三角形内外角平分线性质定理
中考重点三角形的角平分线定理
中考重点三角形的角平分线定理中考重点：三角形的角平分线定理三角形是初中数学中的基础知识，其中一个重要的定理是角平分线定理。
角平分线定理是指：三角形内一条角的平分线把对角分成相等的两部分。
一、角平分线定理的表述在三角形ABC中，角BAD的平分线BE将角BAC分成等于角BAD的两个部分，即∠BAE=∠EAC。
二、角平分线定理的证明我们可以通过几何推理来证明角平分线定理。
下面是证明的步骤：1. 连接BE和AC，延长BE至直线AC的另一侧，交于点D。
2. 由于角BAC和角BAD是同一角的两个部分，所以它们的度数相加等于360度，即∠BAC+∠BAD=360°。
3. 同理，∠EAC+∠EAD=360°。
4. 由于角BAD是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠EAC，即∠BAE+∠EAC=180°。
5. 同理，∠BAD=∠EAD，即∠BAD+∠EAD=180°。
6. 将3式和5式相加得到∠BAC+∠BAD+∠EAC+∠EAD=540°。
7. 由于∠BAC+∠BAD+∠EAC+∠EAD=360°+180°=540°，所以BE和AC平行，即BE是∠BAC的平分线。
根据以上证明过程，我们可以得出结论：在三角形ABC中，角BAD的平分线BE将角BAC分成等于角BAD的两个部分，即∠BAE=∠EAC。
三、角平分线定理的应用角平分线定理在解决三角形问题时非常有用。
我们可以利用这个定理来求解三角形内部某个角的度数或者证明两条角平分线相交于三角形的内心。
例如，我们可以利用角平分线定理来证明三角形内心的性质。
三角形的内心是三角形内角平分线的交点，可以用来证明三角形的垂心、重心等性质。
在解题过程中，我们也可以利用角平分线定理来确定一些角的度数。
例如，在某个三角形中已知一条角的度数，要求另一条角的度数，我们可以利用角平分线定理将已知角平分成两个相等的角，从而求得所需角的度数。
三角形内角平分线长定理
三角形内角平分线长定理三角形内角平分线长定理是数学中的一个重要定理，它揭示了三角形内角平分线的性质。
在本文中，我们将从几何角度出发，详细解析这个定理，并阐述它的应用。
一、三角形内角平分线的定义和性质三角形内角平分线是指从某个顶点出发将内角平分为两个相等角的线段。
根据三角形内角平分线的定义，我们可以得出以下性质：1. 三角形内角平分线将对边分成两个相等的线段。
2. 三角形内角平分线所在的点到对边的距离相等。
3. 三角形内角平分线相交于三角形的内心。
三角形内角平分线长定理表明：三角形内角平分线所分对边的线段之比等于与这两条对边所夹角的正弦值之比。
具体表述为：在三角形ABC中，内角A的平分线AD将边BC分成两个线段BD和CD，且有BD/CD=AB/AC=sinBAD/sinCAD。
下面我们通过几何证明来证明这个定理。
证明：根据正弦定理，我们可以得到AB/sinBAD=BD/sinABD，AC/sinCAD=CD/sinACD。
又因为内角A的平分线AD将角BAD和角CAD平分为两个相等角，所以sinBAD=sinCAD。
将上述等式代入，得到AB/sinBAD=BD/sinABD=AC/sinCAD=CD/sinACD。
即BD/CD=AB/AC=sinBAD/sinCAD。
定理得证。
三、三角形内角平分线长定理的应用三角形内角平分线长定理有很多应用，下面我们将介绍其中的两个应用。
1. 判断三角形内心的位置由于三角形内角平分线相交于三角形的内心，因此通过内角平分线可以判断三角形内心的位置。
我们可以通过测量三角形内角平分线的长度，来判断三角形的形状和角度的大小。
2. 求解三角形的边长和角度在已知三角形内角平分线长度和其中一个角度的情况下，可以利用三角形内角平分线长定理求解三角形的边长和其他角度。
通过求解三角形内角平分线所分对边的线段之比，可以得到其他边长的比值。
再利用三角形的角度之和为180°的性质，可以求解其他角度的大小。
三角形三条角平分线交点定理
三角形三条角平分线交点定理1. 引言三角形是几何学中的基本概念之一，研究三角形的性质对于几何学的发展具有重要意义。
在研究三角形时，我们常常会遇到一些特殊点和线，它们与三角形的关系可以揭示出许多有趣的性质和定理。
本文将介绍一个与三角形相关的重要定理——三角形三条角平分线交点定理。
2. 定理表述给定一个任意三角形ABC，分别作边AB、AC上的两条内角平分线AD和AE，以及边BC上的一条外角平分线BF。
则AD、AE和BF交于一点。
3. 定理证明为了证明这个定理，我们需要用到一些基本几何知识和方法。
