工程力学第8章 梁的弯曲应力与强度计算
工程力学第八章 直梁弯曲
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
工程力学第八章：弯曲课件
§8–5 平面弯曲梁横截面上的正应力
8.5.1纯弯曲、剪切弯曲的概念
1、剪切弯曲： 各横截面内既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲或横 力弯曲。
2、纯弯曲 各横截面上剪力等于零，弯矩为一常数，这种弯曲称为纯 弯曲。为了更集中地分析正应力与弯矩之间的关系，先考虑 纯弯曲梁横截面上的正应力。
8.5.2梁的纯弯曲实验及简化假设 一、简化假设 （1）弯曲的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平
例8－3 如图8－13(a)所示，一简支梁AB受均布载荷q作用，试 列出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘出剪力图和弯矩图。
图8－13(a)
解：（1）首先求约束力。利用载荷与支座反力的对称性，
可直接得到约束力为
方（向2向）上按。图9－13(b)R所A =示RB，= q2列L 剪力方程和弯矩方程。由内力计
图8－5
(2)固定铰支座 能阻止支承处截面沿水平和垂直方向移动，但不能阻止其发
生转动的支座称为固定铰支座，其简化形式如图8－5(d)或(e)所 示。
(3)固定端支座（固定端） 这种支座使梁端既不发生移动也不发生转动。其简化形式及
支反力如图8－5（g）、图8－5（h）、图8－5（i）所示。图8－ 1(c)中的钻床横梁的左端以及长轴承、车刀刀架等均可简化为固 定端支座。
2.利用内力计算规则求指定截面上的内力
例8-2 如图8-11所示，悬臂梁作用有均布载荷q及力偶 ，求A点 右侧截面、C点左侧和右侧截面、B点左侧截面的弯矩。
图8-11
解：对于悬臂梁不必求支座反力，可由自由端开始分析。
截面B-上的内力，由截面右段梁，得 截面C+上的内力，由截面右段梁，得 截面C-上的内力，由截面右段梁，得 截面A+上的内力，由截面右段梁，得
梁弯曲时的正应力 知识点：1、变形几何关系 2 、物理关系 3、静力
中性轴：中性层与横截面的交线。
线应变的公式：
cd cd y d d y d cd
注：对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常 数，因此上式说明同一截面处任一点纵向纤维的线 应变与该点到中性层的距离成正比
图（8.2）
gzdy
Hale Waihona Puke jxlxz工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
3、适当布置载荷和支座位置 在梁的内力一章中知道，梁的弯矩图与载荷作用 的位置和梁的支承位置有关。在可能的情况下，如查 适当地调整载荷或支承的位置，可以减小梁的最大弯 矩，增大梁的抗弯能力。 对于梁上的集中载荷，如要能适当地将它分散， 也可提高梁的抗弯强度。
h 2
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力强度条件
max
M max WZ
对于脆性材料，其抗拉和抗压强度不同，宜选用中性 轴不是截面对称轴梁，并分别对抗拉和抗压应力建立 强度条件
max
max
gzdy
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
提高梁抗弯能力的措施 1、采用变截面梁 在工程实际中不少构件都采用了变截面 梁的形式 1）在厂房建筑中经常采用的鱼腹梁。 2）桥式起重机的大梁 3）汽车以及其他车辆上经常使用的叠 板弹簧等等 2、选用合理截面 可以用比值Wz /A来衡量截面的经济程 度。这个比值愈大，所采用的截面愈经 济合理。
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
例1 图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力[σ]＝ 30MPa，许用压应力[σ]＝60MPa，截面尺寸如图。截 面对形心轴z的惯性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。试校 核梁的强度。
梁的弯曲计算剪力计算公式
梁的弯曲计算剪力计算公式在工程力学中，梁是一种常见的结构元素，用于支撑和承载荷载。
在设计和分析梁的时候，我们需要考虑到梁的弯曲和剪切力。
本文将重点讨论梁的弯曲计算和剪力计算公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
梁的弯曲计算公式。
在梁的弯曲计算中，我们需要考虑梁的受力情况以及梁的几何形状。
弯曲时梁的受力情况可以用弯矩来描述，弯矩的大小和位置取决于梁的荷载和支撑条件。
在弯曲计算中，我们通常使用以下公式来计算梁的弯矩：M = -EI(d^2y/dx^2)。
其中，M表示弯矩，E表示梁的弹性模量，I表示梁的惯性矩，y表示梁的挠度，x表示梁的位置。
这个公式描述了梁在弯曲时的受力情况，可以帮助我们计算梁的弯曲应力和挠度。
梁的剪力计算公式。
除了弯曲力之外，梁在受荷载时还会产生剪切力。
剪切力是梁上各点间的内力，它的大小和位置取决于梁的荷载和支撑条件。
在剪力计算中，我们通常使用以下公式来计算梁上各点的剪切力：V = dM/dx。
其中，V表示剪切力，M表示弯矩，x表示梁的位置。
这个公式描述了梁上各点的剪切力分布情况，可以帮助我们计算梁的剪切应力和剪切变形。
梁的弯曲和剪力计算实例。
为了更好地理解梁的弯曲和剪力计算，我们可以通过一个实例来说明。
假设有一根长度为L，截面为矩形的梁，受均布荷载w作用。
我们可以根据梁的受力情况和几何形状，计算出梁的弯矩和剪切力分布情况。
首先，我们可以计算出梁的弯矩分布情况。
根据梁的受力情况和几何形状，我们可以得到梁的挠度y(x)的表达式。
然后，我们可以通过弯矩公式M = -EI(d^2y/dx^2)来计算出梁上各点的弯矩分布情况。
接着，我们可以计算出梁上各点的剪切力分布情况。
根据梁的弯矩分布情况，我们可以通过剪切力公式V = dM/dx来计算出梁上各点的剪切力分布情况。
通过以上计算，我们可以得到梁在受均布荷载作用时的弯矩和剪切力分布情况。
这些计算结果可以帮助我们更好地了解梁的受力情况，指导我们设计和分析梁的结构。
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
范中查到。
在梁的设计计算中,通常是根据强度条件确定截面尺寸,然
后用刚度条件进行校核。具体过程参看下面例题。
工程力学
