2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练

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直线与圆题型总结

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．2、设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1 已知圆，求过点与圆相切的切线．2 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为.类型三：弦长、弧问题1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系1、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，实数m 的取值范围 2圆上到直线的距离为1的点有个？3、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是.5、圆上到直线的距离为的点共有（）．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个6、过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点类型五：圆与圆的位置关系1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系2圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。

高中直线与圆题型归纳总结

高中直线与圆题型归纳总结直线与圆是高中数学中的重要知识点，涉及到的题型较为广泛。

在这篇文章中，我将对高中直线与圆题型进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。

一、直线与圆的基本性质在解题过程中，掌握直线与圆的基本性质是非常重要的。

下面列举了一些常见的性质：1. 直线与圆的位置关系：a. 若直线与圆有两个交点，则该直线称为切线；b. 若直线与圆相交于两个不重合的交点，则该直线称为割线；c. 若直线与圆不相交，则该直线称为外切线或外割线；d. 若直线完全在圆内，则该直线称为内切线或内割线。

2. 判定直线与圆的位置关系的方法：可以通过直线的方程与圆的方程进行联立，进而判断位置关系。

二、直线与圆的相交性质1. 两条直线与圆的相交性质：a. 相交弧的性质：两条直线与圆相交，相交的弧度数相等；b. 垂直切线的性质：切线与半径垂直；c. 切线长度的性质：切线长的平方等于切点到圆心的距离与圆半径的乘积。

2. 直线与圆的切线性质：a. 切线定理：切线与半径垂直；b. 外切角性质：切线与半径的夹角等于其对应的弧所对圆心角的一半。

三、直线与圆的方程1. 圆的一般方程：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆半径。

2. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且不全为零。

3. 判定直线与圆的位置关系的方法：将直线方程代入圆的方程，求解该二次方程的判别式，进而判断位置关系。

四、直线与圆的应用题1. 判断两个圆的位置关系：比较两个圆的圆心距离与两个圆半径之和的大小来判断位置关系。

2. 直线与圆的垂直与切线问题：通过证明直线与半径的斜率乘积为-1，判定直线与圆的垂直关系；通过判定直线与圆的切点的情况，判定直线与圆的切线关系。

3. 直线与圆的联立方程求解问题：列出直线方程与圆方程，通过解联立方程，求解直线与圆的交点坐标。

4. 直线与圆的面积问题：求直线与圆所形成的图形的面积，可以通过计算扇形面积与三角形面积之和来完成。

重难点突破：直线与圆中最值问题全梳理

【小结】本题考查了直线和圆的位置关系，均值不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3
例题 4：点 M x, y 在曲线 C ： x2 4x y2 21 0 上运动，t x2 +y2 12x 12 y 150 a ，且 t 的最
大值为
b
，若
a,
b
R
，则
a
1
1
1 b
的最小值为（
）
当，即 P 1, 0 时等号成立.故选： D .
【小结】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
1
例题 2：已知在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点， A0, 2 ， OB 2 OA 2 20 ，若平面内点 P 满
足 PB
3PA ，则
PO
的最大值为（
【解析】 x2 y2 4x 2 y 1 0 ，即 x 22 y 12 4 ，圆心为 2, 1 ，半径为 2 .弦长为 4 ，则
直线过圆心，即 2a 2b 4 0 ，即 a b 2 . a2 b2 a b2 2ab a b2 a b2 2 ，当
2 a b 1 时等号成立.故选： B .
5
题型五直线与圆与三角函数结合的最值问题
例题 6：已知 A xA, yA 是圆心为坐标原点 O ，半径为 1 的圆上的任意一点，将射线 OA 绕点 O 逆时针旋转
2 到 OB 交圆于点 B
3
xB, yB
，则 2 yA yB 的最大值为（
）
A．3
B．2
C． 3
D． 5
【分析】设射线
OA
BM AB BF AB AF 1，从而可得结果.
【解析】因为 C : x 12 y2 4 的圆心 1, 0 ，所以，可得以 1, 0 为焦点的抛物线方程为 y2 4x ，

2020届高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆(含解析)

直线与圆、圆与圆一、学习目标1. 掌握直线与圆、圆与圆的位置关系及判定；2. 能解决与圆有关的综合问题．二、基础自测1. 已知直线l 过点(1,2)P 且与圆22:2C x y +=相交于,A B 两点，ABC ∆的面积为1，则直线l 的方程为 .10x -=或3450x y -+=2. 过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A ,B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为 .2450x y +-=3. 已知直线:60l x -+=与圆2212x y +=交于A ,B 两点，过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则CD = .44. 已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为 .3-+三、典例分析题型一：与圆有关的求值问题1. 方程10)x y -≥表示的曲线长度为 .2. 已知圆22410x y x +--=与圆22240x y x y +--=相交于M N ，两点，则公共弦MN 的长为．3. 在平面直角坐标系xOy 60y +-=与圆22((1)2x y +-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为．60o4. 已知点P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C ：2220x y y +-= 的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ．2题型二：与圆有关的求范围问题1. 已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，点(4,0)A ，若直线1y kx =+上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，则实数k 的取值范围是__________．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2. 已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围为．[7,13]3. 从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为．224+4. 设直线l ：340x y a ++=，圆C ：()2222x y -+=，若在圆C 上存在两点P ， Q ，在直线l 上存在一点M ，使得PM PQ ⊥，则实数a 的取值范围是_________．164a -≤≤变式：1. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .[]1,52. 在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为．[6262]-+，3. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C :224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ,N 两点,点P 为圆C 上任意一点,则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为______. 442+4. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是．[21,21]-+题型三：与圆有关的综合问题1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ．（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【解】（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线l 的斜率为2011(1)-=--，设直线l 的方程为0x y m -+=， ……………………………………………2分则圆心C 到直线l的距离为d ==4分因为MN AB =而222()2MN CM d =+，所以2(2)422m +=+， ……………………………6分解得0m =或4m =-，故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=．…………………………………8分（2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， ………………………………10分因为|22|22-+，……………………………………12分所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为2．…………………………………………………………14分 2. 已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r，其中O 为坐标原点，求MN .【解】（1）由l 与圆交于,M N 两点，所以直线的斜率必存在. 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+.由圆C 的方程，可得圆心为()2,3C ，则(),1d C l <1<，解得4433k <<. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,OM x y =u u u u r ，()22,ON x y =u u u r，121212OM ON x x y y =+=u u u u r u u u r g g g .把直线1y kx =+代入到()()22231x y -+-=中，得()()2214470k x k x +-++=. 由根与系数的关系，得12271x x k =+，122441kx x k ++=+.则()()21212121224117111k k x x y y x x kx k kx k k++⋅+⋅=⋅+--==+，解得1k =. 所以直线l 的方程为1y x =+.又圆心()2,3C 到直线l 的距离(),0d C l ==，即直线l 过圆心C .所以2MN =.3. 平面直角坐标系xOy 中，直线10x y -+=截以原点O（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP ，NP 分别交于x 轴于点(,0)m 和(,0)n ，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解】（1）因为O 点到直线10x y -+=， ………………………2分所以圆O= 故圆O 的方程为222x y +=． ………………4分（2）设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，即0bx ay ab +-=，由直线l 与圆O=221112a b +=， ……………6分 2222222112()()8DE a b a b a b=+=++≥，当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20x y +-=．………10分（3）设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=，直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，122121x y x y m y y -=-，直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，122121x y x y n y y +=+， …………………14分 222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--g ，故mn 为定值2． …………………16分4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过(0,2)A ，(0,0)O ，(,0)(0)D t t >三点，M 是线段AD 上的动点，12,l l 是过点(1,0)B 且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点．（1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，求EPQ ∆的面积的最小值．【解】（1）由题意可知，圆C 的直径为A D ，所以，圆C 方程为：22(3)(1)10x y -+-=．设2l 方程为：(1)yk x =-，则222(21)3101k k-+=+，解得 10k =，243k =，当0k=时，直线1l 与y 轴无交点，不合，舍去．所以，43k =此时直线2l 的方程为4340x y --=．（2）设(,)M x y ，由点M 在线段A D 上，得12x yt +=，即220x ty t +-=．由AM ≤2ＢM ，得224220()()339x y -++≥．依题意知，线段A D 与圆224220()()339x y -++≥至多有一个公共点，88||3t -≥，解得1611t -≥或1611t +≥．因为t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，所以，t =4．所以，圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-= ①当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S =V ； ②当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：(1)y k x =-（0k ≠），则1l 的方程为：1(1)yx k =--，点1(0,)E k．所以，BE =又圆心Ｃ到2l，所以，PQ ==故12EPQS BE PQ =⋅===≥V四、自我检测1. 已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ，则0x 的取值范围为________.(1,0)(0,2)-U2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为.3. 已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则实数m 的最大值为 .4. 已知圆O 的方程是2220x y +-=，圆O '的方程是228100x y x +-+=，若由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 .5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22220x y x y ++-=，直线l ：(1)0m x y m +--=经过定点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若PA，则直线l斜率的取值范围是．⎡⎣6. 如图，已知圆O：x2+y2=1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M是劣弧AC（点A、C除外）上任一点．直线AM与BC交于点P，直线CM与x轴交于点N，设直线PM，PN的斜率分别为m，n．（1）当四边形ABCM的面积最大时，求直线AM的斜率；（2）求m-2n的值；（3）试探究直线PN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．。

2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练

12020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一倾斜角与斜率例1 直线l310y +-=，则直线l 的倾斜角为（）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α．故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35ak a k CB AB +=-=∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y = 【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x ym m+=，代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+nym x 中要求m ，n 均非零。

故做题时应考虑此情形【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。

不要漏解。

题型三直线位置关系的判断例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（）A. 2-或1-B. 2或1-C. 2-或1D. 2或1 【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+= 化简为23201k k k -+=⇒= 或2 故选择D【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。

直线与圆知识点及经典例题(含答案)

圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。

说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。

可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()222D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆心，以2242D E F+-为半径的圆。

,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零；（2）没有xy 这样的二次项。

（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。

2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r 时，直线与圆相离；当d ＝r 时，直线与圆相切;当d<r 时，直线与圆相交。