步骤1：构造辅助线首先，我们需要构造两条辅助线来帮助证明。
我们在顶点A处引入边BC上的内切圆，并设其切点为D’、E’。
此外，在顶点B和C处分别引入边AC和AB上的外切圆，并分别设其切点为F’、F”。
如下图所示：步骤2：证明三边相等根据内切圆的性质，我们知道AD’和AE’是三角形ABC的两条角平分线，因此它们与边BC垂直。
同样地，根据外切圆的性质，BF’和BF”也与边BC垂直。
由于直角三角形中两条垂直线段互相平分对应的弧长，我们可以得出以下结论： - 弧BD’ = 弧CD’ - 弧BE’ = 弧CE’ - 弧BF’ = 弧CF”再根据弧长定理可知： - BD’ = CD’ - BE’ = CE’ - BF’ = CF”又因为D’E’||BC，所以我们可以得到以下结论： - AD’/AD = AE’/AE - BD’/BD = BE’/BE根据内切圆的性质，我们还可以得到以下结论： - AD’/BD’ = AE’/BE’综上所述，我们可以得出以下等式： 1. AD/BD = AE/BE 2. BD/CD = BE/CE 3. AD’/BD’ = AE’/BE’ 4. AD/BD = AD’/BD’ 5. AE/BE = AE’/BE’步骤3：证明交点存在根据步骤2的结果，我们可以得出以下结论： - 三角形ABD与三角形ABD’相似（共边AB，∠BAD = ∠BAD’，AD/BD = AD’/BD’） - 三角形ACE与三角形ACE’相似（共边AC，∠CAE = ∠CAE’，AE/CE = AE’/CE’）由于相似三角形的性质，我们知道∠ADB = ∠ADB’，∠AEC = ∠AEC’。
三角形内角角平分线定理
三角形内角角平分线定理
三角形内角角平分线定理指的是在三角形中，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
换句话说，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
这个定理也可以表述为：三角形任意两边之比等于它们夹角的角平分线分对边之比。
在证明这个定理时，通常使用相似三角形的性质或者三角形的面积公式。
例如，可以通过过角平分线上的点作角的两边的垂线，然后证明这两个三角形是相似的，从而得出结论。
这个定理在几何学中有广泛的应用，如在解决几何问题、计算面积和周长等。
三角形内角角平分线定理的证明方法有多种，以下给出一种常见的证明方法：
首先，在三角形ABC中，角A的平分线AD交BC于D，
过点D分别作AB、AC的垂线，分别交AB、AC于E和F。
由于角平分线的性质，我们知道角BAD等于角CAD。
又
因为DE和DF分别是AB和AC上的垂线，所以角DEA和角D FA都是直角。
根据三角形的全等判定定理，我们知道如果两个三角形的两边和夹角相等，则这两个三角形全等。
在这里，我们有DE=DF（因为DE和DF都是垂线），AD=AD（公共边），以及角BAD等于角CAD。
因此，三角形ADE与三角形AFD全等。
由于两个三角形全等，所以它们的对应边AE和AF也相等。
由此得出，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
综上所述，我们证明了三角形内角角平分线定理。
三角形内外角平分线性质定理优秀课件
平行线分线段成比例定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边
(或两边的延长线），所得的对应线段成比例
推论的基本图形:
A E B
A D
D
E
F
D
E
A
A
B
C
C B
CB
CD
E
三角形内角平分线定理：
A
在ABC中，若AD为BAC的
B
D
C
平分线，则：ABBD AC CD
• 已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的 平分线。
• 已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中 ∠BAC的外角∠CAF的平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC
• 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线 分线段成比例定理证明。
• 思路2：利用面积法来证明。
• 已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角 ∠CAF的平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC.
