数字信号处理基础全解
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↑I
h( n)
↓D
使用一个低通虑波器 无论是抽取还是插值，其输入到输出的变换都相当 于经过一个线性时变系统!!!
离散系统
模拟 前置预 滤波器 xa(t) PrF
A/D 变换器
ADC x [ n]
数字信号 处理器
DSP
D/A 变换器
DAC y [n ]
模拟 模拟 滤波器 ya(t) PoF
输入序列
离散时 间系统
数字信号处理基础
1.1 离散时间信号与系统 1.2 数字滤波器
总结
信号的分类
1. 连续时间信号和离散时间信号 2. 周期信号和非周期信号
3. 确定性信号和随机信号 平稳和非平稳（时变）信号
4. 能量信号和功率信号 5. 一维信号、多维信号
离散信号(序列)的表示
2
1
1 2
1
n 3 -1
-1
0
1
x(t ) x(n) {1
4. 指数序列
x(n) a , n Z
n
anu(n)：右边指数序列
|a| 1序列有界 |a| 1序列有界
anu(n)：左边指数序列
5. 复指数序列
x(n) e
( j) n
e e
n
jn
e (cosn j sin n)
n
6．正弦型序列
x(n) A sin( n0 ) 0 数字域频率
加防混叠滤波器的抽取器系统
将待抽取序列的频谱限制在 | | 范围内 D
xd (n) H (e j ) 1, | | x ( n) D ↓D h( n) 0 x I ( n) xe (n) x ( n) I , | | j ↑I h( n) H (e ) I If s If s fs 0, xId (n) x ( n)
3) 卷积
x(n) x(nN) x1(n) + x2(n) c x(n)
卷积的计算
y(n) x(n) h(n)
y ( n)
m
x(m)h(n m)
Βιβλιοθήκη Baidu
y = conv(x, h)
4) 抽取(decimation)
x(Dn)
序列 x( Dn )是 x(n) 的抽取序列 D为正整数
magnitude response [H,w]=freqz(b,a) phase response
( )
j
y(n) x(n) h(n)
Y (e ) H (e ) X (e )
j
j
real( ) imag( ) abs( ) angle( )
离散系统z域分析
z变换定义及收敛域
有限长序列的z变换的收敛域至少是有限z平面
2) 因果序列z变换及其收敛域
f ( n) a n u ( n)
1 n ( az F ( z ) a u ( n) z ) n n n n 0
az 1 1
1 z 1 1 az za
Im[ z ]
X ( z)
n
x[n]z
n
收敛域(ROC): R |z| R+ 1) 有限长序列 z 变换的收敛域
f (k ) (1 2
F ( z)
3
k 0
2 1)
k
f (k ) z k z 2 2 z 3 2 z 1 z 2
ROC 0 z
x(t ) A sin( 0t ) 0 模拟角频率
x(n) x(t ) t nT A sin( 0 nT ) A sin( 0 n )
T
数字频率与模拟频率的关系
f 2 T fs fs
离散信号（序列）的基本运算
1) 位移（延时） 2) 相加与相乘
t nT
n 0
1
2 1 1}
x(n)={1, 1, 2, -1, 1; n= -1, 0, 1, 2, 3}
典型离散信号（序列）
1. 单位脉冲序列
1 n 0 (n) 0 n 0 1 n 0 u (n) 0 n 0
2. 单位阶跃序列
3. 矩形序列
1 0 n N 1 R N (n) 0 otherwise
输出序列
y(n) = T{x(n)}
系统性质
1. 线性
T{ax1 (n) bx2 (n)} aT{x1 (n)} bT{x2 (n)}
2. 时不变
LTI (linear time-invariant)
定义：如T{x(n)}=y(n)，则T{x (n-m)}=y(n-m)
3. 因果性（Causality）
1 k 1
k
a z z 1 1 a z a z
Im[ z ] Re[ z ] a
1
a z 1
2. 差分方程
N M
y = conv(x, h)
y(n) bi x(n i) a j y(n j )
i 0 j 1
y = filter(b,a,x)
3.离散系统的频率响应
DTFT (h(n)) H (e ) H (e ) e
H (e ) :
j
j
j
j ( )
za
|a|
因果序列仅当 |z|>|a| 时其ZT存在， 其收敛域是半径为|a| 的圆外区域。
Re[ z ]
3) 反因果序列z变换及其收敛域
f (k ) a u(k 1)
k
F ( z)
k
a u(k 1) z
k
k
k
a
1
k
z
k
(a z )
定义:系统n时刻的输出只与n时刻及以前的输入有关
因果的LTI：h(n)=0, n<0.
4. 稳定性
有界输入产生有界的输出
LTI系统稳定的充分必要条件
n
h( n )
系统的描述
1. 单位脉冲响应h(n)
x(n)
h(n )
y(n)
输出序列
输入序列
y(n) x(n) h(n)
每D个样值抽取一个
5) 插值(interpolation) x(n/I)
n 序列 x ( ) 是 x(n) 的插值序列 I为正整数 I
每两个样值之间插入（I -1）个零值
选择合适的I和D，就能够任意地改变采样频率fs 一般是先做I倍插值，再做D倍抽取 时域抽取，造成在数字频率域上频谱展宽 时域插值，造成在数字频率域上频谱压缩
h( n)
↓D
使用一个低通虑波器 无论是抽取还是插值，其输入到输出的变换都相当 于经过一个线性时变系统!!!
