概率与分布列问题
高中数学-分布列10题解析
1．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每 个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校 获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结 果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望． 【答案】(1) 0.6 ；
(2)分布列见解析， E X 13 .
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A, B,C ，再根据甲获得冠军则至少 获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知， X 的可能取值为 0,10, 20,30 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列， 即可求出期望． 【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A, B,C ，所以甲学校获得冠军的概 率为
中抽取
6
人，则男生､女生分别抽到
2
人和
4
人，所以
P
C
2 4
C62
6 15
2 5
，所以选中的
2
人都是女生的概率为 2 . 5
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学
校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以
(1)完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“运动达标”与“性 别”有关.
运动达标 运动不达标 总计
男生 女生
总计 (2)现从“不达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中任选 2 人进行体育运动指导，求选中的 2 人都是女生的概率. 参考数据： P( 2 k0) 0.25 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
专题八 概率与统计 第二讲 概率,随机变量及分布列——2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)
专题八 概率与统计 第二讲 概率，随机变量及分布列1.为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( ) A.112B.16C.15D.132.一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，3.现甲从中摸出1个球后放回，乙再从中摸出1个球，谁摸出的球上的数字大谁获胜，则甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为( ) A.14B.13C.49D.3163.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110B.15C.310D.254.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.15.设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.80,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.15,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.40,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.13C.49D.197.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.458.（多选）从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12.从甲袋、乙袋各摸出1个球，则下列结论正确的是( )A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为129. （多选）在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A.两件都是一等品的概率是13B.两件中有1件是次品的概率是12C.两件都是正品的概率是13D.两件中至少有1件是一等品的概率是5610. （多选）在一次随机试验中，A,B,C,D是彼此互斥的事件，且A B C D+++是必然事件，则下列说法正确的是( )A.A B+与C是互斥事件，也是对立事件B.B+C与D是互斥事件，但不是对立事件C.A C+与B D+是互斥事件，但不是对立事件D.A与B C D++是互斥事件，也是对立事件11.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__________.12.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.13.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为_____________.14.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求2n m<+的概率..假定甲、乙两位同学15.设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.答案以及解析1.答案：D解析：6架飞机的降落顺序有66A 种,而1号与6号相邻降落的顺序有2525A A 种,所以所求事件的概率252566A A 1A 3P ==.故选D.2.答案：A解析：甲、乙各摸一次球，有可能的结果有4416⨯=（种），甲摸的数字在前，乙摸的数字在后，则甲获胜的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种. 其中甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数有4种，则所求概率41164P ==. 3.答案：D解析：先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种.其中满足条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种情况.因此所求的概率102255P ==.故选D. 4.答案：A解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为0.90.10.09⨯=，因此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A. 5.答案：D解析：设事件A ，B 发生的概率分别为()P A x =，()P B y =，则1()()()(1)(1)9P AB P A P B x y ==-⋅-=，即11199xy x y +=++≥+x y =时取“=”，211)9∴≥23≤43（舍去），409xy ∴≤≤.4()()()0,9P AB P A P B xy ⎡⎤∴==∈⎢⎥⎣⎦.6.答案：A解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，B 相互独立，则4()9P AB =，()()P AB P AB =.设()P A x =，()P B y =，则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是23.故选A.7.答案：C解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，42()()105P A P B ===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案：ACD解析：设“从甲袋中摸出1个红球”为事件1A ，“从乙袋中摸出1个红球为事件2A ，则()113P A =，()212P A =，且1A ，2A 独立.对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为111326⨯=，故A 正确；对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166-=，故B 错误；对于C 选项，2个球中至少有1个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=，故C 正确；对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1121132322⨯+⨯=，故D 正确.故选ACD. 9.答案：BD解析：由题意设一等品编号为a ,b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种. 对于A ，两件都是一等品的基本情况有(,)a b ，共1种，故两件都是一等品的概率116P =，故A 错误； 对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(,)a d ，(,)b d ，(,)c d ，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162P ==，故B 正确；对于C ，两件都是正品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故两件都是正品的概率33162P ==，故C 错误；对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456P =，故D 正确. 10.答案：BD解析：由于A ,B ,C ,D 彼此互斥，且A B C D +++是必然事件，故事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B,D 中的说法正确.11.