数列与三角函数练习题难题

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数列三角函数立体几何习题

数列三角函数立体几何习题一．选择题（共3小题）1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为（）A ．1B ．2C ．4D ．82．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为（）A ．﹣24B ．﹣3C ．3D ．83．已知数列{a n }为等差数列，S n 其前n 项和，且a 2=3a 4﹣6，则S 9等于（）A ．25B ．27C ．50D ．54二．填空题（共3小题）4．设等比数列{a n }满足a 1+a 2=﹣1，a 1﹣a 3=﹣3，则a 4= ．5．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则2a 10﹣a 12的值为．6．公差不为0的等差数列{a n }中，a 1+a 3=8，且a 4为a 2和a 9和等比中项，则a 5= ．三．解答题（共10小题）7．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n +1=2S n +1，数列{b n }满足a 1=b 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2=0上，n ∈N *．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设，求数列{c n }的前n 项和T n ．9．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=AD ，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．10．如图，圆锥的轴截面为三角形SAB，O为底面圆圆心，C为底面圆周上一点，D为BC的中点．（I）求证：平面SBC⊥平面SOD；（II）如果∠AOC=∠SDO=60°，BC=2，求该圆锥的侧面积．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．12．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．13．已知函数f（x）=4tan（x+）cos2（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，）上的单调性．14．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．已知函数f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f（A）的值域．数列三角函数立体几何习题参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．2．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，解得d=﹣2，∴{a n}前6项的和为==﹣24．故选：A．3．已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25 B．27 C．50 D．54【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．二．填空题（共3小题）4．设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=﹣8．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解得a1=1，q=﹣2．则a4=（﹣2）3=﹣8．故答案为：﹣8．5．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为24．【解答】解：∵a n为等差数列且a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120∴a1+7d=24∵2a10﹣a12=2a1+18﹣a1﹣11d=a1+7d=24故答案为：246．公差不为0的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5= 13．【解答】解：设等差数列{a n}的公差d≠0，∵a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，∴2a1+2d=8，，解得a1=1，d=3．则a5=1+3×4=13．故答案为：13．三．解答题（共10小题）7．记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，则a 3=S 3﹣S 2=﹣6﹣2=﹣8，则a 1==，a 2==，由a 1+a 2=2，+=2，整理得：q 2+4q +4=0，解得：q=﹣2，则a 1=﹣2，a n =（﹣2）（﹣2）n ﹣1=（﹣2）n ，∴{a n }的通项公式a n =（﹣2）n ；（2）由（1）可知：S n ===﹣（2+（﹣2）n +1），则S n +1=﹣（2+（﹣2）n +2），S n +2=﹣（2+（﹣2）n +3），由S n +1+S n +2=﹣（2+（﹣2）n +2）﹣（2+（﹣2）n +3）=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n +1+（﹣2）2×+（﹣2）n +1]，=﹣[4+2（﹣2）n +1]=2×[﹣（2+（﹣2）n +1）]，=2S n ，即S n +1+S n +2=2S n ，∴S n +1，S n ，S n +2成等差数列．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n +1=2S n +1，数列{b n }满足a 1=b 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2=0上，n ∈N *．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设，求数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）由a n +1=2S n +1可得a n =2S n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得a n +1﹣a n =2a n ，a n +1=3a n （n ≥2）．又a 2=2S 1+1=3，所以a2=3a1．故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．所以a n=3n﹣1．由点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，所以b n+1﹣b n=2．则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．则b n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（2）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．9．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴直线BC∥平面PAD；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，则AB=BC=x，CD=，O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，则OE=，PO=，PE==，△PCD面积为2，可得：=2，即：，解得x=2，PE=2．=×（BC+AD）×AB×PO==4．则V P﹣ABCD10．如图，圆锥的轴截面为三角形SAB，O为底面圆圆心，C为底面圆周上一点，D为BC的中点．（I）求证：平面SBC⊥平面SOD；（II）如果∠AOC=∠SDO=60°，BC=2，求该圆锥的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）由题意知SO⊥平面OBC，又BC⊂平面OBC，∴SO⊥BC，在△OBC中，OB=OC，CD=BD，∴OD⊥BC，又SO∩OD=O，∴BC⊥平面SOD，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SOD．解：（Ⅱ）在△OBC中，OB=OC，CD=BD，∵∠AOC=60°，∴∠COD=60°，∵CD=，∴OD=1，OC=2，在△SOD中，∠SDO=60°，又SO⊥OD，∴SO=，在△SAO中，OA=OC=2，∴SA=，∴该圆锥的侧面积为．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．12．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣13．已知函数f（x）=4tan（x+）cos2（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，）上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=4tan（x+）cos2（x+）﹣1．∵正切函数的定义域满足，x+，可得：x≠，k∈Z∴函数f（x）的定义域为{x|x≠，k∈Z}，函数f（x）化简可得：f（x）==2sin（2x+）﹣1∴f（x）的最小正周期T=；（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+）﹣1，由2x+，k∈Z得：，∵x∈（0，）上时，令k=0，可得f（x）在区间（0，]上是单调增区间．由2x+，k∈Z．得：，∵x∈（0，）上，令k=0，可得f（x）在区间[，）上是单调减区间．∴f（x）在区间（0，）上时，（0，]是单调增区间，[，）上是单调减区间．14．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x==sin2x+cos2x+sin2x=sin2x+=sin2x+1﹣=sin2x+，∴f（x）的最小正周期T=；（2）∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），∴g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+，当x∈[﹣，]时，则2x+∈，则≤sin（2x+）≤1，即×≤g（x），解得≤g（x）≤1．综上所述，函数g（x）在[﹣，]上的值域为：[，1]．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）==，∴函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵，∴，∴，故当时，函数f（x）的最大值为．当时，函数f（x）的最小值为．16．已知函数f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f（A）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为=2π，∴ω=，f（x）=sin（x﹣）．（Ⅱ）在△ABC中，∵sinB，sinA，sinC成等比数列，∴sin2A=sinBsinC，∴a2=bc．∵cosA==≥，∴A∈（0，]，∴A﹣∈（﹣，]，求此时f（A）=sin（A﹣）∈（﹣，]．。

