一次函数易错题解析

一次函数易错题解析

------大有镇中心学校张桂荣一次函数是初中数学中的重要内容之一，学生们在初学一次函数时，由于对其概念、性质理解不透，常常会出现一些错误.为帮助学生们学好这部分内容，以下以例题的形式给出易错题分类及剖析.

一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。特别的，当b=0时，y是x的正比例函数.即：y=kx （k为常数，但K≠0）正比例函数图像经过原点。定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合.

一、对概念理解不清而出错

例1、已知下列函数：①y=2013x；②y-8x=13；③y=-1；

④y=3x²+7；⑤y=x-5，其中y是关于x的一次函数的是（）

A.①③④⑤

B.②③⑤

C.①②⑤

D.②⑤

错解选“B”或“D”.剖析：一次函数的概念中规定k、b为常数，k≠0，但b可以为0，当b=0时，函数y=kx（k≠0）为正比例函数，它是一次函数的特殊情形，上述错解中选择“D”的同学就是忽略了这一点，而函数③、④根本就不符合一次函数的定义，选“B”的同学正是由于对一次函数的概念理解不清而出错。正解：观察上述各函数的表达式，对照一次函数的定义，可知答案选C.

二、忽视限制条件出错

例2 、已知函数y=（m-3）x(m-2)-7是一次函数，则m=________.

错解: 由m-2=1，解得m=±3,所以m=3或m=-3.

剖析:上述错误忽视了一次函数y=kx+b 中要求k ≠0这一限制条件，因为当m=3时，m-3=0，此时函数解析式为y=-7，它是平行于x 轴的一条直线，其直线上任一点的纵坐标都为-7，是一个常值函数，而非一次函数.正解：由m-2=1，解得m=±3.当m=3时，m-3=0，故舍去，所以m=-3.

三、忽略坐标系中表示线段的长时要取点的坐标的绝对值。

例3、已知一次函数的图象经过点A （0，2）且与坐标轴围成的直角三角形面积为4，则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿。

错解：设一次函数的解析式为 y kx b =+，因为函数的图象经过点A （0，2），所以b=2，所以函数的解析式为2y kx =+，求这个函数图象与x 轴的交点，即解方程组02

y y kx =⎧⎨=+⎩ 解得2x k =- ，0y = 即图象与x 轴交点坐标为 2

(,0)k - 由三角形的面积公式得

12()242k ⨯-⨯= 解得： 12

k =- 所以这个一次函数的解析式为122

y x =-+ 剖析：在表示三角形的面积时，用的是三角形的边长，是线段的长度，不要忽略2k

-要取绝对值才能表示线段的长度，否则就会漏掉一个解，本题正是因为忽略了这点而出了错。

正解：设一次函数的解析式为 y kx b =+，因为函数的图象经过点A （0，2），所以b=2，所以函数的解析式为2y kx =+，求这个函数

图象与x 轴的交点，即解方程组02y y kx =⎧⎨=+⎩ 解得2x k =- ，0y = 即图象与x 轴交点坐标为 2

(,0)k

- 由三角形的面积公式得

12242k ⨯-⨯= 解得：12

k =± 所以这个一次函数的解析式为122y x =+ ， 或122

y x =-+ 。 四、函数图像与直线关系混淆出错

例4、已知直线24y mx m =+-不经过第二象限，则m 的取值范围是＿＿＿。

错解：有题意可得，直线经过一、三、四象限或一、三象限

所以可得0240

m m >⎧⎨-≤⎩ 解得02m <≤ 剖析：因为直线24y m =- 当0m =时4y =- 图象也不经过第二象限，所以0m =也符合条件，以上的错解忽略了直线(0)y b b =<图象不过第二象限这一情况导致了错解。

正解：有题意可得，直线经过一、三、四象限或一、三象限

所以可得0240m m >⎧⎨-≤⎩

解得02m <≤ 特别地当0m =时4y =-也符合题意，所以02m ≤≤

五、思考问题不全面出错

例5、一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的函数值为19y ≤≤，求k+b 的值。

错解：因为当31x -≤≤时，对应的函数值为19y ≤≤

所以当3x =时1y = 当1x =时9y =

所以可得方程组319k b k b -+=⎧⎨+=⎩

解得27k b =⎧⎨=⎩ 所以9k b +=

剖析：由于问题中没有给出y 随x 的变化怎样变化，所以应该考虑到有可能y 随x 的增大而增大，也有可能y 随x 的增大而减小，本题的出错原因正是没有全面考虑到这一点而漏解出错。

正解：若y 随x 的增大而增大时，则当3x =-时1y = 当1x =时9y = 所以可得方程组319

k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得27k b =⎧⎨=⎩ 所以9k b += 若y 随x 的增大而减小时，则当3x =-时9y = 当1x =时1y = 所以可得方程组391k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得23

k b =-⎧⎨=⎩ 所以1k b += 所以k+b 的值是9或1. 六、一次函数的应用 如图，已知一次函数y=kx+b 的图像经过A （-2，

-1），B （1，3）两 点，并且交x 轴

于点C ，交y 轴于点D 。

（1）求该一次函数的解析式；

（2）求tan ∠OCD 的值；

（3）（3）求证：∠AOB=135°。

剖析：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照 题意，设法求解。

（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；

（2）注意自变量的取值范围。

（3）数形结合