2015-2016学年广东省深圳市南山区高一(上)期末数学试卷含参考答案
2015-2016学年广东省深圳市宝安区高一(上)期末数学试卷附解析
2015-2016学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合P={1，2，3，4}，Q={x|-2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于（）A. 0，1，B.C. D.2.sin20°cos10°+cos20°sin10°=（）A. B. C. D.3.若指数函数y=（2a-1）x在R上为单调递减函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.4.函数f（x）=的定义域为（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）=，且f（x0）=1，则x0=（）A. 0B. 4C. 0或4D. 1或36.已知∈，且，则tanα=（）A. B. C. D.7.已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.8.设向量，、，，下列结论中，正确的是（）A. B. C. D.9.函数的图象大致是（）A. B.C. D.10.将函数y=sin（x-）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A. B. C. D.11.设函数f（x）=cos（ωx+ϕ）对任意的x∈R，都有f（-x）=f（+x），若函数g（x）=3sin（ωx+ϕ）-2，则g（）的值是（）A. 1B. 或3C.D.12.已知函数f（x）=|log4x|，正实数m、n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m5，n]上的最大值为5，则m、n的值分别为（）A. 、2B. 、4C. 、2D. 、4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知=2，则tanα的值为______．14.已知sin x+cos x=，则sin2x=______．15.在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，=3．若•=-3，则的长为______．16.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），给出下列结论：①f（3）=1；②函数f（x）在[-6，-2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，16]上的所有根之和为12．则其中正确的命题为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知||=4，||=3，，的夹角θ为60°，求：（1）（+2）•（2-）的值；（2）|2-|的值．18.已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）（x∈R）的单调增区间；（2）若f（α-）=2，α∈[，π]，求sin（2α+）的值．19.已知函数f（x）=mx-，且f（4）=3．（1）求m的值；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并应用单调性的定义给予证明．20.（）若该港口的水深（）和时刻（）的关系可用函数（）（其中A＞0，ω＞0，b∈R）来近似描述，求A，ω，b的值；（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能进入港口？21.函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的部分图象如图所示，设两函数的图象交于点O（0，0），A（x0，y0）．（Ⅰ）请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？（Ⅱ）求证x0∈（，1）；（Ⅱ）请通过直观感知，求出使f（x）＞g（x）+a对任何1＜x＜8恒成立时，实数a的取值范围．22.已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式及其值域；（2）设x0是方程f（x）=4-x的解，且x0∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，P={1，2，3，4}，Q={x|-2≤x≤2，x∈R}，P、Q的公共元素为1、2，P∩Q={1，2}，故选：D．根据题意，由交集的定义，分析集合P、Q的公共元素，即可得答案．本题考查集合交集的运算，关键是理解集合交集的含义．2.【答案】A【解析】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，故选：A．由条件利用本题主要考查两角和差的正弦公式，求得所给式子的值．本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：因为y=（2a-1）x在R上为单调递减函数，所以0＜2a-1＜1，解得＜a＜1，则a的取值范围是（，1），故选：C．由指数函数的单调性和条件列出不等式，求出a的取值范围．本题考查指数函数的单调性的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：要使原函数有意义，则，解得：-1＜x≤1，且x≠0．∴函数f（x）=的定义域为（-1，0）（0，1]．故选：B．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．5.【答案】C【解析】解：当x≤1时，由得x0=0；当x＞1时，由f（x0）=log3（x0-1）=1得x0-1=3，则x0=4，且两者都成立；故选：C．由f（x0）=1，得到x0的两个方程解之即可．本题考查了已知分段函数的函数值求自变量；考查了讨论的思想；注意分段函数的一个函数值可能对应多个自变量．6.【答案】A【解析】解：由，得cosα=，由，∴sin=，∴tan．故选：A．由已知利用诱导公式求得cosα，再由同角三角函数的基本关系式求得答案．本题考查利用诱导公式化简求值，关键是熟记三角函数的象限符号，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由对数和指数的性质可知，∵a=log20.3＜0b=20.1＞20=1c=0.21.3 ＜0.20=1∴a＜c＜b故选：B．看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a小于0，根据指数函数的性质，得到b大于1，而c小于1，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系．本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．8.【答案】D【解析】解：∵-1×3≠2×1∴不成立∵∴不成立∵，又∵-1×（-1）≠2×（-2），∴不成立∵-1×（-2）+2×（-1）=0，∴故选：D．利用向量共线的充要条件是：坐标交叉相乘相等；向量垂直的充要条件是：数量积为0判断出选项．本题考查向量共线的充要条件、考查向量垂直的充要条件．9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质是解决图象的基本方法．利用函数的奇偶性，和导数判断函数的极值情况，即可判断函数的图象．【解答】解：∵函数，∴f（-x）=-f（x），为奇函数，图象关于原点对称，∴排除A．f'（x）=，由f'（x）==0，得cosx=，∴函数的极值点由无穷多个，排除B，D，故选C．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象的变换．要特别注意图象平移的法则．根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到y=sin[（x+）-]，整理后答案可得．【解答】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x-），再将所得的图象向左平移个单位，得函数y=sin[（x+）-]，即y=sin（x-），故选C．11.【答案】C【解析】解：∵对任意的x∈R，都有f（-x）=f（+x），∴x=是函数f（x）的对称轴，可得，故，故选：C．根据f（-x）=f（+x），得x=是函数f（x）的对称轴，结合正弦函数与余弦函数的关系进行求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，根据正弦函数和余弦函数的关系是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=|log4x|，正实数m、n满足m＜1＜n，且f（m）=f（n），∴log4m＜0，log4n＞0，且-log4m=log4n，∴=n，mn=1．由于f（x）在区间[m5，n]上的最大值为5，即f（x）在区间[m5，]上的最大值为5，∴-log4 m5=5，∴log4m=-1，∴m=，n=4，故选：B．由题意可得-log4m=log4n，mn=1．由于f（x）在区间[m5，m]上的最大值为5，可得-log4 m5=5，由此求得m的值，从而求得n的值．本题主要考查对数函数的性质、绝对值的性质，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：由已知，将左边分子分母分别除以cosα，得，解得tanα=1；故答案为：1．利用三角函数的基本关系式，将等式的左边分子分母分别除以cosα，然后解方程即可．本题考查了三角函数的基本关系式中商数关系的运用，属于基础题．14.【答案】-【解析】解：已知等式两边平方得：（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x=，则sin2x=-．故答案为：-已知等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin2x的值．此题考查了二倍角的正弦，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15.【答案】2【解析】解：如图所示，∵，==，∴-3=•=，化为，设．∵AD=1，∠BAD=60°．∴，化为3a2-a-10=0，解得a=2．故答案为：2．利用向量的三角形法则和数量积运算即可得出．本题考查了向量的三角形法则和数量积运算，属于基础题．16.【答案】①④【解析】解：取x=1，得f（1-4）=-f（1）=-log2（1+1）=-1，所以f（3）=-f（1）=1，故①的结论正确；∵f（x-4）=-f（x），则f（x+4）=-f（x），即f（x-4）=f（x+4）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），则f（x-4）=f（-x），∴f（x-2）=f（-x-2），∴函数f（x）关于直线x=-2对称，故③的结论不正确；又∵奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）为增函数，∴x∈[-2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f（x）关于直线x=-2对称，∴函数f（x）在[-6，-2]上是减函数，故②的结论不正确；若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为-8．故④正确故答案为：①④．对于①，利用赋值法，取x=1，得f（3）=-f（1）=1即可判断；对于③由f（x-4）=f（-x）得f（x-2）=f（-x-2），即f（x）关于直线x=-2对称，对于②结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在[-2，2]上为增函数，利用函数f（x）关于直线x=-2对称，可得函数f（x）在[-6，-2]上是减函数；对于④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．本题考查函数的性质，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、对称性等基础知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵||=4，||=3，，的夹角θ为60°，∴，，，∴（+2）•（2-）=；（2）=4×16-4×6+9=49，∴|2-|=7．【解析】（1）直接展开多项式乘多项式，然后代入向量的模及数量积得答案；（2）由，展开后整理得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查的应用，是中档题．18.【答案】解：（1）∵ =（2cos2x，），=（1，sin2x），∴f（x）=•=2cos2x+==，由，得，∈．∴函数f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z；（2）f（α-）=2sin（2α+）+1=2sin（2α-）+1=2，∴cos2α=，∵α∈[，π]，∴2α∈[π，2π]，则sin2α=，∴sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=．【解析】（1）由已知向量的坐标结合数量积公式得到f（x），再由倍角公式及两角和的正弦化简得答案；（2）由f（α-）=2列式求得cos2α，进一步求得sin2α，展开两角和的正弦求得sin（2α+）的值．本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数的倍角公式的应用，是中档题．19.【答案】解：（1）∵f（4）=3，∴4m-=3，∴m=1…（2分）（2）因为f（x）=x-，定义域为{x|x≠0}，关于原点成对称区间，又f（-x）=-x-=-（x-）=-f（x），所以f（x）是奇函数．…（6分）（3）f（x）在（0，+∞）上单调递增．证明：设x1＞x2＞0，则f（x1）-f（x2）=x1--（x2-）=（x1-x2）（1+）．因为x1＞x2＞0，所以x1-x2＞0，1+＞0，所以f（x1）＞f（x2），因此f（x）在（0，+∞）上为单调递增的．…（12分）【解析】（1）把x=4代入f（x）解出即可得出．（2）判断f（-x）与±f（x）的关系即可得出；（3）f（x）在（0，+∞）上单调递增．设x1＞x2＞0，证明f（x1）-f（x2）＞0即可．本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）由已知数据，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=3，b=5，所以ω==（2）由（1）知y=3sin（t）+5（0≤t≤24）；由该船进出港时，水深应不小于4+2.5=6.5（m），∴当y≥6.5时，货船就可以进港，即3sin（t）+5≥6.5，∴sin（t）≥0.5，∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π∴≤t≤，或≤t≤，所以1≤t≤5或13≤t≤17．故该船可在当日凌晨1：00～5：00和13：00～17：00进入港口．【解析】（1）利用已知数据，确定合适的周期、振幅等，即可得出函数解析式；（2）寻求变量之间的关系，建立不等式，从而可求该船何时能进入港口．解具有周期变化现象的实际问题关键是能抽象出三角函数模型，解决的步骤是：审题，建模，求解，还原21.【答案】解：（Ⅰ）C1是g（x）=log3（x+1）的图象，C2对应f（x）=x2；（Ⅱ）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=x2-log3（x+1），∵F（）=-log3（+1）=log32-＜0，F（1）=1-log32＞0，故存在x0∈（，1），使F（x0）=0，即x0是函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的图象的交点；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1-log32＞0，且由图象可知，a＜1-log32．【解析】（Ⅰ）由图象特征可知，C1是g（x）=log3（x+1）的图象，C2对应f（x）=x2；（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=x2-log3（x+1），利用函数的零点判定定理证明；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1-log32＞0，且由图象可知，a＜1-log32．本题考查了幂函数与对数函数的区别及函数图象的应用，属于中档题．22.【答案】解：（1）若x＜0，则-x＞0，则当-x＞0时，f（-x）=2-x．∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=2-x=-f（x），则f（x）=-2-x，x＜0，当x=0时，f（0）=0，则，＞，，，，＜．…3分值域为（-∞，-1）{0}（1，+∞）．…5分（2）令，＞，，，，＜．显然x=0不是方程f（x）=4-x的解．当x＜0时，g（x）=-2-x+x-4＜0，∴方程f（x）=4-x无负数解．…7分当x＞0时，g（x）=2x+x-4单调递增，所以函数g（x）至多有一个零点；…8分又g（1）=-1＜0，g（2）=2＞0，由零点存在性原理知g（x）在区间（1，2）上至少有一个零点．…9分故g（x）的惟一零点，即方程f（x）=4-x的惟一解x0∈（1，2）．所以，由题意，n=1．…10分（3）设h（x）=2-x-x，则h（x）在[1，+∞）上递减．∴．…13分当x≥1时，f（x）=2x，不等式（a+x）f（x）＜1，即a＜2-x-x．∴当＜时，存在x≥1，使得a＜2-x-x成立，即关于x的不等式（a+x）f（x）＜1有不小于1的解．…16分．【解析】（1）根据函数奇偶性的对称性即可求函数f（x）的解析式及其值域；（2）根据函数和方程之间的关系进行求解即可；（3）构造函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，函数与方程以及利用函数的单调性求函数的值域问题，综合考查函数的性质．。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列图形中，表示⊆M N 的是 （ ▲ ）2.120cos ︒= （ ▲ ） A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是 （ ▲ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量；B ．若,a b 都是单位向量,则a b =；C ．若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形； D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= （ ▲ ）A.22 B.32C.12D.12-5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，向量AB a =，AC b =，那么向量BD 可表示为 （ ▲ ） A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的，则实数a 的取值范 （ ▲ ） A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+，下列图象正确的是 （ ▲ ）A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ，8a =||，4||=b ，且,a b 的夹角是150︒，则a 在b 方向上的射影是 （ ▲ ）A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像，只需将2sin(2)6π=-y x 的图像 （ ▲ ）A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =，则向量,a b 夹角余弦值为 （ ▲ ）A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间 （ ▲ ）A ．(,.)1125B ．(.,.)12515C ．(.,)152D ．不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= （ ▲ ）A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ ．14.有一半径为4的扇形，其圆心角是3π弧度，则该扇形的面积是 ▲ ． 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ，且b a ⊥，那么向量b 为 ▲ ． 16.