高考数学三角函数选择题40道(难)含详解

D.
f
4 15
f
2 5
25.已知函数
f (x)
x
sin(
2 3
x
)
1
（其中
0
）的图像经过点 P(3, 2) ，令 an
f (n) ，则
a1 a2 a3 a2019
A. 2019
B. 2019 2
C. 6057
D. 6057 2
26.已知函数
f (x) 2sin x (
A. 函数图像关于 x 对称 4
B.
函数在
4
,
4
上单调递增
C.
若
f (x1)
f (x2 )
4
，则
x1
x2
2
2k
(k
Z)
D. 函数 f(x)的最小值为－2
36.在 3 世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割
之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为
C. 3
2
sin cos 1 ( , 0)
22.已知
3，
2 ，则
2 cos( )
4
sin 2
（
）
D. 5+ 3 2
A. 3 17 8
B. 3 17 8
C. 3 17 4
D. 3 17 4
23.已知是定义在
R
上的奇函数，满足
f
2
x
f
x
0 ，且当
x 0,1
时，
f
x
x x 1 ，则函数
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则实数的取值范围为（）

三角函数数列大题

高中数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos 2cos 0c B b C ab +-=. (1)求b ；(2)若AD AB ⊥交BC 于点D ，6ACB π∠=，ABCS，求CD 边长.2．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE 的观光步行道，BE 为电瓶车专用道，120BCD BAE CDE ∠=∠=∠=︒，11km DE =，5km BC CD ==．(1)求BE 的长；(2)若sin ABE ∠=ABCDE 的周长． 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos b B =+． (1)求A ； (2)若31,cos 5a C ==，求ABC 的面积．4．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin a C ． (1)求角A 的大小；(2)若2b =，a =△ABC 的面积．5．已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.6．已知函数()sin 22f x x x =，R x ∈． (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调区间．7．已知函数()2sin 22sin 6x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（3）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7b c +=，ABC ∆的面积为a 的长.8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将简车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）（在水面下则h 为负数）.(1)求点P 距离水面的高度为h 关于时间为t 的函数解析式； (2)求点P 第一次到达最高点需要的时间（单位：s ）.9．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ＝n 2+r ，其中r 为常数． (1)求r 的值； (2)设()112n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn ．11．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？12．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n －5an －85，n △N *. (1)证明：{an －1}是等比数列； (2)求数列{an }的通项公式.13．已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+.（1）证明{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()3log 1n nb a =+,n T 为数列1n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求n T ． 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51430a a S -==. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)若______，求数列{}n b 的前n 项和n T .在△21log n n n b a a +=+，△()()2211log 1log 1n n n b a a +=+⋅+，△n n b n a =⋅这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15．某企业2021年第一季度的营业额为1.1亿，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿；该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4％．（1）求2021年起前20季度营业额的总和；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18％．16．在△q d =△4q d ⋅=△4q d +=这三个条件中选择一个补充在下面的问题中，并求解.设等差数列{}n a 的公差为d (*d N ∈)，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =，22b =，___________，10100S =.（1）请写出你的选择，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且13C E EC =．(1)证明：1A C ⊥平面BED ；(2)求异面直线BE 与1A C 所成角的大小； (3)求二面角1A DE B --的余弦值．18．已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于P ，GC 垂直于ABCD 所在平面．(1)求证：EF ⊥平面GPC ．(2)若4AB =，2GC =，求点B 到平面EFG 的距离．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且侧棱P A △底面ABCD ，P A ＝2AD ．E ，F ，H 分别是P A ，PD ，AB 的中点，G 为DF 的中点．(1)证明：//GH 平面BEF ；(2)求PC 与平面BEF 所成角的正弦值．20．如图在三棱锥O ABC -中，OA OC ==2AB OB BC ===且OA OC ⊥．(1)求证：平面OAC ⊥平面ABC(2)若E 为OC 中点，求平面ABC 与平面EAB 所成锐二面角的余弦值．21．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，边长为2，侧棱13A A =，M N 、分别为1111A B A D 、的中点，E F 、分别是1111B C C D 、的中点．(1)求证：平面AMN //平面EFDB ； (2)求平面AMN 与平面EFDB 的距离．22．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点．（1）求异面直线BD 1与CC 1的距离；（2）求直线BD 1与平面BDE 所成角的正弦值；（3）求点F 到平面BDE 的距离．23．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为：1ρ=.在平面直角坐标系中，曲线2C 的参数方程为3cos 33sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，02θπ≤<）.(1)求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程； (2)在极坐标系中，射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB .24．已知直线 l的参数方程为1,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=．(1)求直线 l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线 l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，点M 的直角坐标为(1,0)-，求||||MP MQ +．25．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设点Q 的坐标为()3,0，直线l 与C 交于A ，B ，求QA QB ⋅的值.26．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为240x y +-=．(1)若点M 为曲线1C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最小值； (2)倾斜角为3π的曲线2C 过点()1,0P -，交曲线1C 于A ，B 两点，求11PA PB +． 27．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,5315x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 0ρθ-=. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)设曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AB .28．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为241x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222124sin 3cos ρθθ=+．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．29．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=．(1)求直线l 的一般式方程和曲线C 的标准方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()1,0P ，求PA PB ⋅的值． 30．直线l 过点()2,0A ，倾斜角为4π． (1)以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．过O 作l 的垂线，垂足为B ，求点B 的极坐标()0,02ρθπ≥≤<；(2)直线l 与曲线22:2x t C y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）交于M 、N 两点，求MN ．31．在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α（α为常数）的直线l 过点()2,4M --，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=.(1)写出直线l 的一个参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)当3πα=时，直线l 与曲线C 能否交于两点？若能，记两交点为A ，B ，求出11MA MB+的值；若不能，说明理由. 32．若a ，b ，c △R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2. （1）求abc 的最大值；（2）证明：11192a b c ++≥.33．已知函数()21f x x x =+--. (1)求max ()f x 及当()(0)f x f ≥时的解集；(2)若关于x 的不等式()12f x m ≥-有解，求正数m 的取值范围.34．已知函数()()223f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()6f x ≥的解集 (2)若()6f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．35．已知0m >，函数()2f x x x m =++-的最小值为3，()25g x x m =+． (1)求m 的值；(2)求不等式()()f x g x ≤的解集. 36．已知函数()112f x x x =-+-的值域为M . (1)求M ；(2)证明：当,a b M ∈时，214a b ab -≤-. 37．已知,,a b c 均为正数，且满足 1.abc =证明：（1）3ab bc ca ++；（2）333a b c ab bc ac ++++．38．设a ，b ，c 均为正数，且a b +=1． (1)求12a b+的最小值；(2)≤39．已知函数()||2||(0,0)f x x a x b a b =+-->>. （1）当1a b ==时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()||g x f x x b =+-的最大值为2，求14a b+的最小值.40.如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，PA ⊥PD ,PA=PD,AB ⊥,（I ）求证：PD ⊥平面PAB;（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（II I ）在棱PA 上是否存在点M ，使得BMll 平面PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由。