离散系统
模拟 前置预 滤波器 xa(t) PrF
A/D 变换器
ADC x [ n]
数字信号 处理器
DSP
D/A 变换器
DAC y [n ]
模拟 模拟 滤波器 ya(t) PoF
输入序列
离散时 间系统
数字信号处理基础
1.1 离散时间信号与系统 1.2 数字滤波器
总结
信号的分类
1. 连续时间信号和离散时间信号 2. 周期信号和非周期信号
3. 确定性信号和随机信号 平稳和非平稳（时变）信号
4. 能量信号和功率信号 5. 一维信号、多维信号
离散信号(序列)的表示
2
1
1 2
1
n 3 -1
-1
0
1
x(t ) x(n) {1
4. 指数序列
x(n) a , n Z
n
anu(n)：右边指数序列
|a| 1序列有界 |a| 1序列有界
anu(n)：左边指数序列
5. 复指数序列
x(n) e
( j) n
e e
n
jn
e (cosn j sin n)
n
6．正弦型序列
x(n) A sin( n0 ) 0 数字域频率
加防混叠滤波器的抽取器系统
将待抽取序列的频谱限制在 | | 范围内 D
xd (n) H (e j ) 1, | | x ( n) D ↓D h( n) 0 x I ( n) xe (n) x ( n) I , | | j ↑I h( n) H (e ) I If s If s fs 0, xId (n) x ( n)
3) 卷积
x(n) x(nN) x1(n) + x2(n) c x(n)
卷积的计算
y(n) x(n) h(n)
y ( n)
m
x(m)h(n m)
Βιβλιοθήκη Baidu
y = conv(x, h)
4) 抽取(decimation)
x(Dn)
序列 x( Dn )是 x(n) 的抽取序列 D为正整数
magnitude response [H,w]=freqz(b,a) phase response
( )
j
y(n) x(n) h(n)
Y (e ) H (e ) X (e )
j
j
real( ) imag( ) abs( ) angle( )
离散系统z域分析
z变换定义及收敛域
有限长序列的z变换的收敛域至少是有限z平面
2) 因果序列z变换及其收敛域
f ( n) a n u ( n)
1 n ( az F ( z ) a u ( n) z ) n n n n 0
az 1 1
1 z 1 1 az za
Im[ z ]
X ( z)
n
x[n]z
n
收敛域(ROC): R |z| R+ 1) 有限长序列 z 变换的收敛域
f (k ) (1 2
F ( z)
3
k 0
2 1)
k
f (k ) z k z 2 2 z 3 2 z 1 z 2
ROC 0 z
x(t ) A sin( 0t ) 0 模拟角频率
x(n) x(t ) t nT A sin( 0 nT ) A sin( 0 n )
T
数字频率与模拟频率的关系
f 2 T fs fs
离散信号（序列）的基本运算
1) 位移（延时） 2) 相加与相乘
t nT
n 0
1
2 1 1}
x(n)={1, 1, 2, -1, 1; n= -1, 0, 1, 2, 3}
典型离散信号（序列）
1. 单位脉冲序列
1 n 0 (n) 0 n 0 1 n 0 u (n) 0 n 0
2. 单位阶跃序列
3. 矩形序列
1 0 n N 1 R N (n) 0 otherwise
输出序列
y(n) = T{x(n)}
系统性质
1. 线性
T{ax1 (n) bx2 (n)} aT{x1 (n)} bT{x2 (n)}
2. 时不变
LTI (linear time-invariant)
定义：如T{x(n)}=y(n)，则T{x (n-m)}=y(n-m)
3. 因果性（Causality）
1 k 1
k
a z z 1 1 a z a z
Im[ z ] Re[ z ] a
1
a z 1
2. 差分方程
N M
y = conv(x, h)
y(n) bi x(n i) a j y(n j )
i 0 j 1
y = filter(b,a,x)
3.离散系统的频率响应
DTFT (h(n)) H (e ) H (e ) e
H (e ) :
j
j
j
j ( )
za
|a|
因果序列仅当 |z|>|a| 时其ZT存在， 其收敛域是半径为|a| 的圆外区域。
Re[ z ]
3) 反因果序列z变换及其收敛域
f (k ) a u(k 1)
k
F ( z)
k
a u(k 1) z
k
k
k
a
1
k
z
k
(a z )
定义:系统n时刻的输出只与n时刻及以前的输入有关
因果的LTI：h(n)=0, n<0.
4. 稳定性
有界输入产生有界的输出
LTI系统稳定的充分必要条件
n
h( n )
系统的描述
1. 单位脉冲响应h(n)
x(n)
h(n )
y(n)
输出序列
输入序列
y(n) x(n) h(n)
每D个样值抽取一个
5) 插值(interpolation) x(n/I)
n 序列 x ( ) 是 x(n) 的插值序列 I为正整数 I
每两个样值之间插入（I -1）个零值
选择合适的I和D，就能够任意地改变采样频率fs 一般是先做I倍插值，再做D倍抽取 时域抽取，造成在数字频率域上频谱展宽 时域插值，造成在数字频率域上频谱压缩