关于函数sin (()42)3f x x ＝＋π，(R)x ∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为cos (6)42y x ＝-π； ③()y f x =的图象关于(0)6-，π对称； ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称； 其中正确的序号为 ▲ ．M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题（共6小题，共计70分） 17.化简或求值：(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =，集合{}A x x =<<17，集合{}B x a x a 125=+<<+，若满足A B B =，求 （1）集合U C A ；（2）实数a 的取值范围．19.若平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-， k 为何值时: （1）()(3)ka b a b +⊥-；（2）//()(3)ka b a b +-？20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ，()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.（1）求ϕ；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象；（3）求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分）CAACC ADBDD BC二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ ．14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题（共6小题，共计70分） 17.（本小题满分8分） 解：（1）原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113（2）3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.（本小题满分10分）解；（1）(,][,)U C A =-∞+∞17（2）A B B =B A ∴⊆（i ）当B φ=时，由a a 251+≤+得a 4≤-（ii ）当B φ≠时，由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.（本小题满分12分） 解：（1）a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=（2）由（1）及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.（本小题满分14分） 解： （1）(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223（2）列表：（3）()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以，()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.（本小题满分12分）解：（1）依题意，得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为π2，则得g x x =+()2sin 1 （2）函数f x ()的最小正周期为T π=，（3）当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时，函数单调递增，解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.（本小题满分14分） 解：（1）由题设，需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证，()f x 为奇函数，a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23（2）减函数.证明：任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由（1）得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220，()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以，该函数在定义域R 上是减函数（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2)，由（2），()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222，即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120，解得k <-13即为所求.。
广东省深圳市高级中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案
深圳市高级中学2015－2016学年第一学期期中测试高一数学命题人：程正科 审题人：范铯本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷为1-12题，共60分；第Ⅱ卷为13-22题，共90分。
全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡相应的位置。
2.选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案。
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
第Ⅰ卷（本卷共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}|24x A x =≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则AB 等于( ) （A ）(1,2) （B ） (1,2] （C ） [1,2)（D ）[1,2]2.函数()()2log 31xf x =-的定义域为（ ）（A ）[)1,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）[)0,+∞ （D ） ()0,+∞ 3．已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x，则))91((f f =（ ） （A ）12 （B ）14 （C ）16 （D ）184．已知f (x )＝(a －1)x 2＋3ax ＋7为偶函数，则f (x )在区间(－5,7)上为 ( )（A ）先递增再递减 （B ）先递减再递增 （C ）增函数 （D ） 减函数5．三个数a ＝0.42，b ＝log 20.4，c ＝20.4之间的大小关系是( )（A ）a c b << （B ）a b c << （C ）b a c << （D ）b c a <<6．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：（789（ ） （A ）12（B ）12-（C ）2 （D ）2-10.函数()f x 是R 上的偶函数,在[0,)+∞上是减函数,若(ln )(1),f x f >则x 的取值范围是 （）（A ）(0,1)(,)e +∞ （B ）1(0,)(1,)e -+∞ （C ）1(,1)e - （D ） 1(,)e e -11．已知函数53()28f x ax bx x =++-且10)2(=-f ，那么=)2(f ( )（A ）26- （B ）26 （C ）10- （D ）10 12．已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，且对任意的1[1,2]x ∈-，都存在2[1,2]x ∈-，使21()()f xg x =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）[3，＋∞) （B ）(0,3] （C ）⎣⎡⎦⎤12，3 （D ）⎝⎛⎦⎤0，12第Ⅱ卷（本卷共计90分）二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
2015-2016南山区高一(上)期末数学试卷-解析版(1)
2015-2016学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．1．（5分）（2015秋•深圳期末）已知实数集为R，集合M={x|x＜3}，N={x|x＜1}，则M∩C R N=（）A．φB．{x|1＜x＜3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3}2．（5分）（2015秋•深圳期末）下列每组函数是同一函数的是（）A．B．C．D．3．（5分）（2015秋•深圳期末）空间中，直线a，b，平面α，β，下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥a⇒b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β⇒β∥αC．若α∥β，b∥α⇒b∥βD．若α∥β，a⊂α⇒a∥β4．（5分）（2011•广东）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）5．（5分）（2015秋•深圳期末）直线过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y=0垂直，则直线的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y﹣7=0 C．2x﹣3y﹣5=0 D．2x﹣3y+8=06．（5分）（2015秋•深圳期末）三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）A．1倍B．2倍C．倍D．倍7．（5分）（2015秋•深圳期末）已知f（x）是奇函数，当x＞0时，当x ＜0时f（x）=（）A．B．C．D．8．（5分）（2011•辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是（）A．4 B． C．2 D．9．（5分）（2015秋•深圳期末）三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是（）A．0.65＜log0.65＜50.6B．0.65＜50.6＜log0.65C．log0.65＜0.65＜50.6D．log0.65＜50.6＜0.6510．（5分）（2015秋•深圳期末）斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程为（）A．3x+4y﹣12=0 B．3x﹣4y﹣12=0C．3x﹣4y+12=0 D．3x﹣4y+12=0或3x﹣4y﹣12=011．（5分）（2011•辽宁）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）12．（5分）（2014•梅州一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷对应的空格内13．（5分）（2015秋•深圳期末）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，且f（4）=2，f（x）=．14．（5分）（2013•运城校级二模）已知在圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在相异两点关于直线x ﹣y+4=0对称，则实数m的值为．15．（5分）（2015秋•深圳期末）已知点A（1，﹣2），B（m，2），且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m的值是．16．（5分）（2015秋•深圳期末）四棱锥S﹣ABCD底面为正方形，边长为，且SA=SB=SC=SD，高为2，P，Q两点分别在线段BD，SC上，则P，Q两点间的最短距离为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，把答案填在答题卷对应的空格内17．（10分）（2015秋•深圳期末）已知二次函数的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．（Ⅰ）求f（x）的表达式．（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]且k≥6时，求函数F（x）=f（x）﹣kx的最小值g（k）．18．（10分）（2015秋•深圳期末）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C：（x﹣1）2+y2=4 （Ⅰ）过点做圆的切线，求切线方程．（Ⅱ）求过点B（2，1）的圆的弦长的最小值，并求此时弦所在的直线的方程．19．（12分）（2015秋•深圳期末）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边的中点，且CC1=2AB．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1．（Ⅱ）求点B到平面B1CD的距离．20．（12分）（2015秋•深圳期末）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x）其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）﹣g（x）（Ⅰ）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x的集合．（Ⅲ）若a＞1，当时，h（x）∈[0，1]，求a的值．21．（12分）（2015秋•深圳期末）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（Ⅰ）求证：DM⊥平面BPC（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．22．（14分）（2015秋•深圳期末）定义在D上的函数f（x），如果满足；对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•2x+4x，g（x）=．（1）当a=1时，求函数f（x）在（0，+∞）上的值域，并判断函数f（x）在（0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，求实数a的取值范围；（3）若m＞0，求函数g（x）在[0，1]上的上界T的取值范围．2015-2016学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．1．（5分）（2015秋•深圳期末）已知实数集为R，集合M={x|x＜3}，N={x|x＜1}，则M∩C R N=（）A．φB．{x|1＜x＜3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3}【分析】利用集合的补集的定义求出集合M的补集；利用并集的定义求出M∩（C R N）．【解答】解：∵集合M={x|x＜3}，N={x|x＜1}，∴C R N={x|x≥1}，则M∩（C R N）={x|1≤x＜3}故选C．【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义求集合的补集、并集．属于基础题．2．（5分）（2015秋•深圳期末）下列每组函数是同一函数的是（）A．B．C．D．【分析】观察所给的函数是否是同一个函数，这种问题首先要观察这两个函数的定义域是否相同，定义域不同则不是同一函数，再观察两个函数的对应法则是否相同．【解答】解：A选项中，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是[1，+∞），定义域不同，它们的对应法则也不同；故不是同一函数；B选项中两个函数的定义域相同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是R，，两个函数的对应法则相同，是同一函数；C选项中两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，2）∪（2，+∞），g（x）的定义域是R；故不是同一函数；D选项的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，1]∪[3，+∞），g（x）的定义域是[3，+∞），故不是同一函数；只有B选项符合同一函数的要求，故选B．【点评】本题考查判断两个函数是否是同一个函数，考查根式的定义域，主要考查函数的三要素，即定义域，对应法则和值域．3．空间中，直线a，b，平面α，β，下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥a⇒b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β⇒β∥αC．若α∥β，b∥α⇒b∥β D 若α∥β，a⊂α⇒a∥β【分析】在A中，b∥α或b⊂α；在B中，β与α相交或平行；在C中，b∥β或b⊂β；由由面面平行的性质定理得D正确．【解答】解：由直线a，b，平面α，β，知：在A中：若a∥α，b∥a⇒b∥α或b⊂α，故A错误；在B中：若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β⇒β与α相交或平行，故B错误；在C中：若α∥β，b∥α⇒b∥β或b⊂β，故C错误；在D中：若α∥β，a⊂α⇒a∥β，由面面平行结合线面平行的定义可得D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4．（5分）（2011•广东）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．【点评】本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．5．（5分）（2015秋•深圳期末）直线过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y=0垂直，则直线的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y﹣7=0 C．2x﹣3y﹣5=0 D．2x﹣3y+8=0【分析】设与直线2x﹣3y=0垂直的直线方程为：3x+2y+m=0，把点（﹣1，2）代入解得m 即可得出．【解答】解：设与直线2x﹣3y=0垂直的直线方程为：3x+2y+m=0，把点（﹣1，2）代入可得：﹣3+4+m=0，解得m=﹣1．∴要求的直线方程为：3x+2y﹣1=0，故选：A．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2015秋•深圳期末）三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）A．1倍B．2倍C．倍D．倍【分析】利用三个球的体积之比等于半径比的立方，即可得出答案．【解答】解：设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2，16πr2，36πr2，所以最大球的表面积与其余两个球的表面积之和的比为：=．故选C．【点评】本题考查学生对于球的体积公式的使用，相似比公式的应用，是基础题．7．（5分）（2015秋•深圳期末）已知f（x）是奇函数，当x＞0时，当x ＜0时f（x）=（）A．B．C．D．【分析】当x＜0时，﹣x＞0，由已知表达式可求f（﹣x），再由奇函数性质可求f（x）．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣（1﹣x），又f（x）是奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x）=（1﹣x）．故选D．【点评】本题考查函数解析式的求解及奇函数的应用，属基础题．8．（5分）（2011•辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是（）A．4 B C．2 D．【分析】通过正三棱柱的体积，求出正三棱柱的高，棱长，然后求出左视图矩形的长和宽，即可求出面积．【解答】解：一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，设高为：x，所以，x=2，左视图的矩形长为：2，宽为：；矩形的面积为：2故选B【点评】本题是基础题，考查正三棱柱的左视图的面积的求法，考查计算能力，空间想象能力．9．（5分）（2015秋•深圳期末）三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是（）A．0.65＜log0.65＜50.6B．0.65＜50.6＜log0.65C．log0.65＜0.65＜50.6D．