答案：35解析：设此队员每次罚球的命中率为p ，则216125p -=，所以35p =. 12.答案：16；23解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=；②甲未落入，乙落入的概率为111236⨯=；③甲，乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=.13.答案：23解析：从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，有{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6种结果；其中甲、乙两人中有且只有一人被选取，有甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，共4种结果. 故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为4263=. 14.答案：(1)13. (2)概率为1316. 解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个， 因此所求事件的概率为2163P ==.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为m ， 试验的样本空间{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),Ω=(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}，共16个样本点.又满足条件2n m ≥+的样本点有：(1,3),(1,4),(2,4)，共3个. 所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为1316P =，故满足条件2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 15.答案：（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3321()C ,0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以随机变量X的分布列为随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=.（2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===⋃==.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由（1）知()P M =({3,1}{2,0})(3,1)(2,P X Y X Y P X Y P X ==⋃=====+=8240)(3)(1)(2)(0)2799Y P X P Y P X P Y ====+===⨯+⨯12027243=.。
概率统计与期望方差分布列大题拔高练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
概率统计与期望方差分布列大题拔高练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频后测量小白鼠的某项指标值，按[)[)[)[)[]率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．指标值抗体合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计a=的独立性检验，判断能否认为注射(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及0.05疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X=99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．参考公式：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20()P x k ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250k 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.0242．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望．3．（2023·广东广州·统考一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为34，各次答题结果互不影响.(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；(2)记甲第i 次答题所得分数)N (i X i *∈的数学期望为()i E x .①写出()1i E X -与()i E x 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：②若()100i E x >，求i 的最小值.4．（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm ），经统计得到下面的频率分布直方图：(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数x 和方差2s ．（用每组的中点代表该组的均值）(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布()2,N μσ，用直方图的平均数估计值x 作为μ的估计值 μ，用直方图的标准差估计值s 作为σ估计值 σ．（i ）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了()3,3μσμσ-+之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：0.8 1.20.95 1.01 1.23 1.12 1.330.97 1.210.83利用 μ和 σ判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．（ii ）若设备状态正常，记X 表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在()3,3μσμσ-+之外的零件个数，求()1P X ≥及X 的数学期望．参考公式：直方图的方差()221n i i i s x x p ==-∑，其中i x 为各区间的中点，i p 为各组的频率．参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈，0.105≈0.110≈，90.99730.9760≈，100.99730.9733≈．5．（2023·江苏·统考一模）某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a %，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按n 人一组进行分组，将各组n 个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n 个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.(1)若0.2a =，20n =，试估算该小区化验的总次数；(2)若0.9a =，每人单独化验一次花费10元，n 个人混合化验一次花费9n +元.求n 为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.（注：当0.01p <时，()11np np -≈-）6．（2023·江苏·统考一模）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.7．（2023·辽宁沈阳·统考一模）2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为()01p p <<，黄政/孙艺赢的概率为1p -，且每场比赛相互独立．(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率()f p ；(2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？(3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设12p =，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X 的分布列．8．（2023·江苏·二模）为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A 商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球．具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖.(1)获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折．记随机变量ξ为获得各奖次的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()Eξ；(2)某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量η为获得7折及以下资格的人数，求()2Pη=．9．（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数[0，5]（5，10]（10，15]（15，20]（20，25]（25，30]人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且 6.1σ=，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：性别活动天数合计[0，15]（15，30]男生女生合计并依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；()220.9545P X μσμσ-≤≤+=；()330.9973P X μσμσ-≤≤+=.