二阶线性常微分方程的幂级数解法

二阶线性常微分方程的幂级数解法

从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程

''0y xy -=的通解

解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……

为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有

''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=⋅+⋅+

+-+++

将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到

x -∞<<∞2210

a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=

或一般的可推得

32356(31)3k a a k k =

⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，

1

3134673(31)

k a a k k +=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，

320k a +=

其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：

36

347

01[1][]

232356

2356(31)33434673(31)

n

x x x x x y a a x n n

n n =+++

++++++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+

这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。

例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到

00a =， 11a =，

因而

2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+⋅+

+-+

将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到

21422

0,1,0,

,,1

n n a a a a a n -====

-

因而

5678911

11,0,,0,,2!63!4!

a a a a a =

=====

最后得

21111

(1)!!

k a k k k +=

⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。

将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到

5

213

2!

!k x x y x x k +=+++

++

2

4

22

(1),2!

!

k x x x x x xe k =+++

++=

这就是方程的满足所给初值条件的解。

是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的

形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。

考虑二阶齐次线性微分方程

22()()0d y dy

p x q x y dx dx

++= 及初值条件00()y x y =及'

'00()y x y =的情况。

不失一般性，可设 00x =，否则，我们引进新变量0t x x =-，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0x x =的就是00t =了，因此，今后我们总认为00x =。

定理10 若方程22()()0d y dy

p x q x y dx dx

++=中系数()p x 和()q x 都能展

成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <，则方程22()()0d y dy

p x q x y dx dx

++=有形如

n

n n y a x

∞

==∑

的特解，也以||x R <为级数的收敛区间。

在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x -，2x -和4-可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程，例如n 阶贝赛尔方程

2

2222()0d y dy

x x x n y dx dx

++-=

这里n 为非负常数，不一定是正整数，（22()()0d y dy

p x q x y dx dx ++=）

在此1

()p x x

=，22()1n q x x =-，显然它不满足定理10 的条件，因而不能

肯定有形如

0n

n n y a x ∞

==∑的特解。但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。

定理11 若方程22()()0d y dy

p x q x y dx dx

++=中系数()p x ，()q x 具有这样的性质，即()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为

||x R <，若00a ≠，则方程22()()0d y dy

p x q x y dx dx

++=有形如0n

n n y x

a x α

∞

==∑ 即

n n n y a x α∞

+==∑

的特解，α是一个特定的常数，级数

0n n n y a x α

∞

+==∑也以||x R <为收敛区间。若00a =，或更一般的，0(0,1,2,1)i i m α==-，但0m

a ≠，

则引入记号m β

α=+，k m k b a +=，则

n m k k n m k k n m

k k y x a x x a x x b x ααβ∞

∞

∞

++======∑∑∑，

这里00m b a =≠，而β仍为待定常数。

例7 求解n 阶贝赛尔方程22

222()0d y dy

x x x n y dx dx

++-=。