一次函数易错题解析
一次函数中常见的错误分析
一次函数中常见的错误分析次函数是初中数学中重要的内容之一。
它描述了两个变量之间的关系，体现了数形结合的数学思想。
是教学中的难点之一，学生在学的过程中难免会出现差错。
下文例析一次函数中常见的错误。
1． 忽视了k ≠0的条件例1． 已知：一次函数2(1)2m y m x =-+,求m 的值 误解：由题意得：m 2=1,m=±1析：由一次函数的定义知，10m -≠，1m ≠，故1m =-2． 忽视了特殊情况例2． 已知：一次函数(1)y m x m =-+的图像不过第三象限，求m 的范围 误解：由题意得：100m m -⎧⎨⎩<>解得：01m << 析：当0m =时，一次函数解析式为：y x =-，同样也不过第三象限，故01m ≤<3.忽视了点的坐标与距离之间关系例3.已知：一次函数1y x =+的图像上有一点P ，到x 轴的距离为3，求点P 的坐标。
误解：当3y =时，13,2,x x +==所以：P （2，3）析：1y x =+的图像在Ｘ轴上方，存在一点p 满足条件，同时在X 轴下方也存在一点P ，同样也满足条件，即当3y =-时，13,4,x x +=-=-所以P （-3，-4），故P （2，3）或（-3，-4）4.忽视了分类的讨论例4.已知：3y mx =+与两坐标轴成的三角形的面积为12，求M 的值误解：设直线与X 轴、Y 轴的交点分别为A 、B ，则B （0，3）A 31133(,0),12,()312,228OA OB m m m -∙=⨯-⨯==- 析：当A 点的横坐标大于0时，38m =-；可当A 点的横坐标小于0时，113312,312,228OA OB m m ⎡⎤⎛⎫⋅=⨯--⨯== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 故38m =或38m =- 5.忽视了一次函数的性质例5.已知：一次函数,y kx b =+当31x -≤≤时，对应Y 的值为19,y ≤≤则kb 的值为（ ）A.14B.-6C.-6或21D.-6或14误解：当3x =-时，y ＝1,当1x =时y ＝9，解得k ＝2,b ＝7, 所以14,kb =选（A ） 析：由一次函数性质知；当0k >时，上述解法正确。
(易错题精选)初中数学一次函数经典测试题含答案解析
（易错题精选）初中数学一次函数经典测试题含答案解析一、选择题1．一次函数 y = mx +1m -的图像过点（0,2），且 y 随 x 的增大而增大，则 m 的值为（ ）A ．-1B ．3C ．1D ．- 1 或 3【答案】B【解析】【分析】先根据函数的增减性判断出m 的符号，再把点（0，2）代入求出m 的值即可．【详解】∵一次函数y=mx+|m-1|中y 随x 的增大而增大，∴m ＞0．∵一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），∴当x=0时，|m-1|=2，解得m 1=3，m 2=-1＜0（舍去）．故选B ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．2．如图，函数4y x =-和y kx b =+的图象相交于点()8A m-,，则关于x 的不等式()40k x b ++>的解集为（ ）A ．2x >B ．02x <<C ．8x >-D ．2x <【答案】A【解析】【分析】 直接利用函数图象上点的坐标特征得出m 的值，再利用函数图象得出答案即可．【详解】解：∵函数y ＝−4x 和y ＝kx ＋b 的图象相交于点A （m ，−8），∴−8＝−4m ，解得：m ＝2，故A 点坐标为（2，−8），∵kx ＋b ＞−4x 时，（k ＋4）x ＋b ＞0，则关于x 的不等式（k ＋4）x ＋b ＞0的解集为：x ＞2．故选：A ．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键．3．如图，已知一次函数22y x =-+的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的一个点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，则PM 的最小值为（ ）A ．2B 2C 5D 3【答案】D 【解析】【分析】【详解】 解：连结OM 、OP ，作OH ⊥AB 于H ，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征：当x=0时，y=﹣22，则A （0，2），当y=0时，﹣2=0，解得2，则B （2，0），所以△OAB 为等腰直角三角形，则2OA=4，OH=12AB=2， 根据切线的性质由PM 为切线，得到OM ⊥PM ，利用勾股定理得到22OP OM -21OP -当OP 的长最小时，PM 的长最小，而OP=OH=2时，OP 的长最小，所以PM 的最小值为2213-=故选D ．【点睛】本题考查切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．4．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．【详解】∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故选C．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k ＜0，b＞0时图象在一、二、四象限．5．已知正比例函数y=kx（k≠0）经过第二、四象限，点（k﹣1，3k+5）是其图象上的点，则k的值为（）A．3 B．5 C．﹣1 D．﹣3【答案】C【解析】【分析】把x=k﹣1，y=3k+5代入正比例函数y=kx解答即可.【详解】把x=k﹣1，y=3k+5代入正比例函数的y=kx，可得：3k+5=k（k﹣1），解得：k1=﹣1，k2=5，因为正比例函数的y=kx（k≠0）的图象经过二，四象限，所以k＜0，所以k=﹣1，故选C ．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，掌握正比例函数图象上的点的坐标都满足正比例函数的解析式是解题的关键.6．如图，把 Rt ABC ∆放在直角坐标系内，其中 90CAB ∠=o ，5BC =，点 A 、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0)，将ABC ∆沿x 轴向右平移，当点 C 落在直线26y x =-上是，线段BC 扫过的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．8【答案】C【解析】【分析】 根据题目提供的点的坐标求得点C 的坐标，当向右平移时，点C 的纵坐标不变，代入直线求得点C 的横坐标，进而求得其平移的距离，计算平行四边形的面积即可．【详解】∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB ＝3，BC ＝5，∵∠CAB ＝90°，∴AC ＝4，∴点C 的坐标为（1，4），当点C 落在直线y ＝2x －6上时，∴令y＝4，得到4＝2x－6，解得x＝5，∴平移的距离为5－1＝4，∴线段BC扫过的面积为4×4＝16，故选C．【点睛】本题考查了一次函数与几何知识的应用，解题关键是题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长．7．一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示，下列叙述正确的是（）A．甲乙两地相距1200千米B．快车的速度是80千米∕小时C．慢车的速度是60千米∕小时D．快车到达甲地时，慢车距离乙地100千米【答案】C【解析】【分析】（1）由图象容易得出甲乙两地相距600千米；（2）由题意得出慢车速度为60010=60（千米/小时）；设快车速度为x千米/小时，由图象得出方程60×4+4x=600，解方程即可；（3）求出快车到达的时间和慢车行驶的路程，即可得出答案.【详解】解:（1）由图象得：甲乙两地相距600千米,故选项A错;（2）由题意得：慢车总用时10小时，∴慢车速度为：60010=60（千米/小时）；设快车速度为x千米/小时，由图象得：60×4+4x=600，解得：x=90，∴快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；选项B错误，选项C正确；（3）快车到达甲地所用时间：60020903小时，慢车所走路程：60×203=400千米，此时慢车距离乙地距离：600-400=200千米，故选项D错误.故选C【点睛】本题考核知识点：函数图象. 解题关键点：从图象获取信息，由行程问题基本关系列出算式.8．如图，在平面直角坐标系中，OABC 的顶点A 在x 轴上，定点B 的坐标为(6,4)，若直线经过定点(1,0)，且将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，则直线的表达式（ ）A ．+1y x =B ．4455y x =-C ．1y x =-D ．33y x =-【答案】C【解析】【分析】 根据过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．【详解】∵点B 的坐标为(6,4)，∴平行四边形的中心坐标为(3,2)，设直线l 的函数解析式为y kx b =+，则320k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，所以直线l 的解析式为1y x =-． 故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．9．一次函数y=ax+b 与反比例函数a b y x-=，其中ab ＜0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a bx-的图象过一、三象限，所以此选项不正确；B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，满足ab<0，∴a−b<0，∴反比例函数y=a bx-的图象过二、四象限，所以此选项不正确；C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a bx-的图象过一、三象限，所以此选项正确；D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab>0，与已知相矛盾所以此选项不正确；故选C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a 、b 的大小10．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．22y x =+D ．22y x =- 【答案】A【解析】【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4，故选A.【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．11．下列各点在一次函数y=2x ﹣3的图象上的是（ ）A ．（ 2，3）B ．（2，1）C ．（0，3）D ．（3，0【答案】B【解析】【分析】把各点分别代入一次函数y=2x ﹣3进行检验即可．【详解】A 、2×2﹣3=1≠3，原式不成立，故本选项错误；B 、2×2﹣3=1，原式成立，故本选项正确；C 、2×0﹣3=﹣3≠3，原式不成立，故本选项错误；D 、2×3﹣3=3≠0，原式不成立，故本选项错误，故选B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上的点的坐标满足一次函数的解析式是解题的关键.解答时只要把四个选项一一代入进行检验即可．12．若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数y=ax+x-2图像上的不同的两点，记()()1212m x x y y =--，则当m ＜0时，a 的取值范围是（ ）A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜-1D ．a ＞-1【答案】C【解析】【分析】【详解】∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数2(1)2y ax x a x =+-=+-图象上的不同的两点，()()12120m x x y y =--<，∴该函数图象是y 随x 的增大而减小，∴a+1<0，解得a<-1，故选C.【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题.13．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是（ ）A ．1.5cmB ．1.2cmC ．1.8cmD ．2cm【答案】B【解析】【分析】【详解】 由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，∵点P 的运动速度是每秒1cm ，∴AC=3，BC=4．∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得：AB=5．如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ．∴CH AC BC AB =，即AC BC 3412CH CH AB 55⋅⨯=⇒==． ∴如图，点E （3，125），F （7，0）． 设直线EF 的解析式为y kx b =+，则 123k b {507k b=+=+，解得：3k 5{21b 5=-=． ∴直线EF 的解析式为321y x 55=-+． ∴当x 5=时，()3216PD y 5 1.2cm 555==-⨯+==． 故选B ．14．在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于、两点，点是轴上一动点，要使点关于直线的对称点刚好落在轴上，则此时点的坐标是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，先求出A ，B 的坐标，分别为（4，0），（0，3），得到AB 的长，再根据折叠的性质得到AC 平分∠OAB ，得到CD=CO=n ，DA=OA=4，则DB=5-4=1，BC=3-n ，在Rt △BCD 中，利用勾股定理得到n 的方程，解方程求出n 即可．【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，如图，对于直线，当x=0，得y=3； 当y=0，x=4，∴A （4，0），B （0，3），即OA=4，OB=3， ∴AB=5，又∵坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴上， ∴AC 平分∠OAB ， ∴CD=CO=n ，则BC=3-n ， ∴DA=OA=4， ∴DB=5-4=1，在Rt △BCD 中，DC 2+BD 2=BC 2， ∴n 2+12=（3-n ）2，解得n=， ∴点C 的坐标为（0，）． 故选B. 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数），关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数；关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数；关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数．也考查了折叠的性质和勾股定理．15．在平面直角坐标系中，直线:1m y x =+与y 轴交于点A ，如图所示，依次正方形1M ,正方形2M ，……，正方形n M ，且正方形的一条边在直线m 上，一个顶点x 轴上，则正方形n M 的面积是（ ）A ．222n -B ．212n -C ．22nD ．212n +【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数1y x =+，得出点A 的坐标为（0，1），求出正方形M 1的边长，即可求出正方形M 1的面积，同理求出正方形M 2的面积，即可推出正方形n M 的面积. 【详解】一次函数1y x =+，令x=0，则y=1， ∴点A 的坐标为（0，1）， ∴OA=1，∴正方形M 1的边长为22112+=，∴正方形M 1的面积=222⨯=， ∴正方形M 1的对角线为()()22222⨯=，∴正方形M 2的边长为222222+=， ∴正方形M 2的面积=3222282⨯==， 同理可得正方形M 3的面积=5322=， 则正方形n M 的面积是212n -，故选B. 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，解答本题的关键是明确题意，发现题目中面积之间的关系，运用数形结合思想解答．16．如图，平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线12y x b =+与ABC ∆有交点时，b 的取值范围是( )A ．11b -≤≤B ．112b -≤≤ C ．1122b -≤≤D ．112b -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】将A （1，1），B （3，1），C （2，2）的坐标分别代入直线y ＝12x+b 中求得b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到b 的取值范围． 【详解】 解：直线y=12x+b 经过点B 时，将B （3，1）代入直线y ＝12x+b 中，可得32+b=1，解得b=-12； 直线y=12x+b 经过点A 时：将A （1，1）代入直线y ＝12x+b 中，可得12+b=1，解得b=12； 直线y=12x+b 经过点C 时：将C （2，2）代入直线y ＝12x+b 中，可得1+b=2，解得b=1． 故b 的取值范围是-12≤b≤1．故选B ． 【点睛】考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．17．在平面直角坐标系中，函数2(0)y kx k =≠的图象如图所示，则函数232y kx k =-+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象易知k 0<，可得32k 0-+<，所以函数图象沿y 轴向下平移可得． 【详解】解：根据函数图象易知k 0<， ∴32k 0-+<， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查一次函数的性质与图象，正确理解一次函数的性质与图象是解题关键．18．如图在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB ∆沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B '的坐标为（ ）A ．(3,2)-B ．(63,3)-C ．(6,2)-D ．(63,2)-【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出点A 、B 的坐标，再求出直线OA 的解析式，继而得出点A '的纵坐标，找出点A 平移至点A '的规律，即可求出点B '的坐标． 【详解】解：∵三角形OAB 是等边三角形，且边长为4∴(23,2),(0,4)A B -设直线OA 的解析式为y kx =，将点A 坐标代入，解得：3k = 即直线OA 的解析式为：3y x = 将点A '的横坐标为34y =- 即点A '的坐标为(43,4)-∵点A 向右平移636个单位得到点A ' ∴B '的坐标为(063,46)(63,2)+-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形变化-平移，熟练掌握坐标平面图形平移的规律是解决本题的关键．19．一次函数y 1＝kx+1﹣2k （k≠0）的图象记作G 1，一次函数y 2＝2x+3（﹣1＜x ＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大；③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为．下列选项中，描述准确的是（）A．①②正确，③错误B．①③正确，②错误C．②③正确，①错误D．①②③都正确【答案】D【解析】【分析】画图，找出G2的临界点，以及G1的临界直线，分析出G1过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答．【详解】解：一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的函数值随x的增大而增大，如图所示，N（﹣1，2），Q（2，7）为G2的两个临界点，易知一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象过定点M（2，1），直线MN与直线MQ为G1与G2有公共点的两条临界直线，从而当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；故①正确；当G1与G2没有公共点时，分三种情况：一是直线MN，但此时k＝0，不符合要求；二是直线MQ，但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；三是当k＞0时，此时y1随x增大而增大，符合题意，故②正确；当k＝2时，G1与G2平行正确，过点M作MP⊥NQ，则MN＝3，由y2＝2x+3，且MN∥x 轴，可知，tan∠PNM＝2，∴PM＝2PN，由勾股定理得：PN2+PM2＝MN2∴（2PN）2+（PN）2＝9，∴PN ＝， ∴PM ＝.故③正确． 综上，故选：D ． 【点睛】本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大．20．超市有A ，B 两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买A 型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买A 型瓶x （个），所需总费用为y （元），则下列说法不一定成立的是（ ） 型号A B 单个盒子容量（升） 2 3 单价（元）56A ．购买B 型瓶的个数是253x ⎛⎫-⎪⎝⎭为正整数时的值 B ．购买A 型瓶最多为6个C ．y 与x 之间的函数关系式为30y x =+D ．小张买瓶子的最少费用是28元【答案】C 【解析】 【分析】设购买A 型瓶x 个,B(253x -)个,由题意列出算式解出个选项即可判断. 【详解】设购买A 型瓶x 个，∵买瓶子用来分装15升油，瓶子都装满，且无剩油， ∴购买B 型瓶的个数是1522533x x -=-, ∵瓶子的个数为自然数, ∴x=0时, 253x -=5; x=3时, 253x -=3; x=6时, 253x -=1; ∴购买B 型瓶的个数是(253x -)为正整数时的值，故A 成立; 由上可知，购买A 型瓶的个数为0个或3个或6个，所以购买A 型瓶的个数最多为6，故B成立;设购买A型瓶x个，所需总费用为y元，则购买B型瓶的个数是(253x-)个，④当0≤x<3时，y=5x+6×(253x-)=x+30，∴k=1>0，∴y随x的增大而增大，∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元;②当x≥3时，y=5x+6×(253x-)-5=x+25，∵.k=1>0随x的增大而增大，∴当x=3时，y有最小值，最小值为28元;综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为28元.故C不成立，D成立故选:C.【点睛】本题考查一次函数的应用,关键在于读懂题意找出关系式.。
一次函数易错题
一次函数易错题一次函数易错题一次函数也称为一元一次方程，它的形式一般为y=kx+b，其中k和b都是常数，x是自变量，y是因变量。
一次函数在数学的初中阶段就已经被介绍了，但是在实践中，很多学生还是会在一些特定的问题上犯错，下面我们来介绍一下一次函数易错题的解题方法。
易错一：求一次函数的解析式题目描述：已知一次函数的图像通过点（3，2），斜率为4，求它的解析式。
解题思路：因为我们已经知道了一次函数的斜率和通过某一点的信息，所以可以使用点斜式求解解析式。
点斜式的一般形式为y-y1=k(x-x1)，其中(x1,y1)表示已知点，k表示斜率，y表示纵坐标，x表示横坐标。
由题可知，该函数通过点（3，2），斜率为4，所以解析式可以表示为y=4x-b。
现在我们需要求出b的值，因为就可以得到完整的解析式。
将已知点代入公式，得到2=4×3-b，所以b=-10，因此解析式为y=4x-10。
易错二：确定一次函数的零点题目描述：已知一次函数y=3x-9，求它的零点。
解题思路：一次函数的零点就是函数的x轴截距，因为在这个点上，函数的值为0，所以解析式可以表示为y=0，带入原函数，得到0=3x-9，通过移项和化简可以得到x=3。
因此，一次函数的零点是(3,0)。
易错三：确定一次函数的图像题目描述：已知一次函数通过点（1，4）和（5，10），求它的解析式并画出函数的图像。
解题思路：因为已知了两个点，所以可以使用斜率公式求解析式。
一次函数斜率公式的一般形式为k=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)表示已知点，k表示斜率。
将该公式代入任意一个已知点中，得到k=(10-4)/(5-1)=1.5。
知道斜率后，可以使用点斜式或者截距式求解析式。
使用点斜式，得到y-4=1.5(x-1)，y=1.5x+2.5。
使用截距式，得到y=1.5x+2。
两种方法所得结果相同。
画图时，可以选择一个坐标系，并将已知点表示出来，然后根据斜率确定函数的走势，最后将结果用直线连接即可。
(易错题精选)初中数学一次函数经典测试题及解析
【详解】
∵
∴
∵过点 作 轴的垂线，交直线 于点
∴
∵
∴
∵过点 作 轴的垂线，交直线 于点
∴
∵点 与点 关于直线 对称
∴
以此类推便可求得点An的坐标为 ，点Bn的坐标为
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了坐标点的规律题，掌握坐标点的规律、轴对称的性质是解题的关键．
故选B．
【点睛】
考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
15．下列命题中哪一个是假命题（ ）
A．8的立方根是2
B．在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大
C．菱形的对角线相等且平分
D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等
【答案】C
④y＝3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键．
10．在一条笔直的公路上有 、 两地，甲乙两人同时出发，甲骑自行车从 地到 地，乙骑自行车从 地到 地，到达 地后立即按原路返回 地.如图是甲、乙两人离 地的距离 与行驶时间 之间的函数图象，下列说法中① 、 两地相距30千米；②甲的速度为15千米/时；③点 的坐标为( ，20)；④当甲、乙两人相距10千米时，他们的行驶时间是 小时或 小时.正确的个数为( )
2．已知过点 的直线 不经过第一象限.设 ，则s的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：∵过点 的直线 不经过第一象限，
专题 08 一次函数(5大易错点分析)(解析版)-备战2024年中考数学考试易错题(广东专用)
２、一般地，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ图象上任意一点的坐标都是二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０
的一个解；
３、以二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解为坐标的点都在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象上，
４、一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元 次方程组的解
学以 致 用
１．（２０２３·海珠区校级二模）已知一次函数ｙ＝ａｘ＋２的图象与ｘ轴的交点坐
Ｏ Ｄ．
【分析】先根据正比例函数的增减性判断出ｋ的符号，再由一次函数的图
象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数ｙ＝ｋｘ，且ｙ随ｘ的增大而减少，
∴ｋ＜０．
在直线ｙ＝２ｘ＋ｋ中， ∵２＞０，ｋ＜０，
∴函数图象经过一三四象限，
故选：Ｄ．
ｘ＜壹 ５．（２０２１·广州模拟）已知：函数ｙｉ＝２ｘ－１，ｙｚ＝－ｘ＋３，若
小，则直线 ｙ＝ －２ｘ＋ｋ的图象是（）
ｙ
ｙＡ
ｙ＇
ｙｌ
０Ｘ
０ｘ
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｏｘ ０ ｘ
Ｄ．
【分析】先根据正比例函数的增减性判断出ｋ的符号，再由一次函数的图
象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数ｙ＝ｋｘ，且ｙ随ｘ的增大而减小，
∴ｋ＜０，
在直线 ｙ＝－２ｘ＋ｋ中，
－２＜０，ｋ＜０，
∴函数图象经过二、三、四象限．
２．函数性质的理解：一次函数具有一些特殊的性质，如增减性、连续性等。学生容易
忽视这些性质，或者在应用这些性质时出错。 ３．函数斜率和截距的理解：在一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ中，ａ 是函数的斜率，ｂ 是函数的 截距。学生容易混淆斜率和截距的概念，或者不理解它们对函数图像的影响。 易错提醒：１、一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠Ｏ）的增减性：
一次函数易错题
一次函数易错题标题：一次函数易错题解析与防范策略一、引言一次函数是初中数学的重要知识点，它在实际生活中的应用广泛，同时也是后续学习如二次函数、反比例函数等更复杂函数的基础。
然而，在学习过程中，学生往往会在理解和应用一次函数时出现一些易错点，本文将针对这些易错题进行梳理，并给出相应的解析和解题策略。
二、一次函数易错题型及解析1. **图像平移问题**：一次函数y=kx+b的图像平移，易错点在于对“k”决定斜率、“b”决定y轴截距的理解不透彻。
例如，当只改变b值时，学生可能会误认为会影响直线的倾斜程度。
实际上，只有k值变化才会导致直线斜率改变，b值变化则会使直线整体沿y轴方向平移。
2. **函数解析式求解问题**：已知两点坐标求解一次函数解析式时，部分学生可能忘记或混淆两点确定一条直线的原理，错误地用一个点和斜率来求解。
正确的做法应是利用两点坐标（x1，y1）和（x2，y2），根据直线斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)求出斜率k，再任选一个点代入y=kx+b求解截距b。
3. **实际问题建模**：将实际问题转化为一次函数模型时，部分学生容易忽略单位统一或变量对应关系，导致建立的函数模型错误。
因此，在建立模型前，务必确保各个量的单位一致且准确理解每个变量所代表的实际意义。
三、应对策略与建议1. 加强基础知识的理解与记忆，明确一次函数的基本性质，如斜率和截距的意义及其对函数图像的影响。
2. 在解决图像平移、解析式求解等问题时，运用图形结合分析法，通过画图辅助理解，直观展现变量变化对函数图像的影响。
3. 对于实际问题建模，要注重培养数学建模能力，学会从实际问题中抽象出数学模型，同时强化审题意识，确保抓住问题关键信息。
4. 多做练习，尤其是一次函数相关的典型题目和变式题目，通过大量的实践操作，提高对一次函数相关知识的掌握和应用能力。
总结，对于一次函数的学习，我们要以理解和应用为主，对易错点进行有针对性的训练，才能真正掌握其核心思想并灵活运用到实际解题中去。
一次函数易错题集(含详解)
《一次函数》易错题集一次函数的应用选择题1．（2005•荆门）参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表．某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费大约是（）A．2879元B．2889元C．2899元D．2909元2．（2004•荆门）如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（）A．①②B．②③④C．②③D．①②③3．巫溪某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（）A．45.2分钟B．48分钟C．46分钟D．33分钟4．（2001•苏州）如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长ycm与所挂物体质量xkg之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是（）A．k甲＞k乙B．k甲=k乙C．k甲＜k乙D．不能确定填空题5．（2008•株洲）利民商店中有3种糖果，单价及重量如下表，若商店将以上糖果配成什锦糖，则这种什锦糖果的6．直线y=x﹣2与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有_________个．7．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C顺时针旋转30°交x轴于点D，再过D点作直线DC1∥OC，交AB与点C1，然后过C1点继续作直线D1C1∥OC，交x轴于点D1，并不断重复以上步骤，记△OCD的面积为S1，△DC1D1的面积为S2，依次类推，后面的三角形面积分别是S3，S4…，那么S1=_________，若S=S1+S2+S3+…+S n，当n无限大时，S 的值无限接近于_________．《一次函数》易错题集一次函数的应用参考答案与试题解析选择题1．（2005•荆门）参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表．某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费大约是（）A．2879元B．2889元C．2899元D．2909元考点：一次函数的应用。
(易错题精选)初中数学一次函数易错题汇编及答案解析
A．y随x的增大而增大
B．当m≠2时，该图象与函数y=3x的图象是两条平行线
C．若图象不经过第四象限，则m＞2
D．不论m取何值，图象都经过第一、三象限
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一次函数的增减性判断A；根据两条直线平行时，k值相同而b值不相同判断B；根据一次函数图象与系数的关系判断C、D．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．
【详解】
A.由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y= 的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
A．a＜0B．a＞0C．a＜-1D．a＞-1
【答案】C
【解析】
【分】
【详解】
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数 图象上的不同的两点， ，
∴该函数图象是y随x的增大而减小，
∴a+1<0，
解得a<-1，
故选C.