log0.65＜50.6＜0.65【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵50.6＞1＞0.65＞0＞log0.65，∴50.6＞0.65＞log0.65，故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．10．斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程为（）A．3x+4y﹣12=0 B．3x﹣4y﹣12=0C．3x﹣4y+12=0 D 3x﹣4y+12=0或3x﹣4y﹣12=0【分析】利用斜截式与截距的意义、三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：设要求的直线方程为：y=x+b，分别令x=0，解得y=b；y=01，解得x=﹣．=6，解得b=±3．∴要求的直线方程为：y=x±3，化为3x﹣4y±12=0，故选：D．【点评】本题考查了斜截式与截距的意义、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）（2011•辽宁）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选D．【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．12．（5分）（2014•梅州一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可．【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故答案选C．【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷对应的空格内13．（5分）（2015秋•深圳期末）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，且f（4）=2，f（x）=log2x．【分析】函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，可得f（x）=log a x，又f（4）=2，代入解得a即可得出．【解答】解：函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，∴f（x）=log a x，又f（4）=2，∴2=log a4，解得a=2．∴f（x）=log2x．故答案为：log2x．【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）（2013•运城校级二模）已知在圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在相异两点关于直线x ﹣y+4=0对称，则实数m的值为8．【分析】由题意和圆的性质可得圆心在直线x﹣y+4=0上，解关于m的方程可得．【解答】解：∵在圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在相异两点关于直线x﹣y+4=0对称，∴圆心（）在直线x﹣y+4=0上，即，解得m=8，故答案为：8．【点评】本题考查圆的方程和对称性，属基础题．15．（5分）（2015秋•深圳期末）已知点A（1，﹣2），B（m，2），且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m的值是3．【分析】由题意可得点A、B的中点（，0）在直线x+2y﹣2=0上，代入可得m的方程，解方程可得m的值．【解答】解：∵线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，∴点A、B的中点（，0）在直线x+2y﹣2=0上，∴+2×0﹣2=0，解得m=3故答案为：3．【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及中点坐标公式，属基础题．16．（5分）（2015秋•深圳期末）四棱锥S﹣ABCD底面为正方形，边长为，且SA=SB=SC=SD，高为2，P，Q两点分别在线段BD，SC上，则P，Q两点间的最短距离为．【分析】根据题意得出P，Q两点间的最短距离为直角△SOC斜边SC上的高OM，求出即可．【解答】解：如图所示，四棱锥S﹣ABCD底面为正方形，边长为，且SA=SB=SC=SD，高为SO=2，P，Q两点分别在线段BD，SC上，则P，Q两点间的最短距离为直角三角形SOC斜边SC上的高OM；所以OM===．故答案为：．【点评】本题考查了空间几何体结构特征的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共6小题，共70分，把答案填在答题卷对应的空格内17．（10分）（2015秋•深圳期末）已知二次函数的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．（Ⅰ）求f（x）的表达式．（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]且k≥6时，求函数F（x）=f（x）﹣kx的最小值g（k）．【分析】（Ⅰ）由已知中二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．构造关于a，b，c的方程组，可得f（x）的表达式；（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求函数F（x）=f（x）﹣kxx2+（2﹣k）x+1的对称轴，图象开口向上，从而求出其最小值，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）依题意得c=1，﹣=﹣1，b2﹣4ac=0解得a=1，b=2，c=1，从而f（x）=x2+2x+1；（Ⅱ）F（x）=x2+（2﹣k）x+1，对称轴为x=，图象开口向上当≥2即k≥6时，F（x）在[﹣2，2]上单调递减，此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9﹣2k．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，求函数的解析式，函数的最值，是二次函数图象和性质的综合考查，难度中档．18．（10分）（2015秋•深圳期末）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C：（x﹣1）2+y2=4 （Ⅰ）过点做圆的切线，求切线方程．（Ⅱ）求过点B（2，1）的圆的弦长的最小值，并求此时弦所在的直线的方程．【分析】（Ⅰ）根据点在圆C上，求出直线CA的斜率，即可得出所求切线的斜率与方程；（Ⅱ）根据点B在圆C内，求出圆心C到点B的距离，利用勾股定理求出过点B的圆的弦长的最小值，再根据垂直关系得出所求弦所在直线的斜率．【解答】解：（Ⅰ）平面直角坐标系xoy中，圆C：（x﹣1）2+y2=4的圆心C（1，0），且点在圆C上，∴直线CA的斜率是k CA==，∴所求切线的斜率为k l=﹣，切线方程是y﹣=﹣（x﹣2），化简为x+y﹣5=0；（Ⅱ）点B（2，1）在圆C内，圆心C到点B的距离是d==，且半径为r=2；所以过点B的圆的弦长的最小值是：l=2=2=2；又直线CB的斜率为k CB==1，∴所求直线的斜率为k=﹣1，方程我y﹣1=﹣1（x﹣2），化简得x+y﹣3=0．【点评】本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了直线垂直与勾股定理的应用问题，是综合性题目．19．（12分）（2015秋•深圳期末）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边的中点，且CC1=2AB．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1．（Ⅱ）求点B到平面B1CD的距离．【分析】（Ⅰ）连接BC1交B1C于点O，连接DO，由三角形中位线的性质得DO∥AC1，从而证明AC1∥平面CDB1，（Ⅱ）等体积法，三棱锥D﹣CBB1的体积和三棱锥B1﹣CBD体积相等，BB1为三棱锥D ﹣CBB 1的高，△CBB1是直角三角形，面积可求，体积可求，再求得，即可得解点B到平面B1CD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）证明：连接BC1交B1C于点O，连接DO．则O是BC1的中点，DO是△BAC1的中位线．所以DO∥AC1．因为DO⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1．（Ⅱ）解：因为CC1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC．所以BB1为三棱锥D﹣CBB1的高．V D﹣CBB1=V B1﹣CBD=S△BCD•BB1=．所以三棱锥D﹣CBB1的体积为．因为：B1D==，CD==，B1C==2，由余弦定理可求cos∠B1CD==，sin∠B1CD=，则可得：=×B 1C×CD×sin∠B1CD=，所以，点B到平面B1CD的距离d==．【点评】本题考查面面垂直的判定、线面平行的判定，用等体积法求三棱锥的体积，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（12分）（2015秋•深圳期末）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x）其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）﹣g（x）（Ⅰ）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x的集合．（Ⅲ）若a＞1，当时，h（x）∈[0，1]，求a的值．【分析】（Ⅰ）根据函数解析式有意义的条件即可求h（x）的定义域；根据函数的奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）根据f（3）=2，可得：a=2，根据对数函数的性质即可求使h（x）＜0的x的解集即可；（Ⅲ）先判断出复合函数h（x）的单调性，根据h（）=1，从而求出a的值即可．【解答】解：（Ⅰ）要使函数有意义，则，解得﹣1＜x＜1，即函数h（x）的定义域为（﹣1，1）；∵h（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣[log a（x+1）﹣log a（1﹣x）]=﹣h（x），∴h（x）是奇函数．（Ⅱ）若f（3）=2，∴log a（1+3）=log a4=2，解得：a=2，∴h（x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x），若h（x）＜0，则log2（x+1）＜log2（1﹣x），∴x+1＜1﹣x＜1，解得0＜x＜1，故不等式的解集为（0，1）；（Ⅲ）h（x）=，令y=，y′=＞0，又a＞1，根据复合函数同增异减的原则，函数h（x）在时单调递增，故h（0）=0，h（）=1，即=1，解得：a=3．【点评】本题主要考查对数函数的定义域，奇偶性和不等式的求解，要求熟练对数函数的图象和性质．21．（12分）（2015秋•深圳期末）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（Ⅰ）求证：DM⊥平面BPC（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．【分析】（1）由等边三角形的性质得DM⊥PB，由AP⊥PC，DM∥AP可得DM⊥PC，故DM⊥平面PBC；（2）由DM⊥平面PBC，AP∥DM得AP⊥平面PBC，故AP⊥BC，结合AC⊥BC，可证BC⊥平面APC，从而平面ABC⊥平面APC；（3）由M为AB中点和等边三角形的性质可求出DM，PB，进而求出底面△BCD的面积，代入体积公式求出．【解答】证明：（1）∵DM是△APB的中位线，∴DM∥AP，又∵AP⊥PC，∴DM⊥PC，∵△PMB为正三角形，∴DM⊥PB，又∵PB⊂平面BPC，PC⊂平面BPC，PB∩PC=P，∴DM⊥平面BPC．（2）∵DM⊥平面BPC，DM∥AP，∴AP⊥平面BCP，∵BC⊂平面BCP，∴BC⊥AP，又∵BC⊥AC，AP⊂平面PAC，AC⊂平面APC，AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面APC．（3）∵AB=20，∴PB=BM=AB=10，DM=5，∵BC=4，∴PC==2．∴S△PBC==4，∴S△BCD=S△PBC=2．∴三棱锥D﹣BCM的体积V=S△BCD•DM==10．【点评】本题考查了线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．22．（14分）（2015秋•深圳期末）定义在D上的函数f（x），如果满足；对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•2x+4x，g（x）=．（1）当a=1时，求函数f（x）在（0，+∞）上的值域，并判断函数f（x）在（0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，求实数a的取值范围；（3）若m＞0，求函数g（x）在[0，1]上的上界T的取值范围．【分析】（1）利用换元法得到函数的表示式，根据二次函数的性质得到函数的值域，从值域上观察不存在正数M，即函数在x∈（0，+∞）上不是有界函数．，（2）根据函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，得到|1+2x+4x|≤3，换元以后得到关于t的不等式，根据二次函数的性质写出对称轴，求出a的范围．（3）根据第二问的做法，可以用同样的方法，做出当m 取值不同时，可以写出T的取值，注意对于m的讨论．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=1+2x+4x，设t=2x，所以t∈（1，+∞）∴函数的值域是（3，+∞），不存在正数M，即函数在x∈（0，+∞）上不是有界函数．（2）由已知函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a2x+4x|≤3设t=2x，所以t∈（0，1），不等式化为|1+at+t2|≤3当0时，1﹣且2+a≤3得﹣2≤a＜0当或即a≤﹣2或a≥0时，得﹣5≤a≤﹣2或0≤a≤1综上有﹣5≤a≤1（3）当m时，T的取值范围是[）；当m时，T的取值范围是[【点评】本题考查函数的综合问题，本题解题的关键是利用条件中新定义的有界函数的意义来解题，既有证明是有界函数，又有应用有界函数．。
2015-2016年广东深圳市宝安区高一(上)数学期末试卷及答案
2015-2016学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{3，4}C．{1}D．{1，2}2．（5.00分）sin20°cos10°+cos20°sin10°=（）A．B．C．D．3．（5.00分）若指数函数y=（2a﹣1）x在R上为单调递减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（，+∞）C．（，+1）D．（1，+∞）4．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，1]B．（﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）5．（5.00分）已知函数f（x）=，且f（x0）=1，则x0=（）A．0 B．4 C．0或4 D．1或36．（5.00分）已知且，则tanα=（）A．B．C．D．7．（5.00分）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a8．（5.00分）设向量、，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．9．（5.00分）函数的图象大致是（）A． B．C． D．10．（5.00分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B． C． D．11．（5.00分）设函数f（x）=cos（ωx+ϕ）对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f （+x），若函数g（x）=3sin（ωx+ϕ）﹣2，则g（）的值是（）A．1 B．﹣5或3 C．﹣2 D．12．（5.00分）已知函数f（x）=|log4x|，正实数m、n满足m＜n，且f（m）=f （n），若f（x）在区间[m5，n]上的最大值为5，则m、n的值分别为（）A．、2 B．、4 C．、2 D．、4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5.00分）已知=2，则tanα的值为．14．（5.00分）已知sinx+cosx=，则sin2x=．15．（5.00分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，=3．若•=﹣3，则的长为．16．（5.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），给出下列结论：①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，16]上的所有根之和为12．则其中正确的命题为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10.00分）已知||=4，||=3，，的夹角θ为60°，求：（1）（+2）•（2﹣）的值；（2）|2﹣|的值．18．（12.00分）已知向量=（2cos2x ，），=（1，sin2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）（x∈R）的单调增区间；（2）若f（α﹣）=2，α∈[，π]，求sin（2α+）的值．19．（12.00分）已知函数f（x）=mx ﹣，且f（4）=3．（1）求m的值；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并应用单调性的定义给予证明．20．（10.00分）下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．（1）若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+b（其中A＞0，ω＞0，b∈R）来近似描述，求A，ω，b的值；（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能进入港口？21．（12.00分）函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的部分图象如图所示，设两函数的图象交于点O（0，0），A（x0，y0）．（Ⅰ）请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？（Ⅱ）求证x0∈（，1）；（Ⅱ）请通过直观感知，求出使f（x）＞g（x）+a对任何1＜x＜8恒成立时，实数a的取值范围．22．（14.00分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式及其值域；（2）设x0是方程f（x）=4﹣x的解，且x0∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{3，4}C．{1}D．{1，2}【解答】解：根据题意，P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，P、Q的公共元素为1、2，P∩Q={1，2}，故选：D．2．（5.00分）sin20°cos10°+cos20°sin10°=（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，故选：A．3．（5.00分）若指数函数y=（2a﹣1）x在R上为单调递减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（，+∞）C．（，+1）D．（1，+∞）【解答】解：因为y=（2a﹣1）x在R上为单调递减函数，所以0＜2a﹣1＜1，解得＜a＜1，则a的取值范围是（，1），故选：C．4．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，1]B．（﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：﹣1＜x≤1，且x≠0．∴函数f（x）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，1]．故选：B．5．（5.00分）已知函数f（x）=，且f（x0）=1，则x0=（）A．0 B．4 C．0或4 D．1或3【解答】解：当x≤1时，由得x0=0；当x＞1时，由f（x0）=log3（x0﹣1）=1得x0﹣1=3，则x0=4，且两者都成立；故选：C．6．（5.00分）已知且，则tanα=（）A．B．C．D．