高考数学复习考点题型专题讲解20 直线与圆

高考数学复习考点题型专题讲解专题20 直线与圆高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.1.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )A.1B. 2C.3D.2答案 B解析记点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为 2.故选B.2.(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )A.12B.－12C.1D.－1答案 A解析依题意可知圆心坐标为(a，0)，又直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以2a＋0－1＝0，所以a＝12，故选A.3.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，|PB|＝3 2D.当∠PBA最大时，|PB|＝3 2答案ACD解析设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，由题意知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，又4＋115<5＋1255＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，又115－4<1255－4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA 最小时，点P与N重合，|PB|＝|MB|2－|MN|2＝52＋（5－2）2－42＝32；当∠PBA 最大时，点P 与Q 重合，|PB |＝32，故C ，D 都正确.综上，选ACD. 4.(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________.答案 (x －2)2＋(y －3)2＝13或(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x －43)2＋(y －73)2＝659或(x －85)2＋(y －1)2＝16925解析依题意设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0. 若过(0，0)，(4，0)，(－1，1)，则⎩⎨⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－6，满足D 2＋E 2－4F ＞0，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －6y ＝0，即(x －2)2＋(y －3)2＝13；若过(0，0)，(4，0)，(4，2)，则⎩⎨⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－2，满足D 2＋E 2－4F ＞0，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5；若过(0，0)，(－1，1)，(4，2)，则⎩⎨⎧F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＝－83，E ＝－143，满足D 2＋E 2－4F ＞0，所以圆的方程为x 2＋y 2－83x －143y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝659；若过(－1，1)，(4，0)，(4，2)，则⎩⎨⎧1＋1－D ＋E ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝－165，D ＝－165，E ＝－2，满足D 2＋E 2－4F ＞0，所以圆的方程为x 2＋y 2－165x －2y －165＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －852＋(y －1)2＝16925.5.(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程________.答案 x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)解析如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0，0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3，4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称. 易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，由⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝43x 得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－43，由对称性可知公切线l 2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－43.设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，因为点O (0，0)到l 2的距离为1，所以1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －43k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直，设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t >0，因为点O (0，0)到l 3的距离为1，所以1＝|t |⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋（－1）2，解得t ＝54或t ＝－54(舍去)，所以公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0.热点一直线的方程及应用1.已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为零)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为零)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2.两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2(A 2＋B 2≠0). 3.点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(A 2＋B 2≠0). 例1 (1)已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A.4B.132C.21313D.71326(2)已知直线l 1：mx ＋y －1＝0，l 2：(2m ＋3)x ＋my －1＝0，m ∈R ，则“m ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B (2)A解析(1)由直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以两直线方程分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋72＝0，所以它们之间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪72－（－3）32＋22＝132.故选B.(2)若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，所以“m＝－2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选A.易错提醒 1.求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；求解两条直线平行问题时，要注意排除两条直线重合的情况.2.求两平行直线间的距离时，需注意直线方程中x，y对应的系数相等.训练1 (1)已知直线l1：x＋(2a－1)y＋2a－3＝0，l2：ax＋3y＋a2＋4＝0，则“l1∥l2”是“a＝32”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)(2022·南通模拟)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是( )A.x－2y＋2＝0B.2x－y－2＝0C.2x＋3y－18＝0D.2x－3y＋6＝0答案 (1)C (2)BC解析 (1)若l 1∥l 2，则a (2a －1)＝3，且a 2＋4≠a (2a －3)，解得a ＝32，所以充分性成立；当a ＝32时，l 1：x ＋2y ＝0，l 2：x ＋2y ＋256＝0，显然l 1∥l 2，所以必要性成立. 故“l 1∥l 2”是“a ＝32”的充要条件.(2)A ，B 在直线l 同侧时，k l ＝k AB ＝－2－24＋2＝－23，∴l ：y ＝－23(x －3)＋4，即2x ＋3y －18＝0，A ，B 在直线l 异侧时，l 过AB 中点M (1，0)，∴k l ＝0－41－3＝2，∴l ：y ＝2(x －3)＋4，即2x －y －2＝0，故选：BC.热点二圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.例2 (1)(多选)(2022·潍坊调研)设圆A ：x 2＋y 2－2x －3＝0，则下列说法正确的是( ) A.圆A 的半径为2B.圆A 截y 轴所得的弦长为2 3C.圆A 上的点到直线3x －4y ＋12＝0的最小距离为1D.圆A 与圆B ：x 2＋y 2－8x －8y ＋23＝0相离(2)(2022·全国甲卷)设点M 在直线2x ＋y －1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为________.答案 (1)ABC (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝5解析 (1)把圆A 的方程x 2＋y 2－2x －3＝0化成标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，所以圆A 的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A 正确；圆A 截y 轴所得的弦长|CD |＝2×4－1＝23，B 正确；圆心(1，0)到直线3x －4y ＋12＝0的距离为3，故圆A 上的点到直线3x －4y ＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C 正确；圆B ：x 2＋y 2－8x －8y ＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据（4－1）2＋42＝5可知，圆A 与圆B 外切，D 错误.故选ABC. (2)法一设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎨⎧2a ＋b －1＝0，（3－a ）2＋b 2＝r 2，a 2＋（1－b ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，r 2＝5，∴⊙M 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.法二设⊙M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则M (－D 2，－E2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2·（－D 2）＋（－E2）－1＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－3，∴⊙M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝5. 规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.训练2 (1)已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线y ＝2x 上，若点A 在直线x －y －4＝0的左上方且到该直线的距离等于2，则圆C 的标准方程为( ) A.(x －2)2＋(y ＋4)2＝4B.(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝16 C.(x －2)2＋(y －4)2＝4D.(x －2)2＋(y －4)2＝16(2)已知直线l 过点A (a ，0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A.32B.±3 2C.±2D.± 2 答案 (1)D (2)D解析 (1)∵圆C 的圆心在直线y ＝2x 上， ∴可设C (a ，2a )，又圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ， ∴a >0，且圆C 的半径r ＝2a ，A (a ，0). ∵点A 到直线x －y －4＝0的距离d ＝2， ∴d ＝|a －0－4|1＋1＝2，解得a ＝6或a ＝2， ∴A (2，0)或A (6，0)，又点A 在直线x －y －4＝0的左上方， ∴A (2，0)，∴C (2，4)，r ＝4，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝16.故选D. (2)因为直线l 过点A (a ，0)且斜率为1，所以其方程为y ＝x －a ，即x －y －a ＝0.因为圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，所以圆心到直线的距离为1，即|－a |2＝1，解得a ＝± 2.故选D. 热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离. 判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.考向1 直线与圆的位置关系例3 (1)(2022·北京石景山区二模)已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，过点D (1，2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则弦AB 长度的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A (－2，3)，B (0，a )，若直线AB 关于y ＝a 对称的直线与圆(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32解析 (1)根据题意圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径为3，点D (1，2)在圆C 的内部.当直线DC 垂直于直线l 时，即点D 为AB 的中点时，弦AB 最短. ∵|DC |＝（3－1）2＋（0－2）2＝22， ∴|AB |min ＝2r 2－|DC |2＝29－8＝2. 故选B.(2)法一由题意知点A (－2，3)关于直线y ＝a 的对称点为A ′(－2，2a －3)，所以k A ′B ＝3－a 2，所以直线A ′B 的方程为y ＝3－a2x ＋a ，即(3－a )x －2y ＋2a ＝0. 由题意知直线A ′B 与圆(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以|－3（3－a ）＋（－2）×（－2）＋2a |（3－a ）2＋（－2）2≤1，整理得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.法二易知(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1关于y 轴对称的圆的方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，由题意知该对称圆与直线AB 有公共点.直线AB 的方程为y ＝a －32x ＋a ，即(a －3)x －2y ＋2a ＝0，又对称圆的圆心为(3，－2)，半径为1，所以|3（a －3）＋（－2）×（－2）＋2a |（a －3）2＋（－2）2≤1，整理得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.法三易知(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1关于y 轴对称的圆的方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，由题意知该对称圆与直线AB 有公共点. 设直线AB 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋3＋2k ＝0，因为对称圆的圆心为(3，－2)，半径为1，所以|5k ＋5|k 2＋（－1）2≤1，解得－43≤k ≤－34，又k ＝a －32，所以－43≤a －32≤－34，解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.考向2 圆与圆的位置关系例4 (1)(2022·台州调研)已知圆O 1：x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0与圆O 2：x 2＋y 2＝4有且仅有两条公共切线，则正数a 的取值范围为( ) A.(0，1) B.(0，3) C.(1，3) D.(3，＋∞)(2)(多选)已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋2y －40＝0，则( )A.两圆相交B.公共弦长为410C.两圆相离D.公共弦长为210 答案 (1)C (2)AB解析 (1)由题意知圆O 1与圆O 2相交，圆O 1：x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0的圆心(a ，0)，半径为1.所以1<a 2<3，又a >0，解得a ∈(1，3)，故选C.(2)由题意知，圆C 1的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50， ∴圆心为C 1(5，5)，半径为r 1＝52，圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝50， ∴圆心为C 2(3，－1)，半径为r 2＝52， ∴两圆的圆心距d ＝（5－3）2＋[5－（－1）]2＝210， ∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴两圆相交，故选项A 正确，选项C 错误；设两圆的公共弦长为L ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫L 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＝r 2(r ＝r 1＝r 2)， ∴L ＝410，故选项B 正确，选项D 错误.故选AB.规律方法 1.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.2.两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.训练3(多选)(2022·武汉模拟)已知直线l：kx－y－k＋1＝0，圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝16，则下列选项正确的是( )A.直线l与圆一定相交B.当k＝0时，直线l与圆C交于两点M，N，点E是圆C上的动点，则△MNE面积的最大值为37C.当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为2 6D.若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48答案AC解析∵直线l：kx－y－k＋1＝0过定点P(1，1).又(1－2)2＋(1＋2)2＝10<16，∴点P在圆内，因此直线与圆一定相交，故A正确；当k＝0时，直线y＝1，代入圆的方程得(x－2)2＋(1＋2)2＝16，解得x＝2±7，因此|MN|＝27，∵圆心为(2，－2)，圆半径为r＝4，∴圆心到直线l的距离为d＝3，因此E到直线l的距离的最大值为h＝4＋3＝7，∴△MNE面积最大值为S＝12×7×27＝77，故B错误；当l与圆有两个交点M，N时，|MN|最小，PC⊥l，|PC|＝（1－2）2＋（1＋2）2＝10，因此|MN |min ＝242－（10）2＝26，故C 正确；在圆方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝16中分别令x ＝0和y ＝0可求得圆与坐标轴的交点坐标为A (2－23，0)，B (2＋23，0)，C (0，－2＋23)，D (0，－2－23)， ∴|AB |＝43，|CD |＝43，四边形ABCD 的面积为S ＝12×43×43＝24，故D 错误.故选AC. 热点四隐圆问题在解决某些解析几何问题时，题设条件看似与圆毫无关系，但通过对题目条件的分析、转化后，会发现此问题与圆有关，进而利用圆的性质解题，一般我们称之为隐圆问题. 例5(2022·济南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＝0与直线x ＋ky －2＝0相交于点P ，点A (4，0)，O 为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为( )A.2－3B.33 C.1 D. 3答案 B解析直线kx －y ＋2k ＝0恒过定点M (－2，0)，直线x ＋ky －2＝0恒过定点N (2，0)，又易知两直线垂直，故P 点轨迹是以(0，0)为圆心，2为半径的圆，除去与x 轴的交点，于是得x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，如图，观察图形可知，射线AP 绕点A 旋转∠OAP ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当旋转到与圆O ：x 2＋y 2＝4相切时，∠OAP 最大，因为|OA|＝4，AP′为切线，点P′为切点，|OP′|＝2，∠OP′A＝π2，则∠OAP′＝π6，所以∠OAP最大值为π6，所以(tan∠OAP)max＝tan π6＝33.规律方法确定隐圆的几种方法：(1)借助圆的定义；(2)借助距离的平方和为常数；(3)借助平面向量的数量积为定值；(4)借助距离比值为常数(PAPB＝λ，λ>0且λ≠1，动点P的轨迹为阿波罗尼斯圆).训练4 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________.答案[0，3]解析设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10可得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，即x2＋(y－1)2＝4，则点M在圆x2＋(y－1)2＝4上，由题目条件可知点M在圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，所以两圆相交或相切，则2－1≤（a－0）2＋（a－2－1）2≤1＋2，解得0≤a≤3.一、基本技能练1.过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )A.x－y＋1＝0B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0或x＋y－3＝0D.2x－y＝0或x－y＋1＝0答案 D解析当直线过原点时，满足题意，方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为xa＋y－a＝1，∵直线过(1，2)，∴1a－2a＝1，∴a＝－1，∴方程为x－y＋1＝0，故选D.2.已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：x＋3y－2＝0，则“r>3”是“直线l与圆C相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知圆心(0，0)到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|－2|1＋3＝1，当r>3时，直线与圆相交，当直线与圆相交，则d＝1<r，故“r>3”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件.故选A.3.(2022·厦门模拟)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋(2－2k)上存在一点P，使得|OP|＝2，则k的取值范围为( )A.[3－2，3＋2]B.(－∞，2－3]∪[2＋3，＋∞)C.[2－3，2＋3]D.(－∞，3－2]∪[3＋2，＋∞)解析点O (0，0)到直线l ：y ＝kx ＋(2－2k )的距离d ＝|2－2k |k 2＋1. 由题意得坐标原点到直线l 距离d ≤|OP |，所以|2－2k |k 2＋1≤2，解得2－3≤k ≤2＋3，故k 的取值范围为[2－3，2＋3]，故选C.4.(2022·北京海淀区一模)已知直线l ：ax ＋by ＝1是圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的一条对称轴，则ab 的最大值为( )A.14B.12 C.1 D. 2 答案 A解析圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的圆心为(1，1)，直线l ：ax ＋by ＝1是圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的一条对称轴. 可得a ＋b ＝1，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号.所以ab 的最大值为14，故选A.5.(2022·西安模拟)过点P (5，1)作圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的割线l 交圆C 于A ，B 两点，点C 到直线l 的距离为1，则PA →·PB →的值是( ) A.32 B.33 C.6 D.不确定解析由题意，可得向量PA →与PB →共线且方向相同，圆C 的圆心为(－1，2)，半径为2，如图所示，其中PD 为切线，根据切割线定理，则PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|＝|PD →|2＝|PC →|2－|CD →|2＝62＋12－22＝33.故选B.6.(2022·广州二模)已知直线x ＋y ＋1＝0与x ＋2y ＋1＝0相交于点A ，过点A 的直线l 与圆M ：x 2＋y 2＋4x ＝0相交于点B ，C ，且∠BMC ＝120°，则满足条件的直线l 的条数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析由题意得点A (－1，0)，圆M ：x 2＋y 2＋4x ＝0的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心(－2，0)，半径r ＝2，由∠BMC ＝120°，可得圆心M 到直线l 的距离d ＝1，直线l 过点A (－1，0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，圆心M 到直线l 的距离d ＝1，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. 圆心M (－2，0)到直线l 的距离d ＝|－2k －0＋k |k 2＋1＝|－k |k 2＋1＝1，此方程无解.故满足条件的直线l 的条数为1，故选B.7.已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为( )A.(y－1)2－x2＝65B.x2－(y－1)2＝65C.y2－(x＋1)2＝65D.(x＋1)2－y2＝65 答案 D解析设动圆圆心P(x，y)，半径为r，则P到l1的距离d1＝|2x－3y＋2|13，P到l2的距离d2＝|3x－2y＋3|13，因为l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.∴2r2－d21＝26，2r2－d22＝24，化简后得r2－d21＝169，r2－d22＝144，相减得d22－d21＝25，将d1，d2代入距离公式后化简可得(x＋1)2－y2＝65，故选D.8.(2022·江门模拟)已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n ＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A.[3－1，23＋1]B.[2－1，32＋1]C.[2－1，22＋1]D.[2－1，33＋1]答案 B解析依题意，直线l1：m(x－3)－n(y－1)＝0恒过定点A(3，1)，直线l2：n(x－1)＋m(y－3)＝0恒过定点B(1，3)，显然直线l1⊥l2，因此，直线l1与l2交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆心N(2，2)，半径r2＝2，而圆C 的圆心C (0，0)，半径r 1＝1，如图：|NC |＝22>r 1＋r 2，所以两圆外离，由圆的几何性质得： |PM |min ＝|NC |－r 1－r 2＝2－1， |PM |max ＝|NC |＋r 1＋r 2＝32＋1，所以|PM |的取值范围是[2－1，32＋1].故选B.9.(多选)已知直线l 1：(a ＋1)x ＋ay ＋2＝0，l 2：ax ＋(1－a )y －1＝0，则( ) A.l 1恒过点(2，－2)B.若l 1∥l 2，则a 2＝12C.若l 1⊥l 2，则a 2＝1D.当0≤a ≤1时，直线l 2不经过第三象限答案 BD解析 l 1：(a ＋1)x ＋ay ＋2＝0⇔a (x ＋y )＋x ＋2＝0，令⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，即直线恒过点(－2，2)，故A 不正确；若l 1∥l 2，则有(a ＋1)(1－a )＝a 2，解得a 2＝12，经检验满足条件，故B 正确；若l 1⊥l 2，则有a (a ＋1)＋a (1－a )＝0，解得a ＝0，故C 不正确；若直线l 2恒过点(1，1)且不经过第三象限，则当1－a ≠0时，a a －1<0，解得0<a <1，当a＝1时，直线l2：x＝1，也不过第三象限，当a＝0时，直线l2：y＝1，也不过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限，故D正确.10.(多选)(2022·全国名校大联考)如图，O为坐标原点，B为y轴正半轴上一点，矩形OABC为圆M的内接四边形，OB为直径，|OC|＝3|OA|＝3，过直线2x＋y－4＝0上一点P作圆M的两条切线，切点分别为E，F，则下列结论正确的是( )A.圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1B.直线AB的斜率为2C.四边形PEMF的最小面积为2D.PA→·PC→的最小值为4 5答案AD解析由题意可得圆M的直径|OB|＝2，线段OB的中点即为圆M的圆心，所以圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1，故A正确；易知∠AOB＝π3，从而可得∠xOC＝π3，所以直线OC的斜率为k OC＝tan π3＝3，由AB∥OC可得直线AB的斜率为k AB＝k OC＝3，故B错误；连接PM，可得Rt△PME≌Rt△PMF，所以四边形PEMF的面积为S＝2S Rt△PME＝|ME|·|PE|＝|PE|＝|PM|2－1，当直线PM与直线2x＋y－4＝0垂直时，|PM|最小，即|PM |min ＝|2×0＋1－4|5＝355，所以S min ＝255，故C 错误；因为PA →·PC →＝(PM →＋MA →)·(PM →＋MC →)＝(PM →＋MA →)·(PM →－MA →)＝PM →2－MA →2＝PM →2－1≥95－1＝45，故D 正确.故选AD.11.(2022·辽宁六校联考)已知直线l 1：y ＝(2a 2－1)x －2与直线l 2：y ＝7x ＋a 平行，则a ＝________. 答案 2解析∵两直线平行，∴⎩⎨⎧2a 2－1＝7，a ≠－2，解得a ＝2. 12.过点M (0，－4)作直线与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相切于A ，B 两点，则直线AB 的方程为________. 答案x －7y ＋18＝0解析圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，圆心为C (－1，3)，半径为2，由圆的切线的性质可得MA ⊥AC ，则|MA |＝|MC |2－22＝（－1－0）2＋（3＋4）2－22＝46，所以，以点M 为圆心、以|MA |为半径的圆M 的方程为x 2＋(y ＋4)2＝46，将圆M 的方程与圆C 的方程作差并化简可得x －7y ＋18＝0. 因此直线AB 的方程为x －7y ＋18＝0. 二、创新拓展练13.(多选)(2022·青岛质检)已知圆C1：(x－3)2＋(y－1)2＝4，C2：x2＋(y＋3)2＝1，直线l：y＝k(x－1)，点M，N分别在圆C1，C2上.则下列结论正确的有( )A.圆C1，C2没有公共点B.|MN|的取值范围是[1，7]C.过N作圆C1的切线，则切线长的最大值是4 2D.直线l与圆C1，C2都有公共点时，k≥2 3答案AC解析圆C1的圆心C1(3，1)，半径r1＝2，圆C2的圆心C2(0，－3)，半径r2＝1.对于选项A，圆心距d＝（0－3）2＋（－3－1）2＝5>r1＋r2，所以圆C1，C2外离，选项A正确；对于选项B，|MN|的最小值为d－(r1＋r2)＝2，最大值为d＋(r1＋r2)＝8，选项B错误；对于选项C，连接C1C2与圆C2交于点N(外侧交点)，过N作圆C1的切线，切点为P，此时|NP|最长，在Rt△C1PN中，|NP|＝（d＋r2）2－r21＝62－22＝42，选项C正确；对于选项D，直线l方程化为kx－y－k＝0，圆心C1到直线l的距离|2k－1|k2＋1≤2，解得k≥－3 4，圆心C2到直线l的距离|3－k|k2＋1≤1，解得k≥43，所以直线l与圆C1，C2都有公共点时，k≥43，选项D错误.故选AC.14.(多选)(2022·武汉模拟)过点P(1，1)的直线与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且|MN|＝42，则( )A.△ABC面积的最大值为92B.△ABC面积的最大值为14C.|AB|的最小值为27D.|PM→＋PN→|的最小值为22－2 答案BCD解析设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得0≤d≤2，|AB|＝29－d2，则S△ABC＝12|AB|·d＝12×29－d2·d＝9d2－d4＝－⎝⎛⎭⎪⎫d2－922＋814，当d2＝2时，(S△ABC)max＝14，故A错误，B正确；由0≤d≤2，|AB|＝29－d2知|AB|min＝29－2＝27，C正确；过圆心C作CE⊥MN于点E，则点E为MN的中点，又|MN|＝42，则|CE|＝9－8＝1，即点E的轨迹为圆(x－2)2＋y2＝1.因为|PM→＋PN→|＝2|PE→|，且|PE→|min＝|PC|－1＝2－1，所以|PM→＋PN→|的最小值为22－2，故D正确.因此应选BCD.15.(多选)(2022·南通调研)P是直线y＝2上的一个动点，过点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则( )A.弦长|AB|的最小值为3B.存在点P，使得∠APB＝90°C.直线AB经过一个定点D.线段AB的中点在一个定圆上答案ACD解析依题意|OP |2＝|AP |2＋|AO |2＝|AP |2＋1，设AB ∩OP ＝C ，则C 为AB 的中点，且OP ⊥AB ，所以|AC |＝|AP |·|AO ||OP |＝|AP ||OP |，所以|AB |＝2|AC |＝2|OP |2－|AO |2|OP |＝21－1|OP |2，sin∠APB 2＝|OA ||OP |＝1|OP |，又|OP |∈[2，＋∞)，所以sin∠APB 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，|AB |∈[3，2)，所以|AB |min ＝3，(∠APB )max＝60°，故A 正确，B 不正确；设P (t ，2)，则|OP |＝t 2＋4，所以以OP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －t 22＋(y －1)2＝14t 2＋1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22＋(y －1)2－(x 2＋y 2)＝14t 2＋1－1，即tx ＋2y ＝1，则直线AB 的方程为tx ＋2y＝1，所以直线AB 过定点M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，故C 正确；又OC ⊥MC ，|OM |＝12，所以AB 的中点C 在以OM 为直径的圆上，故D 正确；故选ACD.16.在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝1交x 轴于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，若直线x ＋3y ＋m ＝0上存在点P ，使得|PA |＝2|PB |，则实数m 的取值范围为________. 答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤－133，1解析由题意得A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y )，则由|PA |＝2|PB |，得（x ＋1）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2，即⎝⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169，因此圆⎝⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169与直线x ＋3y ＋m ＝0有交点，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪53＋m 2≤43，解得－133≤m ≤1.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－133，1.17.在平面直角坐标系xOy 中，过点A (0，－3)的直线l 与圆C ：x 2＋(y －2)2＝9相交于M ，N 两点，若S △AON ＝65S △ACM ，则直线l 的斜率为________.答案 ±3147解析由题意得C (0，2)，直线MN 的斜率存在，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为y ＝kx －3，与x 2＋(y －2)2＝9联立，得(k 2＋1)x 2－10kx ＋16＝0，Δ＝100k 2－64(k 2＋1)＝36k 2－64>0，得k 2>169，x 1＋x 2＝10k k 2＋1，x 1x 2＝16k 2＋1. 因为S △AON ＝65S △ACM ，所以12×3×|x 2|＝65×12×|2－(－3)|×|x 1|，则|x 2|＝2|x 1|，于是x 2＝2x 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝10kk 2＋1，2x 21＝16k 2＋1两式消去x 1得k 2＝187，满足Δ>0，所以k ＝±3147. 18.(2022·浙江五校联考)已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －2)2＝1，则z ＝2x ＋yx 2＋y 2的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，115 解析方程(x －1)2＋(y －2)2＝1表示的是以C (1，2)为圆心，1为半径的圆，圆心C (1，2)在直线2x ＋y ＝0上方，且可知2x ＋y >0.设圆C 上任意一点P (x ，y )，过点P 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足为H ，则z ＝2x ＋y x 2＋y 2＝5|2x ＋y |5x 2＋y 2＝5|PH ||OP |＝5sin∠POH .设过坐标原点的切线为y ＝kx ，由|k －2|k 2＋1＝1可得k＝34，所以该圆过坐标原点的切线方程为x ＝0和y ＝34x ，两个切点分别为P 1(0，2)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65，且∠POH <π2，所以当P (x ，y )在点P 1(0，2)时， sin∠POH 最小，此时z min ＝1；当P (x ，y )在点P 2⎝⎛⎭⎪⎫85，65时，sin∠POH 最大，此时z max ＝115，所以z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，115.。