【点睛】
此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题.
故选：C．
【点睛】
本题考查了两条直线的平行问题：若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2，b1≠b2．也考查了一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系．
17．如图所示，已知 为反比例函数 图象上的两点，动点 在 轴正半轴上运动，当 的值最大时，连结 ， 的面积是（）
部编数学八年级下册专题22一次函数中的常见易错题(解析版)含答案
专题22 一次函数中的常见易错题（解析版）第一部分专题典例剖析类型一忽视定义的限制条件（隐含条件）1．（2022•南京模拟）已知关于x的函数y＝（m﹣2）x m2―1+m+1是一次函数，则m＝ ．思路引领：由此函数的定义可知：m﹣2≠0，且m2﹣1＝1，然后解得m的值即可．解：∵y＝（m﹣2）x m2―1+m+1是一次函数，∴m﹣2≠0，且m2﹣1＝1，解得：m=±故答案为：总结提升：本题主要考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式组是解题的关键．2．已知正比例函数y＝（k﹣1）x k2―k―1的图象经过第二、第四象限，则k的值是 ．思路引领：根据正比例函数图象的性质，得k﹣1＜0，k2﹣k﹣1＝1．解：∵函数图象经过第二、四象限，∴k﹣1＜0，k2﹣k﹣1＝1．解得：k＝﹣1，k＝2（舍去）故答案为：﹣1总结提升：掌握正比例函数图象的性质：k＜0，图象经过二、四象限．若一点在图象上，则其坐标满足直线解析式．类型二已知距离，已知面积求系数或解析式时忽视分类讨论3．若直线y＝ax+b与x轴的交点到y轴的距离为1，则关于x的一元一次方程ax+b＝0的解为 ．思路引领：根据直线与x轴的交点的求法得出交点坐标（―ba，0），根据题意得出―ba=±1，从而得出答案．解：∵直线与x轴的交点的求法得出交点坐标（―ba，0），且交点到y轴的距离为1，∴―ba=±1∴关于x的一元一次方程ax+b＝0的解为x＝±1，故答案为±1．总结提升：本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数的性质是解题的关键．4．已知一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象平行，与两坐标轴围成的三角形的面积为2．求这个一次函数的解析式．思路引领：根据两条直线平行k相同，得到k＝﹣3，然后求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．解：∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象平行，∴k＝﹣3，当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x=b 3，∴直线y＝﹣3x+b与坐标轴的交点为（0，b）、（b3，0），∵直线y＝﹣3x+b与坐标轴围成的三角形的面积为2，∴12⋅|b|⋅|b3|=2，∴b＝±∴一次函数为y＝﹣3X Y＝﹣3X﹣总结提升：本题考查了待定系数法求函数的解析式、两条直线平行k相同等知识，正确利用点的坐标表示三角形的面积是关键．5．（2021春•爱辉区期末）已知一次函数y＝kx+4的图象与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此函数表达式．思路引领：分别求出直线与坐标轴交点A，B，通过直角三角形面积求k．解：设直线y＝kx+4与x、y轴相交于A（a，0）B（0，b）把B点代入y＝kx+4得b＝4，把A点代入y＝kx+4得a=―4 k ．∵图象与坐标轴围成三角形的面积为8，∴12OA⋅OB=12×4|―4k|＝8，解得k＝±1∴此函数表达式为y＝﹣x+4或y＝x+4．总结提升：本题考查一次函数与三角形的结合问题，通过直线与坐标轴交点坐标及三角形面积公式求解，解题关键是注意k有正负两种情况．类型三在k的正负不明确时，忽视分类讨论6．已知一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9，则k+b的值为 ．思路引领：本题分情况讨论：①x＝﹣3时对应y＝1，x＝1时对应y＝9；②x＝﹣3时对应y＝9，x＝1时对应y＝1；将每种情况的两组数代入即可得出答案．解：①当x＝﹣3时，y＝1；当x＝1时，y＝9，则1=―3k+b 9=k+b解得：k=2 b=7所以k+b＝9；②当x＝﹣3时，y＝9；当x＝1时，y＝1，则―3k+b=9 k+b=1解得：k=―2 b=3，所以k+b＝1．故答案为9或1．总结提升：本题考查待定系数法求函数解析式，注意本题需分两种情况，不要漏解．类型四搞不清一次函数的性质与图像分布7．已知一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，也不经过原点，则下列结论正确的是（ ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0思路引领：直接根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，也不经过原点，∴k＜0，b＞0．故选：C．总结提升：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b ＞0时，函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．8．（2021秋•海曙区期末）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．思路引领：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx+n过第一，二，三象限，同负时过二，三，四象限，y＝mnx 过原点，一、三象限；②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx+n过一，三，四象限或一，二，四象限，y＝mnx过原点，二、四象限．解法二：本题还可用矛盾分析法来解决A、一次函数m＞0，n＞0；正比例mn＜0，与一次矛盾．B、一次m＞0，n＜O；正比例mn＞0，与一次矛盾．C、一次m＞0，n＜0，正比例mn＜0，成立．D、一次m＜0，n＞0，正比例mn＞0，矛盾．故选：C．总结提升：此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．9．（2022春•静安区校级期中）已知直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，则m的取值范围为 ．思路引领：由直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，可得出1―3m＜02m―1＜0，解之可得出结论．解：∵直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，∴1―3m ＜02m ―1＜0，解得：13＜m ＜12．故答案为：13＜m ＜12．总结提升：本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k ＜0，b ＜0⇔y ＝kx +b 的图象在二、三、四象限”是解题的关键．类型五 不能准确获取函数图象的信息10．（2018•镇江）甲、乙两地相距80km ，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km /h ，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y （km ）与时间x （h ）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）A ．10：35B ．10：40C ．10：45D ．10：50思路引领：根据速度之间的关系和函数图象解答即可．解：因为匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km /h ，所以1小时后的路程为40km ，速度为40km /h ，所以以后的速度为20+40＝60km /h ，时间为4060×60=40分钟，故该车到达乙地的时间是当天上午10：40；故选：B ．总结提升：此题主要考查了函数的图象值，根据速度之间的关系和函数图象解答是解题关键．第二部分 专题提优训练一．试题（共10小题）1．若关于x 的函数y ＝（n +1）x m ﹣1是一次函数，则m ＝ ，n ．思路引领：一次函数的系数n +1≠0，自变量x 的次数m ﹣1＝1，据此解答m 、n 的值．解：一次函数y ＝kx +b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1，∴根据题意，知n+1≠0 m―1=1，解得，n≠―1 m=2，故答案是2、≠﹣1．总结提升：本题主要考查了一次函数的定义：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．2．（上海期中）函数y＝（k2﹣4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小．则k＝ ．思路引领：根据正比例函数的定义和函数的性质可得出关于k的方程，解出即可．解：根据题意得：k2﹣4＝0且k+1＜0，解得：k＝±2且k＜﹣1，∴k＝﹣2．故填﹣2．总结提升：本题主要考查正比例函数的定义和性质，熟练记忆定义和性质是解本题的关键．3．（2012•大丰市模拟）如图，已知直线y＝ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1＝b的解x＝ ．思路引领：观察图形可直接得出答案．解：根据图形知，当y＝1时，x＝4，即ax﹣b＝1时，x＝4．故方程ax﹣1＝b的解x＝4．故答案为：4．总结提升：此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想方法．4．（2016秋•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y=12x与直线l2：y＝﹣x+6交于点A，l2与x轴交于B，与y轴交于点C．（1）求△OAC的面积；（2）如点M在直线l2上，且使得△OAM的面积是△OAC面积的34，求点M的坐标．思路引领：（1）先根据直线解析式，求得C（0，6），再根据方程组的解，得出A（4，2），进而得到△OAC的面积；（2）分两种情况进行讨论：①点M1在射线AC上，②点M2在射线AB上，分别根据点M的横坐标，求得其纵坐标即可．解：（1）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得y＝6，∴C（0，6），即CO＝6，解方程组y=12xy=―x+6，可得x=4y=2，∴A（4，2），∴S△OAC =12×6×4＝12；（2）分两种情况：①如图所示，当点M1在射线AC上时，过M1作M1D⊥CO于D，∵△OAM的面积是△OAC面积的3 4，∴△OCM的面积是△OAC面积的14，即12×OC×|x M|=14×12，∴12×6×|x M|=14×12，解得x M＝1，即点M1的横坐标为1，在直线y＝﹣x+6中，当x＝1时，y＝5，∴M1（1，5）；②如图所示，当点M2在射线AB上时，过M2作M2E⊥CO于E，∵△OAM的面积是△OAC面积的3 4，∴△OCM的面积是△OAC面积的74，即12×OC×|x M|=74×12，∴12×6×|x M|=74×12，解得x M＝7，即点M2的横坐标为7，在直线y＝﹣x+6中，当x＝7时，y＝﹣1，∴M2（7，﹣1）．综上所述，点M的坐标为（1，5）或（7，﹣1）．总结提升：本题主要考查了两直线相交的问题，解决问题的关键是掌握两直线交点的坐标的计算方法，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点分别为O（0，0），A（0，6），B（4，6），C （4，4），D（6，4），E（6，0）．已知直线l经过点M，分别与OA、DE相交，且将多边形OABCDE分成面积相等的两部分．（1）若点M（72，52），求直线l的函数表达式；（2）若点M（3，83），试说明有无数条直线l将多边形OABCDE分成面积相等的两部分．思路引领：（1）延长BC，交x轴于点F，连接OB、AF交于点P，连接CE、DF交于点Q．由B（4，6），D（6，4）可得P（2，3），Q（5，2）分别为矩形OFBA、矩形FEDC的中心，用待定系数法求得直线PQ的解析式，再根据矩形的性质进行分析即可．（2）另取过点M （3，83）的直线分别与OA 、DE 相交于点G '、H '，则S △MGG '＝S △MHH '⇒S 四边形OG 'H 'E ＝S 多边形AG 'H 'DCB ，由直线G 'H '的任意性可得答案．解：（1）如图，延长BC ，交x 轴于点F ，连接OB 、AF 交于点P ，连接CE 、DF 交于点Q ．∵B （4，6），D （6，4），∴P （2，3），Q （5，2）分别为矩形OFBA 、矩形FEDC 的中心，故过点P 的直线将矩形OFBA 分成面积相等的两部分，过点Q 的直线将矩形FEDC 的面积分成相等的两部分．设PQ 分别与OA 、DE 相交于点G 、H ，于是直线PQ 将多边形OABCDE 分成面积相等的两部分．设PQ 解析式为y ＝kx +b ，将P （2，3），Q （5，2）代入得：3=2k +b 2=5k +b ，解得：k =―13b =113∴直线PQ 的函数表达式为y =―13x +113，经验证，点M （72，52）在y =―13x +113上．∴直线l 的函数表达式为y =―13x +113．（2）另取过点M （3，83）的直线分别与OA 、DE 相交于点G '、H '，注意到，直线G 'H '的中点为M （3，83）．则S △MGG '＝S △MHH '⇒S 四边形OG 'H 'E ＝S 多边形AG 'H 'DCB故直线G 'H '也是满足条件的直线．由直线G 'H '的任意性知，满足条件的直线有无数条．总结提升：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及矩形的性质在面积等分问题中的应用，数形结合并明确矩形的相关性质是解题的关键．6．（2020•浙江自主招生）对于一次函数y ＝kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，则一次函数的解析式为 ．思路引领：由一次函数的单调性即可得知点（1，3）、（4，6）在一次函数y ＝kx +b 的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y ＝kx +b 的图象上，根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，此题得解．解：∵对于一次函数y ＝kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，∴点（1，3）、（4，6）在一次函数y ＝kx +b 的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y ＝kx +b 的图象上．当点（1，3）、（4，6）在一次函数y ＝kx +b 的图象上时，k +b =34k +b =6，解得：k =1b =2，∴此时一次函数的解析式为y ＝x +2；当（1，6）、（4，3）在一次函数y ＝kx +b 的图象上时，k +b =64k +b =3，解得：k =―1b =7，此时一次函数的解析式为y ＝﹣x +7．故答案为：y ＝x +2或y ＝﹣x +7．总结提升：本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．7．（2020秋•瑶海区校级期中）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（ ）A ．12＜t ≤1B ．1＜t ≤2C ．12≤t ≤2D ．12≤t ≤2且t ≠1思路引领：由y ＝tx +2t +2＝t （x +2）+2（t ＞0），得出直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（0，4）时，直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论．解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则3＝2t+2，解得t=1 2；当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则6＝2t+2，解得t＝2；当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则4＝2t+2，解得t＝1；∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是12≤t≤2且t≠1，故选：D．总结提升：本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．8．（2020秋•西城区校级月考）下列图形能表示一次函数y＝nx+m与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）图象的是（ ）A．B．C．D．思路引领：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．解：①当mn＞0，m，n同号，正比例函数y＝mnx过一、三象限，同正时一次函数y＝nx+m过一，二，三象限，同负时一次函数y＝nx+m过二，三，四象限；②当mn＜0时，m，n异号，则正比例函数y＝mnx过二、四象限，一次函数＝nx+m过一，三，四象限或一、二、四象限．故选：A．总结提升：主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．9．（2021春•曹县期末）若一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ．思路引领：根据一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象不经过第三象限，可知2m+1＜03―m≥0，然后求解即可．解：∵一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象不经过第三象限，∴2m+1＜0 3―m≥0，解得m＜―1 2，故答案为：m＜―1 2．总结提升：本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确一次函数的性质，列出相应的不等式组，求出m的取值范围．10．（2022•治多县模拟）2022年2月15日电影“长津湖”在青海大剧院演出，小锋从家出发驾车前往观看，离开家后不久便发现把票遗忘在家里了，于是以相同的速度返回去取，到家几分钟后才找到票，为了准时进场观看、他加快速度驾车前往．则小锋离青海大剧院的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象（ ）A．B．C．D．思路引领：根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．解：∵小锋从家出发驾车前往观看，∴随着时间的增加离剧院的距离越来越近，∵离开家后不久便发现把票遗忘在家里了，于是以相同的速度返回去取，∴随着时间的增加离剧院的距离越来越远，又∵到家几分钟后才找到票，∴他离剧院的距离不变，∵为了准时进场观看，他加快速度驾车前往．∴他离剧院的越来越小，∴小锋离青海大剧院的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是B．故选：B．总结提升：本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键．。
一次函数图象、性质及解析式易错点剖析
一次函数错解示例一、忽视一次函数定义中k ≠0这一条件例 1 已知一次函数y = (m-2)x + m 2-3m-2的图象与y 轴的交点为（0, -4)，求m 的值.错解：把点（0，-4)代入已知的函数关系式中，得2432m m -=--，解得121,2m m ==. 错解分析：产生错误的原因是忽视了一次函数定义中“k ≠0”这一条件.当m = 2时，m-2 =0，此时函数就不是一次函数，故应舍去.正确答案是m = 1. 正解：把点（0，-4)代入已知的函数关系式中，得2432m m -=--.解得121,2m m ==. 因为k ≠0，而当m = 2时，m-2 =0，因此m = 1. 二、忽视一次函数中自变量的取值范围例2 下列函数的图象与y = x 的图象完全相同的是（ ）①y =②2x y x=③y x=④2y =(A)①②③④ （B)①②④ (C)①②③ （D)①错解：选B.由于函数①②④都可化为y =x ，③不能直接化为y =x ，故选B. 错解分析：若要两个函数图象完全相同，必须同时满足：（1)函数关系式可化为同一形式，（2) 自变量的取值范围相同.本题忽视了对函数自变量取值范围的检验.由y =x 的取值范围是一切实数；由2x y x=知，x ≠0;由2y =知x ≥0.而函数y =x 的自变量的取值范围是一切实数，所以②，④两个函数的图象与y = x 的图象不同.又由y x=，知y ≥0，它的图象也与y =x 的图象不完全相同.只有y =y=x 的图象完全相同，故应选D.正解：选D. 三、忽视题设条件例 3 若一次函数y=(1+ 2m)x-m-14的函数值y 随x 的增大而减小，且此函数图象不经过第三象限，求m 的取值范围.错解： 根据题意有1+2m<0,∴m<12-,故m 的取值范围是m<12-.错解分析： 错在忽视了题设条件：函数图象不经过第三象限.因为函数图象不经过第三象限，所以它与y 轴的交点应在y 轴的正半轴或原点.∴14m --≥0，即14m ≤-.综合前解，得m 的取值范围是m<12-.虽然结果相同，但不考虑题设条件的解答是不完整的.正解：由题意知1+2m<0且14m --≥0，即m<12-且14m ≤-,所以m<12-.四、考虑问题不全面例4 已知直线y=-x+5与x 轴交于A 点，直线上有一点P,满足△POA 的面积为10, 求点P 的坐标.错解： 若y = 0，则x=5,∴A 点的坐标为（5，0）.设 P (x ，y)，则 S △POA =12·OA ·y,∴10=152y ⨯,解得y= 4.代入y=－x+5，得x=1，故P 点坐标为（1，4).错解分析： 此题错误原因在于漏解，即忽略了 P 点在x 轴下方的情形（如图).正解：设P(x,y),则11510,22==⨯=POA S OA y y ··V 解得4y =,∴124, 4.y y ==-分别代入y=－x+5,得121,9.y y == ∴P 点的坐标为（1,4)或（9, -4).五、遗漏附加条件出现错误例5 若一次函数2853m y x m -=-+-的图象经过第一象限，则m 的值是 . 错解： 由题意，得281m -=，解得3m =或3m =-.错解分析： 造成错解的原因是遗漏了函数的图象经过第一象限，所以530m ->，即35m >.故正确答案是 3m =.六、缺少分类讨论出现错误例6当a = 时，函数31(1)73(0)+=-++≠a y a x x x 是一次函数. 错解： 由题意，得311a +=，即0a =.错解分析： 此解法只考虑了指数是1的情形，而忽视了系数1a -为0的情况，以及指数为0 （任何不等于0的数的零次幂为1）的情况，正确答案是：0a =或13a =-或1a =.七、不熟悉函数的性质出现错误例7若一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是24x -≤≤，相应函数值的取值范围是x 6≤≤8，则这个函数的关系式是 .错解： 对于一次函数y kx b =+，由题意可知：当2x =-时，6y =；当4x =时，8y =.故26,48.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解之，得1,320.3k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以这个函数的关系式是120.33y x =+错解分析： 此解法忽视了另一种情形，即y 随x 的增大而减小.对应取值是：当2x =-时，y =8；当4x =时，6y =.类似上述解法可求得1,322.3⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k b 故所求函数的关系式是12033y x =+或12233y x =-+.。
中考数学常考易错点：《一次函数》