()()()()()()22n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.82810．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员M 都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为35和25，且每场比赛中犯规4次以上的概率为14．(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；(2)用X 表示比赛结束时比赛场数，求X 的期望；(3)已知球员M 在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．11．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.(1)假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；(2)根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人，试分析哪一个方案的工作量更少？参考数据：50.980.904≈，110.980.801≈.12．（2023·福建福州·统考二模）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P（μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．13．（2023·山东青岛·统考一模）今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用()P X k =表示这10名学生中恰有k 名学生的成绩在[]90,100上的概率，求()P X k =取最大值时对应的k 的值；(3)从测试成绩在[]90,100的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．14．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．15．（2023·山东聊城·统考一模）某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：思想政治地理化学生物物理类100120200180历史类1201406080(1)利用上述样本数据填写以下22⨯列联表，并依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．科类生物学科选法选不选合计物理类历史类合计(2)假设该校高一所有学生中有35的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为15，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为110．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值()E X．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.0010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.82816．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.17．（2023·湖北·统考模拟预测）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ为样本平均数的估计值，13σ≈，试估计初试成绩不低于88分的人数；(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为35，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及均值．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=．18．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．若年份x （2015年记为1x =，2016年记为2x =，以此类推）与发展总指数y 存在线性关系．(1)求年份x 与发展总指数y 的回归方程；(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X 表示赋分之和，求X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程y bx a =+$$$，其中a y bx =-$$，()()()121n ii i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑ ，()()81228.9i i i x x y y =--=∑，119.05y =．19．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．(1)求这10名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ；(2)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布2(,)N μσ．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数x 作为μ的估计值，用样本标准差s 作为σ的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？(3)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为12，选择两个选项的概率为13，选择三个选项的概率为16．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记X 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求X 的分布列及数学期望．附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．20．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.(1)若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；(2)经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的数学期望()E X .21．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某学校食堂中午和晩上都会提供,A B 两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A 类套餐的概率为23，选择B 类套餐的概率为13；在中午选择A 类套餐的前提下，晩上还选择A 类套餐的概率为14，选择B 类套餐的概率为34；在中午选择B 类套餐的前提下，晩上选择A 类套餐的概率为12，选择B 类套餐的概率为12.(1)若同学甲晩上选择A 类套餐，求同学甲中午也选择A 类套餐的概率；(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择B 类套餐的人数为X ，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X 的分布列及数学期望.22．（2023·湖南·校联考模拟预测）基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x ）和物理成绩（y ），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B .经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：5015800i i x==∑，5013900i i y ==∑，501462770i i i x y ==∑，()502128540i i x x =-=∑，()502118930i i y y =-=∑，其中,i i x y 分别表示这50名考生的数学成绩､物理成绩，1i =，2，…，50，y 与x 的相关系数0.45r ≈.(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r .试判断0r 与r 的大小关系（不必说明理由）；(2)求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生加了这次物理考。
概率分布列及期望专题
概率分布列及期望专题类型一、独立重复试验例1、某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列及其期望．练习：根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X 的期望.类型二、超几何分布例2、研究性学习小组要从6名(其中男生4人，女生2人)成员中任意选派3人去参加某次社会调查．(1)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率；(2)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．类型三、耗用子弹数型例3、某射手有3发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．练习、某次篮球联赛的总决赛在甲队与乙队之间角逐，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．由于天气原因场地最多使用6次，因甲、乙两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等，问需要比赛的次数ξ的分布列及期望。
