数列与三角函数练习题 难题

［例1］已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2

， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，

∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2

， ∴

2

2

1

3)2(q

q b b -==q 2

，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，

∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1

［例2］设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =

2

3 (a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3;

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{d n }的通项公式为d n =3

2n +1

;

解：(1)由A n =

2

3(a n －1)，可知A n +1=

2

3(a n +1－1)，

∴a n +1－a n =2

3 (a n +1－a n )，即n

n a a 1+=3，而a 1=A 1=2

3 (a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3

为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n .

(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n =3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 1

22-n n

·4·(－1)+(－1)2n ］=4n +3，

∴32n +1∈{b n }.而数32n =(4－1)2n =42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n

·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1.

［例3］数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－

na n +12

=0，又知数列{b n }的通项为b n =2

n －1

+1.

(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；

(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由. .解：(1）可解得

1

1+=

+n n a a n

n ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ，

(2)T n =2n

+n －1.

(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6.猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1

可用数学归纳法证明(略）.

［例4］数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *).

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ; (3)设b n =

)

12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *

),是否存在最大的整数m ，使得对

任意n ∈N *均有T n ＞

32

m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.

解：(1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }成等差数列，

d =

1

414--a a =－2,∴a n =10－2n .

(2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2

+9n ，当n ＞5时，S n =n 2

－9n +40，

故S n =⎪⎩

⎪⎨⎧>+-≤≤+-5 4095

1 922

n n n n n n

(3)b n =

)1

1

1(21)

22(1)

12(1+-=

+=

-n n n n a n n )

1(2)]1

11(

)3

121(

)211[(2

121+=

+-

++-+-

=

+++=∴n n n n b b b T n n ；要使T n ＞

32

m 总成立，需

32

m ＜T 1=

4

1成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为7.

［例5］已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145.

(1)求数列{b n }的通项b n ； (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+

n

b 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，

试比较S n 与3

1log a b n +1的大小，并证明你的结论.

解：(1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得：⎪

⎩

⎪

⎨⎧=-+=1452)

110(10101

11d b b 解得b 1=1,d =3, ∴b n =3n －2.