一次函数易错清单1.一次函数y=kx+b的图象的位置与k,b的符号之间的关系.【例1】(2014·湖南娄底)一次函数y=kx-k(k<0)的图象大致是().【解析】首先根据k的取值范围,进而确定-k>0,然后再确定图象所在象限即可.【答案】∵k<0,∴-k>0.∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限.故选A.【误区纠错】此题主要考查了一次函数图象,直线y=kx+b,可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到.当b>0时,向上平移;b<0时,向下平移.2.讨论一次函数性质时漏解.【例2】(2014·四川自贡)一次函数y=kx+b,当1≤x≤4时,3≤y≤6,则的值是. 【解析】由于k的符号不能确定,故应分k>0和k<0两种进行解答.【误区纠错】本题考查的是一次函数的性质,在解答此题时要注意分类讨论,不要漏解.3.一次函数与不等式的关系.【例3】(2014·湖北孝感)如图,直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,则关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为().A.-1B.-5C.-4D.-3【解析】满足不等式-x+m>nx+4n>0就是直线y=-x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象,据此求得自变量的取值范围即可.【答案】∵直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,∴关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的解集为-4<x<-2.∴关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为-3.故选D.【误区纠错】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系,错解误认为是关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的解集为x>-2.4.一次函数的实际应用.【例4】(2014·山东德州)目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级及农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲,乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:进价(元/只) 售价(元/只)甲型25 30乙型45 60(1)如何进货,进货款恰好为46000元?(2)如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元? 【解析】(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200-x)只,根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可;(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论.【答案】(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200-x)只,由题意,得25x+45(1200-x)=46000,解得x=400.∴购进乙型节能灯1200-400=800只.故购进甲型节能灯400只,购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元.(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由题意,得y=(30-25)a+(60-45)(1200-a),y=-10a+18000.∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,∴-10a+18000≤[25a+45(1200-a)]×30%.∴a≥450.∵y=-10a+18000,∴k=-10<0.∴y随a的增大而减小.∴a=450时,y最大=13500元.∴商场购进甲型节能灯450只,购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元.【误区纠错】本题考查了单价×数量=总价的运用,列了一元一次方程解实际问题的运用,一次函数的解析式的运用,解答时求出求出一次函数的解析式是关键.名师点拨1.掌握一次函数的定义,能利用定义进行判断.2.正确画出一次函数的图象,并利用图象说出它的变化特点,能利用图象求函数的近似解.3.会求一次函数解析式.4.会用函数思想解决实际问题.提分策略1.一次函数图象的平移.直线y=kx+b(k≠0)在平移过程中k值不变.平移的规律是若上下平移,则直接在常数b后加上或减去平移的单位数;若向左(或向右)平移m个单位,则直线y=kx+b(k≠0)变为y=k(x+m)+b(或k(x-m)+b),其口诀是上加下减,左加右减.【例1】如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则kb= .【解析】∵y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行,∴k=2.∵y=kx+b的图象经过点A(1,-2),∴2+b=-2,解得b=-4.∴kb=2×(-4)=-8.【答案】-82.一次函数与一次方程(组),一元一次不等式(组)相结合问题.【例2】一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示.根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为.【解析】∵一次函数y=kx+b过点(2,3),(0,1),∴一次函数的解析式为y=x+1.当y=0时,x+1=0,x=-1.∴一次函数y=x+1的图象与x轴交于点(-1,0).∴关于x的方程kx+b=0的解为x=-1.【答案】x=-13.一次函数图象与两坐标轴围成的三角形面积问题.这一类问题主要考查在给定一次函数解析式或一次函数图象的前提下,求图象与坐标轴围成的三角形的面积.在这类问题中,如果三角形的一边与一坐标轴重合,那么可直接应用三角形及坐标求面积,如果三角形的任何一边均不与坐标轴重合,那么一般来说,我们可以利用“割补法”化不规则的三角形为规则的三角形,从而求得三角形的面积.【例3】在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如,图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.【答案】(1)∵直线与x轴的交点坐标为(4,0),与y轴交点坐标为(0,3),4.用一次函数解决相关问题.(1)利用一次函数进行方案选择.一次函数的方案决策题,一般都是利用自变量的取值不同,得出不同方案,并根据自变量的取值范围确定出最佳方案.【例4】某医药公司把一批药品运往外地,现有两种运输方式可供选择.方式一:使用快递公司的邮车运输,装卸收费400元,另外每公里再加收4元;方式二:使用快递公司的火车运输,装卸收费820元,另外每公里再加收2元;(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式;(2)你认为选用哪种运输方式较好,为什么?【答案】(1)由题意,得y1=4x+400,y2=2x+820.(2)令4x+400=2x+820,解得x=210,所以当运输路程小于210km时,y1<y2,选择邮车运输较好;当运输路程等于210km时,y1=y2,选择两种方式一样;当运输路程大于210km时,y1>y2,选择火车运输较好.(2)利用一次函数解决资源收费问题.此类问题多以分段函数的形式出现,正确理解分段函数是解决问题的关键,一般应从如下几方面入手:(1)寻找分段函数的分段点;(2)针对每一段函数关系,求解相应的函数解析式;(3)利用条件求未知问题.【例5】为了促进节能减排,倡导节约用电,某市将实行居民生活用电阶梯电价方案,图中折线反映了每户每月用电电费y(元)与用电量x(千瓦时)间的函数关系式.(1)根据图象,阶梯电价方案分为三个档次,填写下表:档次第一档第二档第三档每月用电量0<x≤x(千瓦时)140(2)小明家某月用电120千瓦时,需要交电费元;(3)求第二档每月电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系式;(4)在每月用电量超过230千瓦时时,每多用1千瓦时电要比第二档多付电费m元,小刚家某月用电290千瓦时,交电费153元,求m的值.【答案】(1)第二档140<x≤230,第三档x>230.(2)54(3)设第二档每月电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系式为y=ax+c.将(140,63),(230,108)代入,得则第二档每月电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系式为(4)根据图象,得用电230千瓦时,需要付费108元,用电140千瓦时,需要付费63元,故108-63=45(元),230-140=90(千瓦时),45÷90=0.5(元),则第二档电费为0.5元/千瓦时.∵小刚家某月用电290千瓦时,交电费153元,290-230=60(千瓦时),153-108=45(元),45÷60=0.9(元),m=0.9-0.5=0.4,故m的值为0.4.(3)利用一次函数解决其他生活实际问题.结合函数图象及性质,弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用,寻找解决问题的突破口,这是解决一次函数应用题常见的思路.“图形信息”题是近几年的中考热点考题,解此类问题应做到三个方面:(1)看图找点,(2)见形想式,(3)建模求解.【例6】周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间;(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此时离家多远?(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地,求从家到乙地的路程.【答案】(1)小明骑车速度为,在甲地游玩的时间是1-0.5=0.5(h).(2)妈妈驾车速度为20×3=60(km/h),设直线BC解析式为y=20x+b1.专项训练一、选择题1.(2014·安徽安庆外国语学校模拟)已知四条直线y=kx-3,y=-1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是12,则k的值为().A.1或-2B.2或-1C.3D.42.(2014·安徽淮北五校联考)把直线y=-x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第二象限,则m的取值范围是().A.m>1B.m<-5C.-5<m<1D.m<13.(2014·安徽铜陵模拟)能表示图中一次函数图象的一组函数对应值列表的是().(第3题)x y-4 50 -1Ax y-4 2-2 -2Bx y-1 02 -2Cx y-3 20 -1D4.(2013·上海静安二模)函数y=kx-k-1(常数k>0)的图象不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(2013·重庆一中一模)如图反映的过程是:妈妈带小米从家去附近的动物园玩,他们先去鳄鱼馆看鳄鱼,又去熊猫馆看熊猫,然后回家.如果鳄鱼馆和熊猫馆的距离为m千米,小米在熊猫馆比在鳄鱼馆多用了n分钟,则m,n的值分别为().(第5题)A.1,8B.0.5,12C.1,12D.0.5,8二、填空题6.(2014·江苏苏州高新区一模)已知函数y1=x,y2=2x+3,y3=-x+4,若无论x取何值,y总取y1,y2,y3中的最小值,则y的最大值为.7.(2014·湖北宜昌一模)已知y是x的一次函数,下表列出了部分对应值,则m= .x 1 0 2y 3 m 58.(2014·湖南吉首三模)如图,已知直线与x轴,y轴分别交于点A和点B,M是OB上的一点,若将△ABM沿AM折叠,点B恰好落在x轴上的点B'处,则直线AM的函数解析式是.(第8题)9.(2013·上海静安二模)如果点A(-1,2)在一个正比例函数y=f(x)的图象上,那么y随着x的增大而(填“增大”或“减小”).10.(2013·江西饶鹰中考模拟)一次函数y=kx+b(kb<0)图象一定经过第象限.11.(2013·湖北武汉中考全真模拟)有一项工作,由甲、乙合作完成,合作一段时间后,乙改进了技术,提高了工作效率.图(1)表示甲、乙合作完成的工作量y(件)与工作时间t(时)的函数图象.图(2)分别表示甲完成的工作量y甲(件)、乙完成的工作量y乙(件)与工作时间t(时)的函数图象,则甲每小时完成件,乙提高工作效率后,再工作个小时与甲完成的工作量相等.(第11题)三、解答题12.(2014·湖北襄阳模拟)某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,于2014年4月开始采用以用户为单位按月分段收费办法收取水费,新按月分段收费标准如下:标准一:每月用水不超过20吨(包括20吨)的水量,每吨收费2.45元;标准二:每月用水超过20吨但不超过30吨的水量,按每吨a元收费;标准三:超过30吨的部分,按每吨(a+1.62)元收费.(说明:a>2.45)(1)居民甲4月份用水25吨,交水费65.4元,求a的值;(2)若居民甲2014年4月以后,每月用水x(吨),应交水费y(元),求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;(3)随着夏天的到来,各家的用水量在不但增加.为了节省开支,居民甲计划自家6月份的水费不能超过家庭月收入的2%(居民甲家的月收入为6540元),则居民甲家六月份最多能用水多少吨?13.(2014·广西南宁五模)黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛,渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后,发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来,渔船向渔政部门报告,并立即返航.渔政船接到报告后,立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象.(假设渔船与渔政船沿同一航线航行)(1)直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式;(2)求渔船和渔政船相遇时,两船与黄岩岛的距离;(3)在渔政船驶往黄岩岛的过程中,求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里?(第13题)14.(2014·广东模拟)甲和乙进行赛跑训练,他们选择了一个土坡,按同一路线同时出发,从坡脚跑到坡顶,再原路返回坡脚.他们俩上坡的平均速度不同,下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍.设两人出发x min后距出发点的距离为y m.图中折线表示甲在整个训练中y 与x的函数关系,其中A点在x轴上,M点坐标为(2,0).(2)求出AB所在直线的函数关系式;(3)如果乙上坡平均速度是甲上坡平均速度的一半,那么两人出发后多长时间第一次相遇?(第14题)15.(2013·河北三模)两辆校车分别从甲、乙两站出发,匀速相向而行,相遇后继续前行,已知两车相遇时中巴比大巴多行驶40千米,设行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至中巴到达乙站这一过程中y与x之间的函数关系.根据图象提供的信息,解答下列问题:(1)请你说明点B,C的实际意义;(2)求线段AB所在直线的函数关系式和甲、乙两站的距离;(3)求两车速度及中巴从甲站到乙站所需的时间t;(4)若中巴到达乙站后立刻返回甲站,大巴到达甲站后停止行驶,请你在图中补全这一过程中y 关于x的函数的大致图象.参考答案与解析1.A[解析]先求出直线y=kx-3与y=-1以及y=3的交点坐标,要注意这两个交点可能在一、四象限(k>0),也可能在二、三象限(k<0).再根据所围成的四边形是梯形,根据梯形的面积公式进行计算.根据第二象限内点具有x<0,y>0,确定m的取值范围是-5<m<1.3.D[解析]直接根据图象经过的点进行判断.显然该图象经过(-3,2),(0,-1)二点.4.B[解析]∵k>0,∴-k<0.∴-k-1<0.∴y=kx-k-1(常数k>0)的图象经过一、三、四象限.5.D[解析]根据图象,此函数大致可分以下几个阶段:①0~12分钟,从家走到鳄鱼馆;②12~27分钟,在鳄鱼馆看鳄鱼;③27~33分钟,从鳄鱼馆走到熊猫馆;④33~56分钟,在熊猫馆看熊猫;⑤56~74分钟,从熊猫馆回家;综合上面的分析,由③的过程知,m=1.5-1=0.5(千米);由②④的过程知n=(56-33)-(27-12)=8(分钟).6.2[解析]-x+4=x,解得x=2,∴y=x=2.7.1[解析]设一次函数的解析式是y=kx+b,将(1,3),(2,5)代入求出解析式即可.8[解析]由题,知点A和点B的坐标分别是A(6,0),B(0,8),所以AB=10,由题意,得点B'的坐标是(-4,0),再利用相似可求得OM=3,所以过A(6,0),M(0,3)的直线的解析式是.9.减小[解析]设正比例函数解析式为y=kx(k≠0),∵过点(-1,2),∴2=k×(-1),解得k=-2.故正比例函数解析式为y=-2x.∵k=-2<0,∴y随着x的增大而减小.10.一、四[解析]∵kb<0,∴k,b异号.①当k>0时,b<0,此时一次函数y=kx+b(kb<0)图象经过第一、三、四象限;②当k<0,b>0时,此时一次函数y=kx+b(kb<0)图象经过第一、二、四象限;综上所述,一次函数y=kx+b(kb<0)图象一定经过第一、四象限.则甲每小时完成30件.设乙提高工作效率后再工作m小时与甲完成的工作量相等,由题意,得2×20+(20+40)m=2×30+30m,12.(1)由题意,得20×2.45+5a=65.4,解得a=3.28.(2)由题意,得当0≤x≤20时,y=2.45x;当20<x≤30时,y=20×2.45+3.28(x-20)=3.28x-16.6;当x>30时,y=20×2.45+10×3.28+(x-30)×(3.28+1.62)=4.9x-65.2.(3)6540×2%=130.8.∵20×2.45=49,49+10×3.28=81.8,而49<81.8<130.8,∴居民甲家6月份用水超过30吨.设他家6月用水x吨,故4.9x-65.2≤130.8,解得x≤40.故居民甲家计划6月份最多用水40吨.13.(1)当0≤t≤5时,s=30t;当5<t≤8时,s=150;当8<t≤13时,s=-30t+390.(2)渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s=kt+b,解得k=45,b=-360.∴s=45t-360.解得t=10,s=90.渔船离黄岩岛距离为150-90=60(海里).(3)s渔=-30t+390,s渔政=45t-360.(2)甲上坡的平均速度为480÷2=240(m/min),则其下坡的平均速度为240×1.5=360(m/min),所以y=-360x+1200.(3)乙上坡的平均速度为240×0.5=120(m/min),甲的下坡平均速度为240×1.5=360(m/min),由图象得甲到坡顶时间为2分钟,此时乙还有480-2×120=240(m),没有跑完,两人第一次相遇时间为2+240÷(120+360)=2.5(min).15.(1)点B的实际意义是两车2小时相遇;点C的纵坐标的实际意义是中巴到达乙站时两车的距离.(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,由题意,知直线AB过(1.5,70)和(2,0),∴直线AB的解析式为y=-140x+280.当x=0时,y=280.∴甲、乙两站的距离为280千米.(3)设中巴和大巴的速度分别为V1千米/小时,V2千米/小时,∴中巴和大巴速度分别为80千米/小时,60千米/小时.t=280÷80=3.5(小时).(4)当小时时,大巴到达甲站,当t=7小时时,大巴回到甲站,故图象如下:(第15题)。
一次函数章节易错题型分析
一次函数章节易错题型分析易错点一：一次函数的概念例题1.下列语句不正确的是（ B ） A ．所有的正比例函数都是一次函数B ．一次函数的一般形式是C ．正比例函数和一次函数的图象都是直线D ．正比例函数的图象是一条过原点的直线【解析】A 、所有的正比例函数肯定是一次函数，命题正确；B 、一次函数的一般形式是y =kx +b （k ≠0），命题错误，符合题意；C 、正比例函数和一次函数图像都是直线，命题正确；D 、正比例函数图像是直线，过原点，命题正确．【总结】此题主要考查一次函数和正比例函数的定义、图像，解题关键是牢记这些基本知识，所有正比例函数都是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数． 【变式1】下列函数中，哪些是一次函数?（1）232y x =-；（2）12y x -=； （3）(5)(0)y m x m =-≠；（4）1(0)y ax a a=+≠；（5）(0)k y kx k x=+≠； （6）(3)(3)y k x k =-+≠-．答案:（2）、（3）、（4）、（6）．【解析】判断是否是一次函数，要整理成(0)y kx b k =+≠的形式，一次函数有x 要是一次，0k ≠且是整式几个注意点．（1）是二次函数，（5）是分式．【总结】考查一次函数的基本概念，会判断两个量是否是一次函数关，一般要把关系式整理成概念的标准形式，找出对应k b ，．【变式2】（1）已知函数2(2)1y k x =-+是一次函数，则k 的取值范围是_________；y kx b =+（2）当m =________时，函数215(4)m y x m -=+-是一次函数，且不是正比例函数．【答案】（1）k ≠；（2）4m =-．【解析】（1）一次函数(0)y kx b k =+≠，所以k ≠；（2）一次函数(0)y kx b k =+≠其中，x 要是一次，所以4m =±，又因为是一次函数，不是正比例函数，所以4m -（）不能为0，所以4m =-．【总结】考查一次函数的基本概念中对于自变量一次的理解． 【变式3】已知一次函数()23317k k y k x -+=-+是一次函数，求实数k 的值．【答案】2k =．【解析】由一次函数的概念可知：10k -≠，且2331k k --=，解得：1k =或2k =，又因为1k ≠， 所以2k =．【总结】考察一次函数的基本概念，对于自变量一次的及自变量系数不为零同时要满足的理解．易错点二：一次函数的平移例题1.已知直线23y x =-，把这条直线沿y 轴向上平移5个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，求两次平移后的直线解析式? 【答案】24y x =-．【解析】根据一次函数图形平移规律：上加下减，左加右减．可知把这条直线沿y 轴上移5个单位，得23522y x x =-+=+，再沿x 轴右移3个单位，得2(3)224y x x =-+=-．【总结】考察一次函数图像的平移与解析式之间的关系．【变式1】将直线y =+1向右平移1个单位，相当于将直线y =+1向上平移了多少个单位?【解析】一次函数1y =+右移一个单位，解析式变为1)11y x =-+=+，则相当于1y =+【总结】考察一次函数图像平移与函数解析式变化的关系，即“上加下减，左加右减”．易错点三：已知一次函数与坐标轴围成图形面积求一次函数解析式双解问题 例题1.（1）一次函数3y x b =+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b 的值；（2）一次函数y kx b =+的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，求一次函数的解析式．【答案】（1）b =±2）14y x =或14y x =-．【解析】（1）一次函数(0)y kx b k =+≠与两轴围成的三角形面积公式是22b s k =，所以24823b =⨯， 解得：b =±；（2）同理可知，2102b b k ==，14k =±，所以一次函数的解析式为14y x =或14y x =-．【总结】一次函数与两轴围成的面积公式22b s k=，注意双解的情况．【变式1】已知一次函数y kx b =+（0k ≠）与x 轴、y 轴围成的三角形面积为24，且与直线4733y x =-平行，求此一次函数的解析式．【答案】448833y x y x =+=-或．【解析】由一次函数与两轴围成的直角三角形面积公式为22b S k =，与直线4733y x =-平行可知k 相等，即43k =，代入面积公式22b S k =，224423b =⨯，得8b =±，所以一次函数的解析式为448833y x y x =+=-或．【总结】考察一次函数与坐标轴围成的三角形的面积问题，注意分类讨论． 易错点四：一次函数与不等式关系例题1如图，直线与x 轴交于点（-4，0）则当y ＞0时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＞-4 B ．x ＞0C ．x ＜-4D ．x ＜0【答案】 A【解析】根据题意，结合图像，通过观察可知y ＞0， 即为图像在x 轴上方的部分，可知x ＞-4．【总结】本题主要考查的是一次函数的图像及其变量取值范围间的关系，解答此类题型的关键在于利用数形结合思想，理清题意结合图像进行解答．【变式1】如图一次函数的图像如图所示，如果，那么x 的取值范围 是____________．y kx b =+y kx b =+0kx b +>【答案】x ＜2【解析】直线y =kx +b 与x 轴交点坐标是（2，0），由函数图像可知，y ＞0时，直线在x 轴上方，所以x ＜2．【总结】主要考查运用函数图像解一元一次不等式，考查分析能力和读图能力． 【变式2】如图所示，直线经过A （1，2）和B （3，0）两点，则不等式组 的解集是多少?【答案】10x -<<．【解析】直线y =kx +b 经过A （-1，2）和B （-3，0），解得直线解析式为：y =x +3，则不等式组可以转化为133x x -+<+<，解得：10x -<<．【总结】本题考查一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题关键是观察图形，做到数形结合． 易错点五：一次函数的应用之分配方案问题例题1.某公司有A 型产品40件，B 型产品60件，分配给下属甲乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完，两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：y kx b =+--13x kx b -+<+<关于x 的函数关系式，并求出定义域的取值范围；（2）若公司要求利润不低于17560元，则有多少种不同的分配方案，并将方案设计出来；（3）为了促销，公司决定仅对甲店A 型产品让利销售，每件让利a 元，但让利后A 型产品的每件利润仍高于甲店B 型产品的每件利润，甲店的B 型产品以及乙店的A 、B 型产品的每件利润不变，问该公司如何设计分配方案，使总利润达到最大? 【答案】（1）W =20x +16800（1040x ≤≤）；（2）x =38时，甲店A 型38件，B 型32件，乙店A 型2件，B 型28件；x =39时，甲店A 型39件，B 型31件，乙店A 型1件，B 型29件； x =40时，甲店A 型40件，B 型30件，乙店A 型0件，B 型30件；（3）W =（20-a ）x +16800． ①当0＜a ＜20时，x =40，即甲店A 型40件，B 型30件，乙店A 型0件，B 型30件，能使总利润达到最大；②当a =20时，10≤x ≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样；③当20＜a ＜30时，x =10，即甲店A 型10件，B 型60件，乙店A 型30件，B 型0件，能使总利润达到最大．【解析】（1）依题意，甲店B 型产品有（70-x ）件，乙店A 型有（40-x ）件，B 型有（x -10）件，则（1）W =200x +170（70-x ）+160（40-x ）+150（x -10）=20x +16800．（2）由W =20x +16800≥17560，∴x ≥38，∴38≤x ≤40，x =38，39，40．∴有三种不同的分配方案．①x=38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件；②x=39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；③x=40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．（3）W=（200-a）x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）=（20-a）x+16800．①当0＜a＜20时，x=40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大；②当a=20时，10≤x≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样；③当20＜a＜30时，x=10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大．【总结】考查一次函数图像在实际问题中的应用．【变式1】为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A,B两种型号的设备,其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表：（1）求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案；（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元?(注:企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)．