类型四、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列例4、一批零件中有3个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．练习、在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．若用ξ表示剩余果蝇的数量，求ξ的分布列与期望.类型五、古典概型求概率例5、某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:（Ⅰ）若有2人申请A 片区房屋的概率;（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的ξ分布列与期望。
概率论分布列期望方差习题及答案
概率论分布列期望方差习题及答案The following text is amended on 12 November 2020.圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题姓名：__________班级：__________学号：__________1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈.(1)当12p q ==时，求S 6≠2的概率；(2)当p =31，q =32时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答123A A A 、、三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答123A A A 、、的概率分别为421534、、，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为12，且各个问题回答正确与否互不影响．（Ⅰ）按照答题规则，求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率；（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．5．某装置由两套系统M,N 组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。
高中理科数学各类型 概率统计、分布列解答题
高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1．2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义．【讲一讲提高技能】1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性．【练一练提升能力】1．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率．3、某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于？(2)已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有名工人．求该厂每月获利的均值．以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．若随机变量服从二项分布，则对应的事件是两两独立重复的，概率为事件成功的概率．2．求二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差公式:若，则【讲一讲提高技能】1．必备技能：利用离散型随机变量的均值与方差的定义，也可求出二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差，但计算较繁．因此判断随机变量是否服从二项分布是解决问题的关键．判断方法有两个，一是从字面上理解是否符合独立重复条件，二是通过计算，归纳其概率规律是否满足二项分布．【练一练提升能力】1.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23 .(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．2.近年来，我国电子商务蓬勃发展．2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0．6，对服务的满意率为0．75，其中对商品和服务都满意的交易为80次． (Ⅰ) 根据已知条件完成下面的并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？(Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ． 附：（其中为样本容量）3.(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度． 现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度 分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： (1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．以正态分布为背景离散型随机变量的分布列、均值1、正态分布概念：若连续型随机变量的概率密度函数为，其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为～。
概率及其随机变量的分布列讲义
概率、随机变量及其散布列1．概率（ 1）认识随机事件发生的不确立性和频次的稳固性，认识概率的意义，认识频次与概率的差别。
（ 2）认识两个互斥事件的概率加法公式。
（ 3）理解古典概型及其概率计算公式。
（ 4）认识几何概型的意义。
（ 5）认识条件概率。
2．两个事件互相独立， n 次独立重复试验（ 1）认识两个事件互相独立的观点；（ 2）理解 n 次独立重复试验的模型并能解决一些实质问题； 3．失散型随机变量及其散布列（ 1）理解取有限个值的失散随机变量及其散布列的观点。
（ 2）理解二项散布，并解决一些简单问题。
4．失散型随机变量的均值、方差（ 1）理解取有限个值的失散型随机变量的均值、方差的观点；（ 2）能计算简单失散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实质问题。
【中心重点打破】重点考向 1：古典概型考情聚焦： 1． 古典概型是高考重点考察的概率模型，常与计数原理、摆列组合联合起来考察。
2． 多以选择题、填空题的形式考察，属简单题。
考向链接： 1． 有关古典模型的概率问题，重点是正确求出基本领件总数和所求事件包括的基本领件数，这经常用到计数原理与摆列、组合的有关知识。
2． 在求基本领件的个数时，要正确理解基本领件的组成，这样才能保证所求事件所包括的基本领件数的求法与基本领件总数的求法的一致性。
3． 关于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏。
例 1：从 {1,2,3,4,5} 中随机选用一个数为a ，从{1,2,3} 中随机选用一个数为b ，则 b>a的概率是（）（A ）4(B)3 （C ）2(D)1 5555【命题立意】本题考察古典概型，娴熟掌握求古典概型概率的常用方法是解决本题的重点。
【思路点拨】先求出基本领件空间包括的基本领件总数n ，再求失事件“ b a ”包括的基本领件数 m ，从而( ) m。
P A n【规范解答】 选 D 。
{( a,b) | a {1,2,3,4,5}, b {1,2,3}} ，包括的基本领件总数n 15。
概率分布列含解析.
概率分布列练习题1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(A. B. C. D. 答案：D2．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为(A. B. C. D．不确定答案：A3．已知P(A＝0.3，P(B＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B＝________，P(A|B＝________.答案0.650.34．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．答案：5．在一条马路上的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．答案：6．事件A、B、C相互独立，若P(A·B＝，P(·C＝，P(A·B·＝，则P(B＝________，P(·B＝________，P(B＋C＝__________，P(B|C＝________.答案：7．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．8．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是(A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75 答案：D解析：令事件A、B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A＝0.6，P(B＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C＝1－P(P(＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P(A|C＝＝＝0.75.9.设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，在所取得的产品中发现有一件不合格品，则另一件也是不合格品的概率为．答案：10．已知随机变量ξ～B(6，，则P(ξ≥2＝(A. B. C. D. 答案C11．