理解三角函数与数列的关系的练习题

理解三角函数与数列的关系的练习题三角函数与数列是高中数学中的两个重要概念，它们之间存在着紧密的关联。

理解三角函数与数列的关系对于学习和解题都是至关重要的。

下面是一些练习题，帮助我们更好地理解三角函数与数列的关系。

练习题1：已知数列 {An} 的通项公式为 An = 2n，其中 n = 1，2，3，...。

试写出数列的前五项。

解答1：根据给定的通项公式 An = 2n，我们可以计算出数列的前五项：A1 = 2 × 1 = 2A2 = 2 × 2 = 4A3 = 2 × 3 = 6A4 = 2 × 4 = 8A5 = 2 × 5 = 10因此，数列的前五项分别为 2，4，6，8，10。

练习题2：已知三角函数sinθ 的值可以通过数列 {Bn} 来近似表示，其通项公式为 Bn = (-1)^(n+1)/(2n-1)，其中 n = 1，2，3，...。

试写出数列的前五项，并计算sinπ/4 的值。

解答2：根据给定的通项公式 Bn = (-1)^(n+1)/(2n-1)，我们可以计算出数列的前五项：B1 = (-1)^(1+1)/(2×1-1) = 1B2 = (-1)^(2+1)/(2×2-1) = -1/3B3 = (-1)^(3+1)/(2×3-1) = 1/5B4 = (-1)^(4+1)/(2×4-1) = -1/7B5 = (-1)^(5+1)/(2×5-1) = 1/9因此，数列的前五项分别为 1，-1/3，1/5，-1/7，1/9。

sinπ/4 的值可以通过数列 {Bn} 的前 n 项和来近似计算。

当 n 趋向于无穷大时，数列的前 n 项和将趋近于sinπ/4。

我们可以计算出前五项的和 S5，来近似计算sinπ/4 的值：S5 = 1 + (-1/3) + (1/5) + (-1/7) + (1/9) ≈ 0.89因此，sinπ/4 的值约为 0.89。

三角函数与数列(高考题)

三角函数与数列（高考题）1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝. (1)证明：sin A sin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．3.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求∠B的大小； (2)求cos A＋cos C的最大值．4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin 2B＝b sin A. (1)求B； (2)若cos A＝，求sin C的值．5.设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．6.设f(x)＝sin x cos x－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．7.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．8.已知向量＝，＝(sinx，cos2x)，x∈R,设函数f(x)＝·.(1) 求f(x)的最小正周期. (2) 求f(x) 在上的最大值和最小值．9.已知ΔABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量，，．（1）若//，求证：ΔABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c= 2，角C=，求ΔABC的面积．10.已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)令c n＝.求数列{c n}的前n项和T n.11.设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*.(1)求通项公式a n；(2)求数列{|a n－n－2|}的前n项和．12.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。

数列和三角函数经典例题(有答案)

1．(2016·山东，17)(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值．2．(2016·全国Ⅲ，，17)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．3．(2016·全国Ⅲ，17)(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ.4．(2016·全国卷Ⅱ文，17)(本小题满分12分)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.5．(2016·全国Ⅱ理，17)(本题满分12分)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．6．(2016·全国Ⅰ，17)(本小题满分12分)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和．7．(2016·全国Ⅰ理，17)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．8．(2016·北京，15)(本小题13分)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．9．(2016·北京，16)(本小题13分)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．10．(2016·北京，15)(本小题满分13分)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．11.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A +的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.12.（本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈. （1）求n a 与n b ; （2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .13在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=4π，22b a -=122c .（1）求t a nC 的值；（2）若ABC 的面积为7，求b 的值。

高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)

cos
x

0

2

的部分图象如图所示，f
x0

f
0 ，
则正确的选项是（）
试卷第 2页，总 9页
A．

6
,
x0

1
C．

3
,
x0

1
B．

6
,
x0

4 3
D．

3
,
x0

2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ．．设 G 是 ABC 的重心，且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（）

CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2

上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数

数列与三角函数练习题_难题

［例1］［例2］设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3; (1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;解：(1)由A n =23(a n －1)，可知A n +1=23(a n +1－1)， ∴a n +1－a n =23 (a n +1－a n )，即n n a a 1+=3，而a 1=A 1=23(a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n .(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n =3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n ］=4n +3，∴32n +1∈{b n }.而数32n =(4－1)2n =42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1.［例3］数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0，又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1.(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由. .解：(1）可解得11+=+n na a n n ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ， (2)T n =2n +n －1.(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6.猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1可用数学归纳法证明(略）. ［例4］［例5］已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145.(1)求数列{b n }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论. 解：(1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1452)110(1010111d b b 解得b 1=1,d =3, ∴b n =3n －2.(2)由b n =3n －2,知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+231-n )］，31log a b n +1=log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小，取n =1时，有(1+1)＞3113+⋅取n =2时，有(1+1)(1+41)＞3123+⋅… 由此推测(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n①若①式成立，则由对数函数性质可判定：当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1， ② 当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1，③［例1］[例2]在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ++的值为__________..解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ，.32tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴CA C A CA C A C A C A 故π3、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B .B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值.解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°. 设α=2CA -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α， ,43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1222-αα=α-αα=α+α+α-α=α-︒+α+︒=+C A 所以依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα .224cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0， ∴2cos α－2=0.从而得cos222=-C A . 解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-CA①，把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+③，将cos 2C A +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得：)cos(2222cos C A C A --=- ④将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④：42cos 2(2C A -)+2cos 2CA -－32=0，(*)，.222cos :,022cos 2,032cos 22,0)32cos 22)(222cos 2(=-=--∴=+-=+---C A C A C A C A C A 从而得例4、在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =54，则cos2(B +C )=__________.解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°. ∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C )=53.∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =53. 即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53.∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524， ∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625527. 5、6、如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r θ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r， RR h R k I Rk R k I R kR k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得 7、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，27cos 22sin 42=-+A C B .(1)求角A 的度数；(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值..1221:23 2:3,3.3)(21221cos 2cos :)2(60,1800,21cos ,01cos 4cos 45cos 4)cos 1(4,271cos 2)]cos(1[2:,180272cos 2sin 4)1(:.222222222222⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+==+==-+∴=-+∴=-+=︒=∴︒<<︒=∴=+-=-+=+-+-︒=++=-+c b c b bc c b bc c b a bc a c b bc a c b A bca cb A A A A A A A A A C B C B A A C B 或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解8、在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =2π，试求∠A 、∠B 、∠C 的值解：由a 、b 、3c 成等比数列，得：b 2=3ac∴sin 2B =3sin C ·sin A =3(－21)［cos(A +C )－cos(A －C )］∵B =π－(A+C ).∴sin 2(A+C )=－23［cos(A+C )－cos2π］即1－cos 2(A+C )=－23cos(A+C )，解得cos(A+C )=－21.∵0＜A+C ＜π，∴A+C =32π.又A －C =2π∴A =127π，B =3π，C =12π.9、在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，求AD ∶AB 的值.. .解：按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP =θ，∴∠DP A =θ，∠BDP =2θ，再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x .在△ABC 中，∠APB =180°－∠ABP －∠BAP =120°－θ由正弦定理知：APBABBAP BP sin sin =.∴BP =)120sin(sin θθ-︒a 在△PBD 中，︒=-︒︒⋅==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θθθθx a x BP BDP BP DBP DP 从而所以,.3)260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++︒=-︒⋅︒⋅=∴θθθθaa x∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90即θ=15°时， sin(60°+2θ)=1，此时x 取得最小值)332(323-=+a a ，即AD 最小，∴AD ∶DB =23－3.。

三角函数大题和数列大题

三角函数大题和数列大题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：三角函数大题和数列大题此知识点每年都考，在全国2卷中每年只考一个类型的大题，交错考法不分奇偶数年．不考的那一个一般用两道小题代替．三角函数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．数列一般考求通项、求和．今年重点关注数列的求通项（等差比是重点）、数列求和、最项和最和（通法）等问题！年份题目及答案2017年17.（12分）ABC∆的内角A B C、、所对的边分别为,,a b c，已知2sin()8sin2BA C+=，（1）求cos B；（2）若6a c+=，ABC∆的面积为2，求b．2016年17.（本题满分12分）S n为等差数列的前n项和，且1a=1 ，7S=28 记，其中表示不超过x的最大整数，如[0.9] = 0，[lg99]=1．（I）求1b，11b，101b；（II）求数列的前1 000项和.2015年17.∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍．(Ⅰ)求CB∠∠sinsin; (Ⅱ) 若AD=1，DC=22求BD和AC的长.2014年17.（本小题满分12分）已知数列{}n a满足1a=1，131n na a+=+. （Ⅰ）证明{}12n a+是等比数列，并求{}n a的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a++<…+.2013年17．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．。

三角函数数列高考题专题训练答案

解：（Ⅰ）由1＋cos 2A ―cos 2B ―cos 2C ＝2sinB ·sinC 得C B A C B sin sin sin sin sin 222=-+ （2分）由正弦定理得bc a c b =-+222，（4分）∴2221cos 22b c a A bc +-==∵0＜A ＜π ∴3π=A （6分）21解：（Ⅰ）证明：由2231++=+n n n a a a 得 22222321+-=-++=-+n n n n n a a a a a ① 2)1(4122311++=+++=++n n n n n a a a a a②（2分）∴12411211+-⋅=+-++n n n n a a a a 即n n b b 411=+，且4112111=+-=a a b ∴数列{}n b 是首项为41，公比为41的等比数列．（4分） 16．解：（Ⅰ）假设a ∥b ，则2cos (cos sin )sin (cos sin )0x x x x x x +--=，……… 2分∴221cos211cos22cos sin cos sin 0,2sin20222x xx x x x x +-++=⋅++=，即sin 2cos 23x x +=-，∴2(sin 2)34x π+=-，…………………………………… 4分与|2(sin2)|24x π+≤矛盾，∴假设不成立，故向量a 与向量b 不可能平行．……………………………………… 6分（Ⅱ）∵a ⋅b (cos sin )(cos sin )sin 2cos x x x x x x =+⋅-+⋅22cos sin 2sin cos x x x x =-+22cos 2sin 22(cos 2sin 2)2(sin 2)224x x x x x π=+=+=+，……… 8分 ∴2sin(2)42x π+=． ]2,0[π∈x ，∴52[,]444x πππ+∈，……………………………………………………10分442ππ=+∴x 或4342ππ=+x ，0=∴x 或4π=x ．………………………………12分16．⑴∵x x x f 2c o s 3)22co s (1)(-+-=π 1分＝)32sin(21π-+x3分又由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-πππ32,632x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-1,21)32sin(πx5分故22121)(min =⨯+=x f ，f (x )max ＝1+2×1＝3 6分⑵m x f -)(＜2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 上恒成立⇔⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 时⎩⎨⎧+<->2)(2)(min max x f m x f m9分结合⑴知：⎩⎨⎧=+<=->422123m m 故m 的取值范围是（1，4）12分20．⑴由x x f =)(得ax 2＋(2a －1)x ＝0(a ≠0)∴当且仅当21=a 时，x x f =)(有唯一解x ＝0，∴22)(+=x xx f 当1)(=n x f 得x 1＝2，由211122)(11=-+==++n n n n n n x x x x x f x 得 ∴数列}1{nx 是首项为2111=x ，公差为21的等差数列∴nx nn x n n 22)1(21211==-+=故 7分16.解：（1）BA BA B A B A b a sin cos cos sin sin sin cot tan 2222=∴=由正弦定理得'6,22sin 2sin ,cos sin cos sin 或直角三角形为等腰或即于是∆∆∴=+=∴==πB A B A B A B B A A（2）,,60B A c =∴︒='126120cos 22323432-=︒⨯⨯⨯=⋅+⋅+⋅=⇒==∴∆∆AB CA CA BC BC AB a a S ABC 故是正三角形即19．解：（1）212142212111=---=---=-++n n n n n n n a a a a a b b故数列{b n }是等差数列 ………………………………3分nn a n n n b b n n 22,2212121)1(1+=∴=++=-+=, ……………………7分 16.解：（1）x x x x x x b a x f cos 2sin )sin (cos )sin (cos )(⋅+-⋅+=⋅=分的最小正周期分分分6.)(5)42sin(2)2sin 4cos 2cos 4(sin23)2sin 222cos 22(22sin 2cos 2cos sin 2sin cos 22 ππππ=∴+=+=+=+=+-=T x f x x x x x x x x x x x （2）.45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x …………8分分有最小值时即当分有最大值时即当12.1)(,2,454210.2)(,8,242 -==+==+∴x f x x x f x x ππππππ18．解:（1）由题意知，*)()41(N n a nn ∈= ，……………2分又143log 2n n b a =-，故 32(*)n b n n N =-∈……………4分（2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n nn ∈-==*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴……………6分,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴- ……7分∴1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S …9分两式相减，得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S .)41()23(211+⨯+-=n n …12分2321()(*)334nn n S n N +∴=-⨯∈……………12分解：（1）由已知条件及余弦定理得 3sin 3tan ,,2cos cos 2cos bc A A bc A A A=∴=∴3sin 2A =. ∵(0,)2A π∈,.3A π=故 ……………………6分（2）)50cos 50sin 31(70sin )]10tan(31)[10sin(︒︒-︒=︒--︒+A A= sin7050cos 50sin 350cos - =2sin7050cos )5030sin(-==－40sin 20cos 20sin 2=－1 21. 解（1）由n+1n n 12a 3a a -=-变形得2a 1+n -2a n = a n -a 1-n (n 2≥)，故2b 1+n =b n 故{}n b 是以a 2-a 1为首项，21为公比的等比数列。