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
(1)小跨度梁或荷载作用在支座附近的梁。此时梁的Mm ax可能较小而FSmax较大。
(2)焊接的组合截面(如工字形)钢梁。当梁截面的腹板厚 度与高度之比小于型钢截面的相应比值时,横截面上可能产 生较大的切应力τmax。
(3)木梁。木梁在顺纹方向的抗剪能力差,可能沿中性层 发生剪切破坏。
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
2. 强度条件的应用 【例8-6】
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
(2)内力分析。绘制内力图如图8-27(b)和(c)所示, 确定最大剪力、弯矩为
FSmax=60 kN，Mmax=18 kN·m (3)根据正应力强度条件选择截面。由式(8-26)得
查附录型钢表,可选用16号工字钢,其抗弯截面系数 Wz=141 cm3,高h=16 cm,腿厚t=9.9 mm,腹板厚b1= 6 mm。
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
图8-27
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
1.2 弯曲梁的刚度条件
梁除满足强度条件外,还应满足刚度要求。根据工程实际的
需要,梁的最大挠度和最大(或指定截面的)转角应不超过某一规
定值,由此梁的刚度条件为
ymax≤y
(8-28)
θmax≤θ
(8-29)
式中,许可挠度y和许可转角θ的大小可在工程设计的有关规
工程力学
ห้องสมุดไป่ตู้
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
1.1 梁弯曲的强度条件及应用 1. 强度条件
由于梁弯曲变形时横截面上即有正应力又有切应力,因此强度条 件应为两个。当弯曲梁横截面上最大正应力不超过材料的许用正应力, 最大切应力不超过材料的许用切应力时,梁的强度足够,即
工程力学第八章__直梁弯曲
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
清华出版社工程力学答案-第8章弯曲强度问题
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若已知变形后中性层的曲率半径为ρ；材料的弹性模量为E 。
根据d 、ρ、E 可以求得梁所承受的力偶矩M 。
现在有4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) ρ64π4d E M ＝(B) 4π64d E M ρ＝(C) ρ32π3d E M ＝(D) 3π32dE M ρ＝正确答案是 A 。
8－2 矩形截面梁在截面B 处铅垂对称轴和水平对称轴方向上分别作用有F P1和F P2，且F P1=F P2，如图所示。
关于最大拉应力和最大压应力发生在危险截面A 的哪些点上，有4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) +max σ发生在a 点，−max σ发生在b 点M习题8－1图A Ba b cd P2z固定端习题8－2图(B) +max σ发生在c 点，−max σ发生在d 点 (C) +max σ发生在b 点，−max σ发生在a 点 (D) +max σ发生在d 点，−max σ发生在b 点正确答案是 D 。
8－3 关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) 细长梁、弹性范围内加载；(B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
工程力学第8章梁的弯曲应力与强度计算
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸 和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀， 产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作 用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应 力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切 应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲 应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起 重机的吊臂、汽车的车身 等，梁的强度计算是保证 其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会 导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度 、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁 可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此 ，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影 响。
梁的强度计算有哪些内容
梁的强度计算是梁设计中的重要环节，主要包括以下几个方面：
抗弯强度计算：梁在弯曲载荷作用下，会产生弯曲变形。
为了确保梁的安全使用，需要计算其抗弯强度。
抗弯强度通常通过材料力学中的弯曲应力公式进行计算，公式中考虑了载荷大小、梁的截面尺寸和材料属性等因素。
剪切强度计算：梁在剪切载荷作用下，会产生剪切变形。
剪切强度同样需要考虑载荷大小、梁的截面尺寸和材料属性等因素。
在某些情况下，剪切强度可能成为梁设计的关键因素，因此需要进行精确计算。
局部强度计算：在梁的某些部位，如支座、集中载荷作用点等，可能存在应力集中的现象。
这些部位的局部强度需要单独进行计算，以确保梁在这些部位不会发生破坏。
稳定性计算：在某些情况下，梁可能会受到稳定性问题的影响。
例如，当梁的长度过长或者截面尺寸过小，或者受到侧向载荷的作用时，都可能导致梁的失稳。
因此，在梁的设计过程中，需要进行稳定性计算，以确保梁在使用过程中保持稳定。
疲劳强度计算：对于承受循环载荷的梁，如车辆、飞机等结构中的梁，需要考虑疲劳强度。
疲劳强度与材料的疲劳性能、载荷的大小和循环次数等因素有关。
在疲劳强度计算中，通常采用疲劳极限公式或者疲劳曲线进行计算。
综上所述，梁的强度计算涉及多个方面，包括抗弯强度、剪切强度、局部强度、稳定性和疲劳强度等。