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是(A. B. C. D. 答案B12．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3的值为(A．C(2× B． C(2× C．(2× D．(2×答案C13．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n}：a n＝如果S n为数列{a n}的前n项和，那么S7＝3的概率为( A．C×(2×(5 B．C×(2×(5 C．C×(2×(5 D．C×(2×(514．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4＝________.答案15．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立，则一天内至少3人同时上网的概率为________．答案16.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．解析(1设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A＝＝＝，P(B＝＝＝17．2013年初，一考生参加北京大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是.(1求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解析(1记“该考生正确做出第i道题”为事件A i(i＝1,2,3,4，则P(A i＝，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为P(A1A2＝P(A1·P(A2·P(＝××＝.(2记“这名考生通过书面测试”为事件B，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故P(B＝C×(3×＋C×(4＝.18．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。
分布列解答题
分布列解答题1．某地机动车驾照考试规定：每位考试者在一年内最多有3次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第三次为止，如果小王决定参加驾照考试，设它一年中三次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8.(1)求小王在一年内领到驾照的概率；(2)求在一年内小王参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的数学期望.2．某市在对高三学生的4月理科数学调研测试的数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布()~110,144X N，现从甲校100分以上（含100分）的200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷来分析，（1分的试卷编号（写出具体数据）（2）6），（33人，该3（附：68.，Pμσ-(23取3数字(1)(2)(3)4．20173个球，方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？5．渝州集团对所有员工进行了职业技能测试从甲、乙两部门中各任选10名员工的测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图所示.（1）若公司决定测试成绩高于85分的员工获得“职业技能好能手”称号，求从这20名员工中任选三人，其中恰有两人获得“职业技能好能手”的概率；（2）公司结合这次测试成绩对员工的绩效奖金进行调整（绩效奖金方案如下表），若以甲部门这10人的样本数据来估计该部门总体数据，且以频率估计概率，从甲部门所有员工中任选3名员工，记绩效奖金不小于3a的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.6．《中国诗词大会》第二季总决赛已于2017年2月初完美收官，来自全国各地的选手们通过答题竞赛的方式传播中国古诗词,从诗经、汉魏六朝诗、唐宋诗词、明清诗词―直到毛泽东诗词，展现了对中国传统文化经典的传承与热爱，比赛采用闯关的形式,能闯过上一关者才能进人下一关测试，否则即被淘汰.已知某选手能闯过笫一、二、三关的概率分别为432,,555，且能否闯过各关互不影响.（1）求该选手在第3关被淘汰的概率；（2）该选手在测试中闯关的次数记为X，求随机变量X的分布列与数学期塑.7．为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拨赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每（Ⅰ）求p8．10（1（29题答对得（1（210（1（2）现有11次时结束.（1）求甲获胜的概率；（2）求射击结束时甲的射击次数x的分布列和数学期望EX.12．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为34和35，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立.（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利ξ万元的分布列.13．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为34，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．（Ⅰ）求甲通过自主招生初试的概率；（Ⅱ）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（Ⅲ）记甲答对试题的个数为X，求X的分布列及数学期望．14．某市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三（1）班共有30名学生，如图表格为该班学生的这两项成绩，表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成绩合格或合格以上的概率是1．若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动.（i）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii）记抽取的“读书迷”中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.18．甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是和，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响.（Ⅰ）若每人投球3次（必须投完），投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率；（Ⅱ）若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标.达标或能断定不达标，则终止投篮.记乙本次测试投球的次数为，求的分布列和数学期望.19．已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第n 局得n 分（*N n ∈）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.，现有甲，乙二人从袋中轮流摸取先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球即终止，每个球在每一次被取出的机（Ⅱ）求取球次数 所以ξ的数学期望为 1.52E ξ=2．（1）126分的试卷编号分别为48，88; （2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）对应查表即可求得；（2）根据茎叶图的特征即得甲校学生成绩的平均分高于乙校学生成绩的平均分，甲校学生成绩比较集中，乙校学生成绩比较分散；（3）分析条件可得这40人中成绩在146分以上（含146分）的有3人，而成绩在140分以上（含140分）的有8人，利用超几何分布可以求得. 试题解析：（1）126分的试卷编号分别为48，88．（2）通过茎叶图可知：甲校学生成绩的平均分高于乙校学生成绩的平均分，甲校学生成绩比较集中，乙校学生成绩比较分散．（3）∵150.001510000=，根据正态分布可知： (74146)99.7%P X <<=，∴()199.7%1460.00152P X -≥==，即前15名的成绩全部在146分以上（含146分）． 根据茎叶图可知这40人中成绩在146分以上（含146分）的有3人，而成绩在140分以上（含140分）的有8人．∴ξ的取值为0，1，2，3． 所以ξ的分布列为 则,张卡片上的数字互不相同的概率为的所有可能取值为相应的概率为：，，，，随机变量的分布列为：从而（3）从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，所以要计分超过30分，随机变量的取值应为4或5，故所求概率为4．（1）()P A =（2，(P X =故X 所以(E ()E Y =因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算. 5．（1）538；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）大于85分的有5人。
概率统计与期望方差分布列大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(解析版)