数列与三角函数练习题(有答案)

数列与三角函数练习题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a5是a2，a14的等比中项，则数列{a n}前7项和S7=()A. 13B. 49C. 26D. 27−12.已知函数f(x)=sin2x−cos2x，则()A. f(x)的最小正周期为π2B. 曲线y=f(x)关于(3π8,0)对称C. f(x)的最大值为2D. 曲线y=f(x)关于x=3π8对称3.已知扇形的圆心角为60°，面积为π6，则该扇形的半径为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知sinθ⋅tanθ<0，那么角θ是()A. 第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C. 第三或第四象限角D. 第一或第四象限角5.若△ABC为钝角三角形，则cos A cos B cos C的值()A. 恒为正B. 恒为负C. 等于0D. 不能确定6.已知弧度数为2π3的圆心角所对的弦长为2√3，则这个圆心角所对的弧长是()A. 2π3B. 4π3C. 2√3π3D. 4√3π37.已知α是第二象限的角，那么α2是第几象限的角()A. 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第一、三象限角D. 第三、四象限角8.已知tanα=2，π<α<3π2，则sinα+cosα=()A. −3√55B. −√55C. −√5D. √55二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）9.函数f(x)=2sinx+3cosx的最小值为______．三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）10.正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+4S4=S6．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n+n}的前n项和T n．11.在等差数列{a n}中，a1+a6=9，a2+a7=11．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)已知数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n}的前n和S n．12.已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n=2S n+n(n∈N∗)，b n=a n+12．(1)求证：数列{b n}为等比数列；(2)若c n=2n⋅b n，求数列{b n}的前n项和T n．13.已知{a n}是递增的等差数列，a3=5，a1，a4−a2，a8+a1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=3a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n，并证明S n<32．14.已知函数f(x)=cos(2x+π3)．(1)求函数y=f(x)的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[−π12,π2]上的最大值和最小值．15.已知函数f(x)=cos2x−sin2x−2√3sinxcosx(x∈R)．(1)求f(π6)的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递减区间．16.设函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，且A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的表达式；(2)当aϵ[−π12,5π12]时，求f(a)的取值范围．17.已知函数f(x)=cos(2x−π3)−2√3sinxcosx(1)求函数f(x)的对称轴方程及最大值；(2)将函数f(x)的图像向右平移π4个单位，得到y=g(x)的图像，求g(x)的单调递增区间。

三角函数及数列测试卷试题.doc

三角函数与数列测试题1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为选择题，共48 分；第Ⅱ卷非选择题，共72 分．考试时间120 分钟．2．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号、座号填写在相应的位置.第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在△ ABC中，角A、B、C成等差数列，则角 B 为（）A 、 30 °B、 60 °C、 90 °D、120°2. △ ABC中，∠ A、∠ B 的对边分别为a、 b，a5,b 4 ，且∠A=60°，那么满足条件的△ ABC（）A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定3．在△ ABC中，若 3 a = 2bsinA , 则 B 为（）A. B. C. 或5D. 或23 6 6 6 3 34. 与，两数的等比中项是（）A． 1B．C．D．5. 在等比数列a ， a 2，a 32 ，则q=（）n 3 7A、 2 B 、－2 C 、± 2D 、 46. 在△ ABC中，若c2 a2 b2 ab ，则∠C=（）A 、 60 °B 、 90 °C、 150 °D、 120 °7.等差数列a n中，若 a 2a 4a 5 a 6 a 8450 ，则 aa ＝（）28A 、 180B 、 75C 、 45D 、 308. 在各项均为正数的等比数列b中，若 b b3 ，则 log 3 blog 3b⋯⋯n7812log 3 b 14 等于（）A 、 5B、 6C 、 7D 、 89.数列 { a n },{ b n }满足 a n b n 1,a n (n 1)(n2) ，则 { b n } 的前 10 项之和为（）A ．1B ．7C ．3D．541241210. 数列 {a n } 满足 a 1 =1, a 2 = 2 ，且112 (n ≥2) ，则 a n 等于（）3a n 1a n 1a nA ．2B ．( 2 )n-1C ． ( 2) n D ．2n 133n 2第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）注意事项：1．请用黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．11. 设 S n 是等差数列 a的前 n项和，且 a 1 1,a 4 7 ，则 S 9 =.n12. 等差数列 {a n } 中， a 3 a 7 a 10 8, a 11 a 4 4则 S 13=__________.13. 等比数列 a n 中， a 11,a 5 16 ，则 a 3 _________.14. 在ABC 中，已知 2sin A cosB sin C ，那么 ABC 一定是 ___________.15. 已知等比数列1 a9 a10{ a m } 中，各项都是正数，且a1，a3 ,2a2成等差数列，则a8 _______.2 a7三．解答题：本大题共６小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分 12 分）已知{ a n}为等差数列，且a3 6 ， a6 0 。