在进行梁的设计时，需要根据具体情况选择合适的计算方法和控制标准，以确保梁的安全使用。
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案引言：工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其中弯曲应力和弯曲变形问题是工程力学中的重要内容。
本文将探讨弯曲应力和弯曲变形问题的原因、计算方法以及解决方案，旨在帮助读者更好地理解和应对这一问题。
一、弯曲应力的原因在工程实践中，当梁、梁柱等结构承受外力作用时，由于结构的几何形状和材料的力学性质不同，会导致结构发生弯曲变形。
弯曲应力的产生主要有以下几个原因：1. 外力作用：外力作用是导致结构弯曲的主要原因之一。
例如，悬臂梁受到集中力的作用，会导致梁的一侧拉伸，另一侧压缩，从而产生弯曲应力。
2. 结构几何形状：结构的几何形状对弯曲应力有直接影响。
例如，梁的截面形状不均匀或不对称，会导致弯曲应力的分布不均匀，从而引起结构的弯曲变形。
3. 材料力学性质：材料的力学性质也是导致弯曲应力的重要因素。
不同材料的弹性模量、屈服强度等参数不同，会导致结构在受力时产生不同的弯曲应力。
二、弯曲应力的计算方法为了准确计算弯曲应力，工程力学中提出了一系列的计算方法。
其中最常用的方法是梁的弯曲方程和梁的截面应力分析。
1. 梁的弯曲方程：梁的弯曲方程是描述梁在弯曲过程中受力和变形的重要方程。
根据梁的几何形状和受力情况，可以得到梁的弯曲方程，并通过求解该方程，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
2. 梁的截面应力分析：梁的截面应力分析是通过分析梁截面上的应力分布情况，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
该方法根据梁的几何形状和材料的力学性质，采用静力学平衡和弹性力学理论，计算出梁截面上的应力分布，并进一步得到梁的弯曲应力。
三、弯曲变形问题的解决方案针对弯曲变形问题，工程力学提出了一系列的解决方案，包括结构改进、材料选择和加固措施等。
1. 结构改进：对于存在弯曲变形问题的结构，可以通过改进结构的几何形状，增加结构的刚度，从而减小结构的弯曲变形。
例如，在梁的设计中，可以增加梁的截面尺寸或改变梁的截面形状，以增加梁的抗弯刚度。
材料力学弯曲应力
材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。
弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。
本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。
弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。
在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。
根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。
在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。
梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。
从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。
影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。
首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。
其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。
最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。
同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。
综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。
同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。
希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。
工程力学基础第8章 应力、应变和应力应变关系
第8章 应力、应变和应力-应变关系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
一点处的应力状态 平面应力状态分析 应变状态分析 广义胡克定律 材料失效和失效判据
第一节 一点处的应力状态
一、引言 在本章中，将应用微元体法，从力、变形、力与变形的关系三 方面研究变形固体内一点处的性态。本章的内容覆盖了固体力 学的三大理论基础：应力理论、应变理论和本构关系(主要是对 理想弹性体)。在此基础上建立复杂受载条件下，材料的失效判 据和构件的强度设计准则，从而为解决杆件在复杂受载条件下 的强度、刚度和稳定性问题创造条件。
（1）一点处的应变状态由六个应变分量εx、εy、εz、γxy、γyz、 γzx完全决定，即由它们可以确定该点处任一方向的线应变和任
第三节 应变状态分析
（2）在任一点处都存在三个互相垂直的方向，它们在变形过 程中保持垂直，即切应变为零，这三个方向称为应变主方向， 沿应变主方向的线应变称为主应变，记为ε1≥ε2≥ε3。主应变ε1 和ε3 试验证明，对于各向同性的线弹性材料的小变形问题，应变主 方向与应力主方向重合，即一对切应力为零的正交截面在变形 过程中保持垂直。应变和应力由材料的力学性能相联系。在工 程中除接触应力等少数情形外，直接测量应力是很困难的，而 变形则比较容易测量。通常是从测得的应变来确定应力。应变 分析的实际意义在于：通过测得的应变确定主方向和主应变，
第一节 一点处的应力状态 三、主应力和主方向 如果微元体某对截面上的切应力等于零，该对截面就称为主平 面，主平面的法向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。 按不等于零的主应力的个数分类，可以把一点处的应力状态分
（1）单向(单轴)应力状态，也称为简单应力状态，只有一个主 应力不为零，如受轴向拉压的直杆和纯弯曲直梁中各点处的应
梁的弯曲应力与强度计算
max
1 2
ql
2
3000 N m
（2）由型钢表查得，10号槽钢
I z 25 . 6 cm
4
b 4 . 8 cm