【答案】（1）2100y x =+，有3种购买方案：0台A 型，10台B 型、1台A 型，9台B 型、2 台A 型，8台B 型；（2）选择1台A 型9台B 型；（3）42.8万元．【解析】（1）2100y x =+，由2100105x +≤，得0 2.5x ≤≤，所以x =0、1、2；（2）()240200102040x x +-≥，得1x ≥，所以x =1、2，又因为y 随着x 的增大而增大，故为了节约资金，应取x =1，即选择1台A 型9台B 型；（3）10年企业自己处理污水的总资金为：102+10×10=202（万元），若将污水排到污水处理厂，费用为2040×12×10×10=244.8（万元）， 所以节约资金为：244.8-202=42.8万元．【总结】考查一次函数在实际问题中的应用，最优方案的问题，解题时注意分析． 易错点六：一次函数在几何图形中的应用例题1.如图，一次函数3y =+与坐标轴交于A 、B 两点，且点P 是坐标轴上一点，△ABP 为等腰三角形．（1）求∠ABO 的大小；（2）求出P 点的坐标．【答案】（1）ABO ∠=60°；（2）1P （0）、 2P （0）、3P （0，-3）、4P （0，5P （0，6P （0，1）．【解析】（1）由3y =+，可得：A （0，3）、B 0），所以OA =3，OB =所以AB OAB ∠=30°，ABO ∠=60°；（2）当BA BP =时，1P （0）、 2P （0）、3P （0，-3）；当AB AP =时，4P （0，5P （0， 当PA PB =时，6P （0，1）．【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意等腰的分类讨论． 【变式1】如图，一次函数y ax b =-与正比例函数y kx =的图象交于第三象限内的点A ，与y 轴交于(04)B -，，且OA=AB ，△OAB 的面积为6． （1）求两函数的解析式；（2）若(20)M ，，直线BM 与AO 交于P ，求P 点的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使S △ABE =5，若存在，求E 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）正比例函数23y x=，一次函数243y x=--；（2）P（3，2）；（3）E（-1，0）或（-11，0）．【解析】（1）过A作AH⊥x轴，可求得AH=3，2OH BH==，所以A（-3，-2），所以正比例函数解析式为23y x=，由A（-3，-2）、(04)B-，，可求得一次函数解析式为243y x=--；（2）由(04)B-，、(20)M，，可求得直线BM的解析式为24y x=-．令23x=24x-，解得：3x=，所以P（3，2）；（3）过点A作AF⊥x轴于点F，则1(24)392OBAFS=⨯+⨯=梯形，设(0)E a，，当119(3)24522ABES a a=-⨯-⨯-⨯⨯=，解得：1a=-；当1149(3)2522ABES a a=⨯⨯--⨯-⨯=，解得：11a=-，综上，E点的坐标为（-1，0）或（-11，0）．【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意对面积的分类讨论．例题2.已知直角坐标平面上点A（2，0），P是函数y=x（x＞0）图象上一点，PQ⊥AP交y 轴正半轴于点Q ．【答案】（1）略；（2）22b a =-；（3）或 【解析】（1）作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，可证△PAE ≌△PQF ；（2）P （a ，a ），由（1）得AE =QF ，即2a a b -=-，整理得：22b a =-；（3）22222AOQ APQ S a S a a =-=-+，，由23AOQ APQ S S =△△，可得2550a a -+=，解得：a =，所以点P 的坐标为或． 【总结】考查一次函数在几何图形中的应用，注意利用相关性质解题．例题3.如图，在直角梯形COAB 中，CB ∥OA ，以O 为原点建立直角坐标系，A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，8），CB =4，D 为OA 中点，动点P 自A 点出发沿A →B →C →O 的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t 秒．（1）求AB 的长，并求当PD 将梯形COAB 的周长平分时t 的值，并指出此时点P 在哪条边上；（2）动点P 在从A 到B 的移动过程中，设△APD 的面积为S ，试写出S 与t 的函数关系式，并指出t 的取值范围；（3）几秒后线段PD 将梯形COAB 的面积分成1：3的两部分?求出此时点P 的坐标?【答案】（1）AB =10，11t =，此时点P 在CB 边上；（2）2S t =（010t ≤≤）；（3）1P （295，285）、2P （0，285）． 【解析】（1）由题意，知10OA =，8OC =，过点B 作OA 边上的高，利用勾股定理， 可得AB =10，由10104852t ++++=，得11t =，此时点P 在CB 边上； （2）过P 作PH ⊥x 轴，则PH =45t ，所以145225S t t =⨯⨯=； （3）56COAB S =当P 在线段AB 上时，令2S t ==14，解得：7t =，则PH =285，AH =215，OH =295，所以1P （295，285）； 当P 在线段AB 上时，令14ODP S =，解得：OP =285，所以2P （0，285）． 【总结】考查一次函数在几何图形中的应用，综合性较强，注意认真分析．。
一次函数易错题汇编含答案解析
一次函数易错题汇编含答案解析一、选择题1．已知点(k，b)为第二象限内的点，则一次函数y kx b=-+的图象大致是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据已知条件“点（k，b）为第二象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数y=-kx+b的图象所经过的象限．【详解】解：∵点（k，b）为第二象限内的点，∴k＜0，b＞0，∴-k＞0．∴一次函数y=-kx+b的图象经过第一、二、三象限，观察选项，D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y轴负半轴相交．2．给出下列函数：①y＝﹣3x+2：②y＝3x；③y＝﹣5x：④y＝3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（）A．①③B．③④C．②④D．②③【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案．【详解】解：①y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；②y＝3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；③y＝﹣5x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；④y ＝3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意； 故选：B ． 【点睛】此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键．3．一次函数y kx b =+是（,k b 是常数，0k ≠）的图像如图所示，则不等式0kx b +<的解集是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象看出：一次函数y=kx+b （k ，b 是常数，k≠0）的图象与x 轴的交点是（2，0），得到当x ＞2时，y<0，即可得到答案． 【详解】解：一次函数y=kx+b （k ，b 是常数，k≠0）的图象与x 轴的交点是（2，0）， 当x ＞2时，y<0． 故答案为：x ＞2． 故选：C. 【点睛】本题主要考查对一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能观察图象得到正确结论是解此题的关键．4．已知过点()2?3，-的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限.设s a 2b =+，则s 的取值范围是（ ） A ．352s -≤≤- B ．362s -<≤-C ．362s -≤≤-D ．372s -<≤-【答案】B 【解析】试题分析：∵过点()2?3，-的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限， ∴0{023a b a b <≤+=-.∴23b a =--. ∵s a 2b =+，∴4636s a a a =--=--.由230b a =--≤得399333662222a a a ≥-⇒-≤⇒--≤-=-，即32s ≤-. 由0a <得3036066a a ->⇒-->-=-，即6s >-. ∴s 的取值范围是362s -<≤-. 故选B.考点：1.一次函数图象与系数的关系；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.不等式的性质.5．一次函数y=kx+b(k<0，b>0)的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据k 、b 的符号来求确定一次函数y=kx+b 的图象所经过的象限． 【详解】 ∵k<0，∴一次函数y=kx+b 的图象经过第二、四象限． 又∵b ＞0时，∴一次函数y=kx+b 的图象与y 轴交与正半轴． 综上所述，该一次函数图象经过第一象限． 故答案为：C. 【点睛】考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限．k ＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．6．平面直角坐标系中，点(0,0)O 、(2,0)A 、(,2)B b b -+，当45ABO ∠<︒时，b 的取值范围为（ ）A ．0b <B ．2b <C ．02b <<D ．0b <或2b >【答案】D 【解析】 【分析】根据点B 的坐标特征得到点B 在直线y=-x+2上，由于直线y=-x+2与y 轴的交点Q 的坐标为（0，2），连结AQ ，以AQ 为直径作⊙P ，如图，易得∠AQO=45°，⊙P 与直线y=-x+2只有一个交点，根据圆外角的性质得到点B 在直线y=-x+2上（除Q 点外），有∠ABO 小于45°，所以b ＜0或b ＞2． 【详解】解∵B 点坐标为（b ，-b+2）， ∴点B 在直线y=-x+2上，直线y=-x+2与y 轴的交点Q 的坐标为（0，2），连结AQ ，以AQ 为直径作⊙P ，如图， ∵A （2，0）， ∴∠AQO=45°，∴点B 在直线y=-x+2上（除Q 点外），有∠ABO 小于45°， ∴b 的取值范围为b ＜0或b ＞2． 故选D ．【点睛】本题考查了一函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数）的图象是一条直线．它与x 轴的交点坐标是（bk-，0）；与y 轴的交点坐标是（0，b ）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b ．7．若一次函数32y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点,B 则AOB V （O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．32B ．2C ．23D ．3【答案】C【解析】 【分析】根据直线解析式求出OA 、OB 的长度，根据面积公式计算即可. 【详解】当32y x =-+中y=0时，解得x=23，当x=0时，解得y=2， ∴A(23，0)，B(0，2)， ∴OA=23，OB=2， ∴1122223AOB S OA OB =⋅=⨯⨯=V 23, 故选：C. 【点睛】此题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标，正确理解交点坐标的计算方法是解题的关键.8．下列函数中，y 随x 的增大而增大的函数是（ ） A ．2y x =- B ．21y x =-+C ．2y x =-D ．2y x =--【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】∵y=-2x 中k=-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，故A 选项错误； ∵y=-2x+1中k=-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，故B 选项错误； ∵y=x-2中k=1＞0，∴y 随x 的增大而增大，故C 选项正确； ∵y=-x-2中k=-1＜0，∴y 随x 的增大而减小，故D 选项错误． 故选C ． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＞0时y 随x 的增大而增大；k<0时y 随x 的增大而减小；熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键．9．随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢迎．打车总费用y(单位：元)与行驶里程x(单位：千米)的函数关系如图所示．如果小明某次打车行驶里程为22千米，则他的打车费用为( )A．33元B．36元C．40元D．42元【答案】C【解析】分析：待定系数法求出当x≥12时y关于x的函数解析式，再求出x=22时y的值即可．详解：当行驶里程x⩾12时，设y=kx+b，将(8,12)、(11,18)代入，得：812 1118k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：24kb=⎧⎨=-⎩，∴y=2x−4，当x=22时，y=2×22−4=40，∴当小明某次打车行驶里程为22千米，则他的打车费用为40元.故选C.点睛：本题考查一次函数图象和实际应用. 认真分析图象，并利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键.10．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（）A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8【答案】A【解析】试题分析：设正比例函数解析式为：y=kx，将点A（3，﹣6）代入可得：3k=﹣6，解得：k=﹣2，∴函数解析式为：y=﹣2x，将B（m，﹣4）代入可得：﹣2m=﹣4，解得m=2，故选A．考点：一次函数图象上点的坐标特征．11．若一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，则一次函数y=-bx+k的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】 【分析】根据一次函数y=kx+b 图象在坐标平面内的位置关系先确定k ，b 的取值范围，再根据k ，b 的取值范围确定一次函数y=-bx+k 图象在坐标平面内的位置关系，从而求解． 【详解】解：一次函数y=kx+b 过一、二、四象限， 则函数值y 随x 的增大而减小，因而k ＜0； 图象与y 轴的正半轴相交则b ＞0， 因而一次函数y=-bx+k 的一次项系数-b ＜0， y 随x 的增大而减小，经过二四象限， 常数项k ＜0，则函数与y 轴负半轴相交， 因而一定经过二三四象限， 因而函数不经过第一象限． 故选：A ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值y 随x 的增大而减小⇔k ＜0；函数值y 随x 的增大而增大⇔k ＞0；一次函数y=kx+b 图象与y 轴的正半轴相交⇔b ＞0，一次函数y=kx+b 图象与y 轴的负半轴相交⇔b ＜0，一次函数y=kx+b 图象过原点⇔b=0．12．如图，点,A B 在数轴上分别表示数23,1a -+，则一次函数(1)2y a x a =-+-的图像一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴得出0＜﹣2a +3＜1，求出1＜a ＜1.5，进而可判断1﹣a 和a ﹣2的正负性，从而得到答案． 【详解】解：根据数轴可知：0＜﹣2a +3＜1， 解得：1＜a ＜1.5， ∴1﹣a ＜0，a ﹣2＜0，∴一次函数(1)2y a x a =-+-的图像经过第二、三、四象限，不可能经过第一限． 故选：A ．本题考查了利用数轴比较大小和一元一次不等式的解法以及一次函数图象与系数的关系．熟练掌握不等式的解法及一次函数的图象性质是解决本题的关键．13．在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲乙两人同时出发，甲骑自行车从A 地到B 地，乙骑自行车从B 地到A 地，到达A 地后立即按原路返回B 地.如图是甲、乙两人离B 地的距离(km)y 与行驶时间(h)x 之间的函数图象，下列说法中①A 、B 两地相距30千米；②甲的速度为15千米/时；③点M 的坐标为(23，20)；④当甲、乙两人相距10千米时，他们的行驶时间是49小时或89小时. 正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，确定①-③正确，当两人相距10千米时，应有3种可能性． 【详解】解：根据题意可以列出甲、乙两人离B 地的距离y （km ）与行驶时间x （h ）之间的函数关系得: y 甲=-15x+30y 乙=()()3001306012x x x x ⎧≤≤⎪⎨-+≤≤⎪⎩由此可知，①②正确． 当15x+30=30x 时， 解得x=2,3则M 坐标为（23，20），故③正确． 当两人相遇前相距10km 时， 30x+15x=30-10 x=49， 当两人相遇后，相距10km 时，30x+15x=30+10， 解得x=8915x-（30x-30）=10得x=43∴④错误．选C ． 【点睛】本题为一次函数应用问题，考查学生对于图象分析能力，解答时要注意根据两人运动状态分析图象得到相应的数据，从而解答问题．14．已知正比例函数0()y mx m =≠中，y 随x 的增大而减小，那么一次函数y mx m =-的图象大致是如图中的( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由y 随x 的增大而减小即可得出m ＜0，再由m ＜0、−m ＞0即可得出一次函数y mx m =-的图象经过第一、二、四象限，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵正比例函数y ＝mx （m≠0）中，y 随x 的增大而减小， ∴m ＜0， ∴−m ＞0，∴一次函数y ＝mx−m 的图象经过第一、二、四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握“k ＜0，b ＞0⇔y ＝kx ＋b 的图象在一、二、四象限”是解题的关键．15．若一次函数(2)1y k x =-+的函数值y 随x 的增大而增大，则（ ） A ．2k < B ．2k >C ．0k >D ．k 0<【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k 的取值范围． 【详解】∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y 随x 的增大而增大， ∴k-2＞0， ∴k ＞2， 故选B.【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b （k≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．16．某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表： 砝码的质量x/g 0 50 100 150 200 250 300 400 500 指针位置y/cm2 345677.57.57.5则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】通过（0，2）和（100，4）利用待定系数法求出一次函数的解析式，再对比图象中的折点即可选出答案. 【详解】解：由题干内容可得，一次函数过点（0，2）和（100，4）.设一次函数解析式为y=k x +b ，代入点（0,2）和点（100,4）可解得，k=0.02，b=2.则一次函数解析式为y=0.02x +2.显然当y=7.5时，x =275，故选B.【点睛】此题主要考查函数的图象和性质，利用待定系数法求一次函数解析式．17．函数12y x =-与23y ax =+的图像相交于点(),2A m ，则( )A ．1a =B ．2a =C ．1a =-D ．2a =-【答案】A【解析】【分析】将点(),2A m 代入12y x =-，求出m ，得到A 点坐标，再把A 点坐标代入23y ax =+，即可求出a 的值．【详解】解：Q 函数12y x =-过点(),2A m ， 22m ∴-=，解得：1m =-，()1,2A ∴-，Q 函数23y ax =+的图象过点A ，32a ∴-+=，解得：1a =．故选：A ．【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．18．已知直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于不等式12k x b k x +>的解集为（ ）A ．1x <B ．1x >C ．2x >D ．0x <【答案】A【解析】【分析】根据函数图象可知直线l 1：y=k 1x+b 与直线l 2：y=k 2x 的交点是（1，2），从而可以求得不等式12k x b k x +>的解集．【详解】由图象可得，12k x b k x +>的解集为x ＜1，故选：A ．【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．19．已知一次函数y ＝kx+k ，其在直角坐标系中的图象大体是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】函数的解析式可化为y =k （x +1），易得其图象与x 轴的交点为（﹣1，0），观察图形即可得出答案．【详解】函数的解析式可化为y =k （x +1），即函数图象与x 轴的交点为（﹣1，0），观察四个选项可得：A 符合．故选A ．【点睛】本题考查了一次函数的图象，要求学生掌握通过解析判断其图象与坐标轴的交点位置、坐标．20．在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于21k x k x b <+的不等式的解为（ ）．A ．1x >-B ．2x <-C ．1x <-D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】 求关于x 的不等式12k x b k x +>的解集就是求：能使函数1y k x b =+的图象在函数2y k x =的上边的自变量的取值范围．【详解】解：能使函数1y k x b =+的图象在函数2y k x =的上边时的自变量的取值范围是1x <-． 故关于x 的不等式12k x b k x +>的解集为：1x <-．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ax b =+的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y kx b =+在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键．。
(易错题精选)初中数学一次函数易错题汇编附答案解析
