2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练

冲刺高考 复习必备

2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 倾斜角与斜率

例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）

A. 0150

B. 0120

C. 060

D. 030

【答案】 A

【解析】由直线l 310y +-=，可得直线的斜率为3

3

-

=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则3

3

tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．

【易错点】基础求解问题注意不要算错

【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2

π

，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练

例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或9

2=a 【解析】5

97,35a

k a k CB AB +=

-=

∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即

59735a a +=

-，解得2=a 或9

2

=a ．

题型二 直线方程

例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．

A. 2x y +=

B. 1x y +=

C. 1x =或1y =

D. 2x y +=或x y =

【答案】D

【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y

m m

+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ． 【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n

y

m x 中要求m ，n 均非零。故做题时应考虑此情形

【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。不要漏解。

题型三 直线位置关系的判断

例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（ ）

A. 2-或1-

B. 2或1-

C. 2-或1

D. 2或1 【答案】D

【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+= 化简为2

3201k k k -+=⇒= 或2 故选择D

【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（k 不存在）；其次垂直时应为：121-=k k （斜率均存在）或21k k ，中一为0，一不存在 若用0:1=++c by ax l ，0:2=++t ny mx l 垂直的充要条件：0=+bn am ，则避免上述问题

【思维点拨】 直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k 不存在的情况）。在做题时应该考虑全面，避免少解

题型四 对称与直线恒过定点问题

例1 点()2,4关于直线230x y +-=的对称点的坐标为_________． 【答案】()2,2-

【解析】设对称点坐标为()00,x y ，则对称点与已知点连线的中点为0024,22x y ++⎛⎫

⎪⎝⎭

，

由题意可得()000041

22

{

24230

2

2

y x x y -=-++⨯

+-=，解得002

{

2

x y =-=

所以对称点坐标为()2,2-．

【易错点】此题求点可以设点，利用对称（实则用中垂线），建立方程组求解；亦可先求过该点与已知线垂直的直线方程，联立求交点，反推对称点（中点坐标公式）即可

【思维点拨】对称问题像点关于点对称点关于直线对称，直线关于直线对称，其本质都是点点对称。当点运动则轨迹（曲线）得到而已。点点对称根据中点坐标公式转化，有时候利用中垂线特性（垂直，平分）进行求解

例2 直线()32y kx k k R =-+∈必过定点（ ）．

A. ()3,2

B. ()3,2-

C. ()3,2--

D. ()3,2- 【答案】A

【解析】()32y k x =-+，当3x =时， 2y =， 直线过()3,2定点，故选A ．

【易错点】对直线方程的常见表达式应熟悉熟练，并能进行恰当变形

【思维点拨】直线过定点关键是把所有参数提出来，保证参数后面为零。即可求得

题型五 圆的方程

例1 若圆心在x

O 位于y 轴左侧，且与直线20x y += 相切，则圆O 的方程是

A

．22(5x y -+= B

．22

(5x y ++=

C ．22

(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++=

【答案】D

【解析】设圆心(,0)(0)O a a <

=

，即||5a =，解得5a =-，所以圆O 的方程为

22(5)5x y ++=．

例2圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x

轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．

【答案】22

(2)(1)4x y -+-=

【解析】设圆心为(2,)b b ，则圆的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b

，所以0b =>，

解得1b =，所以圆C 的标准方程为

22(2)(1)4x y -+-=．

例3 已知圆经过点()1,2-A ，圆心在直线02=+y x 上且与直线:1l 01=--y x 相切，求圆的方程. 【答案】见解析

【解析】设圆的方程为()()()02

2

2

>=-+-r r b y a x .

∵圆心在直线x y 2-=上，∴a b 2-=，即圆心为()a a 2,-. 又圆与直线01=--y x 相切，且过点()1,2-， ∴

r a a =-+2

1

2，()()22

2

212r a a =+-+-，即()()()2

2

2

2122213a a a +-+-=-，

解得1=a 或9=a . ∴1=a ，2-=b ，2=

r 或9=a ，18-=b ，338=r ，

故所求圆的方程为：()()2212

2

=++-y x ，或()()3381892

2

=++-y x .

此题也可设出圆心所在直线方程0:2=++t y x l ，联立21l l 与求圆心P ,利用P 到A 的距离与到1l 距离相等求解t 。则方程可求

【易错点】圆方程求解需要对圆的方程形式（标准式与一般式，其适用范围，两者转化）充分熟悉。在解题时采用合适的方法（或代数法，或几何法）进行相关求解

【思维点拨】求解圆的方程问题可以采用代数方法：设合适的方程，根据条件进行转换。变形解方程等求解；也可以采用几何法（勾股定理，相似等）进行求解

题型六 直线、圆的综合问题

例1 直线被圆截得的弦长为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ． 【答案】C

250x y +-=22

240x y x y +--

=