【解答】解：由，得cosα=，由，∴sin=，∴tan．故选：A．7．（5.00分）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：由对数和指数的性质可知，∵a=log20.3＜0b=20.1＞20=1c=0.21.3 ＜0.20=1∴a＜c＜b故选：B．8．（5.00分）设向量、，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵﹣1×3≠2×1∴不成立∵∴不成立∵，又∵﹣1×（﹣1）≠2×（﹣2），∴不成立∵﹣1×（﹣2）+2×（﹣1）=0，∴故选：D．9．（5.00分）函数的图象大致是（）A． B．C． D．【解答】解：∵函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，图象关于原点对称，∴排除A．f'（x）=，由f'（x）==0，得cosx=，∴函数的极值点由无穷多个，排除B，D，故选：C．10．（5.00分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B． C． D．【解答】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x﹣），再将所得的图象向左平移个单位，得函数y=sin[（x+）﹣]，即y=sin（x﹣），故选：C．11．（5.00分）设函数f（x）=cos（ωx+ϕ）对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f （+x），若函数g（x）=3sin（ωx+ϕ）﹣2，则g（）的值是（）A．1 B．﹣5或3 C．﹣2 D．【解答】解：∵对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x），∴x=是函数f（x）的对称轴，此时f（x）=cos（ωx+ϕ）取得最值，而y=sin（ωx+ϕ）=0，故g（）=0﹣2=﹣2，故选：C．12．（5.00分）已知函数f（x）=|log4x|，正实数m、n满足m＜n，且f（m）=f （n），若f（x）在区间[m5，n]上的最大值为5，则m、n的值分别为（）A．、2 B．、4 C．、2 D．、4【解答】解：∵函数f（x）=|log4x|，正实数m、n满足m＜1＜n，且f（m）=f （n），∴log4m＜0，log4n＞0，且﹣log4m=log4n，∴=n，mn=1．由于f（x）在区间[m5，n]上的最大值为5，即f（x）在区间[m5，]上的最大值为5，∴﹣log4 m5=5，∴log4m=﹣1，∴m=，n=4，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5.00分）已知=2，则tanα的值为1．【解答】解：由已知，将左边分子分母分别除以cosα，得，解得tanα=1；故答案为：1．14．（5.00分）已知sinx+cosx=，则sin2x=﹣．【解答】解：已知等式两边平方得：（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x=，则sin2x=﹣．故答案为：﹣15．（5.00分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，=3．若•=﹣3，则的长为2．【解答】解：如图所示，∵，==，∴﹣3=•=，化为，设．∵AD=1，∠BAD=60°．∴，化为3a2﹣a﹣10=0，解得a=2．故答案为：2．16．（5.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），给出下列结论：①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，16]上的所有根之和为12．则其中正确的命题为①④．【解答】解：取x=1，得f（1﹣4）=﹣f（1）=﹣log2（1+1）=﹣1，所以f（3）=﹣f（1）=1，故①的结论正确；∵f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x），即f（x﹣4）=f（x+4）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x﹣4）=f（﹣x），∴f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，故③的结论不正确；又∵奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）为增函数，∴x∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f（x）关于直线x=﹣2对称，∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故②的结论不正确；若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为﹣8．故④正确故答案为：①④．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10.00分）已知||=4，||=3，，的夹角θ为60°，求：（1）（+2）•（2﹣）的值；（2）|2﹣|的值．【解答】解：（1）∵||=4，||=3，，的夹角θ为60°，∴，，∴（+2）•（2﹣）=；（2）=4×16﹣4×6+9=49，∴|2﹣|=7．18．（12.00分）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）（x∈R）的单调增区间；（2）若f（α﹣）=2，α∈[，π]，求sin（2α+）的值．【解答】解：（1）∵=（2cos2x，），=（1，sin2x），∴f（x）=•=2cos2x+==，由，得．∴函数f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z；（2）f（α﹣）=2sin（2α+）+1=2sin（2α﹣）+1=2，∴cos2α=，∵α∈[，π]，∴2α∈[π，2π]，则sin2α=，∴sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=．19．（12.00分）已知函数f（x）=mx﹣，且f（4）=3．（1）求m的值；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并应用单调性的定义给予证明．【解答】解：（1）∵f（4）=3，∴4m﹣=3，∴m=1…（2分）（2）因为f（x）=x﹣，定义域为{x|x≠0}，关于原点成对称区间，又f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x﹣）=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．…（6分）（3）f（x）在（0，+∞）上单调递增．证明：设x1＞x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）=x1﹣﹣（x2﹣）=（x1﹣x2）（1+）．因为x1＞x2＞0，所以x1﹣x2＞0，1+＞0，所以f（x1）＞f（x2），因此f（x）在（0，+∞）上为单调递增的．…（12分）20．（10.00分）下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．（1）若该港口的水深y （m ）和时刻t （0≤t ≤24）的关系可用函数y=Asin （ωt ）+b （其中A ＞0，ω＞0，b ∈R ）来近似描述，求A ，ω，b 的值；（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m ，安全条例规定至少要有2.5m 的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能进入港口？【解答】解：（1）由已知数据，易知y=f （t ）的周期T=12，振幅A=3，b=5，所以ω==（2）由（1）知y=3sin （t ）+5（0≤t ≤24）；由该船进出港时，水深应不小于4+ 2.5=6.5（m ）， ∴当y ≥6.5时，货船就可以进港，即3sin （t ）+5≥6.5，∴sin （t ）≥0.5，∵0≤t ≤24，∴0≤t ≤4π∴≤t ≤，或≤t ≤，所以1≤t ≤5或13≤t ≤17．故该船可在当日凌晨1：00～5：00和13：00～17：00进入港口．21．（12.00分）函数f （x ）=x 2和g （x ）=log 3（x +1）的部分图象如图所示，设两函数的图象交于点O （0，0），A （x 0，y 0）． （Ⅰ）请指出图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数？ （Ⅱ）求证x 0∈（，1）；（Ⅱ）请通过直观感知，求出使f （x ）＞g （x ）+a 对任何1＜x ＜8恒成立时，实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）C1是g（x）=log3（x+1）的图象，C2对应f（x）=x2；（Ⅱ）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣log3（x+1），∵F（）=﹣log3（+1）=log32﹣＜0，F（1）=1﹣log32＞0，故存在x0∈（，1），使F（x0）=0，即x0是函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的图象的交点；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1﹣log32＞0，且由图象可知，a＜1﹣log32．22．（14.00分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式及其值域；（2）设x0是方程f（x）=4﹣x的解，且x0∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若x＜0，则﹣x＞0，则当﹣x＞0时，f（﹣x）=2﹣x．∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=2﹣x=﹣f（x），则f（x）=﹣2﹣x，x＜0，当x=0时，f（0）=0，则…3分值域为（﹣∞，﹣1）∪{0}∪（1，+∞）．…5分（2）令显然x=0不是方程f（x）=4﹣x的解．当x＜0时，g（x）=﹣2﹣x+x﹣4＜0，∴方程f（x）=4﹣x无负数解．…7分当x＞0时，g（x）=2x+x﹣4单调递增，所以函数g（x）至多有一个零点；…8分又g（1）=﹣1＜0，g（2）=2＞0，由零点存在性原理知g（x）在区间（1，2）上至少有一个零点．…9分故g（x）的惟一零点，即方程f（x）=4﹣x的惟一解x0∈（1，2）．所以，由题意，n=1．…10分（3）设h（x）=2﹣x﹣x，则h（x）在[1，+∞）上递减．∴．…13分当x≥1时，f（x）=2x，不等式（a+x）f（x）＜1，即a＜2﹣x﹣x．∴当时，存在x≥1，使得a＜2﹣x﹣x成立，即关于x的不等式（a+x）f（x）＜1有不小于1的解． (16)分．。
深圳中学2015-2016高一上期末
深圳中学2015-2016学年第一学期期末考试——参考答案年级：高一 科目：数学必修二（B 卷）命题人：郭胜宏考试时长：90分钟 卷面总分：100分一、选择题（每题4分，总计4⨯10=40分）1．直线3260x y ++=的斜率为k ，在y 轴上的截距为m ，则( ).A. 3,32k m == B ．3,32k m =-=-C ．2,23k m ==D ．2,23k m =-=-【答案】B.【解析】3326032x y y x ++=⇔=--，所以3,32k m =-=-2. 若方程2233630x y x y a +-++=表示一个圆，则实数a 的取值范围是( ).A. 15(,)4-∞ B. 15(,)4-∞- C. 15(4+∞，） D. 15(,)4-+∞ 【答案】A. 【解析】222233630203a x y x y a x y x y +-++=⇔+-++=，即2215(1)()243a x y -++=-， 方程表示圆当且仅当5150434a a ->⇔< 3．对于下列命题：①若一条线段的长度为a ，用斜二侧画法画水平放置的这条线段，其长度为b ，则要么:b a =1:1，要么:b a =1:2；②经过空间三个点，一定有一个平面；③④在空间直角坐标系中，若(2,0,0),(0,0,4),(1,2,3)A B C -，则线段AB 中点M 到点C 的距离为3. 其中正确的命题个数是( ).A.1B. 2C.3D.4 【答案】C.【解析】对于①，如果已知线段在直角坐标系xoy 平面内，是平行于x 轴方向，则长度比为:b a =1:1；若是平行于y 轴方向，则长度比为:b a =1:2，其它方向，长度比则既不是1:1，也不是1:2，因此命题①错误； 对于②，无论已知的三点共线，还是不共线，都一定有平面经过这三个点，因此命题②正确；对于③，可以把所给线段看成是一个长方体的对角线，其三视图恰好是三条面对角线，容易知道此长方体为棱长为1.对于④，由中点坐标公式有M （1,0,2），所以||3MC =。
广东省深圳市南山区2015-2016学年高一上学期期末考试化学试卷 Word版含答案
2015-2016学年高一上学期期末考试化学试题时间：90分钟满分：100分注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卷规定区域内，写在本试卷上无效。
4．考试时间为90分钟，结束后，将答题卷和答题卡一并交回。
、可能用到的元素相对原子质量：H：1 O：16 Na：23 Al：27 Cl: 35.5 Mn：55第I卷（选择题共48分）一、选择题（每小题3分，16×3=48分，每小题中只有一个选项符合题目要求）。
1．据中央电视台报道，近年来我国的一些沿江城市多次出现大雾天气，致使高速公路关闭，航班停飞，雾（分散质粒子直径在10-9～10-7m）属于哪种分散系( )A．乳浊液B．溶液C．胶体D．悬浊液2．化学与科学、技术、社会、环境密切相关．下列有关说法中错误的是（）A．2010年11月广州亚运会燃放的焰火是某些金属元素焰色反应所呈现出来的色彩B．为防止中秋月饼等富脂食品因被氧化而变质，常在包装袋中放入生石灰或硅胶C．小苏打是制作馒头和面包等糕点的膨松剂，还是治疗胃酸过多的一种药剂D．青铜是我国使用最早的合金材料，目前世界上使用量最大的合金材料是钢铁3. 下列说法中错误的是A. 0.3 mol H2SO4B. 1 mol H2OC. 0.5 mol 硫D. 3 mol 氢原子4．下列说法正确的是A．纯碱、烧碱均属于碱B．CuSO4·5H2O属于纯净物C．凡能电离出H＋的化合物均属于酸D．盐类物质一定含有金属阳离子5．下列叙述中正确的是（）A．硫酸的摩尔质量是98gB．铁原子的摩尔质量等于铁的相对原子质量C．标准状况下，22.4L的O2质量是32gD．2gH2所含原子物质的量为1mol6．下列实验操作完全正确的是（）7．下列离子方程式书写正确的是（）A．氨气通入醋酸溶液中：CH3COOH+NH3=CH3COONH4B．铁与稀盐酸反应：2Fe+6H+=2Fe3++3H2↑C．氢氧化钡和稀硫酸：Ba2++OH﹣+H++SO42﹣=BaSO4↓+H2OD．氧化镁中加稀盐酸：2H＋＋MgO＝H2O＋Mg2＋8.某化学兴趣小组进行化学实验，按照左图连接好线路发现灯泡不亮，按照右图连接好线路发现灯泡亮，由此得出的结论不正确的是：A．NaCl是电解质B．NaCl溶液是电解质C．NaCl在水溶液中电离出可以自由移动的离子D．NaCl溶液可以导电9．下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是（）A．无色溶液中：K+、Na+、MnO4﹣、SO42﹣B．在酸性溶液中：Ｃｕ2+、Na+、SO42﹣、Cl﹣C．加入Al能放出H2的溶液中：Cl﹣、HCO3﹣、SO42﹣、NH4+ D．含大量Fe2+溶液中：K+、Cl﹣、ClO﹣、Na+10．下列分离或提纯物质的方法正确的是（）A．用溶解、过滤的方法提纯含有少量BaSO4的BaCO3B．用过滤的方法除去NaCl溶液中含有的少量淀粉胶体C．用渗析的方法精制Fe（OH）3胶体D．用加热→蒸发的方法可以除去粗盐中的CaCl2、MgCl2等杂质11．N A为阿伏加德罗常数，下列叙述正确的是（）A．11.2 L氧气中所含有的原子数为N AB．标准状况下，22.4LCCl4所含分子数为N AC．7.8g的Na2O2中含有的阴离子的数目为0.2N AD．27g Al分别与足量的稀硫酸及氢氧化钠溶液反应失去的电子数都是3N A 12．下列各组反应，最终一定能得到白色沉淀的是A．向Al2(SO4)3溶液中加入过量NaOH溶液B．向CuSO4溶液中加入NaOH溶液C．向FeCl2溶液中加入过量NaOH溶液D．向Na2SiO3溶液中加入稀盐酸13．下列说法或做法正确的是( )A. 硅是地壳中含量位居第二的元素，玛瑙、光导纤维的主要成分为SiO2B. 可用Na与MgCl2溶液反应制MgC. 常温下浓硫酸与铁不反应，故常温下可用铁制容器贮藏贮运浓硫酸D. 赏心悦目的雕花玻璃是用烧碱对玻璃进行刻蚀而制成的14．下列各图示中能较长时间看到Fe(OH)2白色沉淀的是( )。
【百强校】2015-2016学年广东省深圳市高中高一上学期期末数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年广东省深圳市高中高一上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：149分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设直三棱柱的体积为，点分别在侧棱上，且，则四棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知圆的标准方程为，直线的方程为，若直线和圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3、已知圆锥的全面积是底面积的倍，那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为（ ）A ．90度B ．120度C ．150度D ．180度4、已知三个顶点的坐标分别为，，，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5、已知是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．，， B ．，， C ．，，D ．，，6、在正四面体中，若为棱的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知直线不经过第三象限，则应满足（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，8、已知定义域为R 的偶函数在（－∞，0]上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．9、函数则（ ）A ．B ．C ．D ．10、函数的零点所在的区间为（ ） A ．B ．C ．D ．11、若，，，则有（ ）A ．B ．C ．D ．12、集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、半径为，且与圆外切于原点的圆的标准方程________________．14、已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于___________15、已知符号函数，则函数的零点个数为 ．16、计算．三、解答题（题型注释）17、已知圆的标准方程为，圆心为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，，切点分别为，．（1）若，试求点的坐标； （2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（3）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．18、如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．（1）求证：； （2）若，求锐二面角的大小．19、已知圆过点和，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．20、如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，．平面，点为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．21、已知函数（）．（1）若，求的单调区间；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．22、已知函数，其中为常数．（1）若，判断函数的奇偶性；（2）若函数在其定义域上是奇函数，求实数的值．参考答案1、C2、B3、D4、C5、D6、A7、B8、A9、A10、C11、B12、D13、14、15、316、17、（1）或；（2）或；（3）详见解析．18、（1）详见解析；（2）．19、（1），或；（2）或．