2019年新初三上学期预科班(数学教程)

第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程例1.下列选项中是一元二次方程的是（ ） A.322-+x x B.2152=+x xC.()2227x x =+-D.0142=-+t t例2.判断下列方程是不是一元二次方程，若是，则化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项(1)2223a a a =-+ (2)()()421=-+x x (3)52=x例3.已知关于x 的一元二次方程()043222=-++-m x xm 有一个根是0，求m 的值.21.2 解一元二次方程 21.2.1 配 方 法例1.用直接开平方法解下列方程(1)642=x ； (2)()922=+x ; (3)()012532=-+x例2.用配方法解下列方程(1)442-=+x x ; (2)0142=++x x例3.用配方法证明47102-+-x x 的值恒小于0.21.2.2 公式法例1.用公式法解下列方程(1)0232=+-x x ; (2)4722=+x x ; (3)02222=+-x x例2.已知关于x 的方程()01214222=-++-k x k x ，k 取何值时，这个方程： (1)有两个不等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)无实数根？ 21.2.3 因式分解法例1.用因式分解法解方程:(1)x x 632=; (2)()2552=+x ; (3)0822=--x x例2.解方程：(1)()()5553+=+x x x ;(2)1432+=x x ;(3)1452-=x x21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系例1.不解方程，求下列方程的两根之和两根之积 (1)022=-x x ; (2)4322=+x x ; 3)011822=++x x例2.不解方程，检验下列方程的根是否正确： (1)()12,120122212-=+==+-x x x x(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=--4737,4737832112x x x x 22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数例1.下列函数中是二次函数的是( ) A.182+=x y ; B.18-=x y ; C.2323x x y +=; D.221xx y +=例2.若()mm x m m y -+=22是二次函数，求m 的值.例3.喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元／件的商品，售价为60元／件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件，设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每星期销售该商品的利润为y 元，则y 与x 的函数解析式为例1.下列函数：(1)x y 3-=，(2)x y 2=，(3)1+-=x y , (4)()02<=x x y ，y 随x 的增大而减小的函数有例2.在同一平面直角坐标系中作出221x y =，221x y -=和241x y =的图象.例3.抛物线252x y =的开口向 ,对称轴为 ,当x= 时，y 有最 值，是 .例4.已知二次函数mmmx y +=2的图象是开口向下的抛物线，则m= .当x 时，y 随x 的增大而增大.例5.在同一坐标中作出2x y -=和241x y -=的图象，并比较图象的异同.例1.已知点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在抛物线y=x 2-1上，下列说法中正确是（ ）A.若y 1=y 2，则x 1=x 2B.若x 1=-x 2，则y 1=-y 2C.若0<x 1<x 2,则y 1>y 2D.若x 1<x 2<0,则y 1>y 2 例2.抛物线26x y -=可以看作是由抛物线562+-=x y 按下列何种变换得到( )A.向上平移5个单位长度B.向下平移5个单位长度C.向左平移5个单位长度D.向右平移5个单位长度例3.对于()232-=x y 的图象，下列叙述不正确的是 A.顶点坐标为（-3，0） B.对称轴是x=3C.当x>3时，y 随x 的增大而增大D.当x=3时，y 有最小值0例4.在平面直角坐标系中，函数y=-x-1与()2123--=x y 的图象大致是（ ）例5.指出抛物线()1122--=x y 的顶点坐标、对称轴、最值及增减性.即学即用：抛物线()1122+-=x y 的大致图象是（ ）例6.已知抛物线()k h x a y +-=2是由抛物线221x y -=向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的. (1)示出a 、h 、k 的值(2)在同一直角坐标系中，画出()k h x a y +-=2与221x y -=的图象 (3)观察()k h x a y +-=2的图象，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，函数有最 值，最 值是y= .(4)观察()k h x a y +-=2的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗?例1.求抛物线7522+--=x x y 的对称轴和顶点坐标.例2.画出二次函数253212---=x x y 的图象，并根据图象说出x 取何值时，y 随x 的增大而增大；x 取何值时，y 随x 的增大而减小；函数y 有最大值还是有最小值？最值是多少？例3.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中-2＜x 1＜-1，0＜x 2＜1，下列结论： ①a ＜-1；②b 2+8a>4ac ；③4a-2b+c ＜0； ④2a-b ＜0，其中正确的有 ．（填代号）即学即用：已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论： ①a+b+c ＜0；②a-b+c ＞1； ③abc>0； ④4a-2b+c<0 ⑤c-a>1，（m ＞1的实数），其中正确的结论有 。

