有限域上运算的实现(2)

m( x ) = x + x + x + x + 1
上面定义的乘法在GF (28 )上满足结合律，且有一个本原元 上满足结合律， （‘02’）。 ）。
8) GF(2
不可约多项式
f(x)=x8+x6+x5+x+1
本原元
“02”，即“x” 02”
指数对数表的建立
利用多项式基表示，计算出所有的“02”的 利用多项式基表示，计算出所有的“02” 方幂，得到指数表， 方幂，得到指数表，然后再反排序得到对 数表 计算乘法时，先利用对数表查出两个元素 计算乘法时， 对应的对数，然后将对数相加， 对应的对数，然后将对数相加，再查指数 表得出结果 求逆为255求逆为255-i
耗时较大，无需额外的存储，求逆需要采用扩 耗时较大，无需额外的存储， 展的欧几里得算法
乘法表
效率高， 效率高，需要储存乘法表
指数对数表
效率高，但比乘法表所需查表次数多两次， 效率高，但比乘法表所需查表次数多两次，表 的大小比乘法表小很多， 的大小比乘法表小很多，求逆很方便
GF(28)
定义一个由 组成的字节b可表示为系数为 可表示为系数为{0， 定义一个由b7b6b5b4b3b2b1b0 组成的字节 可表示为系数为 ， 1}的二进制多项式： 的二进制多项式： 的二进制多项式
有限域上的运算实现
有限域上元素的表示形式
有限域GF(p 有限域GF(pn) 多项式基 α 是n次不可约多项式f(x)在域GF(pn)中的一个根， 次不可约多项式f(x)在域 在域GF(p 中的一个根， 则GF(pn)中的元素可表示为
GF ( p n ) = {an −1α n −1 + an − 2α n − 2 + L + a1α + a0 | ai ∈ GF ( p ), f (α ) = 0}
思考
GF(216)乘法如何实现？ 乘法如何实现？
模16次不可约多项式？ 16次不可约多项式 次不可约多项式？ 乘法表？ 乘法表？ 指数对数表？ 指数对数表？
利用上面的方法，可利用GF(28)域上的指数 利用上面的方法，可利用GF(2 对数表来实现GF(2 中元素的乘法。 对数表来实现GF(216)中元素的乘法。
b7 x 7 + b6 x 6 + b5 x 5 + b4 x 4 + b3 x 3 + b2 x 2 + b1 x + b0
还可以将每个字节表示为一个16进制数，即每4比特表示 还可以将每个字节表示为一个 进制数，即每 比特表示 进制数 为一个16进制数 代表较高位的4比特的符号仍在左 进制数， 为一个 进制数，代表较高位的 比特的符号仍在左 例如，01101011可表示为 可表示为6B。 边。例如，01101011可表示为6B。它们之间的运算为 中的运算。 GF (28 ) 中的运算。 8 定义在 上的加法定义为二进制多项式的加法， 定义在 GF (2 )上的加法定义为二进制多项式的加法，且其 系数模2。 系数模 。 GF (28 上的乘法（用符号 表示）定义为二进制多 ) 上的乘法（用符号·表示 表示） 定义 在 项式的乘积模一个次数为8的不可约二进制多项式 的不可约二进制多项式， 项式的乘积模一个次数为 的不可约二进制多项式，此 不可约多项式为（十六进制为‘ 不可约多项式为8 十六进制为‘163’） （ 6 5 ）
有限域上元素的表示形式（ 有限域上元素的表示形式（续）
指数表示法 α 是GF(pn)中的一个本原元（乘法群的生成 中的一个本原元（ ），则 元），则GF(pn)中的元素可以表示为
GF ( p ) = {0, α = 1, α , α ,K , α
n 0 1 2
pn −2
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}
有限域上乘法的实现
模不可约多项式法