高考数学专题01 直线与圆相结合问题(第五篇)(解析版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题01 直线与圆相结合问题【典例1】【天津市杨村第一中学2020届高三月考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M ，N 两点，直线1A M 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若1A MN ∆的外接圆在M 处的切线与椭圆交另一点于D ，且2F MD ∆的面积为127，求椭圆的方程. 【思路引导】（Ⅰ）先求出左顶点为1A ，右焦点为2F 的坐标，由题意求出M 的坐标，由斜率公式，根据直线1A M 的斜率为12，这样可以求出椭圆的离心率；（Ⅱ）由（Ⅰ）,可设出2222143x y c c +=，设1A MN ∆的外接圆的圆心坐标为(,0)T t ，由1||||TA TM =，得2229(2)()4t c t c c +=-+，求得8ct =-，求得切线方程，代入椭圆方程，求出MD ,利用点到直线距离和三角形面积公式，代入可求出，求出c 的值，求得椭圆方程.【详解】（Ⅰ）由题意可知：12(,0),(,0)A a F c -，设(,)M x y ，由题意可知：M 在第一象限，且22221x c x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，2,b M c a ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，2221()2b ac a c a a c a a c a --∴===++，2a c ∴=12c e a ∴==；（Ⅱ）由（Ⅰ）, 22222243b a c c c c =-=-=，，所以椭圆方程为：2212231,,,(2,0)432x y M c c A c c c ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，设1A MN ∆的外接圆的圆心坐标为(,0)T t ，由1||||TA TM =，得2229(2)()4t c t c c +=-+，求得8ct =-，34238TMck c c ∴==+，切线斜率为：34k =-，切线直线方程为33()24y c x c -=--，即3490x y c +-=代入椭圆方程中,得22718110x cx c -+=，2222184711160c c c ∆=-⨯⨯=>，1115,714D Dc c x y ==，5||7c MD ∴===， 2F 到直线MD 的距离|39|655c c c d -==，2F MD ∆的面积为1||2S MD d =⋅，所以有 212156372757c c c =⨯⨯=，24c ∴=，椭圆方程为：2211612x y +=. 【典例2】【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试】在平面直角坐标系xOy 中，过点(01)P ,且互相垂直的两条直线分别与圆O ：224x y +=交于点A ，B ，与圆M ：22(2)(1)1x y -+-=交于点C ，D ．（1）若AB =CD 的长；（2）若CD 中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．【思路引导】（1）先由AB 的长度求出圆心O 到直线AB 的距离，列方程求出直线AB 的斜率，从而得到直线CD 的斜率，写出直线CD 的方程，用垂径定理求CD 得长度；（2）△ABE 的面积1S AB PE 2=⋅，先考虑直线AB 、CD 平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出AB ，再在△PME 中用勾股定理求出PE ，将面积S表示成直线AB 斜率k 的函数式，再求其范围.解：（1）因为ABO 半径为2 所以点O 到直线AB 的距离为14显然AB 、CD 都不平行于坐标轴可设AB ：y kx 1=+，即kx y 10-+= 则点O 到直线AB的距离1d 4==，解得k =因为AB ⊥CD ，所以1k CD k=- 所以CD ：1y x 1k=-+，即x ky k 0+-= 点M （2,1）到直线CD的距离1d 2=='所以CD ===（2）当AB ⊥x 轴，CD ∥x 轴时，此时AB=4，点E 与点M 重合，PM=2，所以△ABE 的面积S=4 当AB ∥x 轴，CD ⊥x 轴时，显然不存在，舍当AB 与CD 都不平行于坐标轴时由（1）知AB ===因为d'1=≤，所以23k ≥因为点E 是CD 中点，所以ME ⊥CD ，所以PE ===所以△ABE的面积1S AB PE 2=⋅= 记21t 1k =+，则10t 4<≤则S 4⎫==⎪⎪⎣⎭综上所述：S 4⎤∈⎥⎣⎦【典例3】【广东省广州市普通高中毕业班2020届高三月考】在平面直角坐标系中，动点M 分别与两个定点()2,0A -，()2,0B 的连线的斜率之积为12-. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设过点()1,0-的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，判断直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 【思路引导】（1）根据直接法求轨迹方程，（2）先用坐标表示以线段PQ 为直径的圆方程，再根据圆心到直线52x =-距离与半径大小进行判断. 【详解】（1）设动点M 的坐标为(),x y ，因为2MA yk x =+()2x ≠-，2MB y k x =-()2x ≠，所以1222MA MBy y k k x x =⨯=-+-，整理得22142x y +=．所以动点M 的轨迹C 的方程22142x y +=()20x y ≠±≠或．（2）过点()1,0-的直线为x 轴时，显然不合题意．所以可设过点()1,0-的直线方程为1x my =-，设直线1x my =-与轨迹C 的交点坐标为P ()11,x y ，()22,Q x y ，由221,1,42x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222230m y my +--=．因为()()2221220m m ∆=-++>，由韦达定理得1y +2y =222m m +，1y 2y =232m -+．注意到1x +2x =()122422m y y m -+-=+．所以PQ 的中点坐标为222,22m N m m -⎛⎫⎪++⎝⎭．因为12PQ y y =-== 点N 到直线52x =-的距离为()22252562222m d m m +=-=++．因为2d -()24222920120442PQ m m m ++=>+，即d >2PQ ，所以直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离．1.【江西省南昌市2020届高三检测】如图，已知圆1F 的方程为2249(1)8x y ++=，圆2F 的方程为221(1)8x y -+=，若动圆M 与圆1F 内切与圆2F 外切．()1求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；()2过直线2x =上的点Q 作圆22:2O x y +=的两条切线，设切点分别是,M N ，若直线MN 与轨迹C 交于,E F 两点，求EF 的最小值．【思路引导】（Ⅰ）设动圆M 的半径为r ，由题动圆M 与圆1F 内切，与圆2F 外切，则12122MF MF F F +=>=，由此即可得到动圆圆心M 的轨迹是以12,F F为焦点，长轴长为的椭圆，进而得到动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线2x =上任意一点Q 的坐标是()2,t ，切点,M N 坐标分别是()33,x y ，()44,x y ；则经过M 点的切线斜方程是332x x y y +=，同理经过N 点的切线方程是442x x y y +=，又两条切线MQ ，NQ 相交于Q ()2,t .可得经过,M N 两点的直线l 的方程是22x ty +=，对t 分类讨论分别求出|EF 的值，即可得到EF 的最小值. 【详解】（Ⅰ）设动圆M 的半径为r ，∵动圆M 与圆1F 内切，与圆2F 外切，∴14MF r =-，且24MF r =+.于是，12122MF MF F F +=>=，所以动圆圆心M 的轨迹是以12,F F为焦点，长轴长为.从而，1a c ==，所以1b =.故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设直线2x =上任意一点Q 的坐标是()2,t ，切点,M N 坐标分别是()33,x y ，()44,x y ；则经过M 点的切线斜率33x k y =-，方程是332x x y y +=，经过N 点的切线方程是442x x y y +=，又两条切线MQ ，NQ 相交于Q ()2,t .则有33442222x ty x ty +=⎧⎨+=⎩，所以经过,M N 两点的直线l 的方程是22x ty +=，①当0t =时，有()1,1M ，()1,1N -，1,2E ⎛ ⎝⎭，1,2F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则EF = ②当0t ≠时，联立222212x ty x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222816820t x x t +-+-=；设,E F 坐标分别为()55,x y ，()66,x y ，则5622562168828x x t t x x t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以)2248t EF t +===>+ 综上所述，当时，EF 有最小值2．2.【2020届陕西省西北工业大学附属中学高三月考】已知抛物线()21:20C x py p =>和圆()222:12C x y ++=，倾斜角为45°的直线1l 过抛物线1C 的焦点，且1l 与圆2C 相切．（1）求p 的值；（2）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+u u u u r u u u r u u u r．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．【思路引导】（1）设出直线1l 的方程为2py x =+，由直线和圆相切的条件：d r =，解得p ；（2）设出(,3)M m -，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；解：（1）依题意设直线1l 的方程为2py x =+，由已知得：圆222:(1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -，半径r =因为直线1l 与圆2C 相切，所以圆心到直线1:2pl y x =+的距离d ==，=6p =或2p =-（舍去）．所以6p =；（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，所以212x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+．令0x =，211111111266y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，所以11(,3)MA x m y =-+u u u r ，1(,3)MB m y =--+u u u r，∴()12,6MN MA MB x m =+=-u u u u r u u u r u u u r， ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-u u u ru u u u ru u u u r．设N 点坐标为(,)x y ，则3y =，所以点N 在定直线3y =上． 3.【重庆市巴蜀中学2020届高三月考】已知圆C 过点()()3153A B ，，，，圆心在直线y x =上. （1）求圆C 的方程；（2）过圆O 1：22(1)1x y ++=上任一点P 作圆C 的两条切线，切点分别为Q ，T ，求四边形PQCT 面积的取值范围. 【思路引导】（1）根据条件设圆的方程为()222()x a y a r -+-=，由题意可解得3,2a r ==，于是可求得圆的方程．（2）根据几何知识可得22PQCT PQC S S PQ ==，故将所求范围的问题转化为求切线长的问题，然后根据切线长的求法可得结论．详解：（1）由题意设圆心为(),C a a ，半径为r ，则圆的标准方程为()222()x a y a r -+-=．由题意得()()222222(3)1(5)3a b r a b r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得32a r =⎧⎨=⎩，所以圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=．（2）由圆的切线的性质得122(2)22PQCT PQCS S PQ PQ==⨯⨯=而PQ =由几何知识可得1111CQ PC CQ -≤≤+，又15CQ =，所以46PC ≤≤，故PQ ≤≤所以PQCT S ≤≤即四边形PQCT 面积的取值范围为⎡⎣．。