20、（1）详见解析；（2）详见解析．21、（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）．22、（1）函数在其定义域上为奇函数；（2）或．【解析】1、试题分析：为直三棱柱，且，．．故C正确．考点：棱锥的体积．2、试题分析：圆心到直线的距离，因为直线和圆有公共点，所以解得．故B正确．考点：直线与圆的位置关系．【方法点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系问题，难度一般．判断直线与圆的位置关系有两种方法，法一几何法，求圆心到直线的距离，若则直线与圆相交；若则直线与圆相切；若则直线与圆相离．法二代数法，将直线与圆方程联立消去（或）得关于（或）的一元二次方程，看其判别式，若则直线与圆相交；若则直线与圆相切；若则直线与圆相离．3、试题分析：设圆锥底面半径为，母线长为．圆锥的侧面积，圆锥底面积．由题意可知，解得．则这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为．故D正确．考点：1圆锥的全面积；2圆心角．4、试题分析：直线的斜率，所以直线方程为，即．点到直线的距离为．，．故C 正确．考点：1直线方程；2两点间距离，点到线的距离．5、试题分析：A不正确，也有可能；B不正确，也有可能；C不正确，可能或或；D正确，，，，．考点：1线面位置关系；2线面垂直．6、试题分析：取中点，连接．分别为中点，且．或其补角为异面直线所成的角．令正四面体边长为2，则易得．在中．所以异面直线所成的角的余弦值为．（也可根据为等腰三角形取底边中点，在直角三角形中求的余弦值）故A正确．考点：异面直线所成的角．【方法点睛】本题主要考查异面直线所成的角，难度一般．求异面直线所成角的主要方法为平移法，即将两条直线平移成两条相交线，平移后两条相交线所成的锐角或直角即为两异面直线所成的角．求异面直线所成角的步骤：1平移，将两条异面直线平移成相交直线．2定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．7、试题分析：当均不为0时直线斜率存在且不为0，此时斜率，纵截距．直线不经过第三象限，所以．故B正确．考点：直线．8、试题分析：为偶函数又，．为偶函数且在上单调递减，在上单调递增．所以或，即或．解得或．故A正确．考点：1函数的奇偶性；2用单调性解不等式．9、试题分析：，．故A正确．考点：分段函数求值．10、试题分析：函数在定义域内单调递增，且为连续函数，又，且．所以函数的零点所在区间为．故C正确．考点：零点存在性定理．11、试题分析：，，即；；．．故B正确．考点：指数函数，对数函数的单调性．【方法点睛】本题主要考查用指数函数，对数函数的单调性比较大小的问题，难度一般．比较大小常用的方法有：作差法，插入数法，单调性法，图像法等．有时几种方法可能需同时使用．12、试题分析：，所以．故D正确．考点：集合的运算．【易错点睛】本题主要考查集合的运算，属容易题．本题中集合，集合均用描述法给出，且代表元素均为点的坐标形式，即集合与集合取交集后集合中的元素也应为点的坐标形式，而不是数字的形式．解题时一定要注意，否则极易出错．13、试题分析：将圆的方程变形为，可知圆心为，．两圆外切切点为．所以直线方程为．则可设所求圆的圆心为，又所求圆的半径为，则，解得．即所求圆的圆心为，所以所求圆的方程为．考点：1圆的方程；2两圆位置关系．【思路点睛】本题主要考查圆的方程及两圆的位置关系，难度一般．两圆外切时两圆圆心与切点三点共线，由已知圆的圆心及切点可求得三点所在直线方程，从而可设出所求圆的圆心坐标，根据圆心与切点间的距离即为半径可求得圆心，从而可求得圆的标准方程．14、试题分析：由三视图可知此几何体为一个直三棱柱被截取一角所得的几何体，其体积为．考点：1三视图；2几何体的体积．【易错点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可．15、试题分析：时；时；时．．．当时令，即，解得>1成立；当时令，即，解得，成立；当时令，即，解得，成立．综上可得解得或或．所以函数的零点个数为3．考点：1新函数；2函数的零点．16、试题分析：．考点：1对数的运算；2指数的运算．17、试题分析：（1）点在直线上，设，由对称性可知，可得，从而可得点坐标．（2）分析可知直线的斜率一定存在，设其方程为：．由已知分析可得圆心到直线的距离为，由点到线的距离公式可求得的值．（3）由题意知，即．所以过三点的圆必以为直径．设，从而可得圆的方程，根据的任意性可求得此圆所过定点．试题解析：解：（1）直线的方程为，点在直线上，设，由题可知，所以，解之得：故所求点的坐标为或．（2）易知直线的斜率一定存在，设其方程为：，由题知圆心到直线的距离为，所以，解得，或，故所求直线的方程为：或．（3）设，则的中点，因为是圆的切线，所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为：化简得：，此式是关于的恒等式，故解得或所以经过三点的圆必过定点或．考点：1直线与圆的位置关系问题；2过定点问题．18、试题分析：（1）取的中点，连接，由等腰三角形三线合一可得，再由面面垂直的性质定理可得，从而可得．由，可得．根据线面垂直的判定定理可得侧面，从而可得．（2）过点A作于点，连．易证得面，从而可得，由二面角的定义可知即为二面角的一个平面角，在中可求得．试题解析：解：（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则由平面侧面，且平面侧面，得，又平面，所以．因为三棱柱是直三棱柱，则，所以．又，从而侧面，又侧面，故．（2）解：过点A作于点，连．由（1）知，则，且∴即为二面角的一个平面角且直角中：又，∴，由二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为考点：1线线垂直，线面垂直；2二面角．【方法点晴】本题主要考查的是线线垂直、线面垂直、二面角，属于中档题．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是线面垂直得线线垂直，直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线；求二面角的方法主要有定义法，垂面法等．19、试题分析：（1）根据弦的中垂线过圆心可知圆心在线段的中垂线上，先求的中垂线，设圆心，半径．根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，从而可求得圆心坐标．可得圆的标准方程．（2）设点坐标为，点坐标为．由中点坐标公式可用分别表示，将点代入圆的方程从而可得关于点的轨迹方程．试题解析：解：（1）圆心显然在线段的垂直平分线上，设圆心为，半径为，则：圆的标准方程为，由点在圆上得：，又圆与直线，有．于是解得：，或所以圆的标准方程为，或（2）设点坐标为，点坐标为，由为的中点，，则，即：又点在圆上，若圆的方程为，有：，则，整理得：此时点的轨迹方程为：．若圆的方程为，有：，则，整理得：此时点的轨迹方程为：综上所述：点M的轨迹方程为，或考点：1圆的方程；2代入法求轨迹方程．20、试题分析：（1）连接，与相交于点，连接．由中位线易证得，由线面平行的性质定理可证得平面．（2）由已知条件可得三边间的关系，由勾股定理可证得．由平面可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得．试题解析：（1）证明：连接，与相交于点，连接，∵是平行四边形，∴是的中点．∵为的中点，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）证明：∵平面，平面，∴．方法1：∵，设，，过点作的垂线交于点．∵，∴∵∴∴．∴．∵，平面，平面，∴平面．∵平面，∴．方法2：∵，，∴．∴．∴．∵，平面，平面，∴平面．∵平面，∴．考点：1线面平行；2线线垂直，线面垂直．【方法点睛】本题主要考查的是线面平行，线线垂直，线面垂直，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，常用方法有：中位线，平行四边形，平行线分线段成比例逆定理等；证明线面垂直常用其判定定理证明，关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法有：由线面垂直得线线垂直、勾股定理证直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．21、试题分析：（1）先求的定义域．再判断在区间上的单调性，又在其定义域上为增函数，根据复合函数单调性口诀：同增异减判断函数在区间上的单调性．（2）的定义域为等价于恒成立．显然时恒成立，时只需图像开口向上和轴无交点，即且．试题解析：解：（1）当时，，即，解得：所以函数的定义域为设，则关于在为增函数．由复合函数的单调性，的单调区间与的单调区间一致．二次函数的对称轴为所以在单调递增，在单调递减．所以的单调增区间为，单调减区间为．（2）当时，为常数函数，定义域为，满足条件．当时，的定义域为等价于恒成立．于是有，解得：综上所述，实数的取值范围是．考点：1对数函数定义域；2复合函数的单调性．22、试题分析：（1）先求函数的定义域，看是否关于原点对称，若不对称则此函数为非奇非偶函数；若对称当时为偶函数，当时为奇函数．（2）因为此函数为奇函数则，根据对应系数相等可得的值．试题解析：解：（1）当时，，其定义域为R．此时对任意的，都有所以函数在其定义域上为奇函数．（2）若函数在其定义域上是奇函数，则对定义域内的任意，有：整理得：，即：对定义域内的任意都成立．所以当时，，定义域为R；当时，，定义域为．所以实数的值为或．考点：函数的奇偶性．【方法点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义，属容易题．判断函数奇偶性时应先看其定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称则此函数为非奇非偶函数；若对称当时为偶函数，当时为奇函数；当且时，为非奇非偶函数．。
深圳市南山区高一上期末数学试卷(含详细答案)
广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={0，2，4}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0，4}B．{0，3，4}C．{0，2，3，4}D．{2}2．（5分）函数y=1﹣2x的值域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）3．（5分）直线3x+y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°4．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9πB．18πC．27πD．54π5．（5分）下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的为（）A．B．y=x﹣2C．D．y=x26．（5分）已知直线l1：3x+2y+1=0，l2：x﹣2y﹣5=0，设直线l1，l2的交点为A，则点A到直线的距离为（）A．1 B．3 C．D．7．（5分）方程的实数根的所在区间为（）A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）8．（5分）计算其结果是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．39．（5分）已知b＞0，log3b=a，log6b=c，3d=6，则下列等式成立的是（）A．a=2c B．d=ac C．a=cd D．c=ad10．（5分）已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，使得a⊥α，a⊥β；②存在两条平行直线a，b，使得a∥α，a∥β，b∥α，b∥β；③存在两条异面直线a，b，使得a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在一个平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β．其中可以推出α∥β的条件个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）12．（5分）定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f（f2（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数y=+1g（x﹣1）的定义域是．14．（5分）设函数f（x）=，则方程f（x）=2的所有实数根之和为．15．（5分）设点A（﹣5，2），B（1，4），点M为线段AB的中点．则过点M，且与直线3x+y ﹣2=0平行的直线方程为．16．（5分）下列命题中①若log a3＞log b3，则a＞b；②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中：（Ⅰ）求证：AC∥平面A1BC1；（Ⅱ）求证：平面A1BC1⊥平面BB1D1D．18．（12分）已知过点P（m，n）的直线l与直线l0：x+2y+4=0垂直．（Ⅰ）若，且点P在函数的图象上，求直线l的一般式方程；（Ⅱ）若点P（m，n）在直线l0上，判断直线mx+（n﹣1）y+n+5=0是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．19．（12分）已知函数（其中a为非零实数），且方程有且仅有一个实数根．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．20．（12分）研究函数的性质，并作出其图象．21．（12分）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点．如图将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：BM⊥平面ADM；（Ⅱ）若点E是线段DB上的中点，求三棱锥E﹣ABM的体积V1与四棱锥D﹣ABCM的体积V2之比．22．（12分）已知函数f（x）=x2+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．设a＞0，将函数f（x）的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移a2个单位长度，得到函数g（x）的图象．（Ⅰ）若函数g（x）有两个零点x1，x2，且x1＜4＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，若有，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g（x）在区间[a，2a]上为“陡峭函数”，求实数a的取值范围．广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={0，2，4}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0，4}B．{0，3，4}C．{0，2，3，4}D．{2}【解答】解：∵∁U A={0，3，4}，∴（∁U A）∩B={0，4}，故选：A2．（5分）函数y=1﹣2x的值域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）【解答】解：函数y=1﹣2x，其定义域为R．∵2x的值域为（0，+∞），∴函数y=1﹣2x的值域为（﹣∞，1），故选D．3．（5分）直线3x+y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：直线3x+y+1=0的斜率为：，直线的倾斜角为：θ，tan，可得θ=120°．故选：C．4．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9πB．18πC．27πD．54π【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的圆锥，圆锥的底面直径为6，故底面半径r=3，圆锥的高h=6，故圆锥的体积V==18π，故选：B5．（5分）下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的为（）A．B．y=x﹣2C．D．y=x2【解答】解：对于A：y=，函数在（0，+∞）递增，不合题意；对于B：y=是偶函数，在（0，+∞）递减，符合题意；对于C：y=，不是偶函数，不合题意；对于D：y=x2在（0，+∞）递增，不合题意；故选：B．6．（5分）已知直线l1：3x+2y+1=0，l2：x﹣2y﹣5=0，设直线l1，l2的交点为A，则点A到直线的距离为（）A．1 B．3 C．D．【解答】解：联立，得，∴A（1，﹣2），∴点A到直线的距离为d==1．故选：A．7．（5分）方程的实数根的所在区间为（）A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）【解答】解：令f（x）=lnx﹣，易知f（x）在其定义域上连续，f（2）=ln2﹣=ln2﹣ln＞0，f（1）=ln1﹣1=﹣1＜0，故f（x）=lnx﹣，在（1，2）上有零点，故方程方程的根所在的区间是（1，2）；故选：C．8．（5分）计算其结果是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【解答】解：原式=+﹣lg5+|lg2﹣1|=+﹣lg5﹣lg1+1=1，故选：B9．（5分）已知b＞0，log3b=a，log6b=c，3d=6，则下列等式成立的是（）A．a=2c B．d=ac C．a=cd D．c=ad【解答】解：b＞0，3d=6，∴d=log36，∴log36•log6b=log3b，∴a=cd故选：C10．（5分）已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，使得a⊥α，a⊥β；②存在两条平行直线a，b，使得a∥α，a∥β，b∥α，b∥β；③存在两条异面直线a，b，使得a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在一个平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β．其中可以推出α∥β的条件个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：当α、β不平行时，不存在直线a与α、β都垂直，∴a⊥α，a⊥β⇒α∥β，故①正确；对②，∵a∥b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α时，α、β位置关系不确定②不正确；对③，异面直线a，b．∴a过上一点作c∥b；过b上一点作d∥a，则a与c相交；b与d相交，根据线线平行⇒线面平行⇒面面平行，正确对④，∵γ⊥α，γ⊥β，α、β可以相交也可以平行，∴不正确．故选B．11．（5分）设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）【解答】解：集合A={x|2x≤8}={x|x≤3}，因为A∪B=A，所以B⊆A，所以m2+m+1≤3，解得﹣2≤m≤1，即m∈[﹣2，1]．故选：B．12．（5分）定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f（f2（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意f1（x）=f（x）=．f2（x）=f（f1（x））==，f3（x）=f（f2（x））==，…f n（x）=f（f n﹣1（x））=，∴f2017（x）=，由得：，或，由中x≠1得：函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数y=+1g（x﹣1）的定义域是（1，2] ．【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得：x∈（1，2]．函数y=+1g（x﹣1）的定义域是（1，2]．故答案为：（1，2]．14．（5分）设函数f（x）=，则方程f（x）=2的所有实数根之和为．【解答】解：∵f（x）=，则方程f（x）=2∴x＞0时，x=2，x=3，x≤0时，x2=2，x=，∴+3=故答案为：15．（5分）设点A（﹣5，2），B（1，4），点M为线段AB的中点．则过点M，且与直线3x+y﹣2=0平行的直线方程为3x+y+3=0．【解答】解：M（﹣2，3），设与直线3x+y﹣2=0平行的直线方程为：3x+y+m=0，把点M的坐标代入可得：﹣6+3+m=0，解得m=3．故所求的直线方程为：3x+y+3=0．故答案为：3x+y+3=0．16．（5分）下列命题中①若log a3＞log b3，则a＞b；②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有②④．