概率统计与期望方差分布列大题基础练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·安徽宿州·统考一模）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为1 3 .(1)求n的值；(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.则X的数学期望()012330102652．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：款式/专卖店甲乙丙丁戊男装606013080110女装120901306050(1)若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用X表示其中男装销量超过女装销量的专E X.卖店个数，求随机变量X的分布列和数学期望()∴()1336 012 105105E X=⨯+⨯+⨯=.3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%. (1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.4082 2.0721614219K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；（2）由题意可知X 的取值可能为0，1，2，3，则3539C 5(0)C 42P X ===，124539C C 10(1)C 21P X ===，214539C C 5(2)C 14P X ===，3439C 1(3)C 21P X ===，故X 的分布列为X 0123P5421021514121510514()0123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.4．（2023秋·江苏·高三统考期末）为深入贯彻党的教䏍方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政､烹饪､手工､园艺､非物质文化遗产等劳动实践类校本课程.为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：月份x 246810满意人数y8095100105120(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y 与月份x 之间的关系，求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；(2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：满意不满意合计男生651075女生552075合计12030150请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,nni i i ii i nn iii i x y nxyx x yy bay bx xnx x x ====---===--∑∑∑∑.()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k 2.7063.8415.0246.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响．(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．()101612412E X=-⨯+⨯+⨯=.（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464 P⎛⎫==⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C41264 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分的概率为2233111C4632 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C412192 P⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192 P=+++=.6．（2023·浙江·校联考模拟预测）某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y 3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 6.2 6.9(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据7162.4i i x y =∑7．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛，规定：满分为100分，60分及以上为合格.该企业从甲､乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本.对甲车间100位职工的成绩进行统计后，得到了如图所示的成绩频率分布直方图.(1)估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率；(2)若将频率视为概率，以样本估计总体.从甲车间职工中，采用有放回的随机抽样方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的结果相互独立，记被抽取的3人次中成绩合格的人数为X .求随机变量X 的分布列；(3)若乙车间参加此次知识竞赛的合格率为60%，请根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为此次职工“反计”知识竞赛的成绩与其所在车间有关?2×2列联表甲车间乙车间合计合格人数不合格人数合计附参考公式：①()()()()22()n ad bc a c b d a b c d χ-=++++，其中n a b c d =+++.②独立性检验临界值表【答案】(1)80%(2)分布列见解析(3)表格见解析，有【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，可得答案；（2）根据二项分布的分布列的解题步骤，可得答案；（3）由题意，补全列联表，利用独立性检验的解题步骤，可得答案.【详解】（1）根据频率分布直方图可求得甲车间此次参加“反诈”知识竞赛的合格率0.02100.03100.02100.01100.8=⨯+⨯+⨯+⨯=，即80%.（3）根据题中统计数据可填写22⨯列联表如下，甲车间乙车间合计合格人数8060140不合格人数204060合计10010020022200(80402060)9.524 6.635,10010014060χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为“此次职工‘反计’知识竞赛的成绩与职工所在车间有关系”.8．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y /亿元692962133420913229经计算得：51ln i i y =∑=36.33，51(ln )i i i x y =∑=112.85.(1)根据以上数据，建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆebxa y +=（e 为自然对数的底数）.(2)云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差4~(0,N mε，其中m 为单件产品的成本（单位：元），且(11)P ε-<<=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差1~(0,)N mε.若保持单件产品的成本不变，则(11)P ε-<<将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？附：对于一组数据1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y ⋯其回归直线ˆˆˆyx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为ˆβ=1221niii nii x ynx y xnx ==--∑∑，ˆˆy x αβ=-.若2~(,)XN μσ，则(||)0.6827P X μσ-<=，(|2)0.9545P X μσ-<=，(||3)0.9973.P X μσ-<=9．（2023春·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）近年来，各平台短视频、网络直播等以其视听化自我表达、群圈化分享推送、随时随地传播、碎片化时间观看等特点深受人们喜爱，吸引了眼球赚足了流量，与此同时，也存在功能失范、网红乱象、打赏过度、违规营利、恶意营销等问题．为促使短视频、网络直播等文明、健康，有序发展，依据《网络短视频平台管理规范》、《网络短视频内容审核标准细则》等法律法规，某市网信办、税务局、市场监督管理局联合对属地内短视频制作、网络直播进行审查与监管．(1)对短视频、网络直播的整体审查包括总体规范、账户管理、内容管理等三个环节，三个环节均通过审查才能通过整体审查．设某短视频制作团队在这三个环节是否通过审查互不影响，且各环节不能通过审查的概率分别为4131,,25485．①求该团不．能通过整体审查的概率：②设该团队通过整体审查后，还要进入技术技能检测环节，若已知该团队最终通过整体审查和技术技能检测的概率为35%，求该团队在已经通过整体审查的条件下通过技术技能检测的概率；(2)某团队为提高观众点击其视频的流量，通过观众对其视频的评论分析来优化自己的创作质量，现有100条评论数据如下表：试问是否有99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联？参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d=+++()20P x χα≥=0.10.050.010.0050.001nx 2.7063.8416.6357.87910.82810．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和34；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为34和45；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和3 2p-，其中34p<<．