(完整版)直线与圆题型总结

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点 2、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2; (2)被x 轴分成两段弧, 求圆心到直线I : x 2y 0的距离最小的圆的方程.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1已知圆O : x 2 y 2 4，求过点P 2,4与圆0相切的切线.2两圆C 1: x 2 y 2D 1xE 1 yF 1 0与C 2: x 2 y 2 D 2x E 2y F 2 0相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程.3、过圆x 2 y 2 1外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线 MA 、MB ，切点分别是 A 、B ，求直线AB 的方程。

练习：2 2 1•求过点 M(3,1)，且与圆(x 1) y4相切的直线I 的方程 __________________ 2 2 52、过坐标原点且与圆 x y 4x 2y 0相切的直线的方程为 _________22 2 3、已知直线5x 12y a 0与圆x 2x y 0相切，则a 的值为 _________________________ .类型三：弦长、弧问题2 21、求直线I : 3x y 6 0被圆C : x y 2x 4y 0截得的弦AB 的长 ________________________________2、直线 3x y 2 3 0截圆x 2 y 2 4得的劣弧所对的圆心角为 _________________________3、求两圆x 2 y 2 x y 2 0和x 2 y 2 5的公共弦长 __________________________类型四：直线与圆的位置关系 I1、若直线y x m 与曲线y 4 x 2有且只有一个公共点，实数 m 的取值范围 _________________________________4、若直线y kx 2与圆(x 2)2 (y 3)2 1有两个不同的交点，贝U k 的取值范围是 ________________________ .5、圆x 2 y 2 2x 4y 3 0上到直线x y 1 0的距离为 2的点共有().(A ) 1 个 (B ) 2 个 (C ) 3 个(D ) 4 个2 2 6、过点P 3, 4作直线l ，当斜率为何值时，直线I 与圆C: x 1 y 24有公共点类型五：圆与圆的位置关系2 2 2 2 1、判断圆C 1 : xy 2x 6y 26 0与圆C 2 : x y 4x 2y 4 0的位置关系 ___________________________________2 2 2 2 P(2,4)与圆的其弧长的比为3:1 ,在满足条件(1)(2)的所有圆中,2 圆(x 3)2 (y 3)29上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有_________ 个？ 2 2 3、直线 x y 1 与圆 x y 2ay 0 (a 0)没有公共点，则a 的取值范围是 __________2圆x y 2x 0和圆x y 4y 0的公切线共有___________________________条。

2020年高考数学分类汇编：直线与圆

2020年高考数学分类汇编：直线与圆一、单选题1．【2020年新课标Ⅲ卷文科】点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．21．B 【解析】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||2AP =.故选B ．2．【2020年) 新课标皿卷理科)】若直线l 与曲线y =x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +122．D 【解析】设直线l 在曲线y x =上的切点为()00,x x ，则00x >，函数y x =的导数为2y x'=，则直线l 的斜率02k x =，设直线l 的方程为()0002y x x x x -=-，即0020x x y x -+=，由于直线l 与圆2215x y +=相切，则00145x =+，两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选D. 3．【2020年新课标I 卷文理科)】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）A ．5B ．25C ．35D ．453．B 【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==；圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为2255d -==所以，圆心到直线230x y --=25.故选B. 4．【2020年新课标I 卷理科】已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++= 4．D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2221125221d ⨯++==>+，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而 24PA MP =-，当直线MP l ⊥时，min 5MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选D.5．【2020年新课标I 卷文科】已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．B 【解析】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP =-+-=．根据弦长公式得最小值为229||2982CP -=-=.故选：B.6．【2020年北京卷】已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）． A ．4B ．5C ．6D ．76．A 【解析】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.二、填空题7．【2020年江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________． 7．105PA PB PC AB =∴⊥，设圆心C 到直线AB 距离为d ，则231||=236,||144AB d PC -=+=，所以2221236(1)(36)(1)2PABSd d d d ≤⋅-+=-+222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）．当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为1058．【2020年天津卷】已知直线380x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．8．5【解析】因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4d ==，由||AB =6==5r ．三、双空题9．【2020年浙江卷】设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．93-【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.。