y 1 1 . 52 cm
（3）求最大应力
t , max
c , max
M
M
max
y1
( 3000 N m )( 1 . 52 10 25.6 10
28 . 8 MPa t
y2
( 2 . 5 10 N m )( 88 10 763 10
8
3
m)
Iz
m
4
故该梁满足强度条件。
8 梁的弯曲应力与强度计算 8.3.1 梁的弯曲剪应力
8.3 梁的剪应力及其强度条件
1. 矩形截面梁的弯曲剪应力
关于横截面上剪应力的分布
FA FB
F B 10 . 5 kN
2.绘弯矩图
M
B
4 kN m
M C 2 . 5 kN m
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
4 kN m
M
B
M C 2 . 5 kN m
3.强度校核 B截面：
t , max
c , max
M B y1 Iz
工 程 力 学
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8
梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
梁的弯曲应力
第8章梁的弯曲应力梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。
弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。
所以，弯矩只与横截面上的正应力σ相关，而剪力只与剪应力τ相关。
本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。
并简要介绍一点的应力状态和强度理论。
8.1梁的弯曲正应力平面弯曲情况下，一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图8.1所示梁的AC、DB段。
而在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。
下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。
应综合考虑变形几何关系、物理关系和静力学关系等三个方面。
8.1.1 弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试验，观察弯曲变形的现象。
取一具有对称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线ab和cd，如图8.2(a)所示。
然后按图8.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲状态。
从试验中可以观察到图8 .2(b)情况：（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是横线间作相对转动。
（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。
（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压时的变形相似。
根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。
前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。
根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。
根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图8.2(c)所示。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。
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y0 和
h y 2
FS BH 2 b Bh2 max (1 ) Iz b 8 B 8
计算结果表明：
FS1 (0.95 ~ 0.97) FS
腹板内的剪应力近似计算公式
FS BH 2 Bh2 min 8 8 Iz b
I z 25.6cm4 b 4.8cm y1 1.52cm
（3）求最大应力
t ,max
M max y1 (3000N m)(1.52102 m) 178 .1MPa -8 4 25.610 m Iz
M max y2 (3000N m) (4.8 1.52) 102 m 384 .4MPa c,max -8 4 25.610 m Iz
应力 c =160 MPa。已知中性轴位置 y1 = 52 mm，截面对形心轴 z
的惯性矩为 Iz=763 cm4。试校核梁的强度。 解： 1.计算支反力
FA 2.5kN
FA FB
FB 10.5kN
2.绘弯N m
8 梁的弯曲应力与强度计算
3.选择截面尺寸
A,B截面最危险，该截面
bh2 b(2b) 2 2b3 Wz 6 6 3
8 梁的弯曲应力与强度计算
M max Fa 12kN m
8.2 弯曲正应力的强度条件
bh2 b(2b) 2 2b3 Wz 6 6 3
强度条件
M max M max 3 Wz 2b / 3
A
(c) (d) (e)
M y z dA 0
A
M z y dA M e
A
将式 E
y
代入式(c)，得
dA
A
Ey
A
dA 0
E
＝常量，
E
A
y dA 0 S z 0 z 轴（中性轴）通
过截面形心。
梁的轴线在中性层内，其长度不变。
对于抗拉和抗压强度相等的材料 (如炭钢)，只要绝对值最大
的正应力不超过许用弯曲应力即可。 对于抗拉和抗压不等的材料 (如铸铁)，则最大的拉应力和最 大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
例：20a工字钢梁。若 160MPa ，试求许可荷载 F 。 解：（1）计算支反力
y
(b)
式(b)表明横截面上任意一点的正应力σ 与该点到中性轴的距离 y 成正比。 在中性轴上：y＝0， σ ＝0。
8 梁的弯曲应力与强度计算 静力学关系
FN dA
A
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
M y z dA
A
M z y dA
A
FN dA 0
公式就可适用。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力
在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不 但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E