结论：使用面积法时，要善于从不同的角度 去看三角形的底和高。在该证法中，我们看 △BAD和△DAC的面积时，先以BA和AC作 底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为 底，而高是同高，图中并没有画出来。你学 会这种变换
1 .在 A B C中 , A D是 A B C的 平 分 线 ， A B = 5 cm ， A C = 4 cm ， B C = 7 cm ， 则 B D = _ _ _ _ _ _ _
2 . 分 线 ， A B -A C = 5 , B D -C D = 3 , D C = 8 ， 则 A B = _ _ _ _ _ _ _
• 证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；
• ∵ ∠DAC=∠DAF；（已知）
角平分线的性质定理
1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离。
2、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
3、线段垂直平分线的性质定理：
垂直平分线上的点到线段两端点的距离都相等。
4、线段垂直平分线的逆定理：
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
5、等腰三角形性质：
①等腰三角形相等（定义）
②等腰三角形相等（等边对等角）
③等腰三角形底边上的和、顶角的互相重合（三线合一）
6、等腰三角形判定：
①有相等的三角形是等腰三角形
②有相等的三角形是等腰三角形。
直角三角形角平分线的性质
直角三角形角平分线的性质
第一点是平分线把角分成一对相等的角，第二点是平分线上的点离角的两边是等距的。
三角形的三条平分线相交于一点，到各边的距离相等，称为心；从一个角的顶点画一条射线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
性质定理
1.在直角三角形中，两个锐角是互补的。
2.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
3.直角三角形的两个直角的乘积等于斜边和斜边高的乘积。
4.30度的锐角对着斜边一半的直角边。
5.直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方。
判定定理
1.在一个角内，如果一条射线的端点与该角的顶点重合，并且一个角被分成两个相等的角，那么这条射线就是该角的平分线。
2.在一个角内，到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3.两个角有一条公共边，并且相等。
三角形角平分线的定理
三角形角平分线的定理三角形角平分线的定理是初中数学中的一个重要定理，它是指在一个三角形中，如果一条直线从一个角平分另一个角，那么这条直线所在的线段将把对边分成两个相等的线段。
这个定理的主要内容包括以下几个方面：一、定理的表述三角形角平分线的定理可以用以下的方式表述：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC=BD/CD。
其中，AB、AC、BD、CD分别表示三角形ABC中的边和角平分线。
二、定理的证明三角形角平分线的定理的证明可以通过以下的方式进行：1. 假设BD是角B的平分线，那么∠ABD=∠CBD。
2. 由于∠ABD=∠CBD，所以三角形ABD与三角形CBD是全等的。
3. 因此，AB/BD=CB/BD，即AB/CB=BD/CD。
4. 所以，AB/AC=AB/(AB+CB)=BD/(BD+CD)=BD/CD。
5. 因此，BD是角B的平分线，那么AB/AC=BD/CD。
三、定理的应用三角形角平分线的定理在初中数学中有很多应用，其中最常见的应用包括以下几个方面：1. 求角平分线所在的线段长度如果已知一个三角形中的两个边和一个角的大小，可以通过三角函数求出第三条边的长度，然后再利用角平分线的定理求出角平分线所在的线段长度。
2. 求角平分线所在的点的坐标如果已知一个三角形中的三个顶点的坐标，可以通过向量的方法求出角平分线所在的点的坐标。
3. 判断角平分线是否在三角形内部如果一个三角形中的一个角的平分线不在三角形内部，那么这个三角形就不是一个普通的三角形，而是一个退化的三角形。
四、总结三角形角平分线的定理是初中数学中的一个重要定理，它可以帮助我们求解三角形中的各种问题。
在学习这个定理的过程中，我们需要掌握定理的表述、证明和应用，以便在实际问题中灵活运用。
探讨三角形中的角平分线定理
探讨三角形中的角平分线定理三角形中的角平分线定理是指：在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点开始，平分了这个角，且与对边的交点与另外两条边的交点分别在这两条边的中点，那么这条线段就是三角形其他两个角的角平分线。
这个定理可以通过几何图形来证明。