直线与圆知识点总结及例题

直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角.当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0；2倾斜角的范围[)π,0.如1直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____答：5[0][)66，，πππ；倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.2过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______答：42≥-≤m m 或2、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k ＝tan αα≠90°；倾斜角为90°的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；3直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系4应用：证明三点共线： AB BC k k =.如1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件答：既不充分也不必要；2实数,x y满足3250x y --= 31≤≤x ,则x y 的最大值、最小值分别为______答：2,13-3、直线的方程：1点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.直线的斜率0=k 时,直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为1x x =.2斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线.3两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为121121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴的直线.若要包含倾斜角为00或090的直线,两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.4截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.5一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=A,B 不同时为0的形式.如1经过点2,1且方向向量为v=－1,3的直线的点斜式方程是___________答：12)y x -=-；2直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=,不管m 怎样变化恒过点______答：(1,2)--；3若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点,则a 的取值范围是_______答：1a > 提醒：1直线方程的各种形式都有局限性.如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢；2直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条答：34.设直线方程的一些常用技巧：1知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+；2知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+它不适用于斜率为0的直线；3知直线过点00(,)x y ,当斜率k 存在时,常设其方程为00()y k x x y =-+,当斜率k 不存在时,则其方程为0x x =；4与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；5与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：1点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；2两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：1平行⇔12210A B A B -=斜率且12210B C B C -≠在y 轴上截距；2相交⇔12210A B A B -≠；3重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.提醒：1 111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222A B C A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件为什么2在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；3直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直⇔12120A A B B +=.如1设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=,当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合答：－1；12；31且m m ≠≠-；3；2已知直线l 的方程为34120x y +-=,则与l 平行,且过点—1,3的直线方程是______答：3490x y +-=；3两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限,则实数a 的取值范围是____答：12a -<<；4设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长,则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是____答：垂直；5已知点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点,222(,)P x y 是直线l 外一点,则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____答：平行；6直线l 过点１,０,且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9,则直线l 的方程是________答：43401x y x +-==和7、特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：1当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行；2当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直．8、对称中心对称和轴对称问题——代入法：如1已知点(,)M a b 与点N x轴对称,点P 与点N y 轴对称,点Q 与点P 直线0x y +=对称,则点Q 的坐标为_______答：(,)b a ；3点Ａ４,５直线l 的对称点为Ｂ－2,7,则l 的方程是_________答：3y=3x ＋；4已知一束光线通过点Ａ－３,５,经直线l :3x －4y+4=0反射.如果反射光线通过点Ｂ２,15,则反射光线所在直线的方程是_________答：18x 510y -=＋；5已知ΔABC 顶点A3,－１,ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0,∠B 的平分线所在的方程为x －4y+10=0,求ＢＣ边所在的直线方程答：29650x y +-=；6直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ,它与两定点Ａ4,－1、Ｂ3,4的距离之差最大,则Ｐ的坐标是______答：5,6；7已知A x ∈轴,:B l y x ∈=,C2,1,ABC 周长的最小值为______答：提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.9.1直线过定点.如直线3m+4x+5-2my+7m-6=0,不论m 取何值恒过定点-1,22直线系方程1与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法: Ax+By+m=0 m ≠C2 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法:Bx-Ay+m=03经过直线1l ∶1A x+1B y+1C =0,2l ∶2A x+2B y+2C =0交点的直线设法：1A x+1B y+1C +λ2A x+2B y+2C =0λ为参数,不包括2l3对称 1点点对称中点坐标公式2线点对称转化为点点对称,或代入法,两条直线平行3点线对称点和对称点的连线被线垂直平分,中点在对称轴上、kk’=-1二个方程4线线对称求交点,转化为点线对称10、圆的方程：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>,特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --,半径为的圆二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么 0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->；⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+θ为参数,其中圆心为(,)a b ,半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤≤.⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如1圆C 与圆22(1)1x y -+=直线y x =-对称,则圆C 的方程为____________答：22(1)1x y ++=；2圆心在直线32=-y x 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ；3已知(P -是圆{cos sin x r y r θθ==θ为参数,02)θπ≤<上的点,则圆的普通方程为________,P 点对应的θ值为_______,过P 点的圆的切线方程是___________答：224x y +＝；23π；40x -+=；4如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是____答：0,2；5方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆,则实数k 的取值范围为____答：21<k ；6若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===θ为参数,0)}θπ<<,{}b x y y x N +==|),(,若φ≠N M ,则b 的取值范围是_________答：(－11、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>,1点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；2点M 在圆C 内⇔ ()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；3点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=.如点P5a+1,12a 在圆x －１２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______答：131||<a12、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-= ()0r >有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：1代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；2几何方法比较圆心到直线的距离与半径的大小：设圆心到直线的距离为d ,则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切.提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.如1圆12222=+y x 与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠k π+,)k z ∈的位置关系为____答：相离；2若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -,则ab 的值____答：2；3直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于答：4一束光线从点A －1,1出发经x 轴反射到圆C:x-22+y-32=1上的最短路程是答：4；5已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内一点,现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=,则A ．//m l ,且l 与圆相交 B ．l m ⊥,且l 与圆相交C ．//m l ,且l 与圆相离D ．l m ⊥,且l 与圆相离答：C ；6已知圆C ：22(1)5x y +-=,直线L ：10mx y m -+-=.①求证：对m R ∈,直线L 与圆C总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点,若AB =求L 的倾斜角；③求直线L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. 答：②60或120 ③最长：1y =,最短：1x =13、圆与圆的位置关系用两圆的圆心距与半径之间的关系判断：已知两圆的圆心分别为12O O ，,半径分别为12,r r ,则1当1212|O O r r |>+时,两圆外离；2当1212|O O r r |=+时,两圆外切；3当121212<|O O r r r r -|<+时,两圆相交；4当1212|O O |r r |=|-时,两圆内切；5当12120|O O |r r ≤|<|-时,两圆内含.如双曲线22221x y a b-=的左焦点为F 1,顶点为A 1、A 2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为答：内切14、圆的切线与弦长：1切线：①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=,过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200()()()()x a x a y a y a R --+--=,一般地,如何求圆的切线方程抓住圆心到直线的距离等于半径；②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何方法抓住圆心到直线的距离等于半径来求；③过两切点的直线即“切点弦”方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆220x y Dx Ey F ++++=222()()x a y b R -+-=外一点00(,)P x y 所引圆的切线的长为如设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则P 点的轨迹方程为__________答：22(1)2x y -+=；2弦长问题：①圆的弦长的计算：垂径定理常用弦心距d ,半弦长12a及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2221()2r d a =+；②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆公共弦系为(,)(,)0f x y g x y λ+=,当1λ=-时,方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程..15.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等16. 圆的切线和圆系方程1．过圆上一点的切线方程：圆222r y x =+,圆上一点为00,y x ,则过此点的切线方程为0x x+ 0y y= 2r 课本命题．圆222r y x =+,圆外一点为00,y x ,则过此点的两条切线与圆相切,切点弦方程为200r y y x x =+.2．圆系方程：①设圆C1∶011122=++++F y E x D y x 和圆C2∶022222=++++F y E x D y x ．若两圆相交,则过交点的圆系方程为11122F y E x D y x +++++λ22222F y E x D y x ++++=0λ为参数,圆系中不包括圆C2,λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程．②设圆C ∶022=++++F Ey Dx y x 与直线l ：Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++22+λAx+By+C=0λ为参数．例题 1经过点P 2,m 和Q 2m ,5的直线的斜率等于12,则m 的值是 BA ．4B ．3C ．1或3D ．1或4变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--2. 已知直线l 过P －1,2,且与以A －2,－3、B3,0为端点的线段相交,求直线l 的斜率的取值范围．点评：要用运动的观点,研究斜率与倾斜角之间的关系答案： ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪5,＋∞ 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动CD 斜率k 的变化范围．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪5,＋∞ 1.求a 为何值时,直线l 1：a ＋2x ＋1－ay －1＝0与直线l 2：a －1x ＋2a ＋3y ＋2＝0互相垂直答案：a=-12.求过点P 1,－1,且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．答案：3x －2y －5＝0.例2.求过定点P 2,3且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．例3.已知△ABC 的顶点A 1,－1,线段BC 的中点为D 3,23．1求BC 边上的中线所在直线的方程；2若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9,求BC 所在直线的方程．例4.方程m 2－2m －3x ＋2m 2＋m －1y ＝2m －6满足下列条件,请根据条件分别确定实数m 的值．1方程能够表示一条直线；答案：m 1-≠2方程表示一条斜率为－1的直线．答案：m 2-=例5.直线l 的方程为a －2y ＝3a －1x －1a ∈R ．1求证：直线l 必过定点；答案：15,352若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程；答案：5x ＋5y －4＝0 3若直线l 不过第二象限,求实数a 的取值范围．答案：分斜率存在与不存在例1：求点A-2,3到直线 l :3x+4y+3=0的距离 d= . 例2：已知点a,2到直线l: x-y+1=0的距离为2,则a= . a ＜0例3:求直线 y=2x+3直线l : y=x+1对称的直线方程.类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．变式1：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且被直线0=y 平分的圆的标准方程. 变式2：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆上所有的点均直线0=y 对称的圆的标准方程.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例4 已知圆422=+y x O ：,求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上,∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴21422=++-k k .解得43=k ,所以()4243+-=x y ,即01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．类型三：弦长、弧问题例7、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长. 例8、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得,弦心距3=d ,故弦长2222=-=d r AB ,从而△OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB . 例9、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例10、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ,判断此直线与已知圆的位置关系.类型五：圆与圆的位置关系例13、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系,例14：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条. 类型六：圆中的最值问题例15：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是例16 1已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：,),(y x P 为圆O 上的动点,求22y x d +=的最大、最小值．2已知圆1)2(222=++y x O ：,),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值,求y x 2-的最大、最小值．例17：已知)0,2(-A ,)0,2(B ,点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动,则22PB PA +的最小值是 . 解：设),(y x P ,则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ,则325min =-=-=r OC OP ,∴22PB PA +的最小值为268322=+⨯.。

高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题

直线与圆的方程一、直线的方程 1、倾斜角：L α，范围0≤α＜π，若x l //轴或与x 轴重合时，α=00。

2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0⇔κ=0已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜02>⇔k πP 2（x 2,y 2）α=κπ⇔2不存在⇒k=1212x x y y -- 022<⇔<<κππ当1x =2x 时，α=900，κ不存在。

当0≥κ时，α=arctank ，κ＜0时，α=π+arctank 3、截距（略）曲线过原点⇔横纵截距都为0。

4、直线方程的几种形式已知方程说明几种特殊位置的直线斜截式 K 、bY=kx+b不含y 轴和行平于y 轴的直线 ①x 轴：y=0 点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含y 轴和平行于y 轴的直线 ②y 轴：x=0 两点式P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) 121121x x x x y y y y --=-- 不含坐标辆和平行于坐标轴的直线③平行于x 轴：y=b截距式a 、b1=+by a x 不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx一般式 Ax+by+c=0A 、B 不同时为0两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。

②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。

5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 0）特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴）（2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。

②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系（3）过L 1,L 2交点的直线系A 1x+B 1y+C 1+入（A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含L2） 6、三点共线的判定：①AC BC AB =+，②K AB =K BC ，③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。

