四川大学线性代数课件第三章第一节可逆矩阵

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线性代数课件第三章矩阵代数

A。 kI
k
O
k
nn
称为数量矩阵。
对于 s n 矩阵 A有kIn A AkIn kA 。
定义5 设 A为 n 阶方阵，k 是正整数，称 k个 A连乘积为
A 的 k 次幂，记做 Ak 1A4A2L43A ，并约定 A0 I 。
k个A
并且有： Ak Al Akl
Ak l Akl
并求A1 。若条件改为 A2 3A 2I 0 ，结论是否成立？
又已知条件不变，试证：A I 可逆，并求 A I 。 1
Q A I A 2I A2 3A 2I A2 3A I 3I 3I
A I 可逆，且 A I 1 1 A 2I
3
线性代数
第三章矩阵代数
第三章矩阵代数
第2节矩阵的逆
定理2 n 阶矩阵A可逆的充分必要条件为 A 0 ，且A1 A* A
推论设 A、B均为 n 阶矩阵，且满足AB I（或BA I）则 A、B 均可逆，且 B A1, A B1 。
例1
A
1 3
2 9
，验证A是否可逆，若可逆求A1 。
例2 设 n 阶矩阵A满足 A2 3A I 0 ，试证：A 可逆，
第2节矩阵的逆
求解矩阵方程
1、 AX B （其中A为n 阶可逆矩阵，B为 n m 矩阵）
方程两边左乘 A1 ：A1 AX A1B X A1B
从形式上看，逆矩阵起到了“除”的作用。
当 B为n1矩阵时，A 可逆即 A 0，方程组的解X A1B 与克莱姆法则结果是一致的。
但是，若A、B 均为 n 阶方阵： ห้องสมุดไป่ตู้Bk Ak Bk
定理若A、B 均为 n 阶方阵，则 AB A B 。
第二节矩阵的逆

大学线性代数课件第三章第一节可逆矩阵

证明方法
假设有两个不同的逆矩阵$B$和$C$，则有$AB = BA = I$和$AC = CA = I$。由此可得$(B - C)A = 0$和 $A(B - C) = 0$，从而推出$(B - C)$是零矩阵，即$B = C$。
逆矩阵与原矩阵的关系
逆矩阵的性质
如果矩阵$A$是可逆的，那么它的逆矩阵和原矩阵满足关系式 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$。
分解方法
常见的矩阵分解方法包括QR 分解、LU分解、SVD分解等，这些方法都利用了可逆矩阵的性质。
应用场景
在数值分析、计算物理等领域中，矩阵分解是非常重要的计算工具，可逆矩阵的应用为这些领域提供了强大的支持。
特征值和特征向量的计算
特征值和特征向量
可逆矩阵可以用于计算特征值和特征向量，这些数值在许多领域中都有重要的应用。
p;3 1&2 end{bmatrix} $$
习题
判断矩阵B是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵。
$$ B = begin{bmatrix}
习题
4 & -3 1&2 end{bmatrix} $$
答案与解析
矩阵A的行列式值为
$ |A| = 2*2 - 3*1 = 1 neq 0 $，因此矩阵A是可逆的。
矩阵A的逆矩阵为
$ A^{-1} = frac{1}{2} begin{bmatrix}
答案与解析
2 & -3
end{bmatrix} $。 1&2
01
03 02
答案与解析
矩阵B的行列式值为
$ |B| = 4*2 - (-3)*(-1) = 5 neq 0 $，因此矩阵B是可逆的。

第三章可逆矩阵 (第一讲)