（易错题精选）初中数学一次函数易错题汇编附答案解析一、选择题1．一次函数y=（m﹣2）x n﹣1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为（）A．m≠2，n=2 B．m=2，n=2 C．m≠2，n=1 D．m=2，n=1【答案】A【解析】【分析】直接利用一次函数的定义分析得出答案．【详解】解：∵一次函数y=（m-2）x n-1+3是关于x的一次函数，∴n-1=1，m-2≠0，解得：n=2，m≠2．故选A．【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握系数和次数是解题关键．2．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．5B．2 C．52D．25【答案】C【解析】【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=5，应用两次勾股定理分别求BE和a．【详解】过点D作DE⊥BC于点E.由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．.∴AD=a.∴12DE•AD＝a.∴DE=2.当点F从D到B∴Rt△DBE中，1=，∵四边形ABCD是菱形，∴EC=a-1，DC=a，Rt△DEC中，a2=22+（a-1）2.解得a=52.故选C．【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．3．已知过点()2?3，-的直线()0y ax b a=+≠不经过第一象限.设s a2b=+，则s的取值范围是（）A．352s-≤≤-B．362s-<≤-C．362s-≤≤-D．372s-<≤-【答案】B【解析】试题分析：∵过点()2?3，-的直线()0y ax b a=+≠不经过第一象限，∴{023aba b<≤+=-.∴23b a=--.∵s a2b=+，∴4636s a a a=--=--.由230b a=--≤得399333662222a a a≥-⇒-≤⇒--≤-=-，即32s≤-.由0a<得3036066a a->⇒-->-=-，即6s>-.∴s的取值范围是362s-<≤-.故选B.考点：1.一次函数图象与系数的关系；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.不等式的性质.4．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．【详解】∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故选C．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k ＜0，b＞0时图象在一、二、四象限．5．正比例函数y＝kx与一次函数y＝x﹣k在同一坐标系中的图象大致应为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据图象分别确定k的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能．【详解】根据图象知：A、k＜0，﹣k＜0．解集没有公共部分，所以不可能；B、k＜0，﹣k＞0．解集有公共部分，所以有可能；C、k＞0，﹣k＞0．解集没有公共部分，所以不可能；D、正比例函数的图象不对，所以不可能．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b的图象的四种情况是解题的关键．6．函数k y x=与y kx k =-（0k ≠）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【分析】分k>0和k<0两种情况确定正确的选项即可.【详解】当k:>0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交 y 轴于负半轴，y 随着x 的增大而增大，A 选项错误，C 选项符合；当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y 轴于正半轴，y 随着x 的增大而增减小，B. D 均错误，故选：C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，熟记函数的性质是解题的关键.7．下列关于一次函数()0,0y kx b k b =+<>的说法，错误的是( )A ．图象经过第一、二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．图象与y 轴交于点()0,bD ．当b x k >-时，0y > 【答案】D【解析】【分析】由k 0<，0b >可知图象经过第一、二、四象限；由k 0<，可得y 随x 的增大而减小；图象与y 轴的交点为()0,b ；当b x k>-时，0y <； 【详解】∵()0,0y kx b k b =+<>，∴图象经过第一、二、四象限，A 正确；∵k 0<，∴y 随x 的增大而减小，B 正确；令0x =时，y b =，∴图象与y 轴的交点为()0,b ，∴C 正确；令0y =时，b x k =-， 当b x k>-时，0y <； D 不正确；故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y kx b =+中，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D ．设运动的路程为x ，ADP ∆的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】由题意当03x ≤≤时，3y =，当35x <<时，()131535222y x x =⨯⨯-=-+，由此即可判断．【详解】由题意当03x ≤≤时，3y =，当35x <<时，()131535222y x x =⨯⨯-=-+， 故选D ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇形思考问题．9．如图，在矩形AOBC 中，A （–2，0），B （0，1）．若正比例函数y=kx 的图象经过点C ，则k 的值为（ ）A ．–12B ．12C ．–2D ．2【答案】A【解析】【分析】根据已知可得点C 的坐标为（-2，1），把点C 坐标代入正比例函数解析式即可求得k.【详解】∵A(－2，0)，B(0，1)，∴OA=2，OB=1，∵四边形OACB 是矩形，∴BC=OA=2，AC=OB=1，∵点C 在第二象限，∴C 点坐标为（-2，1），∵正比例函数y ＝kx 的图像经过点C ，∴-2k=1，∴k=－12， 故选A. 【点睛】本题考查了矩形的性质，待定系数法求正比例函数解析式，根据已知求得点C 的坐标是解题的关键.10．一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y （千米）与行驶时间x （小时）的对应关系如图所示，下列叙述正确的是（ ）A．甲乙两地相距1200千米B．快车的速度是80千米∕小时C．慢车的速度是60千米∕小时D．快车到达甲地时，慢车距离乙地100千米【答案】C【解析】【分析】（1）由图象容易得出甲乙两地相距600千米；（2）由题意得出慢车速度为60010=60（千米/小时）；设快车速度为x千米/小时，由图象得出方程60×4+4x=600，解方程即可；（3）求出快车到达的时间和慢车行驶的路程，即可得出答案.【详解】解:（1）由图象得：甲乙两地相距600千米,故选项A错;（2）由题意得：慢车总用时10小时，∴慢车速度为：60010=60（千米/小时）；设快车速度为x千米/小时，由图象得：60×4+4x=600，解得：x=90，∴快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；选项B错误，选项C正确；（3）快车到达甲地所用时间：60020903小时，慢车所走路程：60×203=400千米，此时慢车距离乙地距离：600-400=200千米，故选项D错误.故选C【点睛】本题考核知识点：函数图象. 解题关键点：从图象获取信息，由行程问题基本关系列出算式.11．一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G1，一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大；③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为．下列选项中，描述准确的是（）A．①②正确，③错误B．①③正确，②错误C．②③正确，①错误D．①②③都正确【答案】D【解析】【分析】画图，找出G2的临界点，以及G1的临界直线，分析出G1过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答．【详解】解：一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的函数值随x的增大而增大，如图所示，N（﹣1，2），Q（2，7）为G2的两个临界点，易知一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象过定点M（2，1），直线MN与直线MQ为G1与G2有公共点的两条临界直线，从而当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；故①正确；当G1与G2没有公共点时，分三种情况：一是直线MN，但此时k＝0，不符合要求；二是直线MQ，但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；三是当k＞0时，此时y1随x增大而增大，符合题意，故②正确；当k＝2时，G1与G2平行正确，过点M作MP⊥NQ，则MN＝3，由y2＝2x+3，且MN∥x 轴，可知，tan∠PNM＝2，∴PM＝2PN，由勾股定理得：PN2+PM2＝MN2∴（2PN）2+（PN）2＝9，∴PN＝，∴PM＝.故③正确．综上，故选：D．【点睛】本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大．12．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2019的坐标为（）A．（21009，21010）B．（﹣21009，21010）C．（21009，﹣21010）D．（﹣21009，﹣21010）【答案】D【解析】【分析】写出一部分点的坐标，探索得到规律A2n+1[（﹣2）n，2×（﹣2）n]（n是自然数），即可求解；【详解】A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…由此发现规律：A2n+1[（﹣2）n，2×（﹣2）n]（n是自然数），2019＝2×1009+1，∴A2019[（﹣2）1009，2×（﹣2）1009]，∴A2019（﹣21009，﹣21010），故选D．【点睛】本题考查一次函数图象上点的特点；能够根据作图特点，发现坐标的规律是解题的关键．13．函数y=2x﹣5的图象经过（）A．第一、三、四象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限【答案】A【解析】【分析】先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限，再进行解答即可．【详解】∵一次函数y=2x-5中，k=2＞0，∴此函数图象经过一、三象限，∵b= -5＜0，∴此函数图象与y轴负半轴相交，∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选A．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一、三象限，当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．14．如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝12x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0；②b＜0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D【解析】【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．【详解】因为正比例函数y1=ax经过二、四象限，所以a<0，①正确；一次函数21 2y x b=+ \过一、二、三象限，所以b>0，②错误；由图象可得：当x>0时,y1<0，③错误；当x<−2时,y1>y2，④正确；故选D.【点睛】考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数与不等式，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.15．如图所示，已知()121,,2,2A y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(),0P x 在x 轴正半轴上运动，当AP BP -的值最大时，连结OA ，AOP ∆的面积是 （ ）A ．12B ．1C ．32D ．52【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数解析式求出A ，B 的坐标，然后连接AB 并延长AB 交x 轴于点P '，当P 在P '位置时，PA PB AB -=,即此时AP BP -的值最大，利用待定系数法求出直线AB 的解析式，从而求出P '的坐标，进而利用面积公式求面积即可．【详解】当12x =时，2y = ，当2x =时，12y = ， ∴11(,2),(2,)22A B ．连接AB 并延长AB 交x 轴于点P '，当P 在P '位置时，PA PB AB -=,即此时AP BP -的值最大．设直线AB 的解析式为y kx b =+ ，将11(,2),(2,)22A B 代入解析式中得122122k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得152k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩ ， ∴直线AB 解析式为52y x =-+． 当0y =时，52x =，即5(,0)2P '， 115522222AOP A S OP y '∴=⋅=⨯⨯=V ． 故选：D ．【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法以及找到AP BP -何时取最大值是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于、两点，点是轴上一动点，要使点关于直线的对称点刚好落在轴上，则此时点的坐标是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，先求出A ，B 的坐标，分别为（4，0），（0，3），得到AB 的长，再根据折叠的性质得到AC 平分∠OAB ，得到CD=CO=n ，DA=OA=4，则DB=5-4=1，BC=3-n ，在Rt △BCD 中，利用勾股定理得到n 的方程，解方程求出n 即可．【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，如图，对于直线，当x=0，得y=3；当y=0，x=4，∴A （4，0），B （0，3），即OA=4，OB=3，∴AB=5，又∵坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴上，∴AC 平分∠OAB ，∴CD=CO=n ，则BC=3-n ，∴DA=OA=4，∴DB=5-4=1，在Rt △BCD 中，DC 2+BD 2=BC 2，∴n 2+12=（3-n ）2，解得n=，∴点C 的坐标为（0，）．故选B.【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数），关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数；关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数；关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数．也考查了折叠的性质和勾股定理．17．在平面直角坐标系中，直线:1m y x =+与y 轴交于点A ，如图所示，依次正方形1M ,正方形2M ，……，正方形n M ，且正方形的一条边在直线m 上，一个顶点x 轴上，则正方形n M 的面积是（ ）A ．222n -B ．212n -C ．22nD ．212n +【答案】B【解析】【分析】由一次函数1y x =+，得出点A 的坐标为（0，1），求出正方形M 1的边长，即可求出正方形M 1的面积，同理求出正方形M 2的面积，即可推出正方形n M 的面积.【详解】一次函数1y x =+，令x=0，则y=1，∴点A 的坐标为（0，1），∴OA=1，∴正方形M 122112+=∴正方形M 1的面积=222⨯=，∴正方形M 1的对角线为()()22222⨯=，∴正方形M 2的边长为222222+=，∴正方形M 2的面积=3222282⨯==，同理可得正方形M 3的面积=5322=，则正方形n M 的面积是212n -，故选B.【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，解答本题的关键是明确题意，发现题目中面积之间的关系，运用数形结合思想解答．18．已知一次函数y ＝kx+k ，其在直角坐标系中的图象大体是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】函数的解析式可化为y =k （x +1），易得其图象与x 轴的交点为（﹣1，0），观察图形即可得出答案．【详解】函数的解析式可化为y =k （x +1），即函数图象与x 轴的交点为（﹣1，0），观察四个选项可得：A 符合．故选A ．【点睛】本题考查了一次函数的图象，要求学生掌握通过解析判断其图象与坐标轴的交点位置、坐标．19．如图，经过点B （﹣2，0）的直线y ＝kx +b 与直线y ＝4x +2相交于点A （﹣1，﹣2），4x +2＜kx +b ＜0的解集为（ ）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1【答案】B【解析】【分析】由图象得到直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标（-1，-2）及直线y=kx+b与x轴的交点坐标，观察直线y=4x+2落在直线y=kx+b的下方且直线y=kx+b落在x轴下方的部分对应的x的取值即为所求．【详解】∵经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），∴直线y＝kx+b与直线y＝4x+2的交点A的坐标为（﹣1，﹣2），直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为B（﹣2，0），又∵当x＜﹣1时，4x+2＜kx+b，当x＞﹣2时，kx+b＜0，∴不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为﹣2＜x＜﹣1．故选B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．20．某班同学从学校出发去太阳岛春游，大部分同学乘坐大客车先出发，余下的同学乘坐小轿车20分钟后出发，沿同一路线行驶．大客车中途停车等候5分钟，小轿车赶上来之后，大客车以原速度的107继续行驶，小轿车保持速度不变．两车距学校的路程S（单位：km）和大客车行驶的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的个数是（）①学校到景点的路程为40km；②小轿车的速度是1km/min；③a＝15；④当小轿车驶到景点入口时，大客车还需要10分钟才能到达景点入口．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【详解】解：由图象可知，学校到景点的路程为40km，故①正确，小轿车的速度是：40÷（60﹣20）＝1km/min，故②正确，a＝1×（35﹣20）＝15，故③正确，大客车的速度为：15÷30＝0.5km/min，当小轿车驶到景点入口时，大客车还需要：（40﹣15）÷10(0.5)7﹣（40﹣15）÷1＝10分钟才能达到景点入口，故④正确，故选D．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．。
专题01一次函数(考题猜想,常考易错7个考点40题专练) 解析版
专题01一次函数（考题猜想，常考易错7个考点40题专练）易错点1忽略正比例函数是特殊的一次函数易错点2解决实际问题时忽视自变量的取值范围易错点3忽略对一次函数中参数符号的讨论易错点4对一次函数的图象与性质理解不透彻易错点5不善于从图象中获取信息易错点6对自变量或函数值代表的实际意义理解不准确而造成错误一次函数的性质一次函数图象与系数的关系 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数图象与几何变换 待定系数法求一次函数解析式 一次函数与一元一次不等式一次函数的应用一．一次函数的性质（共7小题）1．（2023春•普陀区期末）直线21y x =-+一定经过的象限是()A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．二、三、四象限D ．一、三、四象限．【分析】根据k 、b 的符号确定直线21y x =-+所经过的象限即可．【解答】解：20k =-< ，10b =>，∴直线21y x =-+经过第一、二、四象限，故选：B ．【点评】本题考查了一次函数图象的性质，熟知：对于直线(y kx b k =+、b 为常数，0)k ≠，当0k >，0b >时，直线y kx b =+经过第一、二、三象限；当0k >，0b <时，直线y kx b =+经过第一、三、四象限；当0k <，0b >时，直线y kx b =+经过第一、二、四象限；当0k <，0b <时，直线y kx b =+经过第二、三、四象限．2．（2023春•松江区期末）一次函数25y x =-的图象不经过的象限是()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由直线的解析式得到0k >，0b <，利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．【解答】解：25y x =- ，0k ∴>，0b <，故直线经过第一、三、四象限．不经过第二象限．故选：B ．【点评】此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由k ，b 的符号来确定．3．（2023春•浦东新区校级期末）关于函数21y x =-+，下列结论正确的是()A ．图象必经过点(2,1)-B ．图象经过第一、二、三象限C ．当12x >时，0y <D ．y 随x 的增大而增大【分析】根据凡是函数图象经过的点比能使解析式左右相等，故A 错误；根据k 、b 的值进行分析可得B 错误；根据解析式21y x =-+可得12y x -=-，再由12x >可得1122y -->，再解不等式即可得到C 正确；根据一次函数的性质可得D 错误．【解答】解：A 、当2x =-时，2(2)151y =-⨯-+=≠，故图象不经过点(2,1)-，故此选项错误；B 、20k =-<，1b =经过第一、二、四象限，故此选项错误；C 、由21y x =-+可得12y x -=-，当12x >时，0y <，故此选项正确；D 、y 随x 的增大而减小，故此选项错误；故选：C ．【点评】此题主要考查了一次函数的性质，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握一次函数的性质：0k >，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；0k <，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．由于y kx b =+与y 轴交于(0,)b ，当0b >时，(0,)b 在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当0b <时，(0,)b 在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．4．（2022春•静安区校级期中）已知一次函数1(12)3y a x a =-+-如果函数值y 随着自变量x 的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数图象与y 轴的交点M 位于y 轴的正半轴．（填正或负）【分析】根据函数值y 随着自变量x 的增大而减小，可得120a -<，求出a 的取值范围，可确定13a -的符号，即可解答．【解答】解： 函数值y 随着自变量x 的增大而减小，120a ∴-<，解得12a >，103a ∴->，∴函数图象与y 轴的交点M 位于y 轴的正半轴，故答案为：正．【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．5．（2022春•上海期中）若点1(7,)A y 、点2(5,)B y 是直线1(3y x b b =-为常数）上的点，则1y ，2y 大小关系是12y y >．【分析】根据一次函数的增减性判断即可．【解答】解： 13y x b =-中，103k =>，y ∴随x 的增大而增大，75∴>时，12y y >，故答案为：12y y >．【点评】本题考查一次函数的性质——增减性，解题关键是掌握一次函数的增减性由k 决定．6．（2022春•徐汇区校级期中）当m4时，函数(1)4y m x m =-+-的图象不经过第四象限．【分析】根据题意，分两种情况：①10m ->且40m -，②10m -=，且40m -，分别求解即可．【解答】解：(1)4y m x m =-+- 的图象不经过第四象限，①10m ->且40m -，解得4m ，②10m -=，且40m -，m ∴无解，综上所述，4m ，故答案为：4．【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．7．（2023春•徐汇区期中）已知函数314y x =-，如果函数值2y >，那么相应的自变量x 的取值范围是4x >．【分析】令3124y x =->，解关于x 的不等式求出x 的取值范围即可．【解答】解： 在函数314y x =-中，函数值2y >，∴3124x ->，4x ∴>．故答案为4x >．【点评】本题主要考查了一次函数的性质，解答本题的关键是令2y >得出x 的不等式，解不等式求出x 的取值范围．二．一次函数图象与系数的关系（共3小题）8．（2022春•奉贤区校级月考）若一次函数2y x b =+的图象不经过第二象限，则b 的取值范围为()A ．0b <B ．0b C ．0b D ．0b >【分析】根据题意可知：图象经过一三象限或一三四象限，可得0b =或0b <，再解不等式可得答案．【解答】解：一次函数2y x b =+的图象不经过第二象限，则可能是经过一三象限或一三四象限，经过一三象限时，0b =；经过一三四象限时，0b <．故0b ，故选：B ．【点评】此题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y kx b =+所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．0k >时，直线必经过一、三象限；0k <时，直线必经过二、四象限；0b >时，直线与y 轴正半轴相交；0b =时，直线过原点；0b <时，直线与y 轴负半轴相交．9．（2023春•徐汇区期中）已知直线3y x m =-+图象经过第一、三、四象限，则m 的取值范围是3m >．【分析】根据一次函数的性质求解．【解答】解： 一次函数3y x m =-+的图象经过第一、三、四象限，30m ∴-+<，解得：3m >，故答案为3m >．【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数y kx b =+经过第一、三、四象限0k >，0b <．10．（2022春•徐汇区校级期中）已知一次函数(2)3y a x =-+的函数值y 随着自变量x 的值增大而减小，那么实数a 的取值范围是2a <．【分析】根据一次函数(0)y kx b k =+≠的增减性来确定k 的符号．【解答】解： 关于x 的一次函数(2)3y a x =-+，y 随着x 的增大而减小，20a ∴-<，解得，2a <．故答案为：2a <．【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线y kx b =+所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．0k >时，直线必经过一、三象限．0k <时，直线必经过二、四象限．0b >时，直线与y 轴正半轴相交．0b =时，直线过原点；0b <时，直线与y 轴负半轴相交．三．一次函数图象上点的坐标特征（共10小题）11．（2022春•杨浦区校级期中）下列结论正确的个数是()（1）直线y kx k =-一定经过点(1,0)；（2）若直线y kx b =+不经过第四象限，则0k >，0b >；（3）若11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 在直线(0)y kx b k =+<上，且12x x >，则12y y >；（4）若一次函数2(1)2y m x m =-++的图象交y 轴于点(0,3)A ，则1m =±．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】（1）代入1x =求出y 值，进而可得出直线y kx k =-一定经过点(1,0)；（2）分0k =及0k ≠两种情况考虑，当0k =时，由直线y kx b =+不经过第四象限可得出0b ；当0k ≠时，由直线y kx b =+不经过第四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出0k >，0b ，综上可得出结论（2）不正确；（3）利用一次函数的性质可得出y 随x 的增大而减小，结合12x x >，可得出12y y <，结论（3）不正确；（4）利用一次函数的定义及一次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出m 的值，进而可得出结论（4）不正确．【解答】解：（1）当1x =时，10y k k =⨯-，∴直线y kx k =-一定经过点(1,0)，结论（1）正确；（2）当0k =时， 直线y kx b =+不经过第四象限，0b ∴；当0k ≠时， 直线y kx b =+不经过第四象限，∴直线y kx b =+经过第一、三象限或直线y kx b =+经过第一、二、三象限．