2020年高考文科数学易错题《直线与圆》题型归纳与训练

故做题时应考虑此情形【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。

不要漏解。

2020年高考“直线和圆的方程”专题命题分析

高中数学解析几何中直线和圆的方程的主要内容包括直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等内容.直线和圆的方程是解析几何初步的主要内容，也是学生学习圆锥曲线的基础，同时又与平面几何、平面向量和三角函数等都有着内在联系.该部分内容的学习是学生运用平面直角坐标系将思维认识从一维到二维逐渐丰富的重要过程，同时也是将函数与方程两者融会贯通的过程.一、考点分析2020年高考数学试卷中直线和圆方程的试题注重考查主干知识，突出对学生能力和素养的考查，体现重思维、重应用、重创新的指导思想，除全国新高考试卷的题型有变化外，其他试卷题型基本稳定.直线和圆的方程的相关试题主要考查了圆的方程、直线与圆的位置关系判定、圆的切线方程、点到直线的距离、轨迹问题、利用圆求最值等内容.在考查中坚持基础与能力并重，保持几何与代数交会，突出运用坐标法研究图形几何性质的解析几何本色.基础题考查目标明确，立足于直线与圆的方程及其几何性质，考查解析几何的基本思想和方法；创新题立意新颖，聚焦轨迹问题、定值问题和最值问题等的动态变化研究.2020年高考数学试卷共13份，直线和圆的方程内容的考查情况如下表所示.卷别全国Ⅰ卷全国Ⅱ卷全国Ⅲ卷全国新高考Ⅰ卷全国新高考Ⅱ卷北京卷天津卷浙江卷上海卷江苏卷科别理文理文理文——————————————题型及题号分布选择题11，填空题15，解答题20选择题6，填空题15，解答题21选择题5，选择题8，解答题19选择题8，选择题9，解答题19选择题5，选择题10，解答题20选择题7，选择题8，解答题21填空题13，填空题15，解答题22填空题13，填空题15，解答题21选择题5，填空题12，解答题20选择题7，填空题12，解答题18填空题15，解答题21选择题10，解答题20填空题14，解答题18分值22222222222222222425212020统计表明，2020年直线和圆的方程的考查特点主要体现在以下四个方面.1.布局合理，分值稳定据统计，2020年高考数学试卷除选考内容外，所有试卷在考查直线和圆的方程这部分内容上分值大致相当，除浙江卷、上海卷、江苏卷外其余试卷均为两2020年高考“直线和圆的方程”专题命题分析收稿日期：2020-08-04作者简介：刘莉（1964—），女，副教授，主要从事高中数学课程、教学、评价研究.刘摘要：针对2020年高考数学试卷中直线和圆的方程相关试题，从考查内容、试题难度和思想方法等方面，总体概括考查特点.研究表明，2020年高考对直线和圆的方程的考查体现了解析几何数与形的基本关系，并在解决问题的方法使用上体现了数形结合思想的力量，利用一题多解，多层次、多角度考查了学生的必备知识、关键能力和核心素养.鉴于此，2021年高考要回归教材、突出思想、重视交会、提升素养.关键词：2020年高考；直线和圆；命题分析道选择题或填空题和一道解答题，且考点全面，重点突出，更侧重于对数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养的考查.例如，全国新高考Ⅰ卷第15题，先考查学生对平面图形的读图、识图能力,即直观想象素养；然后考查逻辑推理素养；最后的计算过程考查数学运算素养.2.重视能力，简洁清晰2020年高考数学试题中解析几何部分语言表述简洁清晰，有些题目还辅助图形加以说明，让学生能够将更多的时间和精力投入到数学思考之中.这部分内容的考查突出了代数与几何、方程与函数的转化与化归思想，重点考查了学生的推理论证、运算求解等能力.3.总体难度稳定，突出通性、通法2020年高考数学各试卷对直线和圆的方程部分的考查总体难度不大，考查内容比较稳定，具有考查全面，梯度清晰，降低运算，突出基础知识、基本思想和关键能力等特点.例如，全国Ⅱ卷理科卷的解析几何解答题，位置提到了第19题，明显降低了难度；全国Ⅰ卷和全国Ⅲ卷的解析几何解答题也是常规题型，注重通性、通法，运算量不大，充分体现了在立足于课程标准的基础上，突出重点知识、重要能力，注重对数学思想方法和关键能力进行考查.4.文、理科趋同，逐渐过渡综观2020年高考数学试卷中的直线和圆的方程试题，不难发现，在难度和分值的设置上，对应的文、理科试题都基本相同，即使有些试题不同，背景及考查的知识点也是同根同源，为新一轮高考不分文、理科的改革打下了良好的基础.二、命题思路分析对2020年高考数学的13份试卷中的直线和圆的方程的试题进行分类整理后，不难发现这部分试题紧扣知识点，没有难题、偏题，降低了运算难度，延续了“立足基础，重视思想，坚持创新”的命题思想.试题最大的亮点是既侧重对学生知识技能掌握情况的考查，更关注数学学科核心素养的形成与发展.1.突出主干，考查必备基础直线和圆是解析几何中最简单、最直观的研究对象之一，是学生初步尝试和体验解析几何思想与方法的最佳载体.直线与圆的方程是高中数学知识的重要组成部分，也是高考数学的考点之一，该部分知识相对简单，但应用较为广泛，对今后解决其他几何问题起着重要的作用.综观2020年高考数学试题，发现其特点是重视对本专题必备基础知识的考查，难度稳定，题目常规，突出基础性.例1（全国Ⅰ卷·理11）已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当||PM·||AB最小时，直线AB的方程为（）.（A）2x-y-1=0（B）2x+y-1=0（C）2x-y+1=0（D）2x+y+1=0【评析】该题考查学生比较熟悉的圆上动点到定直线的最短距离问题，设计巧妙，在问题的处理过程中需要用到转化与化归思想，既考查直线与圆的位置关系，也考查两圆的公共弦所在直线的方程.学生在解决问题的过程中，既可以利用平面几何知识将||PM·||AB转化成关于||PM的函数，进而利用函数的性质求出最小值，也可以利用四边形的对角线相互垂直，以四边形的面积为桥梁，得出面积取最小值时的点P位置，最后由两圆的公共弦所在直线的方程得到结论.充分体现了以能力立意的命题思想.例2（全国Ⅰ卷·文6）已知圆x2+y2-6x=0，过点()1，2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）.（A）1（B）2（C）3（D）4【评析】该题涉及最短弦长的问题，考查了直线恒过定点及圆弦长的最值等问题.需要学生根据直线恒过定点选择过这点和圆心垂直的弦，这样就可以求出答案.需要注意的是，在解决直线和圆的问题时，要充分利用数形结合思想.当然，该题也可以用函数思想直接求解，直接利用点到直线的距离公式，求出弦长，这样就将问题转化为函数最值问题，充分体现了试题设置的多元性和开放性.2.侧重转化与化归，突出能力立意数学学科的考试按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确定将知识、能力和素质融为一体，全面检测学生的数学素养.本专题对学生能力的考查重点是抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、文字语言与符号语言及图形语言的相互转化能力，要求学生能够灵活应用.例3（北京卷·5）已知半径为1的圆经过点()3，4，则其圆心到原点的距离的最小值为（）.（A）4（B）5（C）6（D）7【评析】该题表面看起来平淡无奇，实则蕴含着命题者的巧妙设计，解决该题需要学生具备数形结合思想、代数与方程思想、转化与化归思想.学生可以直接在坐标系中作出图形，通过直观感受得出答案；也可以设出圆心，建立圆的方程，再利用方程的几何意义，确定圆上的点到定点距离的最小值，这样问题就迎刃而解了.该题能有效考查学生是否能够灵活使用数形结合思想、代数法和几何法来解决问题.例4（浙江卷·15）已知直线y=kx+b()k>0与圆x2+y2=1和圆()x-42+y2=1均相切，则k的值为，b的值为.【评析】该题考查直线与圆的位置关系.在解题时，学生首先想到的是利用圆的半径和圆心到直线的距离作为突破口，这样就需要通过求解二元二次方程组来求解直线的斜率和截距，进而求得直线方程.另外，由题目可知两圆半径相等，可以借助几何直观发现直线与x轴的交点，再利用点到直线的距离等于半径即可求解.同时，直线的斜率也可以通过构建直角三角形来求解.该题可以从多个角度，利用多种方法求解，体现了命题者的人文关怀.3.聚焦核心素养，注重理性思维例5（全国Ⅲ卷·理20）已知椭圆C：x 225+y2 m2=1()0<m<5的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点.（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且||BP=||BQ，BP⊥BQ，求△APQ的面积.【评析】该题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解决第（2）小题，学生可以尝试作辅助线，然后从几何图形本身出发，利用三角形全等，求出点P和点Q的坐标，有效地考查了学生的平面几何功底.题目的设置也体现了平面解析几何中代数与几何的化归思想.该题还可以从代数角度出发来解决，因为已知||BP=||BQ，这就可以联想到圆，先运用三角函数和参数法，设出点Q的坐标，同理得出点P的坐标，再利用点P在椭圆上，求出点P的坐标.该题在命制时充分考虑到学生在数学关键能力上的个体差异，通过不同方法的选择和解题时间的长短来区分学生能力的差异，充分体现了让不同学生在数学上得到不同发展的教育目标.例6（江苏卷·14）在平面直角坐标系xOy中，已知Pèöø÷0，A，B是圆C：x2+æèöøy-122=36上的两个动点，满足PA=PB，则△PAB面积的最大值是.【评析】该题在2020年高考数学试题中可谓亮点突出，既体现了处理问题的不同思维模式，也体现了不同学生的认知差异，让所有学生都能从自身思维的最近发展区出发来作答.第一种思路，将面积表示成关于点到线距离的函数，再借助均值不等式或函数性质来求解，这种做法运算比较简单；第二种思路，由于对称性，将面积表示成关于角的函数，再利用导数求解最值；第三种思路，根据已知可以求出直线的斜率，设出直线方程，求出弦长及点到直线的距离，这样就构建了关于截距的函数，最后仍然要利用导数得出函数的增、减区间，进而求出函数的最值.4.坚持能力立意，突出选拔功能2020年高考直线和圆的方程内容从试题的立意、情境、设问三方面入手，确定能力考查目标，选择适宜的考查内容，设计恰当的设问方式，着重考查学生的运算求解能力、推理论证能力、阅读理解能力，以及应用意识和创新意识，以研究型、探究型、开放型、情境型问题形式呈现.例7（北京卷·20）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A()-2，-1，且a=2b.（1）求椭圆C的方程；（2）过点B()-4，0的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=-4于点P，Q.求||PB||BQ的值.【评析】该题考点涵盖直线方程、直线与直线的位置关系、直线与椭圆的位置关系，综合性很强，设计上充分考虑了各个层次的学生.第（1）小题是大部分学生都会解决的问题；第（2）小题是定值性问题，着重考查学生的运算求解能力及转化与化归思想，学生不难表示出两段线段的长度，但如果按题意直接处理，化简过程会很困难，因此应当先用特殊情况发现两点的纵坐标互为相反数，再利用解析思想，问题就迎刃而解了.该题具有较强的区分度，体现了高考对学生创新意识的考查，要求学生不仅能理解概念与定义，掌握定理与公式，更重要的是能够应用这些知识解决有一定深度和广度的问题.三、复习建议1.回归教材,夯实基础对基础知识的考查是高考的主体和核心,从历年的高考试题来看,高考试题源于教材而高于教材,如北京卷第5题、全国Ⅲ卷文科第8题等都是对教材上的习题稍作变形得到的，是比较常见的直线和圆的方程问题,考查了解析几何中非常基础且核心的动点的距离问题.但是从答题情况来看,学生对教材上的基础知识掌握不牢，不能灵活运用.因此，在日常教与学的过程中，师生一定要回归教材,重视对基础知识形成和发展过程的学习，重视对数学概念的理解、数学公式的变形及使用、数学定理与法则的推导，要善于挖掘教材例题和习题的价值.例如，点到直线的距离概念、直线与圆的位置关系判定、圆与圆的位置关系的推导过程等，高考中常考的最值问题等都源于这些知识的形成过程，复习时应该侧重思维，抓住其代数和几何的双重结构特点，优化解题方法.2.构建知识网络，完善认知结构在高三数学复习中，寻求知识网络的交会点，加大知识整合力度是提高复习效率的重要方法，也与高考试题的设计思路相吻合.历年高考对直线和圆的考查通常是围绕圆锥曲线来设计试题，因此在复习过程中，要以解析几何思想为主线，构建知识网络结构，进行专题突破，提高学生的解题能力.3.重视数学理解，提高运算技能解析几何题目总体来说运算量较大，对学生的运算素养要求较高.对学生而言，题目解法容易理解，但运算却不是很容易.因此，在直线和圆的方程的复习中也要把提高学生的运算求解能力作为主要的教学目标.事实上，运算是一种重要的数学素养，培养学生数学运算素养不能仅靠技能训练，不能脱离对数学概念、定理、法则的理解，以及对公式的灵活运用等，必须将数学理解和技能训练有机结合，通过解题来完成.如果教学中仅以运算和训练来代替数学理解，容易给学生造成记题型、套公式的错误认知.在解析几何复习阶段可以适当加强“一题多解”和“多题一解”训练，提升学生思维的灵活性，拓宽解题思路，促进学生对解析几何本质的理解，提高运算技能.4.落实教育本源，提升核心素养发展和落实学生的核心素养，提升学生的数学综合能力是当前教育改革的重要价值追求，也力求通过高考进行考查.高考对学生逻辑推理能力的考查，经常与数学运算进行结合，通过具体的运算推导或证明问题的结论，以及在运算中较多地糅合逻辑推理的成分，边推理边计算.也就是说学生解决问题的过程是综合运用各种素养的过程.因此，高考复习中要注重建立核心素养的整体意识，务必重视培养学生的数学学科核心素养.这就要求教师要引导学生理解数学概念，掌握数学的本质，不要就题论题，要关注高考试题与教材中例、习题的联系，并且要对高考试题进行适度引申和变式练习，关注数学思维方法的训练，使学生形成分析问题、解决问题的能力.另外，在复习中教师要创设有利于发展学生数学学科核心素养的教学情境，突出问题导向、突出内容主线、把握内容结构，让学生能够将生活实践和其他学科知识与数学问题结合在一起，在多种知识间建立联系，解决问题.四、模拟题欣赏1.已知圆C1：x2+y2-kx-y=0和圆C2：x2+y2-2ky-1=0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M 在直线mx+ny=2上，则m2+n2的最小值为（）.（A）15（B）（C）（D）45答案：C.2.如果圆()x-a2+()y-a2=1()a>0上总存在点到原点的距离为3，则实数a的取值范围为（）.（A）[]2，2（B）[]2，22（C ）[]1，2（D ）[]1，22答案：B.3.已知p ：直线y =kx +2与圆O ：x 2+y 2=1有交点；q ：A ，B 为△ABC 的内角，若sin 2A =sin 2B ，则三角形为等腰三角形.若p 或q 为真，则实数k 的取值范围是（）.（A ）-1<k <1（B ）k ≤-1或k ≥1（C ）-2<k <2（D ）k ≥1答案：B.4.已知圆C 的标准方程是()x +22+y 2=4，直线l ′：ax +2y +1=0()a ∈R ，若直线l ′被圆C 所截得的弦长为，则直线l ′与直线l ：x -y +2=0的位置关系为（）.（A ）平行（B ）垂直（C ）平行或相交（D ）相交答案：C.5.如图1，圆O ：x 2+y 2=4，A ()2，0，B ()-2，0，D 为圆O 上任意一点，过点D 作圆O 的切线分别交直线x =2和x =-2于E ，F 两点，连接AF ，BE 交于点G ，若点G 形成的轨迹为曲线C.图1（1）记直线AF ，BE 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的值，并求曲线C 的方程；（2）设直线l ：y =x +m ()m ≠0与曲线C 有两个不同的交点P ，Q ，与直线x =2交于点S ，与直线y =-1交于点T ，求△OPQ 的面积与△OST 的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.答案：（1）k 1k 2=-14，x 24+y 2=1()y ≠0；（2）m =-53时，λ取得最大值，最大值为.6.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A ，B 是椭圆上两点，且直线AB 的斜.图2（1）求证：OA 与OB 的斜率之积为定值；（2）设直线AB 交圆O ：x 2+y 2=4于C ，D 两点，且||AB||CD =，求△COD 的面积.答案：（1）略；（2）S △COD =2.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］陶兆龙.2019年高考“直线和圆的方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2019（7/8）：120-125.。

2020年高考“直线与圆”经典问题聚焦

中孝生皋捏化解题篇经典题突破方法高考数学2020年12月2020年高旁蜃■河南省平顶山市第一高级中学王玮直线和圆的几何性质在解析法中的应用！一直是高考命题的热点，凸显了代数方法研究几何性质和几何性质简化运算的本质属性。

需要掌握直线的倾斜角和斜率，直线方程的几种形式（如点斜式、两点式和一般式等'两直线位置关系（平行、垂直）的判定和应用。

需要掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，与圆有关的最值问题、弦长问题、轨迹问题等$本文以2020年高考试题为载体,对直线和圆中的热点题型进行归类剖析，希望对同学们的学习有所帮助。

聚焦1一一，直过定点的亶线系方程的应用!!（2020年高考全国'卷文8）点（0,1）到直线#='（"+1）的距离的最大值为（）$A.1B.—C./3D.2解析：由#='（"+1）可知直线过定点$（—1,0）,设A（0!'当直线#='（"+1）与AP垂直时，点A到直线#='（"+1）的距离最大！卩为|AP|=/2。

故选B$反思：直线方程中含有参数一定是恒过定点的直线系，解出定点后可用几何法探究最值。

如本题可探究恒过定点的直线系与直线外一点距离的最大值，转化两定点之间的距离，考查了点到直线距离公式，以及数学运算等学科素养$聚焦2——待定系数法确定圆的方程!"（2020年高考北京卷5）已知半径为1的圆经过点（3!）则其圆心到原点的距离的最小值为（）$A.4B.5C.6D.7解析：由题意知动圆的圆心在以（3!）为圆心，1为半径的圆上，当且仅当动圆的圆心、原点和点（3,4）三点共线时，圆心到原点的距离最小为/32+42—1=4$故选A$反思：由特殊条件和几何性质求圆的方程，关键是对圆两种方程构建过程的认知，合理选择一般式和标准式。

一般地，与圆心和半径有关，选择标准式；否则，选择一般式$不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式进行求解$本题利用三点共线的条件确定圆心的坐标位置，进而求出圆心到原点距离的最小值，使问题简单化$聚焦3—亶接法探究圆的轨迹方程!#（2020年高考全国'卷文6）在平面内，A,B是两个定点，C是动点$若A?-BC—1,则点C的轨迹为（）$A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线解析：建立平面直角坐标系，结合数量积的定义探究动点横纵坐标满足的关系。