假设ABC是一个三角形，AD是∠BAC的角平分线，D与BC的交点为E，D与AB的交点为F。
我们要证明∠BAF与∠CAF是∠BAC的角平分线。
首先，连接BE和CF。
根据角平分线的定义，我们可以得到以下结论：∠BAD = ∠CAD（D是∠BAC的角平分线）∠BAF = ∠FAD + ∠BAD（角的分割性质）∠CAF = ∠DAF + ∠CAD（角的分割性质）由于∠BAD = ∠CAD，所以∠BAF = ∠FAD + ∠CAD。
同时，∠CAF = ∠DAF + ∠CAD。
我们可以观察到∠BAF和∠CAF的构成是相似的，只是∠FAD和∠DAF的位置发生了交换。
现在，我们来比较三角形ABF和三角形ACF。
根据角的分割性质，∠BAF = ∠FAD + ∠BAD，∠CAF = ∠DAF + ∠CAD。
我们可以发现∠BAF和∠CAF的构成相似，只是∠FAD和∠DAF的位置发生了交换。
另外，AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD = ∠CAD，∠FAD =∠DAF。
因此，∠BAF = ∠CAF，即∠BAF与∠CAF是∠BAC的角平分线。
通过这个证明，我们可以得出结论：在三角形ABC中，如果AD 是∠BAC的角平分线，D与BC的交点为E，D与AB的交点为F，那么∠BAF与∠CAF是∠BAC的角平分线。
角平分线定理是三角形中一个重要的几何定理，应用广泛。
在实际问题中，我们可以利用角平分线定理解决一些角相关的问题，例如求角的大小、角的平分等等。
这个定理也是解决一些几何证明问题时常用的工具之一。
总结起来，三角形中的角平分线定理是一个重要的几何定理，用于描述三角形中角的平分线的性质。
三角形中的角平分线定理与外接圆性质
三角形中的角平分线定理与外接圆性质角平分线定理是指，在一个三角形中，内角的平分线所构成的线段，将对应的边平分为两个相等的线段。
外接圆的性质是指，在一个三角形中，三个顶点都在同一个圆上的圆叫做外接圆。
外接圆的圆心位于三角形的外接圆心上，半径等于外接圆的半径。
角平分线定理与外接圆性质是三角形的基本性质之一，对于三角形的研究和问题解决具有重要意义。
一、角平分线定理在一个三角形ABC中，设角A的平分线AD与边BC相交于点D，那么有以下结论：1. 点D将边BC分为BD和DC两段，即BD=DC；2. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD=∠DAC；3. 边AB上的角BAD的度数等于边AC上的角DAC的度数，即∠BAD=∠DAE，其中∠DAE为角DAC的度数。
根据角平分线定理，我们可以利用这个定理来解决一些与角或边的长度有关的问题。
例如，可以利用角平分线定理来求解角的度数，或者利用已知角的度数来计算边的长度。
二、外接圆性质在一个三角形ABC中，假设点O是三角形的外接圆心，那么有以下结论：1. 边AB、BC和AC都是以点O为圆心的圆的弦；2. 弧AB、BC和AC都是以点O为圆心的圆的弦所对应的弧；3. 在角ABC处，角的度数等于角AOB对应的弧的度数，即∠ABC=∠AOB；4. 外接圆的半径等于AO或BO或CO的长度，即R=AO=BO=CO。
根据外接圆性质，我们可以利用这个性质来解决一些与外接圆有关的问题。
例如，可以利用外接圆性质来证明一些关于三角形的定理，或者利用已知外接圆的半径来计算三角形中的角度或边的长度。
综上所述，角平分线定理与外接圆性质是三角形中的重要性质，具有一定的数学意义和实际应用价值。
掌握并应用这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
在解决问题时，我们可以根据具体情况选择角平分线定理或者外接圆性质来进行推导和计算，以便更好地解决问题并获得准确的结果。
因此，对于学习和理解三角形的角平分线定理与外接圆性质，我们应该加强实际应用的训练，提高解决问题的能力。
相似三角形的角平分线定理与角平分点
相似三角形的角平分线定理与角平分点角平分线定理是相似三角形的重要性质之一，它给出了角平分线的性质和作用。
角平分线是指将一个角分为两个相等的角的直线。
在这篇文章中，我们将探讨角平分线定理和角平分点的相关内容。
一、角平分线定理角平分线定理是指：如果一条直线将一个角分为两个相等的角，那么这条直线将这个角的对边也分为两个相等的线段。
具体来说，设在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，那么有下列结论成立：1. ∠ABD = ∠CBD2. ∠ADB = ∠CDB3. AB/AC = BD/DC其中，结论1和结论2是角平分线的定义，结论3则是角平分线的性质。
结论3可以用来解决一些关于相似三角形的问题，下面将进一步说明。
二、角平分点角平分点指的是角平分线与对边相交的点。
在上述定理中，D就是角平分点。
角平分点在相似三角形的构造和证明中起着重要的作用。
要证明构造一个相似三角形，我们可以利用角平分线定理中的角平分点。
具体来说，我们可以通过以下步骤构造相似三角形：1. 画出一个给定的角。
