圆的基本性质知识点整理

3.1 圆（1）

在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做，线段OP叫做。

如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：d＜r 点P在圆；

dr 点P在圆上；

d＞r 点P在圆；

如图，在ABC中，∠BAC＝Rt∠，AO是BC边上的中线，BC

为O的直径.

（1）点A是否在圆上？请说明理由.

（2）写出圆中所有的劣弧和优弧.

如图，在A岛附近，半径约250km的范围内是一暗礁区，

往北300km有一灯塔B，往西400km有一灯塔C.现有一渔船

沿CB航行，问：渔船会进入暗礁区吗？

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3.1圆（2）

（1）经过一个

．．已知点能作个圆；

（2）经过两个已知点A,B能作个圆；过点A,B任意作一个圆,

圆心应该在怎样的一条直线上？

（3）不在同一条直线上的三个点一个圆

经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆的；

三角形的外心是的交点。

锐角三角形的外心在；

直角三角形的外心在；

钝角三角形的外心在。

作图：已知△ABC ，用直尺和圆规作出△ABC 的外接圆

3.2图形的旋转

图形旋转的性质

图形经过旋转所得的图形和原图形；

对应点到的距离相等，任何一对对应点与连线所成的角度等于。

3.3垂

径定理（1）

圆是图形，它的对称轴是。

如图，直径CD 垂直于弦AB ，

根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：∵CD 是直径，CD ⊥AB ∴

1、如图，射线OP 经过怎样的旋转，得到射线OQ ？

3、如图，以点O 为旋转中心，将线段AB 按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的线段B A ''，并求直线B A ''与直线AB 所成的锐角的度数。

2、如图,以点O 为旋转中心,将△ABC 按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的图形。

（文字描述）垂径定理：。

如图，圆心O到圆的一条弦AB的距离OC叫做。

记半径为r，弦长为a，弦心距为d，这三者之间的关系式为。

运用“半径、半弦、弦心距”之间的关系求解下列题目

1、⊙O的弦AB的长为8cm,弦AB的弦心距为3cm,则⊙O的半

径为( )

(A)4cm. (B)5cm.

(C)8cm. (D)10cm.

2、已知⊙O的半径为13cm,一条弦的弦心距为5cm.求这条弦的长

3、如图所示，为一条排水管的截面图，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB为

16，求截面圆圆心O到水面的距离OC

3.3垂径定理（2）

（文字描述）垂径定理的逆定理1：

。

（符号描述）∵CD是直径，AP=BP

∴

（文字描述）垂径定理的逆定理2：

。

（符号描述）∵CD是直径，AC＝BC

∴

如图所示，圆弧AB的中点C到弦AB的距离PC叫做。

弓高h、半径r和弦心距d之间的关系是。

垂径定理综合运用

1、如图,一圆弧形钢梁的拱高为8m,跨径为40m.求这钢梁圆弧的半径长.

2、已知:如图,⊙O的直径PQ分别交弦AB,CD于点

M,N,AM＝BM,AB∥CD.求证:DN＝CN.

3、如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE＝

3cm,DE＝7cm.求AB的长.

4、已知O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB＝6cm,CD＝8cm.

求AB与CD之间的距离.

3.4圆心角（1）

顶点在圆心的角叫做。

圆心角定理：

在中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等。

在中，相等的圆心角所对两条弦的相等

符号语言

在⊙O中：∵∠AOB=∠COD

∴(弦相等)

(弧相等)

(弦心距相等)

我们把n°的圆心角所对的弧叫做的弧

练一练：

1、下列命题中，不正确的是（）

A、圆是轴对称图形

B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C、圆是轴对称图形，但不是中心对称图形

D、圆是中心对称图形

2、如图，AB，CD是O的直径，若∠AOC=70°，则AC的度数是，BD的度数

是，AD的度数是。

3、已知：如图，∠1＝∠2.求证：AC＝BD.

4、如图，O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠COD＝100°. 求BC，AD的度数.

3.4圆心角（2）

圆心角定理的逆定理：

在中，如果两个、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量。

1、如图，等边三角形ABC内接于O，连结OA，OB，OC，延长AO，分别交BC于点P，

交BC于点D，连结BD，CD，

①判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并给出证明。

四边形BDCO是，证明如下：

∵AB=BC=CA

∴∠AOB===120°

∴∠BOD=

又∵

∴△BOD是三角形

同理，△COD是

∴记四边形BDCO是

②若O的半径为r，求等边三角形ABC的边长