【解答】解：若log a3＞log b3＞0，则a＜b，故①错误；函数f（x）=x2﹣2x+3的图象开口朝上，且以直线x=1为对称轴，当x=1时，函数取最小值2，无最大值，故函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；故②正确；g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）可能存在零点；故③错误；数满足h（﹣x）=﹣h（x），故h（x）为奇函数，又由=﹣e x＜0恒成立，故h（x）为减函数故④正确；故答案为：②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中：（Ⅰ）求证：AC∥平面A1BC1；（Ⅱ）求证：平面A1BC1⊥平面BB1D1D．【解答】证明：（Ⅰ）因为AA1∥CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形，…（2分）所以AC∥A1C1，又A1C1⊂平面A1BC1，AC⊄平面A1BC1，AC∥平面A1BC1；…（5分）（Ⅱ）易知A1C1⊥B1D1，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，…（7分）因为BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，因为A1C1⊂平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面BB1D1D．…（10分）18．（12分）已知过点P（m，n）的直线l与直线l0：x+2y+4=0垂直．（Ⅰ）若，且点P在函数的图象上，求直线l的一般式方程；（Ⅱ）若点P（m，n）在直线l0上，判断直线mx+（n﹣1）y+n+5=0是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）点P在函数的图象上，，即点…（2分）由x+2y+4=0，得，即直线l0的斜率为，又直线l与直线l0垂直，则直线l的斜率k满足：，即k=2，…（4分）所以直线l的方程为，一般式方程为：2x﹣y+1=0．…（6分）（Ⅱ）点P（m，n）在直线l0上，所以m+2n+4=0，即m=﹣2n﹣4，…（8分）代入mx+（n﹣1）y+n+5=0中，整理得n（﹣2x+y+1）﹣（4x+y﹣5）=0，…（10分）由，解得，故直线mx+（n﹣1）y+n+5=0必经过定点，其坐标为（1，1）．…（12分）19．（12分）已知函数（其中a为非零实数），且方程有且仅有一个实数根．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．【解答】解：（Ⅰ）由，得，又a≠0，即二次方程ax2﹣4x+4﹣a=0有且仅有一个实数根（且该实数根非零），所以△=（﹣4）2﹣4a（4﹣a）=0，解得a=2（此时实数根非零）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函数解析式，任取0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==，∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，2+x1x2＞0，x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．20．（12分）研究函数的性质，并作出其图象．【解答】（本小题满分12分）解：（1）函数的定义域为{x/x∈R，x≠±2}…（1分）（2）函数的奇偶性：∵∴f（x）是偶函数…（3分）（3）∵，当x∈[0，2）时，且递减；当x∈（2，+∞）时，f（x）＞1，递减且以直线x=2，y=1为渐近线；又f（x）是偶函数∴f（x）当x∈（﹣2，0]时，且递增；当x∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）＞1，递增且以直线x=﹣2，y=1为渐近线；…（8分）（4）函数f（x）的图象如图所示．…（12分）21．（12分）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点．如图将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：BM⊥平面ADM；（Ⅱ）若点E是线段DB上的中点，求三棱锥E﹣ABM的体积V1与四棱锥D﹣ABCM的体积V2之比．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点，所以，所以AM2+BM2=AB2，所以BM⊥AM．…（3分）因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，又BM⊂平面ABCM，且BM⊥AM，∴BM⊥平面ADM．…（6分）解：（Ⅱ）因为E为DB的中点，所以，…（8分）又直角三角形ABM的面积，梯形ABCM的面积，所以，且，…（11分）所以．…（12分）22．（12分）已知函数f（x）=x2+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．设a＞0，将函数f（x）的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移a2个单位长度，得到函数g（x）的图象．（Ⅰ）若函数g（x）有两个零点x1，x2，且x1＜4＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，若有，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g（x）在区间[a，2a]上为“陡峭函数”，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，即f（x）=x2﹣4x+2，…（1分）由题设可知g（x）=（x﹣a）2﹣4（x﹣a）+2﹣a2=x2﹣（2a+4）x+4a+2，…（2分）因为g（x）有两个零点x1，x2，且x1＜4＜x2，∴g（4）=16﹣4（2a+4）+4a+2＜0，，又a＞0，于是实数a的取值范围为．…（5分）（Ⅱ）由g（x）=x2﹣（2a+4）x+4a+2可知，其对称轴为x=a+2，…（6分）①当0＜a≤2时，a+2≥2a，函数g（x）在区间[a，2a]上单调递减，最小值λ=g（2a）=﹣4a+2，最大值μ=g（a）=﹣a2+2，则，显然此时a不存在，…（8分）②当2＜a≤4时，a＜a+2＜2a，最小值λ=g（a+2）=﹣a2﹣2，又，最大值μ=g（a）=﹣a2+2，则，，又2＜a≤4，此时a亦不存在，…（10分）③当a＞4时，a＜a+2＜2a，最小值λ=g（a+2）=﹣a2﹣2，又，故最大值μ=g（2a）=﹣4a+2，则，，即，综上可知，实数a的取值范围为．…（12分）。
深圳市南山区高一上期末数学试卷((含参考答案))(最新修订)
广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={0，2，4}，则（∁UA）∩B等于（）A．{0，4} B．{0，3，4} C．{0，2，3，4} D．{2}2．（5分）函数y=1﹣2x的值域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）3．（5分）直线3x+y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9πB．18πC．27πD．54π5．（5分）下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的为（）A．B．y=x﹣2C．D．y=x26．（5分）已知直线l1：3x+2y+1=0，l2：x﹣2y﹣5=0，设直线l1，l2的交点为A，则点A到直线的距离为（）A．1 B．3 C．D．7．（5分）方程的实数根的所在区间为（）A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）8．（5分）计算其结果是（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣3D ．39．（5分）已知b ＞0，log 3b=a ，log 6b=c ，3d =6，则下列等式成立的是（ ） A ．a=2cB ．d=acC ．a=cdD ．c=ad10．（5分）已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线a ，使得a ⊥α，a ⊥β；②存在两条平行直线a ，b ，使得a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β； ③存在两条异面直线a ，b ，使得a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α； ④存在一个平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β． 其中可以推出α∥β的条件个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．（5分）设集合A={x|2x ≤8}，B={x|x ≤m 2+m+1}，若A ∪B=A ，则实数m 的取值范围为．（ ）A ．[﹣2，1）B ．[﹣2，1]C ．[﹣2，﹣1）D ．[﹣1，1） 12．（5分）定义函数序列：，f 2（x ）=f （f 1（x ）），f 3（x ）=f （f 2（x ）），…，f n （x ）=f （f n ﹣1（x ）），则函数y=f 2017（x ）的图象与曲线的交点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）函数y=+1g （x ﹣1）的定义域是 ．14．（5分）设函数f （x ）=，则方程f （x ）=2的所有实数根之和为 ．15．（5分）设点A （﹣5，2），B （1，4），点M 为线段AB 的中点．则过点M ，且与直线3x+y ﹣2=0平行的直线方程为 ． 16．（5分）下列命题中 ①若log a 3＞log b 3，则a ＞b ；②函数f （x ）=x 2﹣2x+3，x ∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g （x ）是定义在区间[a ，b]上的连续函数．若g （a ）=g （b ）＞0，则函数g （x ）无零点； ④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中： （Ⅰ）求证：AC ∥平面A 1BC 1；（Ⅱ）求证：平面A 1BC 1⊥平面BB 1D 1D ．18．（12分）已知过点P （m ，n ）的直线l 与直线l 0：x+2y+4=0垂直． （Ⅰ） 若，且点P 在函数的图象上，求直线l 的一般式方程；（Ⅱ） 若点P （m ，n ）在直线l 0上，判断直线mx+（n ﹣1）y+n+5=0是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 19．（12分）已知函数（其中a 为非零实数），且方程有且仅有一个实数根．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）证明：函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减． 20．（12分）研究函数的性质，并作出其图象．21．（12分）已知矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为CD 的中点．如图将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （Ⅰ）求证：BM ⊥平面ADM ；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的中点，求三棱锥E ﹣ABM 的体积V 1与四棱锥D ﹣ABCM 的体积V 2之比．22．（12分）已知函数f （x ）=x 2+2bx+c ，且f （1）=f （3）=﹣1．设a ＞0，将函数f （x ）的图象先向右平移a 个单位长度，再向下平移a 2个单位长度，得到函数g （x ）的图象． （Ⅰ）若函数g （x ）有两个零点x 1，x 2，且x 1＜4＜x 2，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设连续函数在区间[m ，n]上的值域为[λ，μ]，若有，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g （x ）在区间[a ，2a]上为“陡峭函数”，求实数a 的取值范围．广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．A）∩B等1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={0，2，4}，则（∁U于（）A．{0，4} B．{0，3，4} C．{0，2，3，4} D．{2}A={0，3，4}，【解答】解：∵∁UA）∩B={0，4}，∴（∁U故选：A2．（5分）函数y=1﹣2x的值域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）【解答】解：函数y=1﹣2x，其定义域为R．∵2x的值域为（0，+∞），∴函数y=1﹣2x的值域为（﹣∞，1），故选D．3．（5分）直线3x+y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：直线3x+y+1=0的斜率为：，直线的倾斜角为：θ，tan，可得θ=120°．故选：C．4．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9πB．18πC．27πD．54π【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的圆锥，圆锥的底面直径为6，故底面半径r=3，圆锥的高h=6，故圆锥的体积V==18π，故选：B5．（5分）下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的为（）A．B．y=x﹣2C．D．y=x2【解答】解：对于A：y=，函数在（0，+∞）递增，不合题意；对于B：y=是偶函数，在（0，+∞）递减，符合题意；对于C：y=，不是偶函数，不合题意；对于D：y=x2在（0，+∞）递增，不合题意；故选：B．6．（5分）已知直线l1：3x+2y+1=0，l2：x﹣2y﹣5=0，设直线l1，l2的交点为A，则点A到直线的距离为（）A．1 B．3 C．D．【解答】解：联立，得，∴A（1，﹣2），∴点A 到直线的距离为d==1．故选：A ．7．（5分）方程的实数根的所在区间为（ ）A ．（3，4）B ．（2，3）C ．（1，2）D ．（0，1） 【解答】解：令f （x ）=lnx ﹣， 易知f （x ）在其定义域上连续， f （2）=ln2﹣=ln2﹣ln ＞0，f （1）=ln1﹣1=﹣1＜0，故f （x ）=lnx ﹣，在（1，2）上有零点， 故方程方程的根所在的区间是（1，2）；故选：C ．8．（5分）计算其结果是（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣3D ．3【解答】解：原式=+﹣lg5+|lg2﹣1|=+﹣lg5﹣lg1+1=1，故选：B9．（5分）已知b ＞0，log 3b=a ，log 6b=c ，3d =6，则下列等式成立的是（ ） A ．a=2cB ．d=acC ．a=cdD ．c=ad【解答】解：b ＞0，3d =6， ∴d=log 36，∴log 36•log 6b=log 3b ， ∴a=cd故选：C10．（5分）已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线a ，使得a ⊥α，a ⊥β；②存在两条平行直线a ，b ，使得a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β； ③存在两条异面直线a ，b ，使得a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α； ④存在一个平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β． 其中可以推出α∥β的条件个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：当α、β不平行时，不存在直线a 与α、β都垂直，∴a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β，故①正确；对②，∵a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α时，α、β位置关系不确定②不正确；对③，异面直线a ，b ．∴a 过上一点作c ∥b ；过b 上一点作d ∥a ，则 a 与c 相交；b 与d 相交，根据线线平行⇒线面平行⇒面面平行，正确对④，∵γ⊥α，γ⊥β，α、β可以相交也可以平行，∴不正确． 故选B ．11．（5分）设集合A={x|2x ≤8}，B={x|x ≤m 2+m+1}，若A ∪B=A ，则实数m 的取值范围为．（ ）A ．[﹣2，1）B ．[﹣2，1]C ．[﹣2，﹣1）D ．[﹣1，1） 【解答】解：集合A={x|2x ≤8}={x|x ≤3}， 因为A ∪B=A ， 所以B ⊆A ， 所以m 2+m+1≤3，解得﹣2≤m ≤1，即m ∈[﹣2，1]． 故选：B ．12．（5分）定义函数序列：，f 2（x ）=f （f 1（x ）），f 3（x ）=f （f 2（x ）），…，f n （x ）=f （f n ﹣1（x ）），则函数y=f 2017（x ）的图象与曲线的交点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意f 1（x ）=f （x ）=．f 2（x ）=f （f 1（x ））==，f 3（x ）=f （f 2（x ））==，…f n （x ）=f （f n ﹣1（x ））=，∴f 2017（x ）=，由得：，或，由中x ≠1得：函数y=f 2017（x ）的图象与曲线的交点坐标为，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）函数y=+1g （x ﹣1）的定义域是 （1，2] ．【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得：x ∈（1，2]．函数y=+1g （x ﹣1）的定义域是（1，2]．故答案为：（1，2]．14．（5分）设函数f（x）=，则方程f（x）=2的所有实数根之和为．【解答】解：∵f（x）=，则方程f（x）=2∴x＞0时，x=2，x=3，x≤0时，x2=2，x=，∴+3=故答案为：15．（5分）设点A（﹣5，2），B（1，4），点M为线段AB的中点．则过点M，且与直线3x+y ﹣2=0平行的直线方程为3x+y+3=0 ．【解答】解：M（﹣2，3），设与直线3x+y﹣2=0平行的直线方程为：3x+y+m=0，把点M的坐标代入可得：﹣6+3+m=0，解得m=3．故所求的直线方程为：3x+y+3=0．故答案为：3x+y+3=0．16．（5分）下列命题中①若loga 3＞logb3，则a＞b；②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有②④．【解答】解：若loga 3＞logb3＞0，则a＜b，故①错误；函数f（x）=x2﹣2x+3的图象开口朝上，且以直线x=1为对称轴，当x=1时，函数取最小值2，无最大值，故函数f （x ）=x 2﹣2x+3，x ∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）； 故②正确；g （x ）是定义在区间[a ，b]上的连续函数．若g （a ）=g （b ）＞0， 则函数g （x ）可能存在零点； 故③错误；数满足h （﹣x ）=﹣h （x ），故h （x ）为奇函数，又由=﹣e x ＜0恒成立，故h （x ）为减函数故④正确； 故答案为：②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中： （Ⅰ）求证：AC ∥平面A 1BC 1；（Ⅱ）求证：平面A 1BC 1⊥平面BB 1D 1D ．【解答】证明：（Ⅰ）因为AA 1∥CC 1，所以四边形ACC 1A 1为平行四边形，…（2分） 所以AC ∥A 1C 1，又A 1C 1⊂平面A 1BC 1，AC ⊄平面A 1BC 1，AC ∥平面A 1BC 1； …（5分） （Ⅱ）易知A 1C 1⊥B 1D 1，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥A 1C 1，…（7分） 因为BB 1∩B 1D 1=B 1，所以A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ，因为A 1C 1⊂平面A 1BC 1，所以平面A 1BC 1⊥平面BB 1D 1D ．…（10分）18．（12分）已知过点P （m ，n ）的直线l 与直线l 0：x+2y+4=0垂直．