2020高考文科数学专用专题能力训练：直线与圆含解析

2)2+y2=2 上,则△ABP 面积的取值范围是( )
A.[2,6]
B.[4,8]
C.[√2,3√2]
D.[2√2,3√2]
14.(20xx 云南保山一模,15)已知坐标原点为 O,过点 P(2,6)作直线 2mx-
(4m+n)y+2n=0(m,n 不同时为零)的垂线,垂足为 M,则|OM|的取值范围是
(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被☉C1 截得的弦长为 2√3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别与
☉C1 和☉C2 相交,且直线 l1 被☉C1 截得的弦长与直线 l2 被☉C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标.
.
15.在平面直角坐标系中,当 P(x,y)不是原点时,定义 P 的“伴随点”为 P'(��2+��2 , ��2-+��2);当 P
是原点时,定义 P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题:
①若点 A 的“伴随点”是点 A',则点 A'的“伴随点”是点 A;
·
��2
=-1,即-1·k=-1,解得
3
k=3.
2.B 解析由题意知,△ABC 外接圆的圆心是直线 x=1 与线段 AB 垂直平分线的交点,设
为
P,而线段
AB
垂直平分线的方程为
y-√23
=
√3 3
(��-
12),它与
x=1
联立得圆心
P
坐标为
(1,
2√33),则|OP|=√12

2020年高考文数二轮专题复习：题型1第13讲直线与圆含解析

第13讲直线与圆［考情分析］本讲内容主要以考查求直线和圆的方程，直线与圆和圆与圆的位置关系等问题为主，其中含参数问题为命题的热点，一般以选择、填空的形式出现，难度不大.热点题型分析热点1直线方程方法结论-------- V ---------1•直线方程的五种形式⑴点斜式：y—y o= k（x—x o）,其中k为直线斜率，（x o, y o）为直线上一点；（2）斜截式：y= kx+ b，其中k为直线斜率，b为直线纵截距；y ——y i x一x i⑶两点式：y2—y厂x2—x i；其中（x i，y i），（x2，y2）为直线上两点；（4）截距式：a+ 1，其中a为直线的横截距，b为直线的纵截距；2 2（5）一般式：Ax+ By+ C = 0,其中 A + B 工0.2. 直线平行与垂直的判定若两直线方程为1仁y= k〔x+ b1，I2：y= k2x+ b2，贝U I1//12? k〔= k2且b2，11丄l2? k1k2二一1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.3. 三种距离公式（1）P1（X1，y1），P2（X2，y2）两点间的距离：|P1P2|=7（x2 —X1 f+ （y2 —y1 f；（2）点P o（x o，y o）到直线I: Ax+ By+ C = 0的距离为：Ax o+ By o+ C| d二；'A2+ B2；⑶两条平行直线Ax+ By+ C1 = 0与Ax+ By+ C2 = 0间的距离为：【题型分析】1. 下列有关直线的四个命题中，真命题为（）A. 直线的斜率为tan a,则其倾斜角为aB. 经过点P（x o，y o）的直线都可以用方程y—y o= k（x—x o）表示C. 经过任意两个不同的点P1（X1, y1），P2（X2, y2）的直线都可以用方程（y—y”（x2 —X1）= （x—X1）（y2—y“ 表示D. 若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交答案C解析对于A，如tan225 = 1可以看作是一直线斜率，但是225°并不为直线倾斜角；对于B,当直线垂直于x轴时，不能用点斜式写直线方程；对于D，当两直线方程组成的方程组有无穷多个解时，两条直线重合，并不是相交的关系；对于C，当冷工X2时，其直线斜率为kP1P2 = yi^y2，则由点斜式可得方程为y —y iX1 —X2y2 —y i ―、、=—(x—x i)，即(y—y i)(X2—x i) = (x—x i)(y2 —y i)，当x i = X2 时，直线方程为x= X2 x ix i，也满足(y—y i)(X2—x i) = (x—x i)(y2 —y i)，故C 正确.3 n2. 已知直线I的倾斜角为才，直线l i经过点A(3,2), B(a，—I)，且l i与I垂直, 直线12：2x+ by+ i = 0与直线l i平行，贝U a+ b=( )A. —4B.—2C. 0 D . 2答案B解析由题意知l的斜率为一1,则l i的斜率为1,即k AB=2——1 = 1,所以3—aa= 0;由l i // b知一1,贝U b= —2,所以a+ b= —2.故选B.I【误区警示】1. 与直线的斜率和倾斜角有关的问题，往往容易忽略倾斜角的取值范围.如第1题，不关注范围就容易错选A选项.因此解题时要关注斜率和倾角的函数关系(特别是倾角的范围)，即k=tan a；a€ 0,扌卩牙，n j；求范围的问题时，要结合正切函数图象具体问题具体分析.2. 在求直线方程时要合理选择方程形式，特别是要考虑当直线斜率不存在时，是否满足条件.如第1题，未考虑此情况，就容易错选B选项.因此要注意几种直线方程形式的局限性，即点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直；截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.3. 在研究两直线位置关系问题中不要忽视斜率不存在的情况.如第2题，先求出a= 0即l i的斜率存在，否则需要考虑b= 0的情况；其中解两条直线平行的问题时，7求出相应参数值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况；利用平行线间距离公式计算距离时，要注意两条直线方程中x与y的系数是否一致.热点2 圆的方程方法结论求圆的方程的两种方法:7(1) 直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而利用圆的标准方程求出圆的方程；(2) 待定系数法：先设出圆的方程，再列出满足条件的方程(组)求出各系数，进而求出圆的方程，此种方法多以设圆的一般方程求解.【题型分析】|1. 已知圆C的圆心在直线x+ y= 0上，圆C与直线X—y= 0相切，且在直线x —y— 3 = 0上截得的弦长为p6，则圆C的方程为____________________ .答案(x—1)2+ (y+ 1)2= 2解析解法一：所求圆的圆心在直线x + y= 0 上,二设所求圆的圆心为(a，—a).又•••所求圆与直线x—y= 0相切，•••半径r = 2|；= ,2|a|.又所求圆在直线x —y—3= 0上截得的弦长为.6,•••圆心(a，—a)到直线x—y—3= 0的距离d= |2^31，A d2+ -^2= r2，即-节 2 + 2= 2a2，解得a= 1，A圆 C 的方程为(x—1)2+ (y+ 1)2= 2.解法二：设所求圆的方程为(x—a)2+ (y—b)2= r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x—y— 3 = 0的距离d=旧幕―I，2...r2=a—- + £即2r2= (a—b—3)2+ 3•①•所求圆与直线x —y= 0相切，A (a —b)2= 2r2②又•圆心在直线x+y= 0上，A a+ b= 0.③a= 1，联立①②③，解得b=—1，l r =迄，故圆C的方程为(x—1)2+ (y+ 1)2= 2.2. (2016浙江高考)已知a€ R，方程a2x2+ (a+ 2)y2+ 4x+ 8y+ 5a= 0表示圆，则圆心坐标是________ ，半径是________ .答案(一2，—4) 5解析因为a2x2+ (a+ 2)y2+ 4x+ 8y+ 5a= 0 表示圆，贝U a2= a+ 2，所以a=—1 或2.当a = 2 时，方程为4X2+ 4y2+ 4x+ 8y+ 10= 0,即x2+ y2+ x+ 2y+1 = 0,其中D2+ E2—4F = 1 + 4一10= —5<0,所以该方程不表示圆；当a=— 1时，方程为X2 +y2+ 4X+ 8y—5= 0,即(X+ 2)2+ (y+4)2= 25,则圆心为(一2,—4),半径为5.I【误区警示】1•确定圆方程时可以采取两种方法：一是如第1题解法一利用圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径即可；二是解法二利用待定系数法，此法常设圆的一般方程求解.2.分析二元二次方程A X2 + By2+ D X + Ey+ F= 0表示圆时，如果忽略其成立的条件第2题容易得出两个结论•因此解题时可以直接判断D2+ E2—4AF>0是否成立；也可以配方后判断方程的右侧是否大于0.热点3直线与圆、圆与圆的位置关系方法结论------1. 直线与圆的位置关系(1) 几何法(d —r法)：即圆心到直线的距离d与圆半径r进行比较，dvr?直线与圆相交；d= r?直线与圆相切；d>r?直线与圆相离；(2) 判别式法：设直线I: A X+ By+ C= 0…①，圆O: (X— a)2+ (y—b)2= r2…②，由①与②组成方程组M，消去x(或y)后的一元二次方程，其根的判别式为△，则40 ?直线与圆相交；△= 0?直线与圆相切；A<0?直线与圆相离.2•圆与圆的位置关系设两圆的半径分别是R, r(R>r);圆心距为d;两圆方程联立的方程组为M , 则两圆的位置关系如下：【题型分析】I1.(2018全国卷U )过抛物线y2 3= 4x上的点P作圆C: x2+ y2—6x+ 8= 0的切线FA和PB,切点分别为A, B,贝U四边形PACB面积的最小值为()A. 5B. 6C. 7D. 2 2答案C解析如图所示，四边形FACB由两个全等的直角三角形PAC和PBC构成，因此当PC长度最小时，四边形FACB面积取得最小值.由于P在抛物线y2= 4x 上，设P的坐标为七，y,••• C点坐标为(3,0)，所以|PC=^ 1^4 —3 2+ y2=寸£—*y2+ 9，由于y€ R，所以当y= ±时，|PC|min= 2 2.又圆C的半径为1,此时|PA匸.7,所以四边形FACB面积的最小值为.7.故选C.2 (2019石家庄模拟)设圆C i, C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于()A. 4B. 4 2C. 8D. 8 2答案C解析因为圆C1, C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1),所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a, a),贝U|a|= _a —4 2+ a— 1 2,解得 a = 5 + 2 .2或a= 5— 2 2,可取C1(5+ 2 2, 5 + 2 2), C2(5 — 2 2, 5 — 2 2),故|C1C2= \ 4 22+ 4.2 2= 8.故选C.3 (2019浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0, m),半径长是r.若直线2x—y+ 3=0与圆C相切于点A(—2,—1),贝U m= _________ , r = ________ 答案—2 5解析根据题意画出图形，可知-5A(—2，—1)，C(0, m)，B(0,3)，则AB|=「-2 —0 2+ — 1 — 3 2= 2 5，AC|= —2 —0 2+ — 1 —m2= 4+ m+ 1 2，|BC|= |m—3|.•••直线2x—y+ 3= 0与圆C相切于点A，•••/ BAC= 90。