例4.已知抛物线过A(-1，-9)，B(1，-3)，(3，-5)三点，求抛物线的解析式.即学即用：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象写出A、B、C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；（2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴．例5.已知二次函数图象的顶点坐标为(1，-3)，且过点P(2,0)，求这个二次函数的解析式. 即学即用1：已知抛物线的顶点过(-1，-3)，与y 轴的交点坐标为(0，-5)，求抛物线的解析式.即学即用2：已知抛物线与x轴的交点坐标是A(-2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，求抛物线的解析式.22.2 二次函数与一元二次方程例1.已知一次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=的根为。

例2.不画图象，判断抛物线y=x2-3x+4与x轴公共点的个数.例3.用图象法求一元二次方程x2+2x-10=0的实数根（结果保留小数点后一位）. 例4.已知二次函数y=x2-2x-2的图象如图，根据图象可知，1≥y时的x的取值范围是( ) A.31≤≤-x B.13≤≤-xC.3-≥x D.31≥-≤xx或即学即用：已知二次函数y=x2-2x-3.(1)x取什么值班时，y=0?(2)x取什么值班时，y>0?(3)x取什么值班时，y<0?24.1 圆的有关性质24.1.1 圆例1.如图，点A ，D ，G ，M 在半圆O 上，四边形ABOC ，DEOF ，HMNO 均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH=c ，则下列各式中正确的是( ) A.a>b>c B.a=b=c C.c>a>b D.b>c>a例2.以下结论：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的两条弧是等弧。

其中错误的有 . 24.1.2 垂直于弦的直径 24.1.3 弧、弦、圆心角例1.如图，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连接O C ，若OC=5，CD=8，则AE= .例2.如图，在△AOB 中，OA=OB ，以点O 为圆心的圆交AB 于C ，D 两点，求证：AC=BD例3.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，CE∥AB.求证：⌒BC=⌒AE24.1.4 圆周角例1.图中的圆周角有，⌒CD所对的圆周角有，例2.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=BD，若∠BOD=50°，求∠A的度数.例3.如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=50°，点D是⌒BAC上一点，且不与点B，C重合，则∠D=.例4.如图，AB是⊙O的直径，D是圆上任意一点（不与A，B重合），连接BD并延长到点C，使BD=DC，连接AC，试判断△ABC的形状.例5.如图，已知点E是圆内接四边形ABCD的边BA延长线上的一点，BD=CD，且∠EAD=55°，则∠BDC= .24.2.1 点和圆的位置关系例1.已知⊙O的的半径r=3cm，P为线段OA的中点，当OA=8cm时，判断点P和⊙O的的位置关系。

例2.图是一个殘破的圆轮，李师傅想要再浇铸一个同样大小的圆轮，你能想想办法帮帮李师傅吗? 例3.在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边AC和BC的长分别是6cm和8cm，求Rt△ABC外接圆的面积。

例4.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。

24.2.2 直线和圆的位置关系例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则直线AB和以点C为圆心，r为半径的圆有何位置关系？为什么？例2.如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC,CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD 有怎样的位置关系？请说明理由。

例3.如图，AB为⊙O的切线，B为切点，若∠OAB=30°AO=6，求AB的长。

例4.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，OP=4，PA=32，求∠AOB的度数。

例5.a，b，c分别是Rt△ABC的三边长，其中∠C=90°，求此三角形内切圆的半径.24.3 正多边形和圆例1.如图，△ABC是⊙O的内等腰三角形，顶角∠BAC=36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，求证：五边形AEBCD是正五边形。

例2.如图，已知正六边形的边长为4，求它的边心距。

例3.作边长为22的正方形例4.一个正多边形绕它的中心旋转36°后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形24.4 弧长和扇形面积例1.挂钟分针长10cm，经过15min，它的针尖转过的弧长为cm例2.已知扇形的圆心角度数为60°，面积为6π，求扇形的弧长。