（Ⅰ） 若，且点P 在函数的图象上，求直线l 的一般式方程；（Ⅱ） 若点P （m ，n ）在直线l 0上，判断直线mx+（n ﹣1）y+n+5=0是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）点P 在函数的图象上，，即点…（2分）由x+2y+4=0，得，即直线l 0的斜率为，又直线l 与直线l 0垂直，则直线l 的斜率k 满足：，即k=2，…（4分） 所以直线l 的方程为，一般式方程为：2x ﹣y+1=0．…（6分）（Ⅱ）点P （m ，n ）在直线l 0上，所以m+2n+4=0，即m=﹣2n ﹣4，…（8分） 代入mx+（n ﹣1）y+n+5=0中，整理得n （﹣2x+y+1）﹣（4x+y ﹣5）=0，…（10分）由，解得，故直线mx+（n ﹣1）y+n+5=0必经过定点，其坐标为（1，1）．…（12分）19．（12分）已知函数（其中a 为非零实数），且方程有且仅有一个实数根．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）证明：函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减． 【解答】解：（Ⅰ）由，得，又a ≠0，即二次方程ax 2﹣4x+4﹣a=0有且仅有一个实数根（且该实数根非零）， 所以△=（﹣4）2﹣4a （4﹣a ）=0， 解得a=2（此时实数根非零）． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：函数解析式，任取0＜x 1＜x 2， 则f （x 1）﹣f （x 2）==，∵0＜x 1＜x 2，∴x 2﹣x 1＞0，2+x 1x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， ∴函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减．20．（12分）研究函数的性质，并作出其图象．【解答】（本小题满分12分）解：（1）函数的定义域为{x/x ∈R ，x ≠±2}…（1分） （2）函数的奇偶性：∵∴f （x ）是偶函数…（3分） （3）∵，当x ∈[0，2）时，且递减；当x ∈（2，+∞）时，f （x ）＞1，递减且以直线x=2，y=1为渐近线； 又f （x ）是偶函数∴f （x ）当x ∈（﹣2，0]时，且递增；当x ∈（﹣∞，﹣2）时，f （x ）＞1，递增且以直线x=﹣2，y=1为渐近线；…（8分） （4）函数f （x ）的图象如图所示．…（12分）21．（12分）已知矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为CD 的中点．如图将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （Ⅰ）求证：BM ⊥平面ADM ；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的中点，求三棱锥E ﹣ABM 的体积V 1与四棱锥D ﹣ABCM 的体积V 2之比．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为CD 的中点， 所以，所以AM 2+BM 2=AB 2，所以BM ⊥AM ．…（3分）因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM=AM ， 又BM ⊂平面ABCM ，且BM ⊥AM ， ∴BM ⊥平面ADM ．…（6分） 解：（Ⅱ）因为E 为DB 的中点，所以，…（8分）又直角三角形ABM 的面积，梯形ABCM 的面积，所以，且，…（11分）所以．…（12分）22．（12分）已知函数f （x ）=x 2+2bx+c ，且f （1）=f （3）=﹣1．设a ＞0，将函数f （x ）的图象先向右平移a 个单位长度，再向下平移a 2个单位长度，得到函数g （x ）的图象． （Ⅰ）若函数g （x ）有两个零点x 1，x 2，且x 1＜4＜x 2，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设连续函数在区间[m ，n]上的值域为[λ，μ]，若有，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g （x ）在区间[a ，2a]上为“陡峭函数”，求实数a 的取值范围． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由，即f（x）=x2﹣4x+2，…（1分）由题设可知g（x）=（x﹣a）2﹣4（x﹣a）+2﹣a2=x2﹣（2a+4）x+4a+2，…（2分）因为g（x）有两个零点x1，x2，且x1＜4＜x2，∴g（4）=16﹣4（2a+4）+4a+2＜0，，又a＞0，于是实数a的取值范围为．…（5分）（Ⅱ）由g（x）=x2﹣（2a+4）x+4a+2可知，其对称轴为x=a+2，…（6分）①当0＜a≤2时，a+2≥2a，函数g（x）在区间[a，2a]上单调递减，最小值λ=g（2a）=﹣4a+2，最大值μ=g（a）=﹣a2+2，则，显然此时a不存在，…（8分）②当2＜a≤4时，a＜a+2＜2a，最小值λ=g（a+2）=﹣a2﹣2，又，最大值μ=g（a）=﹣a2+2，则，，又2＜a≤4，此时a亦不存在，…（10分）③当a＞4时，a＜a+2＜2a，最小值λ=g（a+2）=﹣a2﹣2，又，故最大值μ=g（2a）=﹣4a+2，则，，即，综上可知，实数a的取值范围为．…（12分）。
广东省深圳市南山区高一(上)期末数学试卷
2012-2013学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．1．（5分）（2012秋•深圳期末）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，4}，则∁U A=（）A．{0，2，4}B．{0，3}C．{1，2，4}D．{0，2，3，4}2．（5分）（2012•山东学业考试）下列函数中，在R上单调递增的是（）A．y=|x|B．y=log2x C．y=D．y=0.5x3．（5分）（2012秋•深圳期末）已知直线l在x轴上的截距为1，且垂直于直线，则l的方程是（）A．y=2x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=2x+2 D．y=﹣2x+24．（5分）（2012秋•深圳期末）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一正方形，那么该几何体的侧视图的面积为（）A．1 B．2 C．D．45．（5分）（2012秋•深圳期末）三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x﹣y=10相交于一点，则a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．16．（5分）（2012秋•深圳期末）已知函数f（x），g（x）分别由右表给出，则f[g （2）]的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）（2012秋•深圳期末）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，下列说法正确的是（）A．直线EF与直线AD 相交 B．直线EF与直线AD 异面C．直线EF与直线AD 垂直 D．直线EF与直线AD 平行8．（5分）（2012秋•深圳期末）三棱锥V﹣ABC的底面ABC的面积为12，顶点V 到底面ABC的距离为3，侧面VAB的面积为9，则点C到侧面VAB的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）（2012秋•深圳期末）点P（m﹣n，﹣m）到直线+=1的距离等于（）A． B． C．D．10．（5分）（2012•黄陂区校级模拟）若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间（1，+∞）上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1]C．（0，1） D．（0，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷上．11．（5分）（2012•封开县校级模拟）比较大小：log20.3＜20..3（填＞或＜）．12．（5分）（2012秋•深圳期末）设全集U={x∈N*|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）={2，4} ．13．（5分）（2012秋•深圳期末）设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（2）的值是﹣．14．（5分）（2011•遂溪县一模）对于平面α，β和直线m，试用“⊥”和“∥”构造条件m⊥α，α∥β使之能推出m⊥β．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（2012秋•深圳期末）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x ﹣4≥x﹣2}．（1）求B及∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．16．（12分）（2012秋•深圳期末）已知△ABC的顶点A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（4，7）（1）求BC边上的中线AD （D为BC的中点）的方程，（2）求线段AD的垂直平分线方程．17．（14分）（2012秋•深圳期末）已知函数f（x）=2x+a×2﹣x+1，x∈R．（1）若a=0，画出此时函数的图象；（不列表）（2）若a＜0，判断函数f（x）在定义域内的单调性，并加以证明．18．（14分）（2012秋•深圳期末）已知直线l1和l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又直线l1过点P（﹣3，3）．如果点Q（2，2）到l2的距离为1，求l2的方程．19．（14分）（2012秋•深圳期末）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABPM⊥平面ABCD，PB⊥AB，MA∥PB，PB=AB=2MA（1）证明：DC⊥平面PBC（2）AC∥平面PMD．20．（14分）（2012秋•深圳期末）已知函数，（1）当a=0时，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）当0＜a＜1，求函数h（x）=f（x）﹣x的零点；（3）当0＜a＜1时，探讨函数y=f（x）的单调性．2012-2013学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．1．（5分）（2012秋•深圳期末）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，4}，则∁U A=（）A．{0，2，4}B．{0，3}C．{1，2，4}D．{0，2，3，4}【解答】解：因为全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，4}，那么集合∁U A={0，3}．故选B．2．（5分）（2012•山东学业考试）下列函数中，在R上单调递增的是（）A．y=|x|B．y=log2x C．y=D．y=0.5x【解答】A、y=|x|=的单调增区间是[0，+∞）；故A不正确；B、y=log2x的定义域是（0，+∞），故不正确；C、y=的定义域是R，并且是增函数，故正确；D、y=0.5x在R上单调递减，故不正确．故选C．3．（5分）（2012秋•深圳期末）已知直线l在x轴上的截距为1，且垂直于直线，则l的方程是（）A．y=2x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=2x+2 D．y=﹣2x+2【解答】解：由题意可得直线的斜率为，故所求直线的斜率为﹣2，可设方程为y=﹣2x+b，令y=0可解得x=，由题意可知=1，解得b=2故可得直线的斜截式方程为y=﹣2x+2故选D4．（5分）（2012秋•深圳期末）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一正方形，那么该几何体的侧视图的面积为（）A．1 B．2 C．D．4【解答】解：三视图复原的几何体是底面为正方形边长为2，正视图是正三角形，所以几何体是正四棱锥，侧视图与正视图图形相同，侧视图是边长为2的正三角形，所以侧视图的面积为：=．故选C．5．（5分）（2012秋•深圳期末）三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x﹣y=10相交于一点，则a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：解方程组4x+3y=10，2x﹣y=10，得交点坐标为（4，﹣2），代入ax+2y+8=0，得a=﹣1．故选B6．（5分）（2012秋•深圳期末）已知函数f（x），g（x）分别由右表给出，则f[g （2）]的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意得，g（2）=2，所以f[g（2）]=f（2）=1．故选A．7．（5分）（2012秋•深圳期末）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，下列说法正确的是（）A．直线EF与直线AD 相交 B．直线EF与直线AD 异面C．直线EF与直线AD 垂直 D．直线EF与直线AD 平行【解答】解：作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，E，F分别是AB，BC的中点，由中位线的性质知，EH∥AC，EF⊄平面ACD，∴EF∥平面ACD，AD⊂平面ACD，且AC与AD相交，故直线EF与直线AD 异面，故选B．8．（5分）（2012秋•深圳期末）三棱锥V﹣ABC的底面ABC的面积为12，顶点V 到底面ABC的距离为3，侧面VAB的面积为9，则点C到侧面VAB的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：三棱锥，也就是四面体，V=Sh本题利用体积转换：V=×12×3=9h解得h=4 所以，点C到侧面VAB的距离为4故选：B9．（5分）（2012秋•深圳期末）点P（m﹣n，﹣m）到直线+=1的距离等于（）A． B． C．D．【解答】解：因为直线+=1可化为nx+my﹣mn=0，则由点到直线的距离公式，得d==．故选A10．（5分）（2012•黄陂区校级模拟）若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间（1，+∞）上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1]C．（0，1） D．（0，1]【解答】解：∵f（x）=﹣x2+2ax的图象是开口朝下，且以直线x=a为对称轴的抛物线，故函数的单调递减区间为[a，+∞），g（x）=在a＞0时的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），又∵f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间（1，+∞）上都是减函数，∴，解得a∈（0，1]，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷上．11．（5分）（2012•封开县校级模拟）比较大小：log20.3＜20..3（填＞或＜）．【解答】解：∵2＞1，0.3＜1∴log20.3＜0∵20.3＞0∴log20.3＜20..3故答案为＜12．（5分）（2012秋•深圳期末）设全集U={x∈N*|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）={2，4} ．【解答】解：∵A={1，3}，B={3，5}，∴A∪B={1，3，5}，∵U={x∈N*|x＜6}={1，2，3，4，5}，∴C U（A∪B）={2，4}，故答案为：{2，4}．13．（5分）（2012秋•深圳期末）设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（2）的值是﹣．【解答】解：由题意知g（2）=f（2），又因为f（x）是奇函数，所以f（2）=﹣f（﹣2）=﹣2﹣2=﹣，故答案为﹣．14．（5分）（2011•遂溪县一模）对于平面α，β和直线m，试用“⊥”和“∥”构造条件m⊥α，α∥β使之能推出m⊥β．【解答】解：由线面垂直的定理，知欲证线面垂直需要线与面内两个相交线垂直的条件，本题所给的前担条件不具备，故此路不通；由线面垂直的等价条件，一线垂直于两个平行平面的一个必垂直于另一个，则条件可以组合成：m⊥α，α∥β，恰好可以得出m⊥β故答案为：m⊥α，α∥β三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（2012秋•深圳期末）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x ﹣4≥x﹣2}．（1）求B及∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【解答】（改编自课本19页本章测试13、14两题）解：（1）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…2分∴A∩B={x|2≤x＜3}…4分∴C U（A∩B）={x|x＜2或x≥3}…7分（2）由B∪C=C得B⊆C…9分C={x|2x+a＞0}=根据数轴可得，…12分从而a＞﹣4，故实数a的取值范围是（﹣4，+∞）．…14分．16．（12分）（2012秋•深圳期末）已知△ABC的顶点A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（4，7）（1）求BC边上的中线AD （D为BC的中点）的方程，（2）求线段AD的垂直平分线方程．【解答】解：（1）设BC边上的中点为D，由中点坐标公式可知：D的坐标（），即（1，3）；中线AD的斜率为：=﹣1，由点斜式方程可知y﹣3=﹣1（x﹣1），整理可得AD的方程，x+y﹣4=0．（2）A（﹣1，5），D（1，3）；AD的中点为（0，4），由（1）可知，AD的斜率为：﹣1，所以AD的中垂线方程为：y﹣4=x，所以线段AD的垂直平分线方程：x﹣y+4=0．17．（14分）（2012秋•深圳期末）已知函数f（x）=2x+a×2﹣x+1，x∈R．（1）若a=0，画出此时函数的图象；（不列表）（2）若a＜0，判断函数f（x）在定义域内的单调性，并加以证明．【解答】解：（1）函数f（x）=2x+a×2﹣x+1，x∈R．a=0时，函数化为：f（x）=2x+1，函数图象如图：（2）当a＜0时，函数f（x）在定义域内的是增函数，证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣（）===∵y=2x是增函数，∴，∵，a＜0，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），函数f（x）在定义域内的是增函数．18．（14分）（2012秋•深圳期末）已知直线l1和l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又直线l1过点P（﹣3，3）．如果点Q（2，2）到l2的距离为1，求l2的方程．【解答】解：由题意可设直线l2的方程为y=k（x﹣a），则直线l1的方程为y=﹣k （x﹣a）．∵点Q（2，2）到l2的距离为1，∴=1．（1）又因为直线l1过点P（﹣3，3），则3=﹣k（﹣3﹣a）．（2）由（2）得ka=3﹣3k，代入（1），得，∴12k2﹣25k+12=0．解，．则时，代入（2）得，此时直线l2：4x﹣3y+3=0；时，a=1，此时直线l2：3x﹣4y﹣3=0．所以直线l2的方程为：4x﹣3y+3=0，或3x﹣4y﹣3=0．19．（14分）（2012秋•深圳期末）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABPM⊥平面ABCD，PB⊥AB，MA∥PB，PB=AB=2MA（1）证明：DC⊥平面PBC（2）AC∥平面PMD．【解答】证明：（1）如图，∵平面ABPM⊥平面ABCD，平面ABPM∩平面ABCD=AB，又PB⊥AB，PB⊂平面ABPM，∴PB⊥平面ABCD．又DC⊂平面ABCD，∴PB⊥DC，又四边形ABCD是正方形，∴DC⊥BC，而PB∩BC=B，∴DC⊥平面PBC；（2）连结AC，BD交于点O，取PD的中点为E，连结OE，在△PBD中，OE∥PB，OE=PB，又MA∥PB，AM=PB，所以AOEM是平行四边形，∴AO∥ME，AC⊄平面PMD，ME⊂平面PMD，∴AC∥平面PMD．20．（14分）（2012秋•深圳期末）已知函数，（1）当a=0时，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）当0＜a＜1，求函数h（x）=f（x）﹣x的零点；（3）当0＜a＜1时，探讨函数y=f（x）的单调性．【解答】解：（1）当x=0时，f（x）=0，当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x=f（x），当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2+（﹣x）=x2﹣x=f（x），所以f（﹣x）=f（x），故f（x）为偶函数；（2）当0＜a＜1时，当x≥a时，方程f（x）﹣x=0即为x2﹣a=0，解得x=，当x＜a时，方程f（x）﹣x=0即为x2﹣2x+a=0，解得x=1﹣，综上所述，当0＜a＜1时，h（x）=f（x）﹣x的零点为；（3）当0＜a＜1时，当x≥a时，f（x）=，由二次函数的大致图象可知：f（x）在[a，+∞）上是增函数，当x＜a时，f（x）=，由二次函数的大致图象可知：①a时，f（x）在（﹣∞，）上是减函数，在（，a）上是增函数；②当0＜a＜时，由二次函数的大致图象可知：f（x）在（﹣∞，a）上是减函数，综上所述，当x≥a时，f（x）在[a，+∞）上是增函数；当x＜a时，若a，f（x）在（﹣∞，）上是减函数，在（，a）上是增函数；若0＜a＜，f（x）在（﹣∞，a）上是减函数．。