(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为3790，求p的值；(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ，求ξ的分布列・11．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低点情况.交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数25未闯红灯数85合计200近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚．在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数51520未闯红灯人9585180数合计100100200将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：(1)将2×2列联表填写完整（不需要写出填写过程），并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；(3)结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议（至少提出两条建议）．【答案】(1)列联表见解析，有(2)有明显改善，理由见解析(3)答案见解析K的值，结合附表，即可【分析】（1）根据题意，填写出2×2列联表，利用公式求得2得到结论；（2）求得试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率，结合试行对闯红灯的行人进行经济处罚前的概率，可得出结论；（3）结合表格中的数据，可针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；也可进行适因为()2220015752585253.125 2.706100100401608K⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．（2）在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率为20=0.1 200，而在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，行人闯红灯的概率为0.2，因为0.10.2<，故在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象有明显改善．（3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，故可以针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，故可以在法律允许范围内进行适当的经济处罚．12．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）为了了解男、女学生对航天知识的了解情况，某调查机构进行了一个随机问卷调查（总分100分），调查的结果如下表所示．若本次问卷调查的得分不低于90分，则认为该学生非常了解航天知识．男学生女学生不低于90分82低于90分2228(1)判断是否有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关；(2)现将3个航天器模型纪念品随机分配给参与本次调查且非常了解航天知识的学生，设获得纪念品的女生人数为X，求X的分布列以及数学期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.050.010.0050.001k3.8416.6357.87910.828所以()012.1515155E X =⨯+⨯+⨯=13．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息．在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”、“顺风耳”变为现实．现在，5G 的到来给人们的生活带来了颠覆性的变革．某科技创新公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在1月份至5月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如表：时间（月份）12345收入（百万元）1015192328(1)根据上表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司6月份的5G 经济收入；(2)从前5个月的收入中随机抽取3个月，记月收入超过15百万元的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．所以()123105105E X=⨯+⨯+⨯=．14．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）一般来说，市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系．已知产品甲的年宣传费用(x百万元)和年销量(y万箱)的统计数据如下：年宣传费用(x百万元)35610131518年销量y(万箱)1.522.533.544.5(1)求y与x的相关系数(r精确到0.01)，并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？(规定：0.75r≥)；(2)从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰有1个数据不少于4万箱的概率．附：①相关系数ni ix y nxyr-=∑；71246i iix y==∑②，721888iix==∑，72170iiy==∑，36.28≈36.41≈15．（2023春·河北·高三统考阶段练习）某电影院对观众按照性别进行了分层抽样调查，一共调查了900名观众对A影片和B影片的喜爱度，获得了以下数据：(1)哪个影片更受学生欢迎？（不用说明理由）(2)分别估计该电影院男观众和女观众对B影片表示“非常喜爱”的概率；(3)该电影院为了进一步调查观众对B影片的看法，对样本中的女观众用分层抽样抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人参加座谈，求这两人均来自“一般喜爱”群体的概率.16．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）(1)求这40名学生测试成绩的平均分x和标准差s；(2)假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，2σ），用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ.利用估计值估计，高二学生体能达标预测是否“合格”；(3)为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为23，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z ～N （μ，2σ），则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=.17．（2023·山东淄博·统考一模）某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出i x (万元)与年度销售量i y (万台)的数据，如表所示:年份2016201720182019202020212022广告费支出x 1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中71279.4i i i x y ==∑，721708i i x ==∑(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程；(2)若用y c =+模型拟合得到的回归方程为1.63y =+，经计算线性回归模型及该模型的2R 分别为0.75和0.88，请根据2R 的数值选择更好的回归模型拟合y 与x 的关系，进而计算出年度广告费x 为何值时，利润200zy x =- 的预报值最大？参考公式：()()()1122211nniiiii i nniii i x ynx y xxy y bxnxxx====---==--∑∑∑∑ ，a y bx =-$$；18．（2023·山东济南·一模）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得到如下表格：记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x ，2s ，经计算()102111690i x x =-=∑，102133050ii x==∑．(1)求x ；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X ，求X 的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布()2,N μσ，用x ，2s 的值分别作为μ，2σ的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[]30,82的人数为Y ，求Y 的数学期望()E Y ．附：若()2,N ξμσ ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-≤≤+≈，330.9()973P μσξμσ-≤≤+≈．（3）因为()22111156,16901691010i x s x x===-=⨯=∑，所以56,13μσ==．因为(3082)(22)0.9545P X P μσξμσ≤≤=-≤≤+≈，所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]得概率约为0.9545，故(100,0.9545)Y B ~，所以()1000.954595.45E Y =⨯=．19．