(完整版)三角函数、数列测试题

三角函数、解三角形、平面向量、数列专题测试题班级：姓名：学号：一、选择题 1. 若，且为第四象限角，则的值等于（） A ． B ． C ． D ．2. sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）（B（C ）（D ） 3. 函数f(x)=的部分图像如图所示，则f （x ）的单调递减区间为 (A)（）,k (b)（）,k(C)（）,k(D)（）,k4. 设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5sin 13α=-αtan α125125-512512-12-125. 已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21 6.已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：上的一点，F1、F 2是C 上的两个焦点，若＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-，）（B ）（-，）（C ）（）（D ）（）7. 等比数列｛a n ｝满足a 1=3， =21，则 ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 8. 设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->9. 设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .A, . B.2n-3 C. -3n-2 D. 3n-210 已知数列中，，（），则数列的前9项和等于。

A. 17B. 27C. 37D. 471,,AB AC AB AC t t⊥==P ABC ∆4AB AC AP ABAC=+PB PC ⋅2212x y -=1MF •2MF 3366n S {}n a n 11a =1233,2,S S S n a =32+n -}{n a 11=a 211+=-n n a a 2≥n }{n a11. 在等差数列中，若，则= A. 5 B.6 C. 8 D ．12.（15年福建理科）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．10 二、填空题13.（15年江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 14.（15北京理科）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C=．15.（15北京理科）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则x =；y = ．16.（15年江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为三、解答题17. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（I ）求；（II ）若求的面积．18. 在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值.{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a +10,a b ()()20,0f x x px q p q =-+>>,,2a b -p q +C ∆AB A B C a b c (),3m a b =()cos ,sin n =A B A a =2b =C ∆AB19.已知函数2()cos 222x x x f x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．20. 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22. 已知数列是递增的等比数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前n 项和，，求数列的前n 项和{}n a 14239,8.a a a a +=={}n a n S {}n a 11n n n n a b S S ++={}n b n T。

高考三角函数及数列大题

三角函数典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin =++C B A . I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.5 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根. (Ⅰ)求)tan(B A +的值;(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.6 ．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量()2s i n ,3m B =- ,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡ (I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡11．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡25．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+(I)求角A;(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值｡高考数学数列大题1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥（1）求数列n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。

三角函数、数列、导数试题及详解

三角函数、数列导数测试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a，则实数y 的值为A ．5B ．6C ．7D ．82．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50B ．70C ．80D ．903．2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是A ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为A B C D ．14-7．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为A ．12πB ．2119π+C ．2119π-D ．2113π-8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个不同的实根x 3，x 4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为A ．12B ．12-CD9．设函数f （x ） =e x （sinx —cosx ），若0≤x ≤2012π，则函数f （x ）的各极大值之和为A ．1006(1)1e e e πππ--B ．20122(1)1e e eπππ-- C ．10062(1)1e e e πππ-- D ．2012(1)1e e eπππ-- 10．设函数011()(),21xf x x A x =++为坐标原点，A 为函数()y f x =图象上横坐标为*()n n N ∈ 的点，向量11,(1,0),n n k k n n k a A A i a i θ-===∑向量设为向量与向量的夹角，满足15tan 3nkk θ=<∑的最大整数n 是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设1(sin cos )sin 2,()3f f ααα+=则的值为．12．已知曲线1*()()n f x x n N +=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为201212012220122011,log log log n x x x x +++ 则的值为____．13．已知22sin sin ,cos cos ,33x y x y -=--=且x ，y 为锐角，则tan （x -y ）= ． 14．如图放置的正方形ABCD ，AB =1．A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB ⋅的最大值是____．15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可得到“n 边形数列”，记它的第r 项为P （n ，r ），则（1）使得P （3，r ）>36的最小r 的取值是；（2）试推导P （n ，r ）关于，n 、r 的解析式是____．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知2(2sin ,),(1cos 1)OA a x a OB x x ==-+ ，O 为坐标原点，0,a ≠设(),.f x OA OB b b a =⋅+>（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间；（Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2ππ]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，17．（本小题满分12分）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）．（I ）求△CDE 的面积；（Ⅱ）求A ，B 之间的距离．18．（本小题满分12分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．（I ）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（II ）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786） 19．（本小题满分12分）已知函数()sin .f x x x =+ （I ）当[0,],()x f x π∈时求的值域；（II ）设2()()1,()1[0,)g x f x g x ax '=-≥++∞若在恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知211()(1),()10(1),{}2,()()()0,n n n n n f x x g x x a a a a g a f a +=-=-=-+=数列满足9(2)(1).10n n b n a =+- （I ）求证：数列{a n ，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若1*1m m m m t t m N b b ++<∈对任意恒成立，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）设曲线C ：()ln ( 2.71828),()()f x x ex e f x f x '=-= 表示导函数．（I ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）数列{a n }满足111,2(3)n na e a f e a +'==+．求证：数列{a n }中不存在成等差数列的三项；（Ⅲ）对于曲线C 上的不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1<x 2，求证：存在唯一的012(,)x x x ∈，使直线AB 的斜率等于0().f x '参考答案一、选择题： 1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．【参考答案】 C【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7．2．【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质．【参考答案】 B ．【解题思路】3321654)(q a a a a a a ++=++，∴213=q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70．3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力．【参考答案】D【解题思路】2(sin cos )12sin cos sin 2y x x x x x =+-==，所以函数2(sin cos )1y x x =+-是最小正周期为π的奇函数。