2. 在一个角的两边分别取一点，这两点到角的顶点分别连线，形成两个角。
3. 在这两个角的内角处分别作角平分线，找出两个角平分点。
4. 连接两个角平分点和角的顶点，得到一个相似三角形。
这样，我们就利用了角平分点和角平分线定理来构造了一个相似三角形。
三、角平分线定理的应用角平分线定理在解决关于相似三角形的问题时起到了重要的作用。
下面以几个例子来说明。
1. 证明两个三角形相似：设在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，且AB/DE = AC/DF。
证明△ABC与△DEF相似。
解法：根据角平分线定理，由AB/AC = DE/DF可得BD/DC =EF/DF。
因为∠B = ∠E，所以∠BDE = ∠BDF，再结合∠ADB =∠EDF，根据AA相似性质可得△BDE与△BDF相似。
根据相似三角形的性质，可得△ABC与△DEF相似。
2. 求相似三角形的比例：已知△ABC与△PQR相似，且AB/QR = 2/3，BC/PR = 1/2。
三角形中的角平分线定理
三角形中的角平分线定理三角形中的角平分线定理是基本的几何定理之一，它给出了关于三角形内部角平分线的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨角平分线定理的定义、证明以及相关应用。
定义：在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，且将该角划分为两个相等的角，那么这条线段就是该角的角平分线。
证明：为了证明角平分线定理，我们假设在三角形ABC中，角A的角平分线AD将角A划分为两个相等的角。
我们需要证明AD是BC边上角BAC的角平分线。
首先，由三角形内角和定理可知，角A + 角B + 角C = 180°。
因为AD是角A的角平分线，所以角BAD和角DAC相等，即角BAD = 角DAC。
根据三角形内角和定理，角BAD + 角DAC + 角B = 180°。
由于角BAD = 角DAC，我们可以将该等式改写为2 ×角BAD + 角B = 180°。
进一步整理可得2 ×角BAD = 180° - 角B，即角BAD = (180° - 角B)/2。
又因为角A + 角BAD = (180° - 角B)/2 + 角B = 180°/2 = 90°，可以得出角BAD = 90° - 角B/2。
同样地，我们可以利用类似的步骤证明角CAD = 90° - 角C/2。
由于角BAD = 90° - 角B/2，角CAD = 90° - 角C/2，我们可以得出结论：角BAC的角平分线AD将角BAC划分成两个相等的角BAD和角CAD。
应用：三角形中的角平分线定理不仅仅局限于理论证明，它在解决实际问题时也有着广泛的应用。
首先，角平分线定理可以用于求解三角形内部角的大小。
当我们知道了角平分线的长度和其他两个角的大小时，可以通过角平分线定理计算出未知角的大小。
其次，角平分线定理还可以用于证明两条线段相互平分对方所在的角。
高一-三角形内角和外角平分线定理
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
F
CD PAB，AD PBC
A
B
DE EF（平行于三角形一边的直线截其他两边，
AE EB 所得的对应线段成比例）
同理可得 : EF DF
EB DC
DE DF AE DC
例2：如图,
在VABC中，E为中线AD上的一点，DE AE
1 2
, 连结BE,
延长BE交AC于点F.求证 : AF=CF
DH DH AF CF
AF CF
例3 如图，已知：AB PCD,AC,BD交于O,OE PAB交BC于E.求证：
11 1 AB DC OE
证明：Q OE P AB
OE CE K K (1) AB BC
Q OE PDC
OE BE K K (2) DC BC
（1）（2）得：OE OE CE BE BC 1 AB DC BC BC BC
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
D在AB边上,且
三角形中的角平分线问题解法
三角形中的角平分线问题解法三角形是几何学中的重要概念，其中角平分线问题是解题中经常遇到的一类问题。
本文将介绍三角形中的角平分线问题以及其解法。
一、问题描述在三角形中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
角平分线经过三角形内部的一点，称为角平分线的内心。
现在，我们来解决如下问题：如何找到三角形的角平分线及其内心。
二、解法一：角平分线的性质在解决问题之前，我们先来了解一下角平分线的性质。
在任意三角形ABC中，如果AD是∠BAC的角平分线，那么AD与BC的交点E 将BC平分成两个相等的线段。
同时，BD/DC=AB/AC（即角平分线将对边按比例分割）。
基于上述性质，我们可以用以下步骤得到角平分线及其内心：1.画出三角形ABC。
2.画出角BAC的角平分线AD。
3.延长AD与BC交于点E，连接AE。
4.利用角平分线的性质，得到BD/DC=AB/AC。