当直线y kx b =+经过第一、三象限时，0k >，0b =；当直线y kx b =+经过第一、二、三象限时，0k >，0b >，∴若直线y kx b =+不经过第四象限，则0k ，0b ，结论（2）不正确；（3）0k < ，y ∴随x 的增大而减小，又 若11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 在直线(0)y kx b k =+<上，且12x x >，12y y ∴<，结论（3）不正确；（4） 一次函数2(1)2y m x m =-++的图象交y 轴于点(0,3)A ，∴21023m m -≠⎧⎨+=⎩，解得：1m =-，结论（4）不正确．∴正确的结论只有1个．故选：A ．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质以及一次函数的定义，逐一分析各个结论的正误是解题的关键．12．（2022春•樊城区期末）当k =1±时，函数3y kx =+的图象与x 轴、y 轴围成等腰直角三角形．【分析】设函数3y kx =+的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B ，得到3OA OB ==，求得(3,0)A ±，代入3y kx =+即可得到结论．【解答】解：设函数3y kx =+的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B ， 函数3y kx =+的图象与x 轴、y 轴围成等腰直角三角形，3OA OB ∴==，(3,0)A ∴±，代入3y kx =+得1k ±，故答案为：1±．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．13．（2022春•杨浦区校级期中）一次函数53y x =--与x 轴的交点是3(5-，0)．【分析】代入0y =求出x 的值，进而可得出一次函数53y x =--的图象与x 轴的交点坐标．【解答】解：当0y =时，530x --=，解得：35x =-，∴一次函数53y x =--的图象与x 轴的交点坐标是3(5-，0)．故答案为：3(5-，0)．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入0y =求出x 的值是解题的关键．14．（2022春•奉贤区校级月考）已知一次函数图象与y 轴交于负半轴，图象上的点1(A x ，1)-、2(B x ，2)-，且12x x <，请写出一个符合上述条件的一次函数解析式为2y x =--．【分析】先根据一次函数图象与y 轴交于负半轴，可知b 为负数，再根据一次函数的增减性可知0k <，即可得出解析式．【解答】解： 一次函数图象与y 轴交于负半轴，∴可选2b =-，点1(A x ，1)-、2(B x ，2)-，且12x x <，y ∴随着x 增大而减小，可选1k =-，∴一次函数解析式：2y x =--．故答案为：2y x =--．【点评】本题考查了一次函数得图象与性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征与函数增减性是解题的关键．15．（2022春•徐汇区校级期中）如图，一次函数y kx b =+，当函数值2y 时，x 的取值范围是0x ．【分析】根据图象得出一次函数y kx b =+交y 轴于点(0,2)，y 随x 的增大而增大，根据一次函数与一元一次不等式的关系即可求出答案．【解答】解：根据图象可知：一次函数y kx b =+交y 轴于点(0,2)，y 随x 的增大而增大，∴当函数值2y 时，x 的取值范围是：0x ．故答案为：0x ．【点评】本题考查了一次函数和一元一次不等式的关系的应用，解此题的关键是能根据图象理解一次函数与一元一次不等式的关系，题型较好，是一道容易出错的题目．16．（2022春•杨浦区校级期中）规定：[k ，]b 是一次函数(y kx b k =+、b 为实数，0)k ≠的“特征数”．若“特征数”是[4，5]m -的一次函数是正比例函数，则直线y mx m =+与y 轴的交点坐标是(0,5)．【分析】根据正比例函数的定义求出m 的值，然后求出直线y mx m =+与y 轴的交点坐标即可．【解答】解：由题意得：“特征数”是[4，5]m -的一次函数是正比例函数，50m ∴-=，5m ∴=，55y mx m x ∴=+=+，∴直线y mx m =+与y 轴的交点坐标是(0,5)，故答案为：(0,5)．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．17．（2022春•虹口区校级月考）点(2,)A m -在一次函数312y x =+的图象上，一次函数与x 轴相交于点B ，B 、C 两点关于y 轴对称．将ACB ∠沿x 轴左右平移到AC B ''∠，在平移过程中，将该角绕点C '旋转，使它的一边始终经过点A ，另一边与直线AB 交于点B '．若△AC B ''为等腰直角三角形，且90A ∠=︒，则点B '的坐标为(8,12)--或(4,24)．【分析】根据题意90B AC ''∠=，AB AC ''=，当B 在A 下方时，通过证得△B MA ANC ''≅∆，求得M 的坐标，把M 的横坐标代入直线解析式即可求得B '的坐标；当B 在A 上方时，根据B ''与B '关于A 点对称，即可求得B ''的坐标．【解答】解： 点(2,)A m -在一次函数312y x =+的图象上，3(2)126m ∴=⨯-+=，(2,6)A ∴-，令0y =，则4x =-，(4,0)B ∴-，B 、C 两点关于y 轴对称，(4,0)C ∴，△AC B ''为等腰直角三角形，且90A ∠=︒，45ACB AC B ''∴∠=︒=∠，90B AC ''∴∠=，AB AC ''=，Ⅰ．当B 在A 下方时，作B M x '⊥轴，C N x '⊥轴，与过A 点，且平行与x 轴的直线交于M 、N ，90B AM C AN AB M B AM ∠'+∠'=︒=∠'+∠' ，AB M C AN ∴∠'=∠'，在△B MA '和ANC '∆中90AB M C AN AMB C NA AB C A ∠'=∠'⎧⎪∠'=∠'=︒⎨⎪'='⎩，∴△()B MA ANC AAS ''≅∆，||6A C N y AM '∴===，(8,6)M ∴-，将8x =-代入312y x =+，得12y =-，(8,12)B '∴--；Ⅱ．当B 在A 上方时，此时，B ''与B '关于A 点对称，(4,24)B ∴''．故答案为：(8,12)--或(4,24)．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，求得M 点的坐标是解题的关键．18．（2022春•嘉定区校级期中）已知，一次函数y kx b =+的图象经过点(2,1)A （如图所示），当1y 时，x 的取值范围是2x ．【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论．【解答】解： 一次函数y kx b =+的图象经过点(2,1)A ，∴当1y 时，2x ．故答案为：2x ．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．19．（2022春•黄浦区校级期中）已知直线1y =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，在坐标轴上有一个点C （不与原点O 重合），使得ABC ∆是直角三角形，那么点C 的坐标为，0)或(0,3)-．【分析】先求出A ，B 点坐标，根据勾股定理可得AB 的值，可知30BAO ∠=︒，ABC ∆是直角三角形，分三种情况：①90ACB ∠=︒，②90ABC ∠=︒，③90BAC ∠=︒，根据直角三角形，30︒所对的直角边是斜边的一半，分解求解即可．【解答】解：当0x =时，11y =+=，(0,1)B ∴，当10y =+=时，x =(A ∴，0)，OA ∴=，1OB =，在AOB ∆中，根据勾股定理，得2AB =，30BAO ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，当ABC ∆是直角三角形时，分三种情况：①90ACB ∠=︒，此时C 点与原点重合，不符合题意；②90ABC ∠=︒时，如图所示：30OBC ∴∠=︒，设OC x =，则2BC x =，30BAO ∠=︒ ，24AC BC x ∴==，4x x +=，解得x =3(3C ∴，0)，③当90BAC ∠=︒时，此时30ACB ∠=︒，3OC ∴==，(0,3)C ∴-，综上，C 点坐标为(3，0)或(0,3)-，故答案为：(3，0)或(0,3)-．【点评】本题考查了一次函数与直角三角形的综合，熟练掌握30︒直角三角形的性质以及分类讨论思想是关键．20．（2023春•静安区校级期中）已知：直线1322y x =-+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，将MON ∆绕着坐标原点逆时针旋转90︒，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使2OP OA =，求ABP ∆的面积．【分析】（1）先求出OM 、ON 的长，进而利用旋转的性质即可得解；（2）由32OA =，2OP OA =，求出点P 的坐标，进而即可求得ABP ∆的面积．【解答】解：（1）对于直线1322y x =-+，令0y =得13022x =-+，解得3x =，令0x =，得32y =，∴直线1322y x =-+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，3OM ∴=，32ON =， 将MON ∆绕着坐标原点逆时针旋转90︒，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，32OA ON ∴==，3OB OM ==，∴3(,0)2A -，(0,3)B ；（2）32OA =，2OP OA =，3OP ∴=， 过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，(3,0)P ∴-或(3,0)P ，3OB = ，∴当(3,0)P -时，1139|3|32224ABP S AP OB ∆=⨯⨯=⨯-⨯=；当(3,0)P 时，11327|3|32224ABP S AP OB ∆=⨯⨯=⨯+⨯=．【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，坐标与图象以及旋转图形的性质，熟练掌握一次函数的性质时解题的关键．四．一次函数图象与几何变换（共4小题）21．（2022春•杨浦区校级期中）将一次函数24y x =-的图象向上平移4个单位后，图象经过原点．【分析】根据直线y kx b =+向上平移(0)m m >个单位所得直线解析式为y kx b m =++求解．【解答】解：因为一次函数24y x =-的图象向上平移4个单位后，得到直线2442y x x =-+=，图象经过原点，故答案为：4．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线y kx b =+平移后的解析式时要注意直线平移时k 的值不变，只有b 的值发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．22．（2022春•宝山区校级期中）将直线32y x =+沿y 轴向下平移4个单位，那么平移后直线的表达式是32y x =-．【分析】由平移的规律可直接求得答案．【解答】解：直线32y x =+沿y 轴向下平移4个单位长度后的函数解析式是32432y x x =+-=-，故答案为：32y x =-．【点评】本题主要考查图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．23．（2022春•长宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将DAB ∆沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．（1）求AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）y 轴上是否存在一点P ，使得12PAB OCD S S ∆∆=？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得点A 和点B 的坐标，则可得到OA 、OB 的长，然后依据勾股定理可求得AB 的长，（2）依据翻折的性质可得到AC 的长，于是可求得OC 的长，从而可得到点C 的坐标；设OD x =，则4CD DB x ==+．，Rt OCD ∆中，依据勾股定理可求得x 的值，从而可得到点(0,6)D -．（3）先求得PAB S ∆的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP 的长，从而可得到点P 的坐标．【解答】解：（1）令0x =得：4y =，(0,4)B ∴．4OB ∴=令0y =得：4043x =-+，解得：3x =，(3,0)A ∴．3OA ∴=．在Rt OAB ∆中，5AB =．（2）5AC AB == ，358OC OA AC ∴=+=+=，(8,0)C ∴．设OD x =，则4CD DB x ==+．在Rt OCD ∆中，222DC OD OC =+，即222(4)8x x +=+，解得：6x =，(0,6)D ∴-．（3）存在，理由如下：12PAB OCD S S ∆∆= ，11681222PAB S ∆∴=⨯⨯⨯=． 点P 在y 轴上，12PAB S ∆=，∴1122BP OA = ，即13122BP ⨯=，解得：8BP =，P ∴点的坐标为(0,12)或(0,4)-．【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x 的方程是解题的关键．24．（2022春•静安区校级期中）已知：如图所示，直线443y x =-+的与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，将这条直线平移后与x 轴、y 轴分别交于点C 和点D ，且BA CB =．（1）求点C 的坐标；（2）求CD 所在直线的函数解析式．【分析】（1）由直线AB 的解析式即可求得A 、B 的坐标，然后根据勾股定理求得AB ，由BA CB =即可得出点C 的坐标为(2,0)-或(8,0)；（2）根据平行直线的解析式的k 值相等设出直线CD 的表达式，然后把C 点的坐标代入求解即可．【解答】解：（1） 直线443y x =-+的与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，(0,4)A ∴，(3,0)B ，4OA ∴=，3OB =，5AB ∴==，将这条直线平移后与x 轴、y 轴分别交于点C 和点D ，且BA CB =，∴点C 的坐标为(2,0)-或(8,0)；（2）设直线CD 的解析式为43y x c =-+，当点C 的坐标为(2,0)-时，40(2)3c =-⨯-+，解得83c =-，当点C 的坐标为(8,0)时，4083c =-⨯+，解得323c =，∴直线CD 的解析式为4833y x =--或43233y x =-+．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，重点是求得C 点的坐标，难点在于利用平行直线的解析式的k 值相等设出直线CD 的表达式．五．待定系数法求一次函数解析式（共5小题）25．（2022春•浦东新区校级期中）已知一次函数图象经过点(2,2)A --、(0,4)B -．（1）求k 、b 的值；（2）求这个一次函数与两坐标轴所围成的面积．【分析】（1）设所求一次函数的解析式为y kx b =+，(2,2)A --、(0,4)B -代入，可得出函数解析式；（2）先根据函数解析式求出与坐标轴的交点，再根据面积1||||2x y =得出与坐标轴围成的面积．【解答】解：（1）设(0)y kx b k =+≠．把(2,2)A --，(0,4)B -代入，224k b b -+=-⎧⎨=-⎩，解得14k b =-⎧⎨=-⎩．4y x ∴=--；（2）4y x =-- ，∴与x 轴的交点坐标为(4,0)-，与y 轴的交点坐标为(0,4)-，14482S ∴=⨯⨯=．【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意掌握一次函数与坐标轴围成三角形的面积为1||||2x y =．26．（2022春•长宁区校级期中）已知一次函数的图象经过点(2,4)A -、(1,2)B ，求这个一次函数的解析式．【分析】设一次函数解析式为(0)y kx b k =+≠．把(2,4)A -，(1,2)B 分别代入该解析式，列出关于系数k 、b 的方程组，通过解方程组即可求得它们的值．【解答】解：设一次函数解析式为y kx b =+．把(2,4)A -，(1,2)B 分别代入(0)y kx b k =+≠中得：242k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得68k b =-⎧⎨=⎩，故所求一次函数解析式为68y x =-+．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．27．（2022春•黄浦区校级期中）如图，在平面直角坐标系中(O 为坐标原点），已知直线y kx b =+与x 轴y 轴分别交于点(2,0)A -、点(0,1)B -，点C 的坐标是(0,2)．（1）求直线AB 的表达式．（2）设点D 为直线AB 上一点，且CD BD =．求点D 的坐标．【分析】（1）用待定系数法求解析式；（2）根据等腰三角形三线合一，求出D 点纵坐标，代入直线解析式求出D 点横坐标即可．【解答】解：（1） 直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点(2,0)A -、点(0,1)B -，∴201k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB 的表达式为：112y x =--．（2）过点D 作DH BC ⊥，垂足为H，如图所示：CD BD = ，12HC HB BC ∴==，3BC = ，32CH ∴=，2OC = ，12OH ∴=，∴把12y =代入直线112y x =--，得11122x =--，解得3x =-D ∴点坐标为1(3,2-．【点评】本题考查了一次函数与等腰三角形的综合，利用等腰三角形的性质求解D 点坐标是解决本题的关键．28．（2021春•松江区月考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点(3,0)A -与点(0,4)B ．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若点M 为此一次函数图象上一点，且MOB ∆的面积为12，求点M 的坐标；（3）点P 为x 轴上一动点，且ABP ∆是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）设一次函数的表达式为y kx b =+，把点A 和点B 的坐标代入求出k ，b 的值即可；（2）点M 的坐标为4(,4)3a a +，根据MOB ∆的面积为12，列出关于a 的等式，解之即可；（3）分三种情形讨论即可①当AB AP =时，②当BA BP =时，③当PA PB =时．【解答】解：（1）设一次函数的表达式为y kx b =+，把点(3,0)A -与点(0,4)B 代入得：304k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，此一次函数的表达式为：443y x =+；（2）设点M 的坐标为4(,4)3a a +，(0,4)B ，4OB ∴=，又MOB ∆ 的面积为12，∴1||4122a ⨯⨯=，||6a ∴=，6a ∴=±，∴点M 的坐标为(6,12)或(6,4)--；（3） 点(3,0)A -，点(0,4)B ．3OA ∴=，4OB =，5AB ∴===，当PA AB =时，P 的坐标为(8,0)-或(2,0)；当PB AB =时，P 的坐标为(3,0)；当PA PB =时，设P 为(,0)m ，则222(3)4m m +=+，解得76m =，P ∴的坐标为7(6，0)；综上，P 点的坐标为(8,0)-或(2,0)或(3,0)或7(6，0)．【点评】本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．29．（2021春•浦东新区月考）已知，如图，一次函数的图象经过点(6,4)P 和(0,4)B -，与x 轴交于点A ．（1）求一次函数的解析式；（2）在y 轴上存在一点M ，且ABM ∆的面积为152，求点M 的坐标．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）通过三角形的面积求出BM的长度，再求出点M的坐标．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y kx b=+，把点(6,4)P和(0,4)B-代入y kx b=+得644k bb+=⎧⎨=-⎩，解得434kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以一次函数解析式为443y x=-；（2）当0y=时，4403x-=，解得3x=，则(3,0)A，在y轴上存在一点M，且ABM∆的面积为15 2，∴11522ABM AS BM x∆=⋅=，即115322BM⨯=．5BM∴=，(0,4)B-，(0,1)M∴或(0,9)-．【点评】本题考查待定系数法及函数与三角形的结合应用，解题关键是熟练掌握待定系数法及注意图形题的多解情况．六．一次函数与一元一次不等式（共4小题）30．（2023春•静安区校级期中）如图，直线y kx b=+交坐标轴于(3,0)A-、(0,5)B两点，则不等式0kx b--<的解集为()A．3x>-B．3x<-C．3x>D．3x<【分析】首先根据不等式的性质知，不等式0+>的解集，然后由一次函kx b--<的解集即为不等式0kx b数的图象可知，直线y kx b=+落在x轴上方的部分所对应的x的取值，即为不等式0+>的解集，从而kx b得出结果．【解答】解：观察图象可知，当3=+落在x轴的上方，x>-时，直线y kx b即不等式0x>-，kx b+>的解集为3--<kx bkx b∴+>，x>-．∴--<解集为3kx b故选：A．【点评】本题考查了一次函数与不等式（组)的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．31．（2023春•宝山区校级期中）如图，已知一次函数y kx bB-，那么关于xA与(0,4)=+的图象经过点(5,0)的不等式0x<．kx b+<的解集是5【分析】首先利用图象可找到图象在x轴下方时5+<的解集是5x<．x<，进而得到关于x的不等式0kx b【解答】解：由题意可得：一次函数y kx b=+中，0y<时，图象在x轴下方，5x<，则关于x的不等式0x<，+<的解集是5kx b故答案为：5x<．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．32．（2023春•浦东新区校级期末）已知直线(0)-和(0,2)-，那=+≠与x轴和y轴的交点分别是(1,0)y kx b k么关于x的不等式0x>-．kx b+<的解集是1【分析】直接根据函数图象的性质解不等式0+<即可．kx b【解答】解： 直线(0)-，-和(0,2)y kx b k=+≠与x轴和y轴的交点分别是(1,0)所以0x>-．+<的解集1kx b故答案为：1x>-．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y kx b =+的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围．33．（2023春•松江区期末）如图：点(2,3)-在直线(0)y kx b k =+≠上，则不等式3kx b +关于x 的解集是2x -．【分析】不等式3kx b +的解集就是图象在2x -的部分，据此即可求解．【解答】解：由函数图象知：不等式3kx b +关于x 的解集是2x -．故答案为：2x -．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．七．一次函数的应用（共7小题）34．（2022春•杨浦区校级期中）上海浦东某瓜果合作社有一批黄金瓜需要装入某一规格的纸箱投入市场．这种特定的纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂购买这种纸箱，每个纸箱价格为4元；方案二：由瓜果合作社租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取，工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元；（1）若需要这种规格的纸箱x 个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用1y （元)和瓜果合作社自己加工制作纸箱的费用2y （元)关于x （个)的函数关系式；（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．【分析】（1）由已知条件可以得出两个方案的解析式14y x =，2 2.416000y x =+．（2）使21y y -得，16000 1.60x -=，解得10000x =，讨论x 的取值范围来比较来比较两个方案的优缺点．【解答】解：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：14y x =，瓜果合作社自己加工纸箱费用：2 2.416000y x =+；（2）21 2.416000416000 1.6y y x x x -=+-=-，由12y y =得，16000 1.60x -=，解得10000x =，∴当10000x <时，12y y <，选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低．当10000x >时，12y y >，选择方案二，加工厂自己加工制作纸箱所需的费用低．当10000x =时，12y y =，选择两个方案的费用相同．【点评】本题考查一次函数的应用，关键是列出函数解析式．35．（2022春•闵行区校级期中）一果农带了若干千克自产的苹果进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又半价售完剩下的苹果．售出苹果千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）果农自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克苹果出售的价格是多少？（3）降价售完剩余苹果后，这时他手中的钱（含备用零钱）是1120元，问果农一共带了多少千克苹果？【分析】（1）根据函数图象可以得到果农自带的零钱是多少；（2）根据函数图象中的数据可以得到降价前他每千克苹果出售的价格是多少；（3）根据（2）中的结果可以得到降价后的售价，再根据图象中的数据即可解答本题．【解答】解：（1）由图可知，果农自带的零钱是40元；（2）由图象可得，(100040)8012-÷=（元/千克），答：降价前他每千克苹果出售的价格是12元/千克；（3）后来又按半价出售，则降价后的售价是1226÷=元/千克，(11201000)620-÷=（千克），8020100+=（千克），答：果农一共带了100千克苹果．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想。