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2015-2016学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．1．（5.00分）已知实数集为R，集合M={x|x＜3}，N={x|x＜1}，则M∩C R N=（）A．φB．{x|1＜x＜3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3}2．（5.00分）下列每组函数是同一函数的是（）A．B．C．D．3．（5.00分）空间中，直线a，b，平面α，β，下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥a⇒b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β⇒β∥αC．若α∥β，b∥α⇒b∥βD．若α∥β，a⊂α⇒a∥β4．（5.00分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）5．（5.00分）直线过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y=0垂直，则直线的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y﹣7=0 C．2x﹣3y﹣5=0 D．2x﹣3y+8=06．（5.00分）三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）A．1倍 B．2倍 C．倍 D．倍7．（5.00分）已知f（x）是奇函数，当x＞0时，当x＜0时f（x）=（）A．B．C．D．8．（5.00分）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是（）A．4 B．C．2 D．9．（5.00分）三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是（）A．0.65＜log0.65＜50.6B．0.65＜50.6＜log0.65C．log0.65＜0.65＜50.6D．log0.65＜50.6＜0.6510．（5.00分）斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程为（）A．3x+4y﹣12=0B．3x﹣4y﹣12=0C．3x﹣4y+12=0 D．3x﹣4y+12=0或3x﹣4y﹣12=011．（5.00分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）12．（5.00分）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷对应的空格内13．（5.00分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，且f（4）=2，f（x）=．14．（5.00分）已知在圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在相异两点关于直线x﹣y+4=0对称，则实数m的值为．15．（5.00分）已知点A（1，﹣2），B（m，2），且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m的值是．16．（5.00分）四棱锥S﹣ABCD底面为正方形，边长为，且SA=SB=SC=SD，高为2，P，Q两点分别在线段BD，SC上，则P，Q两点间的最短距离为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，把答案填在答题卷对应的空格内17．（10.00分）已知二次函数的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．（Ⅰ）求f（x）的表达式．（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]且k≥6时，求函数F（x）=f（x）﹣kx的最小值g（k）．18．（10.00分）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C：（x﹣1）2+y2=4（Ⅰ）过点做圆的切线，求切线方程．（Ⅱ）求过点B（2，1）的圆的弦长的最小值，并求此时弦所在的直线的方程．19．（12.00分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边的中点，且CC1=2AB．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1．（Ⅱ）求点B到平面B1CD的距离．20．（12.00分）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x）其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）﹣g（x）（Ⅰ）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x的集合．（Ⅲ）若a＞1，当时，h（x）∈[0，1]，求a的值．21．（12.00分）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（Ⅰ）求证：DM⊥平面BPC（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．22．（14.00分）定义在D上的函数f（x），如果满足；对任意x∈D，存在常数M ＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•2x+4x，g（x）=．（1）当a=1时，求函数f（x）在（0，+∞）上的值域，并判断函数f（x）在（0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，求实数a的取值范围；（3）若m＞0，求函数g（x）在[0，1]上的上界T的取值范围．2015-2016学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．1．（5.00分）已知实数集为R，集合M={x|x＜3}，N={x|x＜1}，则M∩C R N=（）A．φB．{x|1＜x＜3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3}【解答】解：∵集合M={x|x＜3}，N={x|x＜1}，∴C R N={x|x≥1}，则M∩（C R N）={x|1≤x＜3}故选：C．2．（5.00分）下列每组函数是同一函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：A选项中，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是[1，+∞），定义域不同，它们的对应法则也不同；故不是同一函数；B选项中两个函数的定义域相同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是R，，两个函数的对应法则相同，是同一函数；C选项中两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，2）∪（2，+∞），g （x）的定义域是R；故不是同一函数；D选项的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，1]∪[3，+∞），g（x）的定义域是[3，+∞），故不是同一函数；只有B选项符合同一函数的要求，故选：B．3．（5.00分）空间中，直线a，b，平面α，β，下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥a⇒b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β⇒β∥αC．若α∥β，b∥α⇒b∥βD．若α∥β，a⊂α⇒a∥β【解答】解：由直线a，b，平面α，β，知：在A中：若a∥α，b∥a⇒b∥α或b⊂α，故A错误；在B中：若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β⇒β与α相交或平行，故B错误；在C中：若α∥β，b∥α⇒b∥β或b⊂β，故C错误；在D中：若α∥β，a⊂α⇒a∥β，由面面平行结合线面平行的定义可得D正确．故选：D．4．（5.00分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．5．（5.00分）直线过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y=0垂直，则直线的方程是（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y﹣7=0 C．2x﹣3y﹣5=0 D．2x﹣3y+8=0【解答】解：设与直线2x﹣3y=0垂直的直线方程为：3x+2y+m=0，把点（﹣1，2）代入可得：﹣3+4+m=0，解得m=﹣1．∴要求的直线方程为：3x+2y﹣1=0，故选：A．6．（5.00分）三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）A．1倍 B．2倍 C．倍 D．倍【解答】解：设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2，16πr2，36πr2，所以最大球的表面积与其余两个球的表面积之和的比为：=．故选：C．7．（5.00分）已知f（x）是奇函数，当x＞0时，当x＜0时f（x）=（）A．B．C．D．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣（1﹣x），又f（x）是奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x）=（1﹣x）．故选：D．8．（5.00分）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，设高为：x，所以，x=2，左视图的矩形长为：2，宽为：；矩形的面积为：2故选：B．9．（5.00分）三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是（）A．0.65＜log0.65＜50.6B．0.65＜50.6＜log0.65C．log0.65＜0.65＜50.6D．log0.65＜50.6＜0.65【解答】解：∵50.6＞1＞0.65＞0＞log0.65，∴50.6＞0.65＞log0.65，故选：C．10．（5.00分）斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程为（）A．3x+4y﹣12=0B．3x﹣4y﹣12=0C．3x﹣4y+12=0 D．3x﹣4y+12=0或3x﹣4y﹣12=0【解答】解：设要求的直线方程为：y=x+b，分别令x=0，解得y=b；y=01，解得x=﹣．=6，解得b=±3．∴要求的直线方程为：y=x±3，化为3x﹣4y±12=0，故选：D．11．（5.00分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选：D．12．（5.00分）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷对应的空格内13．（5.00分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，且f（4）=2，f（x）=log2x．【解答】解：函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，∴f（x）=log a x，又f（4）=2，∴2=log a4，解得a=2．∴f（x）=log2x．故答案为：log2x．14．（5.00分）已知在圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在相异两点关于直线x﹣y+4=0对称，则实数m的值为8．【解答】解：∵在圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在相异两点关于直线x﹣y+4=0对称，∴圆心（）在直线x﹣y+4=0上，即，解得m=8，故答案为：8．15．（5.00分）已知点A（1，﹣2），B（m，2），且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m的值是3．【解答】解：∵线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，∴点A、B的中点（，0）在直线x+2y﹣2=0上，∴+2×0﹣2=0，解得m=3故答案为：3．16．（5.00分）四棱锥S﹣ABCD底面为正方形，边长为，且SA=SB=SC=SD，高为2，P，Q两点分别在线段BD，SC上，则P，Q两点间的最短距离为．【解答】解：如图所示，四棱锥S﹣ABCD底面为正方形，边长为，且SA=SB=SC=SD，高为SO=2，P，Q两点分别在线段BD，SC上，则P，Q两点间的最短距离为直角三角形SOC斜边SC上的高OM；所以OM===．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，把答案填在答题卷对应的空格内17．（10.00分）已知二次函数的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．（Ⅰ）求f（x）的表达式．（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]且k≥6时，求函数F（x）=f（x）﹣kx的最小值g（k）．【解答】解：（Ⅰ）依题意得c=1，﹣=﹣1，b2﹣4ac=0解得a=1，b=2，c=1，从而f（x）=x2+2x+1；（Ⅱ）F（x）=x2+（2﹣k）x+1，对称轴为x=，图象开口向上当≥2即k≥6时，F（x）在[﹣2，2]上单调递减，此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9﹣2k．18．（10.00分）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C：（x﹣1）2+y2=4（Ⅰ）过点做圆的切线，求切线方程．（Ⅱ）求过点B（2，1）的圆的弦长的最小值，并求此时弦所在的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）平面直角坐标系xoy中，圆C：（x﹣1）2+y2=4的圆心C（1，0），且点在圆C上，∴直线CA的斜率是k CA==，∴所求切线的斜率为k l=﹣，切线方程是y﹣=﹣（x﹣2），化简为x+y﹣5=0；（Ⅱ）点B（2，1）在圆C内，圆心C到点B的距离是d==，且半径为r=2；所以过点B的圆的弦长的最小值是：l=2=2=2；又直线CB的斜率为k CB==1，∴所求直线的斜率为k=﹣1，方程为y﹣1=﹣1（x﹣2），化简得x+y﹣3=0．19．（12.00分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边的中点，且CC1=2AB．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1．（Ⅱ）求点B到平面B1CD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）证明：连接BC1交B1C于点O，连接DO．则O是BC1的中点，DO是△BAC1的中位线．所以DO∥AC1．因为DO⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1．（Ⅱ）解：因为CC1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC．所以BB1为三棱锥D﹣CBB1的高．V D﹣CBB1=V B1﹣CBD=S△BCD•BB1=．所以三棱锥D﹣CBB1的体积为．因为：B1D==，CD==，B1C==2，由余弦定理可求cos∠B1CD==，sin∠B1CD=，则可得：=×B 1C×CD×sin∠B1CD=，所以，点B到平面B1CD的距离d=3×=．20．（12.00分）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x）其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）﹣g（x）（Ⅰ）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x的集合．（Ⅲ）若a＞1，当时，h（x）∈[0，1]，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）要使函数有意义，则，解得﹣1＜x＜1，即函数h（x）的定义域为（﹣1，1）；∵h（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣[log a（x+1）﹣log a（1﹣x）]=﹣h（x），∴h（x）是奇函数．（Ⅱ）若f（3）=2，∴log a（1+3）=log a4=2，解得：a=2，∴h（x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x），若h（x）＜0，则log2（x+1）＜log2（1﹣x），∴0＜x+1＜1﹣x，解得﹣1＜x＜0，故不等式的解集为（﹣1，0）；（Ⅲ）h（x）=，令y=，y′=＞0，又a＞1，根据复合函数同增异减的原则，函数h（x）在时单调递增，故h（0）=0，h（）=1，即log a3=1，解得：a=3．21．（12.00分）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（Ⅰ）求证：DM⊥平面BPC（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．【解答】证明：（1）∵DM是△APB的中位线，∴DM∥AP，又∵AP⊥PC，∴DM ⊥PC，∵△PMB为正三角形，∴DM⊥PB，又∵PB⊂平面BPC，PC⊂平面BPC，PB∩PC=P，∴DM⊥平面BPC．（2）∵DM⊥平面BPC，DM∥AP，∴AP⊥平面BCP，∵BC⊂平面BCP，∴BC⊥AP，又∵BC⊥AC，AP⊂平面PAC，AC⊂平面APC，AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面APC．（3）∵AB=20，∴PB=BM=AB=10，DM=5，∵BC=4，∴PC==2．==4，∴S△BCD=S△PBC=2．∴S△PBC∴三棱锥D﹣BCM的体积V=S•DM==10．△BCD22．（14.00分）定义在D上的函数f（x），如果满足；对任意x∈D，存在常数M ＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•2x+4x，g（x）=．（1）当a=1时，求函数f（x）在（0，+∞）上的值域，并判断函数f（x）在（0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，求实数a的取值范围；（3）若m＞0，求函数g（x）在[0，1]上的上界T的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=1+2x+4x，设t=2x，所以t∈（1，+∞）∴函数的值域是（3，+∞），不存在正数M，即函数在x∈（0，+∞）上不是有界函数．（2）由已知函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a2x+4x|≤3设t=2x，所以t∈（0，1），不等式化为|1+at+t2|≤3当0时，1﹣且2+a≤3得﹣2≤a＜0当或即a≤﹣2或a≥0时，得﹣5≤a≤﹣2或0≤a≤1综上有﹣5≤a≤1（3）当m时，T的取值范围是[）；当m时，T的取值范围是[。