2020年高考数学复习：直线与圆

直线与圆[题型分析·高考展望]直线与圆是解析几何的基础，在高考中除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中，对相关知识进行考查.单独考查时，一般为选择、填空题，难度不大，属低中档题.直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点.常考题型精析题型一直线方程的求法与应用例1(1)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为() A.2x＋y－3＝0 B.x－2y＋1＝0C.x＋2y－3＝0D.2x－y－1＝0(2)已知△ABC的顶点A为(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B 的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程.点评(1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1；②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.(2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？题型二圆的方程例2(1)(2015·湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B (B在A的上方)，且|AB|＝2.①圆C 的标准方程为________________.②圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.(2)(2015·成都模拟)已知圆C 经过点A (2，－1)，并且圆心在直线l 1：y ＝－2x 上，且该圆与直线l 2：y ＝－x ＋1相切.①求圆C 的方程；②求以圆C 内一点B ⎝⎛⎭⎫2，－52为中点的弦所在直线l 3的方程.点评求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2 已知圆C ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2 (R >0)与y 轴相切，圆心C 在直线l ：x －3y ＝0上，且圆C 截直线m ：x －y ＝0所得的弦长为27，求圆C 的方程.题型三直线与圆的位置关系、弦长问题例3 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( )A.2B.4 2C.6D.210(2)已知直线l 过点P (0,2)，斜率为k ，圆Q ：x 2＋y 2－12x ＋32＝0.①若直线l 和圆相切，求直线l 的方程；②若直线l 和圆交于A ，B 两个不同的点，问是否存在常数k ，使得OA →＋OB →与PQ →共线？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.点评研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3(2014·课标全国Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.高考题型精练1.(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－342.已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( )A.45B.25C.255D.1053.“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知p ：a ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2015·广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝06.已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( ) A.(3，＋∞)B.[2，＋∞)C.[2，22)D.[3，22)7.已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是( )A. 2B.2 2C. 3D.2 38.若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是__________________.9.已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________________.10.若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________.11.与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆C 的方程是________________________________________________________________________.12.如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程；(3)B Q →·B P →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.答案精析专题7 解析几何第29练直线与圆常考题型精析例1 D [由题意知圆心C (3,0)，k CP ＝－12. 由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以弦MN 所在直线的方程是2x －y －1＝0.](2)解设B (4y 1－10，y 1)，由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上，可得：6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，y 1＝5， ∴B (10,5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有⎩⎨⎧x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0y ′＋1x ′－3·14＝－1⇒A ′(1,7)，∵点A ′(1,7)，B (10,5)在直线BC 上，∴y －57－5＝x －101－10，故BC 边所在直线的方程是2x ＋9y －65＝0.变式训练1 解如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，若P ′(异于P )在直线上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只有在P 点处，才能取得最小值，设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎨⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1· ⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3,6). 所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎨⎧ x ＝3811，y ＝3611，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3811，3611.故供水站应建在点P ⎝⎛⎭⎫3811，3611处.例2 ①(x －1)2＋(y －2)2＝2 ②－2－1解析 ①由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝⎛⎭⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.②方法一令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1).令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.(2)解 ①设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )2＋(－1－b )2＝r 2，b ＝－2a ，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－2，r ＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.②由①知圆心C 坐标为(1，－2)，则k CB ＝－52－(－2)2－1＝－12. 设直线l 3的斜率为k 3，由k 3·k CB ＝－1，可得k 3＝2.故直线l 3的方程为y ＋52＝2(x －2)，即4x －2y －13＝0.变式训练2 解圆C ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2(R >0)与y 轴相切，则|x 0|＝R .①圆心C 在直线l ：x －3y ＝0上，则x 0＝3y 0.②圆C 截直线m ：x －y ＝0所得的弦长为27，则2R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x 0－y 0|22＝27.③ 把①②代入③，消去x 0，y 0得R ＝3，则x 0＝3，y 0＝1或x 0＝－3，y 0＝－1.故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.例3 C [由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1).∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36.∴|AB |＝6.](2)解 ①将圆的方程化简，得(x －6)2＋y 2＝4.圆心Q (6,0)，半径r ＝2.由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，故圆心到直线l 的距离d ＝|6k －0＋2|1＋k 2＝|6k ＋2|1＋k2. 因为直线l 和圆相切，故d ＝r ，即|6k ＋2|1＋k 2＝2，解得k ＝0或k ＝－34，所以，直线l 的方程为y ＝2或3x ＋4y －8＝0.②将直线l 的方程和圆的方程联立得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，(x －6)2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，因为直线l 和圆相交，故Δ＝[4(k －3)]2－4×36×(1＋k 2)>0，解得－34<k <0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2，x 1x 2＝361＋k 2，而y 1＋y 2＝kx 1＋2＋kx 2＋2＝k (x 1＋x 2)＋4，OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，PQ →＝(6，－2).因为OA →＋OB →与PQ →共线，所以－2×(x 1＋x 2)＝6×(y 1＋y 2)，整理得(1＋3k )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4(k －3)1＋k 2＋12＝0，解得k ＝－34. 又因为－34<k <0，所以没有符合条件的常数k . 变式训练3 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y ).由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上.又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105， |PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.高考题型精练1.D [由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.] 2.A [(x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方.由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.] 3.A [由l 1⊥l 2得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.]4.A [由直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，得圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离等于圆的半径，即有|a |2＝1，a ＝±2.因此，p 是q 的充分不必要条件.] 5.A [设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题意有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.]6.C [当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中|OA |＝|OB |，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k <22，综上，k 的取值范围是[2，22)，故选C.]7.C [如图所示，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径为r ＝1.根据对称性可知四边形P ACB 面积等于2S △APC ＝2×12|P A |r ＝|P A |，故|P A |最小时，四边形P ACB 的面积最小，由于|P A |＝|PC |2－1，故|PC |最小时，|P A |最小，此时，直线CP 垂直于直线l ：3x －4y ＋11＝0，故|PC |的最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2，所以|P A |＝|PC |2－1＝22－1＝ 3.故四边形P ACB 面积的最小值为 3.]8.(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244解析设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即有a ＋2b ＝0，又(2－a )2＋(3－b )2＝r 2，而圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，故r 2－⎝⎛⎭⎪⎫a －b ＋122＝2，依据上述方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244. 9. x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴圆C 的圆心在y 轴上，可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解之得⎩⎨⎧ r 2＝43，b ＝±33.∴圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 10.π解析 ∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1.∴ab ＝12. 又|OA |＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积为S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，∴面积的最小值为π.11.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )，又其直径为圆A 的圆心A (－1,1)到直线x －y －4＝0的距离减去圆A 的半径，即2r ＝62－2＝22⇒r ＝2，即圆心C 到直线x －y －4＝0的距离等于2，故有|2c －4|2＝2⇒c ＝3或c ＝1，结合图形当c ＝3时圆C 在直线x －y －4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.12.解 (1)设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝||－1＋4＋75＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1. 由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34. ∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.(3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0.∴BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·B P →＝BA →·BP →＋AQ →·BP →＝BA →·BP →.当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝⎛⎭⎫－2，－52. 则BP →＝⎝⎛⎭⎫0，－52，又BA →＝(1,2)， ∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2). 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋2)，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－51＋2k －10k 1＋2k ＝－5. 综上所述，BQ →·BP →是定值，且BQ →·BP →＝－5.。

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冲刺高考复习必备2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α．故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35ak a k CB AB +=-=∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x ym m+=，代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+nym x 中要求m ，n 均非零。

故做题时应考虑此情形【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。

不要漏解。

首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（k 不存在）；其次垂直时应为：121-=k k （斜率均存在）或21k k ，中一为0，一不存在若用0:1=++c by ax l ，0:2=++t ny mx l 垂直的充要条件：0=+bn am ，则避免上述问题【思维点拨】直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。

一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k 不存在的情况）。

在做题时应该考虑全面，避免少解题型四对称与直线恒过定点问题例1 点()2,4关于直线230x y +-=的对称点的坐标为_________．【答案】()2,2-【解析】设对称点坐标为()00,x y ，则对称点与已知点连线的中点为0024,22x y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得()00004122{2423022y x x y -=-++⨯+-=，解得002{2x y =-=所以对称点坐标为()2,2-．【易错点】此题求点可以设点，利用对称（实则用中垂线），建立方程组求解；亦可先求过该点与已知线垂直的直线方程，联立求交点，反推对称点（中点坐标公式）即可【思维点拨】对称问题像点关于点对称点关于直线对称，直线关于直线对称，其本质都是点点对称。

当点运动则轨迹（曲线）得到而已。

点点对称根据中点坐标公式转化，有时候利用中垂线特性（垂直，平分）进行求解例2 直线()32y kx k k R =-+∈必过定点（）．A. ()3,2B. ()3,2-C. ()3,2--D. ()3,2- 【答案】A【解析】()32y k x =-+，当3x =时， 2y =，直线过()3,2定点，故选A ．【易错点】对直线方程的常见表达式应熟悉熟练，并能进行恰当变形【思维点拨】直线过定点关键是把所有参数提出来，保证参数后面为零。

即可求得题型五圆的方程例1 若圆心在xO 位于y 轴左侧，且与直线20x y += 相切，则圆O 的方程是A．22(5x y -+= B．22(5x y ++=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++=【答案】D【解析】设圆心(,0)(0)O a a <=，即||5a =，解得5a =-，所以圆O 的方程为22(5)5x y ++=．例2圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x轴所得弦的长为C 的标准方程为．【答案】22(2)(1)4x y -+-=【解析】设圆心为(2,)b b ，则圆的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b，所以0b =>，解得1b =，所以圆C 的标准方程为22(2)(1)4x y -+-=．例3 已知圆经过点()1,2-A ，圆心在直线02=+y x 上且与直线:1l 01=--y x 相切，求圆的方程. 【答案】见解析【解析】设圆的方程为()()()0222>=-+-r r b y a x .∵圆心在直线x y 2-=上，∴a b 2-=，即圆心为()a a 2,-. 又圆与直线01=--y x 相切，且过点()1,2-， ∴r a a =-+212，()()222212r a a =+-+-，即()()()2222122213a a a +-+-=-，解得1=a 或9=a . ∴1=a ，2-=b ，2=r 或9=a ，18-=b ，338=r ，故所求圆的方程为：()()22122=++-y x ，或()()33818922=++-y x .此题也可设出圆心所在直线方程0:2=++t y x l ，联立21l l 与求圆心P ,利用P 到A 的距离与到1l 距离相等求解t 。

则方程可求【易错点】圆方程求解需要对圆的方程形式（标准式与一般式，其适用范围，两者转化）充分熟悉。

在解题时采用合适的方法（或代数法，或几何法）进行相关求解【思维点拨】求解圆的方程问题可以采用代数方法：设合适的方程，根据条件进行转换。

变形解方程等求解；也可以采用几何法（勾股定理，相似等）进行求解题型六直线、圆的综合问题例1 直线被圆截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．【答案】C250x y +-=22240x y x y +--=【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.例2 已知点()b a M ,在圆O ：122=+y x 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B【解析】因为()b a M ,在圆O ：122=+y x 外，所以122>+b a ，而圆心O 到直线1=+by ax 的距离1122<+=ba d ，故直线与圆O 相交.例3 直线l ：⎪⎭⎫⎝⎛+=21x k y 与圆C ：122=+y x 的位置关系为( ) A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切 D. 相交【答案】D【解析】由于圆心()0,0 ，半径等于1，圆心到直线l ：⎪⎭⎫⎝⎛+=21x k y的距离为112d r ====＜＜，故直线和圆相交，故选D ．例4已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为A ． BC ． D【答案】D【解析】圆1C ，2C 的圆心分别为1C ，2C ，由题意知11-≥PC PM ，32-≥PC PN ，∴421-+≥+PC PC PN PM ，故所求值为421-+PC PC 的最小值．又1C 关于x 轴对称的点为()3,23-C ，所以421-+PC PC 的最小值为425423-=-C C ，故选A ．(1,2)d =r =4=()()221:231C x y -+-=()()222:349C x y -+-=,M N 12,C C P x PM PN +416-【易错点】此题可以采用联立方程（∆）求解；也可以采用圆心到直线的距离与半径大小比较求解；还可以利用直线l 恒过⎪⎭⎫⎝⎛21,0，易得（可作草图）该点在圆内，故应为相交。

直线（含参数）过定点特征应有所熟悉，高考中常有涉及【思维点拨】直线与圆位置关系通常采用圆心到直线距离d 与圆半径r 大小确定。

圆:C ()()222x a y b r -+-=，直线l ：0=++C By Ax ，圆心()b a C ,到直线l 的距离为d ，则：1.r d >，直线与圆相离。

可求圆上动点到直线距离范围（最大最小）问题2.r d =，直线与圆相切。

依此可求过圆C ：222r y x =+上某点),(00y x P 的切线方程：200r y y x x =+；一般地，过圆C ：()()222r b y a x =-+-上某点),(00y x P 的切线方程：()()()()200r b y b y a x a x =--+--.3.r d <，直线与圆相交。

此时常用勾股定理2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=AB d r （AB 为相交弦）来求解相关问题.【巩固训练】题型一倾斜角与斜率1.经过()0,2-A ，()3,5-B 两点的直线的斜率是_______，倾斜角是_______．【答案】见解析【解析】经过()0,2-A ，()3,5-B 两点的直线的斜率()12503-=----=k ，故倾斜角为︒135．2.设点()3,2-A ，()2,3--B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A. 43≥k 或4-≤kB. 434≤≤-kC. 443≤≤-k D. 以上都不对【答案】A【解析】求得43,4=-=PB PA k k ,结合图像知k 的范围为434≥-≤k k 或 3.直线l 过点()2,1A ，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( )A.0B.1C.21D.2 【答案】D【解析】如图，2=OA k ，0='l k ，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故[]2,0∈k .故直线l 的斜率k 的最大值为2.题型二直线方程1.过点)A且倾斜角为120︒的直线方程为（）A. 4y =-B. 4y =+C. 23y x =-- D. 23y x =-+ 【答案】B【解析】倾斜角为120︒的直线斜率为.利用点斜式可得1y x -=.整理得4y =+.2.直线l 过点()2,1-且与直线0432=+-y x 垂直，则l 的方程是( )A ．0123=-+y xB ．0723=++y xC ．0532=+-y xD ．0832=+-y x 【答案】A【解析】设023:=++t y x l ，代入()2,1-.得1-=t3.已知()2,1A ,()1,3B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）．A. 0524=+-y xB. 0524=--y xC. 052=-+y xD. 052-=-y x 【答案】B【解析】AB 中点为M )232(，,21-=AB k .则中垂线斜率2=k .方程为).2(223-=-x y 化简得： 0524=--y x4.已知直线l 过点()2,1，且在x 轴截距是在y 轴截距的2倍，则直线l 的方程（）A.052=-+y xB.052=++y xC.02=-y x 或052=-+y xD.02=-y x 或032=+-y x 【答案】C【解析】当直线过原点时，又过点()2,1，∴所求直线方程为02=-y x . 当直线不过原点时，由已知设直线方程为12=+mym x ，又过点()2,1，∴所求直线方程为052=-+y x ∴选C题型三直线位置关系的判断1.已知直线20x y --=与直线0mx y +=垂直，那么m 的值是（）．A. 2-B. 1-C. 1D. 2 【答案】C【解析】利用垂直的条件：0)1(11=-⋅+⋅m ，得1=m2.若直线()1:34350l m x y m +++-=与直线()2:2580l x m y ++-=平行，则m 的值为（）．A. 133- B. 1-或7- C. 6- D. 7- 【答案】D【解析】∵12l l P ，∴()()3524m m +⋅+=⨯，解得1m =-或7-，又当1m =-时，两条直线重合，故7m =-．3.直线3x y +=和直线2x y +=的位置关系是（）．A. 垂直B. 相交不垂直C. 平行 D 重合．【答案】A【解析】∵110⨯+⨯=，∴两条直线相互垂直．故选A ．题型四对称与过定点1.直线2130x my m -+-=，当m 变化时，所有直线都过定点（）A. 1,32⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】直线2130x my m -+-=，化为()2130x m y +-+=，令210{30x y +=+=，解得1,32x y =-=-，当m 变动时，所有直线都通过定点1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选D.2.直线()():220l m n x m n y m n ++--+=，对任意,m n R ∈直线l 恒过定点_______．【答案】()1,1-【解析】()()220m n x m n y m n ++--+=可化为：()()2120m x y n x y +-+-+=，若要让m,n “失去作用”，则210{20x y x y +-=-+=，解得1{ 1x y =-= ，即定点为()1,1-.3.已知直线l 经过点()6,4P ，斜率为k（1）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程；（2）若1k=-，一条光线从点()6,0M 出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到y 轴再次反射回点M ，求光线所经过的路程.【答案】（1）:230l x y -=或:2160l x y +-=；（2）【解析】（1）由题意得0k≠。