一次函数易错题解析
一次函数易错题解析------大有镇中心学校张桂荣一次函数是初中数学中的重要内容之一，学生们在初学一次函数时，由于对其概念、性质理解不透，常常会出现一些错误.为帮助学生们学好这部分内容，以下以例题的形式给出易错题分类及剖析.一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数.即：y=kx （k为常数，但K≠0）正比例函数图像经过原点。
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合.一、对概念理解不清而出错例1、已知下列函数：①y=2013x；②y-8x=13；③y=-1；④y=3x²+7；⑤y=x-5，其中y是关于x的一次函数的是（）A.①③④⑤B.②③⑤C.①②⑤D.②⑤错解选“B”或“D”.剖析：一次函数的概念中规定k、b为常数，k≠0，但b可以为0，当b=0时，函数y=kx（k≠0）为正比例函数，它是一次函数的特殊情形，上述错解中选择“D”的同学就是忽略了这一点，而函数③、④根本就不符合一次函数的定义，选“B”的同学正是由于对一次函数的概念理解不清而出错。
正解：观察上述各函数的表达式，对照一次函数的定义，可知答案选C.二、忽视限制条件出错例2 、已知函数y=（m-3）x(m-2)-7是一次函数，则m=________.错解: 由m-2=1，解得m=±3,所以m=3或m=-3.剖析:上述错误忽视了一次函数y=kx+b 中要求k ≠0这一限制条件，因为当m=3时，m-3=0，此时函数解析式为y=-7，它是平行于x 轴的一条直线，其直线上任一点的纵坐标都为-7，是一个常值函数，而非一次函数.正解：由m-2=1，解得m=±3.当m=3时，m-3=0，故舍去，所以m=-3.三、忽略坐标系中表示线段的长时要取点的坐标的绝对值。
例3、已知一次函数的图象经过点A （0，2）且与坐标轴围成的直角三角形面积为4，则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿。
一次函数易错题汇编含解析
一次函数易错题汇编含解析一、选择题1．超市有A ，B 两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买A 型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买A 型瓶x （个），所需总费用为y （元），则下列说法不一定成立的是（ ）A ．购买B 型瓶的个数是253x ⎛⎫-⎪⎝⎭为正整数时的值 B ．购买A 型瓶最多为6个C ．y 与x 之间的函数关系式为30y x =+D ．小张买瓶子的最少费用是28元【答案】C 【解析】 【分析】设购买A 型瓶x 个,B(253x -)个,由题意列出算式解出个选项即可判断. 【详解】设购买A 型瓶x 个，∵买瓶子用来分装15升油，瓶子都装满，且无剩油， ∴购买B 型瓶的个数是1522533x x -=-, ∵瓶子的个数为自然数, ∴x=0时, 253x -=5; x=3时, 253x -=3; x=6时, 253x -=1; ∴购买B 型瓶的个数是(253x -)为正整数时的值，故A 成立; 由上可知，购买A 型瓶的个数为0个或3个或6个，所以购买A 型瓶的个数最多为6，故B 成立;设购买A 型瓶x 个，所需总费用为y 元，则购买B 型瓶的个数是(253x -)个， ④当0≤x<3时，y=5x+6×(253x -)=x+30， ∴k=1>0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x=0时，y 有最小值，最小值为30元; ②当x≥3时，y=5x+6×(253x -)-5=x+25， ∵.k=1>0随x 的增大而增大，∴当x=3时，y 有最小值，最小值为28元; 综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为28元. 故C 不成立，D 成立 故选:C. 【点睛】本题考查一次函数的应用,关键在于读懂题意找出关系式.2．给出下列函数：①y ＝﹣3x +2：②y ＝3x ；③y ＝﹣5x：④y ＝3x ，上述函数中符合条件“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大”的是（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②④ D ．②③ 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案． 【详解】解：①y ＝﹣3x +2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ②y ＝3x，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ③y ＝﹣5x，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意； ④y ＝3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意； 故选：B ． 【点睛】此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键．3．已知过点()2?3，-的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限.设s a 2b =+，则s 的取值范围是（ ） A ．352s -≤≤- B ．362s -<≤-C ．362s -≤≤-D ．372s -<≤-【答案】B 【解析】试题分析：∵过点()2?3，-的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限，∴0{023a b a b <≤+=-.∴23b a =--. ∵s a 2b =+，∴4636s a a a =--=--. 由230b a =--≤得399333662222a a a ≥-⇒-≤⇒--≤-=-，即32s ≤-. 由0a <得3036066a a ->⇒-->-=-，即6s >-. ∴s 的取值范围是362s -<≤-. 故选B.考点：1.一次函数图象与系数的关系；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.不等式的性质.4．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是（ ）A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0【答案】C 【解析】【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】∵一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限， ∴k ＜0，b ＞0， 故选C ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＜0，b ＞0时图象在一、二、四象限．5．下列函数中，y 随x 的增大而增大的函数是（ ） A ．2y x =- B ．21y x =-+C ．2y x =-D ．2y x =--【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】∵y=-2x 中k=-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，故A 选项错误； ∵y=-2x+1中k=-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，故B 选项错误； ∵y=x-2中k=1＞0，∴y 随x 的增大而增大，故C 选项正确； ∵y=-x-2中k=-1＜0，∴y 随x 的增大而减小，故D 选项错误．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时y随x的增大而增大；k<0时y随x的增大而减小；熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键．6．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x (小时)，两车之间的距离为y (千米)，如图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法:①动车的速度是270千米/小时；②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇；③甲、乙两地相距1000千米；④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时，其中不正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由x=0时y=1000可判断③；由运动过程和函数图像关系可判断②；求出普通列车速度，设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路程+普通列车3小时行驶的路程=1000”列方程求解可判断①；根据x=12时的实际意义可判断④.【详解】解：③由x=0时，y=1000知，甲地和乙地相距1000千米，正确；②如图，出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点B的实际意义是两车出发后3小时相遇，正确；①普通列车的速度是100012=2503千米/小时，设动车的速度为x千米/小时，根据题意，得：3x+3×2503=1000，解得：x=250，动车的速度为250千米/小时，错误；④由图象知x=t时，动车到达乙地，∴x=12时，普通列车到达甲地，即普通列车到达终点共需12小时，错误；【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键．7．已知直线3y mx =+经过点(2,0)，则关于x 的不等式 30mx +>的解集是（ ） A ．2x > B ．2x <C ．2x ≥D ．2x ≤【答案】B 【解析】 【分析】求出m 的值，可得该一次函数y 随x 增大而减小，再根据与x 轴的交点坐标可得不等式解集． 【详解】解：把(2,0)代入3y mx =+得：023m =+，解得：32m =-， ∴一次函数3y mx =+中y 随x 增大而减小，∵一次函数3y mx =+与x 轴的交点为(2,0)， ∴不等式 30mx +>的解集是：2x <， 故选：B ． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与不等式的关系，判断出函数的增减性是解题的关键．8．如图，直线y=-x+m 与直线y=nx+5n （n≠0）的交点的横坐标为-2，则关于x 的不等式-x+m ＞nx+5n ＞0的整数解为（ ）A ．-5，-4，-3B ．-4，-3C ．-4，-3，-2D ．-3，-2【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图像与不等式的性质即可求解. 【详解】直线y=nx+5n中，令y=0，得x=-5∵两函数的交点横坐标为-2，∴关于x的不等式-x+m＞nx+5n＞0的解集为-5＜x＜-2故整数解为-4，-3，故选B.【点睛】此题主要考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质.9．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．5B．2 C．52D．25【答案】C【解析】【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=5，应用两次勾股定理分别求BE和a．【详解】过点D作DE⊥BC于点E.由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．.∴AD=a.∴12DE•AD＝a.∴DE=2.当点F从D到B5∴5Rt△DBE中，BE=()2222=521BD DE --=，∵四边形ABCD 是菱形， ∴EC=a-1，DC=a ， Rt △DEC 中， a 2=22+（a-1）2.解得a=52. 故选C ． 【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．10．函数y=2x ﹣5的图象经过（ ） A ．第一、三、四象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、三象限【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限，再进行解答即可． 【详解】∵一次函数y=2x-5中，k=2＞0， ∴此函数图象经过一、三象限， ∵b= -5＜0，∴此函数图象与y 轴负半轴相交，∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故选A ． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＞0时，函数图象经过一、三象限，当b ＜0时，（0，b ）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．11．如图在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB ∆沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B '的坐标为（ ）A ．(2)-B ．-C ．(6,2)-D ．2)-【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出点A 、B 的坐标，再求出直线OA 的解析式，继而得出点A '的纵坐标，找出点A 平移至点A '的规律，即可求出点B '的坐标． 【详解】解：∵三角形OAB 是等边三角形，且边长为4∴(2),(0,4)A B -设直线OA 的解析式为y kx =，将点A 坐标代入，解得：3k =-即直线OA 的解析式为：3y x =-将点A '的横坐标为4y =-即点A '的坐标为4)-∵点A 向右平移6个单位得到点A '∴B '的坐标为(046)2)+-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形变化-平移，熟练掌握坐标平面图形平移的规律是解决本题的关键．12．若一次函数(2)1y k x =-+的函数值y 随x 的增大而增大，则（ ） A ．2k < B ．2k >C ．0k >D ．k 0<【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k 的取值范围． 【详解】∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y 随x 的增大而增大， ∴k-2＞0， ∴k ＞2， 故选B.【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b （k≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．13．如图，已知正比例函数y 1＝ax 与一次函数y 2＝12x +b 的图象交于点P ．下面有四个结论：①a＜0；②b＜0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D【解析】【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．【详解】因为正比例函数y1=ax经过二、四象限，所以a<0，①正确；一次函数21 2y x b=+ \过一、二、三象限，所以b>0，②错误；由图象可得：当x>0时,y1<0，③错误；当x<−2时,y1>y2，④正确；故选D.【点睛】考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数与不等式，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.14．一次函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象如图所示，其交点为P(－2，－5)，则不等式3x ＋b＞ax－3的解集在数轴上表示正确的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】直接根据两函数图象的交点求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：∵由函数图象可知，当x ＞-2时，一次函数y=3x+b 的图象在函数y=ax-3的图象的上方， ∴不等式3x+b ＞ax-3的解集为：x ＞-2， 在数轴上表示为：故选：A. 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象求出不等式的解集是解答此题的关键．15．一次函数y ＝x －b 的图像，沿着过点（1，0）且垂直于x 轴的直线翻折后经过点（4，1），则b 的值为（ ） A ．－5 B ．5C ．－3D ．3【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数沿着过点（1，0）且垂直于x 轴的直线翻折后经过点（4，1）求出函数经过的点，再用待定系数法求解即可. 【详解】解：∵过点（1，0）且垂直于x 轴的直线为x=1，∴根据题意，y ＝x －b 的图像关于直线x=1的对称点是（4，1）， ∴y ＝x －b 的图像过点（﹣2，1）， ∴把点（﹣2，1）代入一次函数得到：12b =--， ∴b=﹣3， 故C 为答案. 【点睛】本题主要考查了与一次函数图像有关的知识点，求出从沿某直线翻折后经过的点求函数图像经过哪个点是解题的关键，并掌握用待定系数法求解.16．如图，已知直线1y x b =+与21y kx =-相交于点P ，点P 的横坐标为1-，则关于x 的不等式1x b kx +≤-的解集在数轴上表示正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 试题解析：当x ＞-1时，x+b ＞kx-1，即不等式x+b ＞kx-1的解集为x ＞-1．故选A ．考点：一次函数与一元一次不等式.17．函数()312y m x =+-中，y 随x 的增大而增大，则直线()12y m x =---经过( ) A ．第一、三、四象限B ．第二、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第一、二、三象限 【答案】B【解析】【分析】根据一次函数的增减性，可得310m +>；从而可得10m --<，据此判断直线()12y m x =---经过的象限．【详解】解：Q 函数()312y m x =+-中，y 随x 的增大而增大，310m ∴+>，则13m >- 10m ∴--<，∴直线()12y m x =---经过第二、三、四象限．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．即一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，图象经过一、三象限；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，图象经过二、四象限；当b ＞0时，此函数图象交y 轴于正半轴；当b ＜0时，此函数图象交y 轴于负半轴．18．下列函数：①y x =；②4z y =；③4y x =，④21y x =+其中一次函数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．【详解】①y=x 是一次函数，故①符合题意；②4z y =是一次函数，故②符合题意； ③4y x=自变量次数不为1，故不是一次函数，故③不符合题意； ④y=2x+1是一次函数，故④符合题意．综上所述，是一次函数的个数有3个，故选：C ．【点睛】此题考查了一次函数的定义，解题关键在于掌握一次函数y=kx+b 的定义条件是：k 、b 为常数，k≠0，自变量次数为1．19．在平面直角坐标系中，函数2(0)y kx k =≠的图象如图所示，则函数232y kx k =-+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据函数图象易知k 0<，可得32k 0-+<，所以函数图象沿y 轴向下平移可得．【详解】解：根据函数图象易知k 0<，∴32k 0-+<，故选：C ．【点睛】此题主要考查一次函数的性质与图象，正确理解一次函数的性质与图象是解题关键．20．如图，矩形ABOC 的顶点坐标为()4,5-，D 是OB 的中点，E 为OC 上的一点，当ADE ∆的周长最小时，点E 的坐标是（ ）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．100,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】【分析】 作点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，此时△ADE 的周长最小值为AD+DA'的长；E 点坐标即为直线A'D 与y 轴的交点．【详解】解：作点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，此时△ADE 的周长最小值为AD+DA'的长；∵A 的坐标为（-4，5），D 是OB 的中点，∴D （-2，0），由对称可知A'（4，5），设A'D 的直线解析式为y=kx+b ，5402k b k b =+⎧∴⎨=-+⎩5653k b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 5563y x ∴=+ 当x=0时，y=53 50,3E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查矩形的性质，线段的最短距离；能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE 的最短距离转化为线段A'D 的长是解题的关键．。
(易错题精选)初中数学一次函数图文解析
（易错题精选）初中数学一次函数图文解析一、选择题1．超市有A ，B 两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买A 型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买A 型瓶x （个），所需总费用为y （元），则下列说法不一定成立的是（ ）A ．购买B 型瓶的个数是253x ⎛⎫-⎪⎝⎭为正整数时的值 B ．购买A 型瓶最多为6个C ．y 与x 之间的函数关系式为30y x =+D ．小张买瓶子的最少费用是28元【答案】C 【解析】 【分析】设购买A 型瓶x 个,B(253x -)个,由题意列出算式解出个选项即可判断. 【详解】设购买A 型瓶x 个，∵买瓶子用来分装15升油，瓶子都装满，且无剩油， ∴购买B 型瓶的个数是1522533x x -=-, ∵瓶子的个数为自然数, ∴x=0时, 253x -=5; x=3时, 253x -=3; x=6时, 253x -=1; ∴购买B 型瓶的个数是(253x -)为正整数时的值，故A 成立; 由上可知，购买A 型瓶的个数为0个或3个或6个，所以购买A 型瓶的个数最多为6，故B 成立;设购买A 型瓶x 个，所需总费用为y 元，则购买B 型瓶的个数是(253x -)个， ④当0≤x<3时，y=5x+6×(253x -)=x+30， ∴k=1>0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x=0时，y 有最小值，最小值为30元; ②当x≥3时，y=5x+6×(253x -)-5=x+25， ∵.k=1>0随x 的增大而增大，∴当x=3时，y 有最小值，最小值为28元; 综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为28元. 故C 不成立，D 成立 故选:C. 【点睛】本题考查一次函数的应用,关键在于读懂题意找出关系式.2．如图，把 Rt ABC ∆放在直角坐标系内，其中 90CAB ∠=o ，5BC =，点 A 、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0)，将ABC ∆沿x 轴向右平移，当点 C 落在直线26y x =-上是，线段BC 扫过的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．8【答案】C 【解析】 【分析】根据题目提供的点的坐标求得点C 的坐标，当向右平移时，点C 的纵坐标不变，代入直线求得点C 的横坐标，进而求得其平移的距离，计算平行四边形的面积即可． 【详解】∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB ＝3，BC ＝5， ∵∠CAB ＝90°， ∴AC ＝4，∴点C 的坐标为（1，4）， 当点C 落在直线y ＝2x －6上时， ∴令y ＝4，得到4＝2x －6， 解得x ＝5，∴平移的距离为5－1＝4， ∴线段BC 扫过的面积为4×4＝16， 故选C ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何知识的应用，解题关键是题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长．3．如图，直线y=-x+m 与直线y=nx+5n （n≠0）的交点的横坐标为-2，则关于x 的不等式-x+m ＞nx+5n ＞0的整数解为（ ）A ．-5，-4，-3B ．-4，-3C ．-4，-3，-2D ．-3，-2【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图像与不等式的性质即可求解. 【详解】直线y=nx+5n 中，令y=0，得x=-5 ∵两函数的交点横坐标为-2，∴关于x 的不等式-x+m ＞nx+5n ＞0的解集为-5＜x ＜-2 故整数解为-4，-3，故选B. 【点睛】此题主要考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质.4．如图，矩形ABOC 的顶点坐标为()4,5-，D 是OB 的中点，E 为OC 上的一点，当ADE ∆的周长最小时，点E 的坐标是（ ）A．4 0,3⎛⎫⎪⎝⎭B．50,3⎛⎫⎪⎝⎭C．()0,2D．100,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；E点坐标即为直线A'D与y轴的交点．【详解】解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；∵A的坐标为（-4，5），D是OB的中点，∴D（-2，0），由对称可知A'（4，5），设A'D的直线解析式为y=kx+b，5402k bk b=+⎧∴⎨=-+⎩5653kb⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩5563y x∴=+当x=0时，y=5350,3E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查矩形的性质，线段的最短距离；能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE 的最短距离转化为线段A'D 的长是解题的关键．5．