（2）
Pl… P2 P1 （A|E )= (E|A-1)
（3）
利用（3）可以较容易地求3阶以上可逆矩阵的求逆。
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例4 用初等行变换求矩阵
1 2 3 0 1 2 A 0 0 1
的逆。解由于 1 2 3 1 0 0 1 0 1 1 2 0 ( A E ) 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
反之，若|A| ≠ 0，由定理2.1可知
A A A A E. A A
所以，按逆矩阵的定义，方阵A是可逆的，并且 1 1 A A. A
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1 2 3 A 2 2 1 . 3 4 3 验证A是否可逆，若有逆并求其逆。解由于|A|=2 ≠ 0 ，所以，A可逆。再计算 A11=2，A21=6，A31=-4， A12=-3，A22=- 6，A32=5， A13=2，A23=2，A33=-2，
AB
1
B A .
1
1
若n阶矩阵A1, A2,…, AS都可逆，则它们的乘积A1A2…AS 亦可逆，且
（A1A2…AS)-1= AS-1…A2-1A1-1.
若A可逆，m为正整数时， Am亦可逆，且 (Am)-1= (A-1) m. 若规定A-m= (A-1) m，则上式变成 (Am)-1= A-m.
§1 可逆矩阵的定义与性质
1.1可逆矩阵的概念定义1.1 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B，使 AB = BA = E, 则称方阵 A 是可逆的，并称方阵 B称为 A 的逆矩阵,简称A 的逆.

可逆矩阵

解
经计算易得
所以
不可逆；不可逆；
①
当
有为零的数时，不可逆；有为零的数时，不可逆；均不为零时，可逆，均不为零时，可逆，据矩阵
② 当
的特点，乘法的定义和矩阵的特点，作 3 阶矩阵
则
10
，所以
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
.
由于 ① 当
所以，，所以，不可逆；时，不可逆；可逆，时，可逆，
是可逆矩阵，的逆矩阵唯一. 命题若是可逆矩阵，则的逆矩阵唯一若均是的逆矩阵，则的逆矩阵，
可逆，提醒若可逆，记其唯一的逆矩阵为
2
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矩阵可逆的充要条件定理设为阶方阵，则可逆
可逆时，当可逆时，可逆，证明必要性因可逆，故存在使得故
证明因
由前面定理推论知
可逆且
推论若们的乘积
均为同阶可逆方阵，均为同阶可逆方阵，则它也可逆且
6
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可逆矩阵的性质性质4 性质4 若均为可逆方阵，均为可逆方阵，那么
也可逆且
注记
由性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵. 性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵
例题
设矩阵其中
满足
求
解答可逆显然可见可逆且故
20
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大阵法求阶数较高的矩阵的可逆矩阵是不现实的. 的矩阵的可逆矩阵是不现实的伴随矩阵法主要用于理论推导和求低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵. 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵但从伴随矩阵法可见，但从伴随矩阵法可见，逆矩阵和伴随矩阵关系紧密. 所以，矩阵关系紧密所以，我们来研究研究伴随矩阵的性质. 究伴随矩阵的性质

《线性代数》课件-第3章矩阵

§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个矩阵和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与的和 A B 记作规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵（交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设是一个矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个矩阵， n s ⨯规定矩阵与的乘积是一个的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律；若，则称矩阵与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律）（左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同；可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当时，显然成立.2=m 假设时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵，求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵，定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注对任意矩阵 A,和均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示：初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。

详细版可逆矩阵.ppt

b2
AX B.
ann
xn
bn
a1n
a2n
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
B
b2
.
bn
高等代数
问题的提出：
n n 的线性方程组 AX B 是否可以象一元一次代
数方程 ax b 一样求解?
对方阵A是否存在矩阵A1, 使 A1A I 即:
若是，则AX B有唯一解X A1B
一、可逆矩阵的概念二、可逆矩阵的判定、求法三、逆矩阵的运算规律四、矩阵方程
高等代数
回忆
a11x1 a12 x2 ...a1n xn b1,
.a..2.1.x.1......a..2.2.
x2 ...a ............
2n
....
xn ...
b2 .....
,
an1x1 an2 x2 ...ann xn bn ,
由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
都是可逆的，且：
E 1 i, j
Ei, j
Ei
(k ) 1
Ei
(
1 k
)
Ei, j (k)1 Ei, j (k)
高等代数
定理2.4.4 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以经过初等变换化为单位矩阵定理2.4.5 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可写成初等矩阵的乘积
又 | A | 0,
A* A* A AI
| A| | A|
所以,A可逆,且
A1 1 A* | A|
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆.
2)此定理在理论推导中非常有用.
3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.

