (a 0, a 1);
例如：
若42 16，则 2 log4 16
1
若42
2，则
1
log4 2
2
则 若102 0.01
-2 log10 0.01
若2m 18，则 m log2 18
思考
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2.2.1 对数
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本节课的目标
1、阅读课本62页的思考，能否解决它提出的问题？ 2、阅读课本62页的内容，弄清两个问题：
① 什么是对数？ ② 对数的意义是什么？
主要帮助我们在运算中解决哪些问题？
解 决 为了解决“已知底和幂，求指数”这类问题，引进对数．
如果a 0,a 1, M 0N 0,那么 （1）loga (MN) logaM loga N;
M (2)loga N logaM - loga N (3)logaMn nlogaM(n R)
4.b
(a
0, a
1,b
0, b
1, N
探究：
⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵ log a 1 0,
对任意 a 0 且 a 1 都有 a0 1 log a 1 0
a1 a loga a 1
⑶对数恒等式 aloga N N
设 log a N b 则 a b N
则有 aloga N N
3.积、商幂的对数
一般地，如果 ax N a，那0,么a 数1x
叫做以a 为底N的对数，记作
x loga N, (a 0, a 1);
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
注意：①底数的限制:a>0且a≠1
②对数的书写格式
log N 强调：对数是一个数！ a
定义：一般地，如果 ax N a，那0,么a 1
数x叫做以 a为底N的对数，记作
0)
证明： 设 log b N x,写成指数式 b x N
两边取以a为底的对数，得 log a b x log a N x log a b log a N
b 0,b 1,log a b 0
x log a N log a b
即log b
N
log a N log a b
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3.求下列各式的值：
(1)log216 4 (2)lg0.001-3
(3)log1515 1 (4)log 0.41 0
(3)21 1 2
-1=
log2
1 2
1
(4)27 3
1 3
1 3
=
log27
1 3
2.把下列对数式写成指数式：
(1) log3 9 2 32 9
(2) log5 125 3
1 (3) log2 4 2
(4)
log3
1 81
4
53 125
22 1 4
34 1 81
例2:求下列各式中x的值 ：
底数的对数等于1，即 loga a 1 等价 a1 a
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1、负数和零没有对数
2、“1”的对数等于零，即 loga 1 0 3、底数的对数等于“1”，即 log a a 1
材料1、在log2(2 a)式子中，要使 式子有意义，a的取值范围为 材料2、已知方程log2(x2 2x 1) 1， 则 x
loge N 简记为 ln N
你记住了吗？
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例1:将下列指数式写成对数式， 对数式写成指数式：
解：（1） 54 625 4= log5 625
（2）
26
1 64
-6=
log2
1 64
（3）
1 m 3
5.13 m
log1 5.13
3
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∴x6 8 ∴
x
1
86
1
(23) 6
2
（3） lg100 x 解：∵ lg100 x
∴ 10x 100 102
∴ x2
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四、对数的性质
探究活动1 求下列各式的值：
(1) log31 0(2) l o g2 1 0 (3) log0.5 1 0(4) lg1 0
(1)
log64
x
2 3
(2) logx 8 6
(3) lg100 x (4) ln e2 x
64 64 4 （1）解：∵
log
64
x
2 3
-
2 3
=x
x
-2 3
(
3
2
)3
4 2 1
16
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（2） log x 8 6
求底数
解：∵ log x 8 6, 又∵ x 0