正余弦定理实际应用

三角恒等变换与解三角形学习目标：1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心，试题多为选择题或填空题.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查.重难点：利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查.真 题 感 悟1.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.42.(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.3.在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.4.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________.考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 2.正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径).变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ；推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cosC .(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .热点一 三角变换的应用 [微题型1] 求值【例1－1】 (1)sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝( )A.－63 B.－66 C.66 D.63(2)已知cos （π－2α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α＝( )A.－72 B.72 C.12 D.－12(3)已知tan αtan α－1＝－1，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝________. [微题型2] 求角【例1－2】 已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________. 【训练1】 设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2热点二正、余弦定理的应用[微题型1] 判断三角形的形状【例2－1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋b2)sin(A －B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形[微题型2] 解三角形【例2－2】已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a cos C＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值. [微题型3] 求解三角形中的实际问题【例2－3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.【训练2】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A，且B为钝角.(1)证明：B－A＝π2；(2)求sin A＋sin C的取值范围.课堂总结：1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sinA ＋B2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.课后反思：本题为解答第一题，是所有同学需要努力得满分的，一定对基本公式记忆牢固，熟练应用。

多多练习。

参考答案：1.解析cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.答案 C2.解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1.答案 13.解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.答案 14.解析 如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则可知在△ADE 中，∠DAE ＝105°，∠ADE ＝45°，∠E ＝30°，∴设AD ＝12x ，则AE ＝22x ，DE ＝6＋24x ，CD ＝m ，∵BC ＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6＋24x ＋m ·sin 15°＝1⇒6＋24x ＋m ＝6＋2，∴0<x <4，而AB ＝6＋24x ＋m －22x ＝6－24x ＋m ＝6＋2－22x ，∴AB 的取值范围是(6－2，6＋2).]答案 (6－2，6＋2)【例1－1】 解析 (1)sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫－532＝－23.由cos α＝2cos 2α2－1，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，得cos α2＝－cos α＋12＝－66.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－66.(2)cos （π－2α）sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－cos 2α22（sin α－cos α）＝－（cos 2α－sin 2α）22（sin α－cos α）＝2(cos α＋sin α)＝－22.所以cos α＋sin α＝－12.(3)由tan αtan α－1＝－1得tan α＝12，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝sin 2α＋sin αcos α＋2(sin 2α＋cos 2α)＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135. 答案 (1)B (2)D (3)135探究提高 在三角函数求值过程中，要注意“三看”，即： (1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；(2)看名称，把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使用，如果不满足，则需要转化角或转换名称，才可以使用.【例1－2】解析 因为cos(2α－β)＝－1114，且π4＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437，且－π4＜α－2β＜π2.所以cos(α－2β)＝17， 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12. 又π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3.答案 π3探究提高 解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断. 【训练1】解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sinαcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.答案 B【例2－1】解析 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，所以(a 2＋b 2)(sin A cos B －cos A sin B )＝(a 2－b 2)(sin A cos B ＋cos A sin B )，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B . 法一 由正弦定理得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，因为sin A ·sinB ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B .在△ABC中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D.法二 由正弦定理、余弦定理得a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，即a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D.探究提高 判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化，使之变为只含有边或角的式子然后判断.如本题既可化为角的关系A ＝B 或A ＋B ＝π2来判断，也可化为边的关系a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2来判断.同时在判断三角形的形状时一定要注意“解”是否唯一，并注意挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响. 【例2－2】解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sinA cos C ＋3sin A sin C －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一 由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎪⎫0＜B ＜2π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sinπ3＝43， 所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C .所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋33. 易知－π6＜2B －π6＜7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.探究提高 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.【例2－3】解析 在△ABC 中，AB ＝600 m ，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BCsin ∠BAC＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2 m.在△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6 m.。