第三章-可逆阵

一、可逆矩阵的定义二、伴随矩阵及矩阵可逆的条件三、逆矩阵的性质四、求逆矩阵的初等行变换五矩阵方程五、矩阵方程一、可逆矩阵的定义定义1设A 是一个n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B , 使得A B B A EA B = B A = E ,则称B 为A 的逆矩阵，此时也称A 可逆.由定义1 可知，若B 是A 的逆矩阵，则A 也是B 逆矩阵，即A 与B 是互逆的.定理1若矩阵A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的.设B 、C 均为 A 的逆矩阵，则C =C E =C A B )=(C A )B =E B =B ,证 C C E C (A B ) (C A ) B E B B ,故 A 的逆矩阵是唯一的.的逆矩阵的唯性由矩阵A 的逆矩阵的唯一性，记 A 的逆矩阵为A 1.例1设a 11a 22… a nn ≠0 , 则由定义可直接验证对角矩11 22 nn ,阵的逆矩阵111-⎤⎡a 111⎤⎡-a 22⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢a.1122⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢=--a⎦⎣nn a ⎦⎣nn a 例2若方阵A 1 , A 2 , …, A m 均可逆，则分块对角矩阵与对角矩阵有类似的逆矩阵11-⎥⎤⎢⎡A A 111⎥⎤⎢⎡--A A 2⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣m A.12⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣=-m A上一页当时对~二、伴随矩阵及二、伴随矩阵及矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件定义2n >1时，对n 阶方阵,称为矩阵A 的代数余子式余子式阵阵，称为矩阵A 的伴随伴随阵阵。

n n ij a A ⨯=)(n n ij a A ⨯=)~(T A A ~*=例如⎪⎪⎫ ⎛--=⎪⎪⎫ ⎛--=⎪⎪⎫ ⎛=24,34~,321*A A A 非常重要⎭⎝⎭⎝⎭⎝13124定理2则d t(**设，则n n ij a A ⨯=)(EA A A AA )det(==矩阵i j *证由行列式性质2与性质7，矩阵的(i,j )元素为A A *det(),,0TTT T T A i j A A AA A A =⎧====⎨e e e e e e aa ()()()()()0,.i j i j i j i j i j ≠⎩E A A A )det(*=AA d (同可得因此。

线性代数课件第三章

的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形矩阵.
定理任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
第一节矩阵的初等变换第二节矩阵的秩第三节线性方程组的解知识要点释疑解难习题课
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中

线性代数逆矩阵

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-23 结束
1 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 2 r r r3 r1 0 2 0 1 1 1 0 2 1 1 0 0 r 2r 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1
1
1 1 1 可以验证 A diag( , ,..., ). a1 a2 an
1 E E. 特别地有
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结束
例2
a b , 设 A c d
1
若 ad bc 0, 可以验证 A
可逆且
1 d b A ad bc c a
1 1 1 1 ( A A ... A ) A A ... A 也可逆, 且 1 2 s s s1 1 .
2、设 A, B 可逆，但 A B 不一定可逆。思考：反例？即使 A B 也可逆，一般地
( A B)1 A1 B 1
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定理2.2
设 A 是 n 阶方阵，如果A可逆，则矩阵方程
1 2 3 1 0 0 0 2 5 2 1 0 0 2 6 3 0 1

r3 r2 r1 r2
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-21 结束
1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 r1 2 r3 0 2 0 3 6 5 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5 r3 0 0 1 1 1 1
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推论2.1

可逆矩阵一PPT课件

... ... ... ...
an1 an2 ... ann
称为方阵A的行列式，记为 A或det A。
第19页/共50页
对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个 n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB) 与行列式detA和detB有何关系？
第20页/共50页
例如：A
1 3
12,
B
4 3
12
第29页/共50页
2、伴随矩阵
(1)定义2 对于n阶矩阵
a11 a12 ... a1n
A
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
，
设Aij是 A中元素aij的代数余子式，则矩阵
第30页/共50页
A11 A21 ... An1
A12
说明理解二可逆矩阵的性质1可逆矩阵a的逆矩阵a1也可逆并且ab3可逆矩阵a的转置矩阵a也可逆并且三矩阵可逆的条件1矩阵乘积的行列式定理1p197定理525设ab是任意两个n阶方阵那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积即2伴随矩阵1定义221221112性质3矩阵可逆的条件定理2矩阵a可逆的充分必要条件是
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a12 ... a1n a11b11 a11b12 ... a11b1n
a21 a22 ... a2n 0
0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann

线性代数课件(高教版)3-1

第三章可逆矩阵
§1 可逆矩阵的定义与性质
1.1 可逆矩阵的概念
1.2 可逆矩阵的性质
公共教学中心徐向红
1.1可逆矩阵的概念
在数的运算中，当数a 0 时，有
aa a a 1,
（或称 a的逆）；其中 a 1 1 为 a 的倒数， a 单位阵 E相当于数的乘法运算中在矩阵的运算中，的1，那么，对于矩阵 A ，如果存在一个矩阵A1, 使得
证明
ABB1 A1 ABB1 A1
1 AEA 1 AA E ,
B
1
A1 AB B 1 A1 A B B 1 B E
1
AB B 1 A1 .
推广
A1 A2 Am A A A .
1
公共教学中心徐向红
思考题解答
答
是的. 这是由于A1的唯一性决定的 .
公共教学中心徐向红
可逆矩阵又称非奇异矩阵,不可逆方阵又称奇异矩阵.
公共教学中心徐向红
1.2可逆矩阵的性质
性质1 若A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
则有证明: 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，
AB BA E , AC CA E ,
可得 B EB CAB C AB CE C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即
1 m
1 2
1 1
公共教学中心徐向红
当A可逆, m为正整数时, A 亦可逆,且
m
( Am )1 ( A1 )m .
若规定 A m ( A1 )m , 则
(A ) A .
m 1
m
公共教学中心徐向红
思考题
若A可逆, 那么矩阵方程AX B是否有唯一解 X A1 B ? 矩阵方程 YA B 是否有唯一解 Y BA1 ?

工学四川大学线性代数课件第三章第一节可逆矩阵

A32=-4 A33=2
得所以
b1
B
b2
b3
1/ b1
如b1b2b30,
B可逆,
且
B1
1/ b2
1/ b3
求逆运算容易出错, 在求得A1后, 可验证 AA1=E, 保证结果是正确的.
可逆矩阵的性质:
（1）如果方阵A可逆，则其逆矩阵唯一。
（2）若 A E 或 B B E , 则 A B A 1 .
3若 A 可,则逆 A 有 1A 1.
4 若 A 可 ,则 A 逆 1 亦 ,且可 A 1 1 A 逆 .
5 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
AB 1 B 1 A 1
证明 A B 1 A B 1 A B 1 A 1 B
AE1AAA 1E,
A 1 B B 1 A 1 .
即 A1 1 A A
定理1
矩阵 A可逆的充要条件是 A 0 ，且 A1 1 A, A
其A 中为矩 A的阵伴随 . 矩阵
例1 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
b1
B b2
b3
解因为
2 A 2 0
所以A-1存在。
同理可得
A12=-3 A22=10 A13=1 A23=-4
2
又 A 2 A 由 2 E 0
A 2 E A 3 E 4 E 0 所以A A 22E E可逆1 4，A A 32 E E 1 E A 12E A 13E
4
课后思考：设方阵满足方程 A 2 3 A 1 E 0 0 证:明 A和 A4E都可逆，并逆求矩出阵
例5：设方阵B为幂等矩阵，
满足什么条件的方阵是可逆的？
设n阶方阵A可逆，由 A A-1= A-1 A=E 有

线代课件-逆矩阵

則
A1
|
1 A|
A*
A*
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32
A33
M11 M12
M21 M 22
M 31 M32
7 6
4 3
9
7
M13 M23 M33 3 2 4
| A | 0
方陣A可逆
此時，稱矩陣A 為非奇異矩陣
A1 1 A* | A|
定理: 方陣A可逆的充要條件是 | A | 0 ．
A B
A B 1
1
1
( AT )1 ( A1 )T
例设A为3阶方阵，且 | A| 1 , 求 | 3A1 2A* |。 2
答案： | 3A1 2A* | 4A* 或 2A1 16
（矩陣方程的求解）例：書上P45 例8, 9
例设 A可逆. 证明:( A* )1 ( A1 )* A 。 A
amn xn bm ：
线性方程组的向量表示
1x1 2 x2 n xn b 其中 j =（a1j ,a2 j , amj）T, j 1,2, , n
例：證明克蘭姆法則. （見書上P52）
3、分块对角矩阵
设
A
B O
O C
，其中
B,C
均为方阵，则：
（ⅰ） A B C
；
（ⅱ）
An
x2
b2
amn
xn
bm
：
a11 a12
其中
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
x1
，
x
x2
,
b1
b
b2
.