5.将角平分线按比例分割BC，即可得到角平分线的内心。
三、解法二：角平分线的几何构造上述解法通过角平分线的性质找到了角平分线及内心，但有时候，我们可能需要通过几何构造来找到角平分线。
我们来介绍解法二。
1.画出三角形ABC。
2.以点A为圆心，以AB为半径画弧，交BC于点D。
3.以点B为圆心，以BA为半径画弧，交AC于点E。
4.连接DE。
5.延长DE至AB（交于F），连接FC。
6.连接AF，交BC于点G。
7.则CG即为角BAC的角平分线，点G即为角平分线的内心。
四、解法三：角平分线的角度计算除了通过角平分线的性质和几何构造找到角平分线，我们还可以通过角度计算的方式来解决问题。
下面是解法三：1.已知三角形ABC的三边长a、b、c。
2.根据余弦定理计算∠BAC的角度A：cos(A) = (b²+c²-a²)/(2bc)。
3.计算出∠BAC的角度A后，将其除以2即可得到角平分线的角度。
通过上述解法，我们可以找到三角形中的角平分线及其内心，解决相关问题。
三角形内角平分线定理证明
三角形内角平分线定理证明
定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线缴其对边的点所连成的线段，叫作这个三角形的一条角平分线。
定理1：
角平分线上的的边这个角两边的距离成正比。
逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的.角平分线上。
定理2：
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
三角形内角平分线定理
三角形内角平分线定理
定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线缴其对边的点所连成的线段，叫作这个三角形的一条角平分线。
定理1：
角平分线上的的边这个角两边的距离成正比。
逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的.角平分线上。
定理2：
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
三角形内外角平分线定理
三角形内外角平分线定理【三角形内外角平分线定理】是指在一个三角形中，如果一条直线既是一内角的角平分线，又是另外一个外角的角平分线，那么它将平分这个三角形的第三个内角。
这个定理在解决一些与三角形相关的几何问题时非常有用。
通过运用该定理，我们能够更深入地理解三角形的内外角关系，拓展我们对三角形性质的认识。
让我们来详细解释一下三角形内外角平分线定理的几何意义。
假设我们有一个三角形ABC，其中角A是一个内角，角D是一个外角，线段DE是角A的内角平分线，同时也是角D的外角平分线。
根据这个定理，我们可以得出结论：线段DE将平分角B的度数。
这意味着角BED和角CEA的度数相等。
那么，如何证明三角形内外角平分线定理呢？我们可以运用一些基本的几何知识和性质来推导。
我们知道在三角形ABC中，三个内角的和为180度。
假设角A的度数为x，角BED和角CEA的度数都设为y。
根据内角的性质，我们可以得到以下等式：x + y + (180 - x) = 180x + y = x + 180 - xy = 180从上述推导中可以看出，我们无法得出具体的角度度数。
在具体问题中，我们可以将该定理与其他定理、关系和性质结合使用，以解决更复杂的问题。
三角形内外角平分线定理不仅具有几何意义，还深刻影响着我们对数学抽象概念的理解。
这个定理揭示了三角形内外角的平分线之间的关系，通过思考和探索，我们可以发现更多有趣且深入的现象。
通过应用这个定理，我们能够更好地解决与三角形相关的问题。
总结来说，三角形内外角平分线定理是一个重要的几何性质。
它揭示了三角形内外角平分线之间的关系，并为我们解决与三角形相关的问题提供了有力的工具。
在解决问题时，我们可以从简单的情况出发，逐步深入，灵活运用不同的原理和方法。
通过不断学习和思考，我们能够提高对三角形性质的理解和运用能力。
对于我个人而言，三角形内外角平分线定理是几何学中一条重要的定理。
它不仅仅是数学知识的一部分，更是一种思维方式和解决问题的工具。
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• 思路 ：利用面积法来证明。 思路2：利用面积法来证明。 • 已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角 乙所示， 是 内角∠ 已知：如图 乙所示 内角 的外角 的平分线。 ∠CAF的平分线。 的平分线 • 求证： BA/AC=BD/DC. 求证： • 证明 ：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥ 的延长线于 ； 证明2： ∥⊥BA的延长线于 作 ⊥ 于 ， ∥⊥ 的延长线于F； • ∵ ∠DAC=∠DAF；（已知） ；（已知 ∠ ；（已知） • ∴ DE=DF； ； • ∵ BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积 ；（等高时 △ △ ；（等高时， 之比等于底之比） 之比等于底之比） • BD/DC=S△BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积 ；（同高时 同高时， △ △ 之比等于底之比） 之比等于底之比） • ∴ BA/AC=BD/DC