三角函数、向量、解三角形、数列练习题

《三角函数》练习题1.在0360 到内，与2120 角终边相同的角是 .2.若tan 2α=，则22222sin cos sin 2cos αααα-=+ .3.已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+= .4.不等式[]cos 0,0,2x x π<∈的解集为 .5.函数3tan()6y x πω=+的周期为2π，则ω= .6.函数2sin(4)4y x π=-的图像向左平移3π个单位所得图像的解析式为 .7.cos81cos 21sin81cos69+= .8.已知tan 2,tan 3αβ==,且,αβ是锐角，则αβ+= .9.已知1sin cos ,3αα+=则sin 2α= .10.函数()sin cos f x x x =-的最大值为 .11.（1）若12sin(),cos(2)633ππαα-=+求.（2）若2(0,),sin cos ,cos 222πθθθθ∈-=求.12.已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈.（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合；（2）求函数()f x 的单调递增区间.13.已知函数()sin()1(0,0)6f x A x A πωω=-+>>的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,),()2,22f πααα∈=求的值.《平面向量》练习题1.△ABC 中，D 在BC 上，且=2BD DC ，把AC 表成AB AD和的线性组合 .2.等边△ABC 中，AB BC与的夹角为 .3.已知向量12e e与不共线，若1212ke e e ke k ++= 和共线，则 .4.已知13(1,1),(1,1),22a b a b ==--=则 .5.已知4,6,,60,a b a b a b ==<>=则在方向上的投影为 .6.若(4,2),(6,),a b m a b ==⊥且，则m 的值为 .7.已知(1,2),(2,1),22a b a b a b =-=--++则与的夹角的余弦值为 .8.已知,120,a b <>=1,3a b == ，则5-a b = .9.与(1,2)a =-垂直的单位向量b = . 10.已知(4,3),a =1,b = 且=5a b ⋅ ，则b = .11.已知(1,2),(,1)a b x ==.（1）若(2)(2)a b a b +-∥，求x 的值；（2）若(2)(2)a b a b +⊥-，求x 的值.12.已知(sin ,1cos ),(1,0),3m B B n π=-= 且与向量的夹角为其中,,A B C 是△ABC 的内角，求角B 的大小.13.已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a b c ααββ===-.（1）求b c +的最大值；（2）设,(),cos 4a b c παβ=⊥+ 且求的值.《解三角形》练习题1.一个三角形的两内角分别为4560 和，如果45 角所对的边长为6，那么60 角所对的边长为 .2.在△ABC 中，若cos cos A bB a =，则△ABC 的形状为 . 3.在△ABC 中，若4,2,120b a C === ，则c = . 4.在△ABC 中，4,6,62,=ABC a b S C ===△则角 . 5.在△ABC 中，222,a c b ab -+=则=C 角 . 6.在△ABC 中，:1:2,:1:3,=A B a b A ==则 .7.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60 ，另两边之比为8:5，则这个三角形的面积为 .8.在△ABC 中，sin :sin :sin 4:3:2,cos A B C C ==那么 . 9.在△ABC 中，2,3,4,ABC a b c S ====△则 .10.在△ABC 中，60,A = 且最大边长与最小边长是方程2327320x x -+=的两实根，那么BC = .11.在锐角△ABC 中，32sin 0a b A -=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5,,7,cos a c a c b A +=>=且求.12.在△ABC 中，5,3,sin 2sin BC AC C A ===. （Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求sin(2)4A π-的值.13. 在△ABC 中，已知3cos()16cos cos B C B C --=. （Ⅰ）求cos A ；（Ⅱ）若3,a =△ABC 的面积为22，求,b c .《数列》练习题1.已知数列{}n a 的通项公式为11(1),2n n a +--=则该数列的前四项依次为 . 2.等差数列1,1,3,,89--- 的项数是 .3.等差数列{}n a 中，若1472589,0,a a a a a a ++=++=则369a a a ++= .4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45812,a a S =-=则 .5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若111,2,23,k k a d S S k +==-==则 .6.已知数列{}n a 满足231n S n n =-+，则{}n a 的通项公式为n a = .7.等差数列{}n a 中，39156a a a ++=-，则17S = .8.等差数列{}n a 中，3930,210,S S ==则6S = .9.等差数列{}n a 中，132013242012a a a a a a ++=++ .10.若三个数成等差数列，且这三个数的和为9，平方和为59，则这三个数按从小到大的顺序排列为 .11.已知数列{}n a 为等差数列，分别根据下列条件求出它的通项公式. （Ⅰ）598070,112a a ==.（Ⅱ）前三项分别为1,23,25a a a +--.12.设数列{}n a 满足11220,111n na a a +=-=++且,求{}n a 的通项公式.13.设数列{}n a 满足210,n S n n n N +=-+∈. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当n S 取得最大值时，求序号n 的值.。

三角函数数列测试卷

（Ⅰ）若，求
（Ⅱ）若，且求的面积.
参考答案
1．B
【解析】终边位于第一象限，终边位于第二象限，选B.
2．D
【解析】因为，且为第二象限角，所以，则；故选D.
3．B
【解析】函数的图象向左平移个单位长度,有 ,故选B.
4．C
【解析】
试题分析：将函数图象向左平移个单位得到，令，当时得对称轴为
A. B. C. D.
5．等差数列的值为（）
A．66 B．99 C．144 D．297
6．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（）
A． B． C． D．
7．已知等比数列前项和为，若 , ，则（）
A. B. C. D.
8．在中，若，则的形状是( )
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定
9．若，则 =（）
（A）（B）（C）（D）
10．在△ 中，，，，则边
A．1B． C． D．
11．函数的部分图象如图所示，则其在区间上的单调递减区间是
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
12．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积为( )．
, 解得 ,或 2分
当时, ,与成等比数列矛盾,舍去.4分
,
即数列的通项公式 6分
（2） = 8分
12分
考点：等差数列的定义和性质，数列求和.
19．（1），；（2）．
【解析】
试题分析：
解题思路：（1）利用等差数列的通项公式及已知条件求出首项与公差，即得的通项公式，由等比数列的通项公式求的通项公式；（2）由，可利用分组求和法求数列的前项和 .