y
(b)
M y z dA 0
A
(d) (e)
将式(b)代入式(d)，得
M z y dA M
A
z dA
A
E
A
y z dA 0
y z dA I yz 0
A
(自然满足)
应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，
足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
My Iz
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
例： 已知 l=1m，q=6kN/m，10号槽 钢。求最大拉应力和压应力。 解：（1）作弯矩图 1 2 M max ql 3000 N m 2 （2）由型钢表查得，10号槽钢
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应 力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
max
引用记号
M max ymax Iz
Iz Wz ymax
则
M max max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
工 程 力 学
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8
梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。
式(a)表明线应变ε与它到中性层的距
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
y d d
物理关系：
d
y
(a)
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。 当应力小于比例极限时，由胡克定律知
E
将 (a) 代入上式，得
E
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
变形几何关系：
设横截面的对称轴为y 轴，向下为 正，中性轴为 z 轴（位置未定）。
bb y d
bb dx OO OO d
y d d
d
离 y 成正比。
y
(a)
8 梁的弯曲应力与强度计算 剪应力计算公式为
* FS S z I zb
8.3 梁的剪应力及其强度条件
h/ 2 y h S b y y 2 2
* z
b h2 y2 2 4
FS 2I z
h2 2 4 y
8.2 弯曲正应力的强度条件
M B 4kN m
M C 2.5kN m
3.强度校核
M B y1 (4 103 N m)(52103 m) t ,max 27.3MPa t 8 4 Iz 76310 m M B y2 (4 103 N m)(88103 m) c,max 46.1MPa c 8 4 Iz 76310 m C截面： M C y2 (2.5 103 N m)(88103 m) t ,max 28.8MPa t 8 4 Iz 76310 m
FS B 2 b h2 FS S z 2 2 H h y Iz b 8 2 4 Iz b
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.3 梁的剪应力及其强度条件
FS B 2 b h2 2 2 H h y Iz b 8 2 4
Iz D 4 (1 4 ) / 64 D 3 (1 4 ) Wz 32 ymax D/2
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
如果梁的最大工作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就 是安全的。因此，梁弯曲时的正应力强度条件为
max
M max Wz
B截面：
故该梁满足强度条件。
8 梁的弯曲应力与强度计算 8.3.1 梁的弯曲剪应力
8.3 梁的剪应力及其强度条件
1. 矩形截面梁的弯曲剪应力
关于横截面上剪应力的分布
规律，作以下两个假设：
(1) 横截面上各点的剪应力的方 向都平行于剪力FS； (2) 剪应力沿截面宽度均匀分布。 在截面高度 h 大于宽度 b 的情况下，以上述假设为基础得到 的解，与精确解相比有足够的准确度。
FS bh
max min
8 梁的弯曲应力与强度计算 3. 圆形截面梁的弯曲剪应力 横截面上弯曲剪应力分布的假设 (1) ab 弦上各点的剪应力都汇交于
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众
多纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部纤 维的缩短，中间必定有一层纤 维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也
不缩短的一层纤维。 中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称 面。（横截面绕中性轴转动） 中性轴垂直于纵向对称面。
M y Iz
1
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。
以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。 只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
bh3 / 12 bh2 Iz Wz h/2 6 ymax
对于直径为 D 的圆形截面
Iz D 4 / 64 D 3 Wz D/2 ymax 32
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
称为纯弯曲。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.1 纯弯曲时横截面上的正应力 实验观察变形 纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧 缩短，凸侧伸长。 横向线(mm、nn): 仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。 平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变 形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。 单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。