分类讨论思想的应用

分类讨论思想的应用

摘要：“分类”源于生活用于生活，分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻

辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它应贯穿于整个数学教学中。在解

题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。

关键词：分类讨论思想三角形四边形方程

中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2019）11-095-02

分类讨论思想在初中数学中经常用来探究和解决问题，帮助学生更好地理解

和解决问题，并能帮助学生把握解题的思路和技巧，做到举一反三，从而有利于

培养学生的学习兴趣，使他们从数学学习中获得乐趣，所以本文主要从几何图形、代数、函数等方面的内容进行分类讨论。

分类讨论的数学思想，也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，

其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根

据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下

得到的答案进行归纳综合。在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的

问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。

一、在几何图形中的分类讨论思想

（一）在三角形中的分类讨论

与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中无论边还是顶角底角，不确

定的情况下要分类，分情况求解，有时要分钝角三角形，直角三角形，锐角三角形，分别讨论解决

1、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，

所以必须分情况讨论。

例1、若等腰三角形中有一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为【】（A）（B）

（C）或（D）或

分析:等腰三角形有一个顶角、两个底角,并且两个底角相等.题目所给的角由

于不知道是顶角还是底角,所以要分为两种情况进行讨论.

解:分为两种情况:（1）当角为顶角时,它的两个底角为 ;

（2）当角为底角时,顶角为 .

综上所述,该等腰三角形的顶角为或 ,选择（D）.

拓展:若把题目中的角改为角,则本题的答案是什么?还需要讨论吗?

2、在等腰三角形中求边：

等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类

讨论。

例2.若等腰三角形的两条边长分别为3cm、6cm,则它的周长为【】

（A）9cm （B）12cm

（C）15cm （D）12cm或15cm

分析:两条边长分别为3cm、6cm,其中必有一条边长为腰长,另一条边长为底边长,究竟哪一条边长是腰长,要分为两种情况讨论.注意,并不是每一种情况都符合题意,最后还要根据三角形三条边之间的关系作出取舍.

解:分为两种情况:

（1）当3cm为腰长,6cm为底边长时,由于3+3=6而不大于6,所以这种情况是

构不成三角形的;

（2）当3cm为底边长,6cm为腰长时,可以构成三角形,故这种情况符合题意,

此时该等腰三角形的周长为15cm,选择（C）.

拓展:把题目中的3cm改为5cm,则答案又是什么?

3、与直角三角形有关的分类讨论：

在直角三角形中，如果没有指明哪条边是直角边、斜边，就需要根据实际情

况讨论，当然，在不知哪个角是直角时，有关角的问题，也需要先讨论后解决例3、已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为

_____________。

解析：由，可得且

分别解这两个方程，可得满足条件的解，或

由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。

当两直角边长分别为2，2时；当直角边长为2，斜边长为3时；当一直角边

长为2，另一直角边长为3时。

综上，第三边的长为或或。

4、相似三角形中的分类讨论

例4、如图所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三

角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（）

(A)3 (B)3或 (C)3或 (D)

析解：由于以为顶点的三角形和以为顶点的三角形有一个公共角（），因

此依据相似三角形的判定方法，过点的直线应有两种作法：一是过点作∥，这

样根据相似三角形的性质可得，即，解得；二是过点作，交边于点，这时，

于是有，即，解得 . 所以的长为3或，故应选(B)。

（二）在四边形中的分类讨论

例5、在矩形ABCD中，AB=4 , BC=3 , 点P在AB上。若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的处，则AP的长为__________.

分析：分两种情况探讨：点A落在矩形对角线BD上，点A落在矩形对角线AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1，解得：，∴AP= ；

②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，．

故答案为：或．

点评：由于没有明确点A落在矩形的哪条对角线上，所以要分点A落在矩形

对角线BD上和点A落在矩形对角线AC上两种情况讨论.当点A′在BD上时，需构造直角三角形，利用勾股定理解决，当点A′在AC上时，需构造相似三角形，利

用相似三角形的性质解决.以对角线为依据来确定点的位置是解决平行四边形问题

最常用的方法.

（三）圆中的分类讨论

1、圆周角的顶点位置不确定需分类讨论。

例6、在半径为5cm的⊙O中，弦AB=5cm，点C是⊙O上任意一点（不与A、

B重合）。则∠ACB=30°或150°。

解析：一般地，弦的两个端点分圆所成的两条弧一条为优弧，一条为劣弧。当点C在优弧AB上时，∠ACB=30°；当点C在劣弧AB上时，∠ACB=150°.

2、两平行弦相对于圆心的位置不确定需分类讨论。

例7、已知⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm,弦CD=6cm,且AB∥CD，则AB和CD之间的距离为1cm或7cm 。

解析：分弦AB、CD在圆心O的同侧和异侧两种情况计算。

3、两圆相切，内切、外切不确定需分类讨论。

例8、若两圆相切，圆心距为7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为3或11.

练习、已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以点P 为圆心，且与⊙O相切的圆的半径是 1或5 。

4、相交两圆的圆心与公共弦的位置不确定需分类讨论。

例9、已知⊙和⊙相交于A、B两点，弦AB为6，两圆的半径分别为，5，则圆心距 = 1或7 .

解析：分两圆心在公共弦的同侧和异侧两种情况计算。

5、直线与圆相切位置不确定需分类讨论。

例10、（2015梅州）如图，直线l经过点A（4，0），B（0，3）.

（1）求直线l的函数表达式；

（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标.

分析：（1）把点A（4，0），B（0，3）代入直线l的解析式y=kx+b，即可求出结果．

（2）先画出示意图，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM，继而可得点M的坐标．

综上可得：当⊙M与此直线l相切时点M的坐标是（0，0），（0，6）．点评：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在没有明确图形位置的情况下，符合题意的图形可能有多种，因此应注意圆的问题的多样性，不要忘记分情况讨论.直线与圆相切，圆可能在直线上方，也可能在直线下方，所以本题应分两种情况讨论.

二、在数与式中的分类讨论思想

例7、若的值为负数,则的取值范围是____________.

分析:乘除法的运算法则是:同号得正,异号得负.

解:∵的值为负数∴异号

∴分为两种情况:

（1）（2）

综上所述, 的取值范围是或 .

（注意,这里用“或”,不能用“且”）

三、方程中的分类讨论思想

例8、解方程：|x-1|=2

分析：绝对值为2 的数有2个

解：x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1

说明：应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。