高中三角函数难题集

一、选择题（题型注释）1．已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且1OA OB ⋅=-，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自内的概率恰为，判断ABC ∆的形状．（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：依题意，cos OA OB OA OB AOB =∠=23AOB π=，，在ABC ∆内由余弦定理得cos3AC BC π，则AC BC AC BC≥，又有几何概率可知333sin 344AC BC AC BC π==，3AC BC =，此时当且仅当，所以ABC ∆为等边三角形. 考点：正弦定理和余弦定理、基本不等式、几何概率.2．若PQR ∆的三个顶点坐标分别为)sin ,(cos A A P ，)sin ,(cos B B Q ，)sin ,(cos C C R ，其中C B A ,,是ABC ∆的三个内角且满足C B A <<，则PQR ∆的形状是（）A ．锐角或直角三角形B ．钝角或直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【答案】D【解析】解:因为 PQR ∆的三个顶点坐标分别为)sin ,(cos A A P ，)sin ,(cos B B Q ，)sin ,(cos C C R ，其中C B A ,,是ABC ∆的三个内角且满足C B A <<，则PQR ∆的形状是则利用余弦定理可知判定为钝角三角形选D 3．函数()sin()f x A x b ωϕ=++的图像如图，则()f x 的解析式与(0)(1)(2)s f f f =+++……(2010)f 的值分别为A.1()sin 21,20102f x x s π=+= B.11()sin 1,2011222f x x s π=+=C.1()sin 1,22f x x π=+s=120102D.1()sin 1,22f x x π=+s=2011【答案】B【解析】周期为4,2011除以4得商502余数3.或2010除以4得商502余数2，但应单独记f(0).4．图1是函数sin (0)y x x π=≤≤的图像，A(x,y)是图像上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交其图像于另一点B （A,B 可重合）。

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［例1］已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2， ∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1［例2］设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23 (a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3;(1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;解：(1)由A n =23(a n －1)，可知A n +1=23(a n +1－1)，∴a n +1－a n =23 (a n +1－a n )，即nn a a 1+=3，而a 1=A 1=23 (a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n .(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n =3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 122-n n·4·(－1)+(－1)2n ］=4n +3，∴32n +1∈{b n }.而数32n =(4－1)2n =42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1.［例3］数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0，又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1.(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由. .解：(1）可解得11+=+n n a a nn ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ，(2)T n =2n+n －1.(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6.猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1可用数学归纳法证明(略）.［例4］数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ; (3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.解：(1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }成等差数列，d =1414--a a =－2,∴a n =10－2n .(2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ，当n ＞5时，S n =n 2－9n +40，故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-5 40951 922n n n n n n(3)b n =)111(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n )1(2)]111()3121()211[(2121+=+-++-+-=+++=∴n n n n b b b T n n ；要使T n ＞32m 总成立，需32m ＜T 1=41成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为7.［例5］已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145.(1)求数列{b n }的通项b n ； (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论.解：(1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1452)110(1010111d b b 解得b 1=1,d =3, ∴b n =3n －2.(2)由b n =3n －2,知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n )=log a ［(1+1)(1+41) (1)231-n )］，31log a b n +1=log a 313+n .因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较(1+1)(1+41) (1)231-n )与313+n 的大小，取n =1时，有(1+1)＞3113+⋅ 取n =2时，有(1+1)(1+41)＞3123+⋅…由此推测(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n ①若①式成立，则由对数函数性质可判定：当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1，② 当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1，③［例1］已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos 2C A -，f (x )=cos B (CAcos 1cos 1+).(1)试求函数f (x )的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域.解：(1)∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°,3421221)cos()cos(2cos2cos2cos cos cos cos 21)(22-=-+-=-++-+=⋅+⋅=x x x x C A C A CA CA C A C A x f∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos2C A -∈(21，1]又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1］.(2)设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x=)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞0.4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0. 即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数.(3)由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2.故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞). [例2]在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan2tan32tan2tan C A C A ++的值为__________..解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ，.32tan2tan32tan2tan)2tan2tan1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴C A C A C A C A C A C A 故π3、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B .BCAcos 2cos 1cos 1-=+，求cos2C A -的值.解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°. 设α=2C A -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α，,43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1222-αα=α-αα=α+α+α-α=α-︒+α+︒=+CA所以依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα.2243cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0， ∴2cos α－2=0.从而得cos222=-C A .解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-CA①，把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos2cos2C A C A C A C A -++-=-+③，将cos2CA +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得：)cos(2222cosC A C A --=-④ 将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④：42cos 2(2C A -)+2cos 2C A -－32=0，(*)，.222cos:,022cos2,032cos22,0)32cos22)(222cos2(=-=--∴=+-=+---C A CA C A C A C A 从而得例4、在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =54，则cos2(B +C )=__________.解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°. ∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C )=53.∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =53.即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53.∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524，∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625527.5、已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积.解：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积：S =S △ABD +S △CDB =21·AB ·AD sin A +21·BC ·CD ·sin C∵A+C =180°，∴sin A =sin C 故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =21(2×4+6×4)sin A =16sin A由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A 在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C ∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ，∴64cos A =－32，cos A =－21，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°=83.6、如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin rθ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=Rr ，RR h Rk I RkRkIRk Rk r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得7、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，27cos22sin 42=-+A C B .(1)求角A 的度数； (2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值..1221:23 2:3,3.3)(21221cos 2cos :)2(60,1800,21cos ,01cos 4cos45cos 4)cos 1(4,271cos 2)]cos(1[2:,180272cos 2sin4)1(:.222222222222⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+==+==-+∴=-+∴=-+=︒=∴︒<<︒=∴=+-=-+=+-+-︒=++=-+c b c b bc c b bc c b a bc ac b bcac b A bc ac b A A A A A A A A A C B C B A A C B 或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解8、在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =2π，试求∠A 、∠B 、∠C 的值解：由a 、b 、3c 成等比数列，得：b 2=3ac ∴sin 2B =3sin C ·sin A =3(－21)［cos(A +C )－cos(A －C )］∵B =π－(A+C ).∴sin 2(A+C )=－23［cos(A+C )－cos 2π］即1－cos 2(A+C )=－23cos(A+C )，解得cos(A+C )=－21. ∵0＜A+C ＜π，∴A+C =32π.又A －C =2π∴A =127π，B =3π，C =12π.9、在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，求AD ∶AB 的值.. .解：按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP =θ，∴∠DPA =θ，∠BDP =2θ，再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x .在△ABC 中，∠APB =180°－∠ABP －∠BAP =120°－θ，由正弦定理知：APB AB BAP BP sin sin =.∴BP =)120sin(sin θθ-︒a在△PBD 中，︒=-︒︒⋅==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θθθθx a x BP BDPBPDBPDP 从而所以,.3)260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++︒=-︒⋅︒⋅=∴θθθθaa x∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90即θ=15°时， sin(60°+2θ)=1，此时x 取得最小值)332(323-=+a a ，即AD 最小，∴AD ∶DB =23－3.。