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y （单位：厘米）与观察时间x （单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线段，直线CD 平行于x 轴）．下列说法正确的是（ ）．①从开始观察时起，50天后该植物停止长高；②直线AC 的函数表达式为165y x =+； ③第40天，该植物的高度为14厘米； ④该植物最高为15厘米．A ．①②③B ．②④C ．②③D ．①②③④【答案】A 【解析】 【分析】①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高； ②设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC 线段的解析式，③把x=40代入②的结论进行计算即可得解； ④把x=50代入②的结论进行计算即可得解． 【详解】 解：∵CD ∥x 轴，∴从第50天开始植物的高度不变， 故①的说法正确；设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0）， ∵经过点A （0，6），B （30，12），∴30126k b b +=⎧⎨=⎩，解得：156 kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC的解析式为165y x=+（0≤x≤50），故②的结论正确；当x=40时，1406145y=⨯+=，即第40天，该植物的高度为14厘米；故③的说法正确；当x=50时，1506165y=⨯+=，即第50天，该植物的高度为16厘米；故④的说法错误．综上所述，正确的是①②③．故选：A.【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．6．如图1所示，A，B两地相距60km，甲、乙分别从A，B两地出发，相向而行，图2中的1l，2l分别表示甲、乙离B地的距离y（km）与甲出发后所用的时间x（h）的函数关系．以下结论正确的是( )A．甲的速度为20km/hB．甲和乙同时出发C．甲出发1.4h时与乙相遇D．乙出发3.5h时到达A地【答案】C【解析】 【分析】根据题意结合图象即可得出甲的速度；根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时；根据两条线段的交点即可得出相遇的时间；根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地． 【详解】解：A ．甲的速度为：60÷2=30，故A 错误；B ．根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时，故B 错误；C ．设1l 对应的函数解析式为111y k x b =+，所以：1116020b k b =⎧⎨+=⎩， 解得113060k b =-⎧⎨=⎩即1l 对应的函数解析式为13060y x =-+； 设2l 对应的函数解析式为222y k x b =+，所以：22220.503.560k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得 222010k b =⎧⎨=-⎩即2l 对应的函数解析式为22010y x =-， 所以：30602010y x y x =-+⎧⎨=-⎩， 解得 1.418x y =⎧⎨=⎩ ∴点A 的实际意义是在甲出发1.4小时时，甲乙两车相遇， 故本选项符合题意； D ．根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．7．已知直线y=2x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）A ．12＜k ＜1 B ．13＜k ＜1 C ．k ＞12D ．k ＞13【答案】A 【解析】 【分析】由直线y=2x-1与y=x-k 可列方程组求交点坐标，再通过交点在第四象限可求k 的取值范围． 【详解】解：设交点坐标为（x ，y ） 根据题意可得 21y x y x k=-⎧⎨=-⎩解得 112x k y k =-⎧⎨=-⎩∴交点坐标()112k,k -- ∵交点在第四象限， ∴10120k k -⎧⎨-⎩＞＜∴112k ＜＜ 故选：D ． 【点睛】本题考查了两条直线相交坐标问题，掌握平面直角坐标系内点的坐标特点是解题的关键．8．已知正比例函数0()y mx m =≠中，y 随x 的增大而减小，那么一次函数y mx m =-的图象大致是如图中的( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由y 随x 的增大而减小即可得出m ＜0，再由m ＜0、−m ＞0即可得出一次函数y mx m =-的图象经过第一、二、四象限，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵正比例函数y ＝mx （m≠0）中，y 随x 的增大而减小， ∴m ＜0， ∴−m ＞0，∴一次函数y ＝mx−m 的图象经过第一、二、四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握“k ＜0，b ＞0⇔y ＝kx ＋b 的图象在一、二、四象限”是解题的关键．9．如图，已知一次函数22y x =-+的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的一个点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，则PM 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．5D ．3【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：连结OM 、OP ，作OH ⊥AB 于H ，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征： 当x=0时，y=﹣x+22=22，则A （0，22）， 当y=0时，﹣x+22=0，解得x=22，则B （22，0）， 所以△OAB 为等腰直角三角形，则AB=2OA=4，OH=12AB=2， 根据切线的性质由PM 为切线，得到OM ⊥PM ，利用勾股定理得到PM=22OP OM -=21OP -，当OP 的长最小时，PM 的长最小，而OP=OH=2时，OP 的长最小，所以PM 的最小值为2213-=． 故选D ．【点睛】本题考查切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．10．已知直线y1=kx+1（k＜0）与直线y2=mx（m＞0）的交点坐标为（12，12m），则不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为（）A．x>12B．12<x<32C．x<32D．0<x<32【答案】B 【解析】【分析】由mx﹣2＜（m﹣2）x+1，即可得到x＜32；由（m﹣2）x+1＜mx，即可得到x＞12，进而得出不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为12＜x＜32．【详解】把（12，12m）代入y1=kx+1，可得1 2m=12k+1，解得k=m﹣2，∴y1=（m﹣2）x+1，令y3=mx﹣2，则当y3＜y1时，mx﹣2＜（m﹣2）x+1，解得x＜32；当kx+1＜mx时，（m﹣2）x+1＜mx，解得x＞12，∴不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为12＜x＜32，故选B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．11．一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G1，一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大；③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为．下列选项中，描述准确的是（）A．①②正确，③错误B．①③正确，②错误C．②③正确，①错误D．①②③都正确【答案】D【解析】【分析】画图，找出G2的临界点，以及G1的临界直线，分析出G1过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答．【详解】解：一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的函数值随x的增大而增大，如图所示，N（﹣1，2），Q（2，7）为G2的两个临界点，易知一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象过定点M（2，1），直线MN与直线MQ为G1与G2有公共点的两条临界直线，从而当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；故①正确；当G1与G2没有公共点时，分三种情况：一是直线MN，但此时k＝0，不符合要求；二是直线MQ，但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；三是当k＞0时，此时y1随x增大而增大，符合题意，故②正确；当k＝2时，G1与G2平行正确，过点M作MP⊥NQ，则MN＝3，由y2＝2x+3，且MN∥x 轴，可知，tan∠PNM＝2，∴PM＝2PN，由勾股定理得：PN2+PM2＝MN2∴（2PN）2+（PN）2＝9，∴PN＝，∴PM ＝.故③正确． 综上，故选：D ． 【点睛】本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大．12．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ） A ．24y x =- B ．24y x =+C ．22y x =+D ．22y x =-【答案】A 【解析】【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4， 故选A.【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．13．一次函数 y = mx +1m -的图像过点（0,2），且 y 随 x 的增大而增大，则 m 的值为（ ） A ．-1 B ．3C ．1D ．- 1 或 3【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的增减性判断出m 的符号，再把点（0，2）代入求出m 的值即可． 【详解】∵一次函数y=mx+|m-1|中y 随x 的增大而增大， ∴m ＞0．∵一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2）， ∴当x=0时，|m-1|=2，解得m 1=3，m 2=-1＜0（舍去）． 故选B ． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．14．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度y (单位：cm )与观察时间x (单位：天)的关系，并画出如图所示的图象(//CD x 轴)，该植物最高的高度是( )A ．50cmB ．20cmC ．16cmD ．12cm【答案】C 【解析】 【分析】设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，然后利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再把50x =代入进行计算即可得解． 【详解】解：设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠ ∵()0,6A ，()30,12B ∴61230bk b=⎧⎨=+⎩∴156k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴165y x =+ ∴当50x =时，16y = ∴该植物最高的高度是16cm ． 故选：C 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．15．某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表： 砝码的质量x/g 0 50 100 150 200 250 300 400 500 指针位置y/cm2 345677.57.57.5则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】通过（0，2）和（100，4）利用待定系数法求出一次函数的解析式，再对比图象中的折点即可选出答案.【详解】解：由题干内容可得，一次函数过点（0，2）和（100，4）.设一次函数解析式为y=k x+b，代入点（0,2）和点（100,4）可解得，k=0.02，b=2.则一次函数解析式为y=0.02x+2.显然当y=7.5时，x=275，故选B.【点睛】此题主要考查函数的图象和性质，利用待定系数法求一次函数解析式．16．若一次函数y=(k-3)x-1的图像不经过第一象限，则A．k<3 B．k>3 C．k>0 D．k<0【答案】A【解析】【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．【详解】解：∵一次函数y=（k-3）x-1的图象不经过第一象限，且b=-1，∴一次函数y=（k-3）x-1的图象经过第二、三、四象限，∴k-3＜0，解得k＜3．故选A．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y轴负半轴相交．17．在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于、两点，点是轴上一动点，要使点关于直线的对称点刚好落在轴上，则此时点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（4，0），（0，3），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=4，则DB=5-4=1，BC=3-n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．【详解】过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线，当x=0，得y=3；当y=0，x=4，∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴AB=5，又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=3-n，∴DA=OA=4，∴DB=5-4=1，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，∴n2+12=（3-n）2，解得n=，∴点C的坐标为（0，）．故选B.【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数），关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数；关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数；关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数．也考查了折叠的性质和勾股定理．18．函数12y x =-与23y ax =+的图像相交于点(),2A m ，则( ) A ．1a = B ．2a =C ．1a =-D ．2a =-【答案】A 【解析】 【分析】将点(),2A m 代入12y x =-，求出m ，得到A 点坐标，再把A 点坐标代入23y ax =+，即可求出a 的值． 【详解】解：Q 函数12y x =-过点(),2A m ，22m ∴-=， 解得：1m =-， ()1,2A ∴-，Q 函数23y ax =+的图象过点A ，32a ∴-+=， 解得：1a =． 故选：A ． 【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．19．如图，平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线12y x b =+与ABC ∆有交点时，b 的取值范围是( )A ．11b -≤≤B ．112b -≤≤ C ．1122b -≤≤D ．112b -≤≤【解析】【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝12x+b中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．【详解】解：直线y=12x+b经过点B时，将B（3，1）代入直线y＝12x+b中，可得32+b=1，解得b=-12；直线y=12x+b经过点A时：将A（1，1）代入直线y＝12x+b中，可得12+b=1，解得b=12；直线y=12x+b经过点C时：将C（2，2）代入直线y＝12x+b中，可得1+b=2，解得b=1．故b的取值范围是-12≤b≤1．故选B．【点睛】考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．20．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2019的坐标为（）A．（21009，21010）B．（﹣21009，21010）C．（21009，﹣21010）D．（﹣21009，﹣21010）【答案】D【解析】写出一部分点的坐标，探索得到规律A2n+1[（﹣2）n，2×（﹣2）n]（n是自然数），即可求解；【详解】A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…由此发现规律：A2n+1[（﹣2）n，2×（﹣2）n]（n是自然数），2019＝2×1009+1，∴A2019[（﹣2）1009，2×（﹣2）1009]，∴A2019（﹣21009，﹣21010），故选D．【点睛】本题考查一次函数图象上点的特点；能够根据作图特点，发现坐标的规律是解题的关键．。
一次函数易错问题剖析.doc
一次函数易错问题剖析一次函数是初小数学的重要内容z —,利用一次函数的有关知识解题时，由于忽略限制 条件、考虑问题不全而或受思维定势的影响会出现这样那样的错误，下而给岀归类剖析，供 同学们在学习时参考。
一、 忽略定义式屮的限制条件R H0出错。
例1、已知函数y = (〃 + 3)J"卜2是一次函数,IjjiJ n= _ o错解：因为y = (n + 3)X H_2是一次函数，所以|/?|-2 = 1 解得：H = 3或« = -3剖析：一次函数的定义式为：一般地，形如y = kx + b (k,b 是常数，£工0)的函数, 叫做一次函数，本题正是因为忽略了R 工0这一限制条件而出错。
正解：因为y = O + 3)f 是一次函数，[1/1 —2 = 1S = ±3所以。
解得｛所以71 = 3» + 3工0[心-3二、 忽略坐标系屮表示线段的长时要取点的坐标的绝对值。
例2、已知一次函数的图象经过点A (0, 2)且与处标轴围成的直角三角形而积为4, 则这个一次函数的解析式为 ________________ 。
错解：设一次函数的解析式为y = kx + b,因为函数的图彖经过点A (0, 2),所以b=2,所以两数的解析式为y = kx + 2,求这个函数图象与x 轴的交点，即解方程组?y = 0即图象与x 轴交点坐标为(-二,0)由三角形 kI 9]的面积公式得严飞)x2 = 4解得： 「 所以这个-次函数的解析式为 y = -—x + 222 剖析：在表示三角形的而积时，用的是三角形的边长，是线段的长度，不要忽略-一要 k取绝对值才能表示线段的长度，否则就会漏掉一个解，本题正是因为忽略了这点而出了错。
正解：设一次函数的解析式为 y = kx + b,因为函数的图象经过点A (0, 2),所以 b=2,所以函数的解析式为y = kx + 2,求这个函数图彖与x 轴的交点，即解方程纽y = 0 y = kx +22解得——k2y = 0即图彖与x 轴交点坐标为（-一,0）由三角形 k三、考虑问题不全血出错。
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一次函数易错题解析
------大有镇中心学校张桂荣一次函数是初中数学中的重要内容之一，学生们在初学一次函数时，由于对其概念、性质理解不透，常常会出现一些错误.为帮助学生们学好这部分内容，以下以例题的形式给出易错题分类及剖析.
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数.即：y=kx （k为常数，但K≠0）正比例函数图像经过原点。
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合.
一、对概念理解不清而出错
例1、已知下列函数：①y=2013x；②y-8x=13；③y=-1；
④y=3x²+7；⑤y=x-5，其中y是关于x的一次函数的是（）
A.①③④⑤
B.②③⑤
C.①②⑤
D.②⑤
错解选“B”或“D”.剖析：一次函数的概念中规定k、b为常数，k≠0，但b可以为0，当b=0时，函数y=kx（k≠0）为正比例函数，它是一次函数的特殊情形，上述错解中选择“D”的同学就是忽略了这一点，而函数③、④根本就不符合一次函数的定义，选“B”的同学正是由于对一次函数的概念理解不清而出错。
正解：观察上述各函数的表达式，对照一次函数的定义，可知答案选C.
二、忽视限制条件出错
例2 、已知函数y=（m-3）x(m-2)-7是一次函数，则m=________.
错解: 由m-2=1，解得m=±3,所以m=3或m=-3.
剖析:上述错误忽视了一次函数y=kx+b 中要求k ≠0这一限制条件，因为当m=3时，m-3=0，此时函数解析式为y=-7，它是平行于x 轴的一条直线，其直线上任一点的纵坐标都为-7，是一个常值函数，而非一次函数.正解：由m-2=1，解得m=±3.当m=3时，m-3=0，故舍去，所以m=-3.
三、忽略坐标系中表示线段的长时要取点的坐标的绝对值。
例3、已知一次函数的图象经过点A （0，2）且与坐标轴围成的直角三角形面积为4，则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿。
错解：设一次函数的解析式为 y kx b =+，因为函数的图象经过点A （0，2），所以b=2，所以函数的解析式为2y kx =+，求这个函数图象与x 轴的交点，即解方程组02
y y kx =⎧⎨=+⎩ 解得2x k =- ，0y = 即图象与x 轴交点坐标为 2
(,0)k - 由三角形的面积公式得
12()242k ⨯-⨯= 解得： 12
k =- 所以这个一次函数的解析式为122
y x =-+ 剖析：在表示三角形的面积时，用的是三角形的边长，是线段的长度，不要忽略2k
-要取绝对值才能表示线段的长度，否则就会漏掉一个解，本题正是因为忽略了这点而出了错。
正解：设一次函数的解析式为 y kx b =+，因为函数的图象经过点A （0，2），所以b=2，所以函数的解析式为2y kx =+，求这个函数
图象与x 轴的交点，即解方程组02y y kx =⎧⎨=+⎩ 解得2x k =- ，0y = 即图象与x 轴交点坐标为 2
(,0)k
- 由三角形的面积公式得
12242k ⨯-⨯= 解得：12
k =± 所以这个一次函数的解析式为122y x =+ ， 或122
y x =-+ 。
四、函数图像与直线关系混淆出错
例4、已知直线24y mx m =+-不经过第二象限，则m 的取值范围是＿＿＿。
错解：有题意可得，直线经过一、三、四象限或一、三象限
所以可得0240
m m >⎧⎨-≤⎩ 解得02m <≤ 剖析：因为直线24y m =- 当0m =时4y =- 图象也不经过第二象限，所以0m =也符合条件，以上的错解忽略了直线(0)y b b =<图象不过第二象限这一情况导致了错解。
正解：有题意可得，直线经过一、三、四象限或一、三象限
所以可得0240m m >⎧⎨-≤⎩
解得02m <≤ 特别地当0m =时4y =-也符合题意，所以02m ≤≤
五、思考问题不全面出错
例5、一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的函数值为19y ≤≤，求k+b 的值。
错解：因为当31x -≤≤时，对应的函数值为19y ≤≤
所以当3x =时1y = 当1x =时9y =
所以可得方程组319k b k b -+=⎧⎨+=⎩
解得27k b =⎧⎨=⎩ 所以9k b +=
剖析：由于问题中没有给出y 随x 的变化怎样变化，所以应该考虑到有可能y 随x 的增大而增大，也有可能y 随x 的增大而减小，本题的出错原因正是没有全面考虑到这一点而漏解出错。
正解：若y 随x 的增大而增大时，则当3x =-时1y = 当1x =时9y = 所以可得方程组319
k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得27k b =⎧⎨=⎩ 所以9k b += 若y 随x 的增大而减小时，则当3x =-时9y = 当1x =时1y = 所以可得方程组391k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得23
k b =-⎧⎨=⎩ 所以1k b += 所以k+b 的值是9或1. 六、一次函数的应用 如图，已知一次函数y=kx+b 的图像经过A （-2，
-1），B （1，3）两 点，并且交x 轴
于点C ，交y 轴于点D 。
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求tan ∠OCD 的值；
（3）（3）求证：∠AOB=135°。
剖析：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照 题意，设法求解。
（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
（2）注意自变量的取值范围。
（3）数形结合
正解：（1）由题意得，解得，
所以y=；
（2）与x轴的交点坐标为C（-，0），与y轴的交点坐标为D （0，），
在Rt△OCD中，OD=，OC=，
∴tan∠OCD=；
（3）如图所示，取点A关于原点的对称点E（2，1），则问题转化为求证∠BOE=45°，由勾股定理可得，OE=，BE=，OB=，
∵OB2=OE2+BE2，∴△EOB是等腰直角三角形，∴∠BOE=45°，
∴∠AOB=135°。
总之，一次函数是数学中重要内容之一，题量约占全部试题的5％～10％，分值约占总分的5％～10％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查计算能力，逻辑思维能力、空间想象能力和创造能力．
一次函数中考考点分析
一次函数是学生第一次接触具体的函数，是学生进一步学习“数形结合”思想的很好素材。
作为一种数学模型，一次函数在日常生活中也有着极其广泛的应用。
一次函数在近几年河北中考命题为填空题、选择题和解答题，做为中考的必考内容在中考分值中呈上升趋势，且为中考命题的热点。
主要考查一次函数的性质和一次函数的应用。
考点一：一次函数的概念；
考点二：一次函数的图象与性质；
考点三：一次函数解析式的确定；
考点四：一次函数与方程(组)、不等式的关系；
考点五：一次函数的实际应用。