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线， 三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
定理的基本图形： 定理的基本图形： 如图，因为 ∥ ∥ ， 如图，因为AD∥BE∥CF， 所以AB： 所以 ：BC=DE：EF; ： AB：AC=DE：DF； ： ： ； BC：AC=EF：DF ： ： 也可以说AB： 也可以说 ：DE=BC：EF； ： ； AB：DE=AC：DF； ： ： ； BC：EF=AC：DF ： ：
1.在 ABC中,AD是∠ABC的平分线，AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=_______
2.在 ABC中，AD是∠ABC的平分线， AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=_______
三角形外角平分BC中，AD为∠A的外角∠CAE 的平分线，
B
C
D
AB BD 则： = AC CD
• 三角形外角平分线性质定理：如果三 三角形外角平分线性质定理： 角形的外角平分线外分对边成两条线 段，那么这两条线段和相邻的两边应 成比例. 成比例
• 已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中 已知：如图 甲所示 甲所示， 是 中 ∠BAC的外角∠CAF的平分线。 的外角∠ 的平分线。 的外角 的平分线 • 求证： BA/AC=BD/DC 求证： • 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线 思路 ：作角平分线 的平行线， 的平行线 分线段成比例定理证明。 分线段成比例定理证明。
平行线分线段成比例定理推论: 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线），所得的对应线段成比例 或两边的延长线）
推论的基本图形: 推论的基本图形
A A D E D A C B C E B D C E
A E B
D F C B
三角形内角平分线定理： 三角形内角平分线定理： A C
• 思路 ：利用面积法来证明。 思路2：利用面积法来证明。 • 已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角 乙所示， 是 已知：如图 乙所示 的内角 的平分线。 ∠BAC的平分线。 的平分线 • 求证： BA/AC=BD/DC 求证： • 证明 ：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F； 证明2： 作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ； • ∵ ∠BAD=∠CAD；（已知） ；（已知 ∠ ；（已知） • ∴ DE=DF； ； • ∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC； （等高时，三角 △ △ ； 等高时， 形面积之比等于底之比） 形面积之比等于底之比） • BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时， ；（同高时 △ △ ；（同高时， 三角形面积之比等于底之比） 三角形面积之比等于底之比） • ∴ BA/AC=BD/DC
结论： 使用面积法时， 结论 ： 使用面积法时 ， 要善于从不同的角度 去看三角形的底和高。 在该证法中， 去看三角形的底和高 。 在该证法中 ， 我们看 的面积时， △ BAD和 △ DAC的面积时 ， 先以 和 的面积时 先以BA和 AC作 和 作 而以DF、 为等高 然后以BD和DC为 为等高。 底，而以 、DE为等高。然后以 和 为 而高是同高， 图中并没有画出来。 底 ， 而高是同高 ， 图中并没有画出来 。 你学 会这种变换
B
D
在 ABC中，若AD为∠BAC的 AB BD 平分线，则： = AC CD
• 已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的 已知：如图 甲所示 甲所示， 是 的内角∠ 的内角 的 平分线。 平分线。 • 求证： BA/AC=BD/DC; 求证： • 思路 ：过C作角平分线 的平行线，用平行线分线 思路1： 作角平分线AD的平行线 作角平分线 的平行线， 段成比例定理证明。 段成比例定理证明。