第三章可逆矩阵

§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
定理2.3 方阵A可逆存在方阵B，使AB=E.
A-1=B.
证 ) 由定义知. ) AB =AB =E=1， A≠0， A可逆，且 A-1=A-1E=A-1(AB)=(A-1A)B=EB=B. #
推论2.1 设A,B均为n阶方阵，若AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B, B-1=A. 推论作用：论证方阵可逆性，及逆阵形式。
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
例2 设方阵A，使E+A可逆，且B=(E+A)-1(E-A),
求 (E+B)-1.
解由B=(E+A)-1(E-A)，得(E+A)B=E-A, 从而E+A+(E+A)B=2E, 即(E+A)(E+B)=2E
1 ( E A)( E B) E , 2 1 1 ( E B ) ( E A). 2
不用除法，解方程 2x=4
解
1 是2的倒数 2
1 1 1 2 x 4 , 得x 2. 注意到 2 1. 2 2 2
§1 可逆矩阵的定义及性质
定义1.1设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得 AB=BA=E 则称方阵A为可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，简称 A的逆。注:可逆矩阵与逆矩阵是同阶方阵，非方阵不论及可逆性，方阵不一定可逆。 1 0 对任意B b11 b21 例 A , b 0 0 b22 12 b11 b21 1 0 b11 0 1 0 . BA 0 1 , A不可逆 b 0 0 b 12 0 12 b22

线性代数课件PPT 第3章.线性方程组

2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT

a2

M
an

3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。

线性代数1-3可逆

0 1 0

0 0 1 an
0 0 E 1

即
0 0 an
1
定义1.12 设n
a 11 a 21 阶矩阵 A a n1
a 12 a 22 an2
1
1 1
1
E
(B
1
A
1
) AB B
AB
1
(A
1
1
A ) B B 1 EB E
A
1

1
B
推广：( A 1 A 2 A m )
1
A m A m 1 A1
1
1
1
特别的， A k ) 1 ( A 1 ) k A k (
2a c 5a 3c
2b d 1 5b 3d 0
0 1
2a c 1 2b d 0 5a 3b 0 5b 3d 1
a 3 b 1 c 5 d 2
3 对于矩阵 A 0
1 有 AB 0
0 3
0 BA 1
1 ,B 3 0
0 1 3
B 是 A 的一个逆矩阵
注意： (1) 逆矩阵是对方阵而言的。 (2) 逆矩阵是相互的。 (3) 若A可逆，则逆矩阵唯一。事实上，若设B和C是A的可逆矩阵，则有
1
A E
1
A 可逆，且 ( A )
1

A
证
AA
1
E
AA
即

线性代数第三章矩阵的逆

同理可得
A13 2, A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2,
得 6 4 2 A 3 6 5 , 2 2 2
3 2 6 4 1 2 1 1 A 1 A 3 6 5 3 2 3 5 2 . A 2 1 1 1 2 2 2
故
例3：下列矩阵A, B是否可逆? 若可逆, 求出其逆矩阵. 2 3 1 1 2 3 1 3 5 . B A 2 1 2 , 1 5 3 1 3 3
1 2 3
解:
1 0
2 1
3 0
A 2 1 2 0 3 4 1 3 3
1 1 1
1 1 1 1 2 3 2 X 1 1 0 2 0 4 2 1 1 0 1 5
给方程两端右乘矩阵
1 1 1 1 1 0 , 2 1 1
1
1
9 5 1 2 3 1 1 1 2 得 X 2 0 4 1 1 0 2 8 6 . 0 1 5 2 1 1 4 14 9
1 1 1 1 2 3 2 X 1 1 0 2 0 4 ; 2 1 1 0 1 5 1 1 1 1 1 1 4 2 3 3 1 1 0 X 1 1 0 0 1 5 . 2 1 1 3 2 1 2 1 1
1
1 1 1 右乘矩阵 1 1 0 , 3 2 1
A A 1 .