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75,100]内)进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和22⨯列联表．男女合计优(得分不低于90分)8良(得分低于90分)12合计40(1)请完成上面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)公司决定：85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在[95,100]内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节)；笔试得分在[90,95)内的岗位等级初定为二级，但有25的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在[85,90)内的岗位等级初定为三级，但有35的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，.n a b c d =+++()20P k χ0.150.100.050.0100k 2.0722.7063.8416.635所以20.317 2.706(84)(1612)(816)(412)χ=<++++，因此没有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；（2）不低于85分的员工的人数为：40(0.060.040.02)524⨯++⨯=，直接定为一级的概率为0.025401246⨯⨯=，岗位等级初定为二级的概率为：0.045401243⨯⨯=，岗位等级初定为三级的概率为：0.065401242⨯⨯=.①甲的最终岗位等级为一级的概率为：112363510+⨯=；②甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为：2333390.0250.0450.0450.0655555525⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.20．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A 级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的22⨯列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．①求X 的分布列和数学期望；②求()11P X -≤．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)补全的22⨯列联表见解析；有关；(2)①分布列见解析；() 2.7E X =；②0.271【分析】（1）由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，即可补全22⨯列联表，再根据公式计算212.76χ=，即可判断；（2）①由题意可知(3,0.9)X B ，根据二项分布即可求解分布列及数学期望；②根据则2100(5251555)12.7610.82820806040χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.（2）①由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9，则(3,0.9)X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，033(0)C 0.10.001P X ==⨯=，123(1)C 0.90.10.027P X ==⨯⨯=，223(2)C 0.90.10.243P X ==⨯⨯=，333(3)C 0.90.729X ==⨯=，所以X 的分布列如下：因为(3,0.9)X B ，所以数学期望()30.9 2.7E X =⨯=.②()(11)(0)(1)(2)13P X P X P X P X P X -≤==+=+==-=10.7290.271=-=.21．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）皮影戏是一种民间艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种，已有千余年的历史.而皮影制作是一项复杂的制作技艺，要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧，以及持之以恒的毅力和韧劲.每次制作分为画图与剪裁，雕刻与着色，刷清与装备三道主要工序，经过以上工序处理之后，一幅幅形态各异，富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成，成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人.小李对学习皮影制作产生极大兴趣，师从名师勒学苦练，目前水平突飞猛进，三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为323,534，，三道序彼此独立，只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作，该皮影视为合格作品．(1)求小李进行3次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；(2)若小李制作15次，其中合格作品数为X ，求X 的数学期望与方差；(3)随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，聘其为单位制作演出作品，决定试用一段时间，每天制作皮影作品，其中前7天制作合格作品数y 与时间：如下表：（第1天用数字1表示）时间（t ）1234567合格作品数（y ）3434768其中合格作品数（y ）与时间（t ）具有线性相关关系，求y 关于t 的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？（参考公式()()()11222ˆnni i i ii i nn iix ynxyx x yybxnxx x ==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-，参考数据：71163i i i t y ==∑）．。
概率与分布列
概率、随机变量与分布列1，学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()E X.2.某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.3.现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.4.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望5.已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).6.（2012年高考（广东理））某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.(Ⅰ)求图中x的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.7.（2010广东理数）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．8.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。
第1讲 概率、随机变量及其分布列
1．(2020·开封市模拟考试)为应对新冠肺炎疫情，许多企业在
非常时期转产抗疫急需物资．某工厂为了监控转产产品的
质量，测得某批n件产品的正品率为98%，现从中任意有
放回地抽取3件产品进行检验，则至多抽到1件次品的概率
为
()
A．0.998 816
B．0.999 6
C．0.057 624
D．0.001 184
重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝
20 64
＝
5 16
.
故选A.
[答案] A
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解题方略
古典概型的概率公式 P(A)＝mn ＝A中所基含本的事基件本总事数件数.
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[跟踪训练]
1．(2020·济南模拟)2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运
行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征
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2．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反
面．“恰好3枚正面都朝上”的概率是________，“至少
有2枚反面朝上”的概率是________．
解析：列举基本事件如下：(正，正，正)，(正，正，
反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，
正，反)，(反，反，正)，(反，反，反，)，共8个，“恰
2.离散型随机变量及其分布列 (1)在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及 其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性； (2)了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重 复试验的模型及二项分布，理解超几何分布及其导出过程，并 能解决一些简单的实际问题； (3)理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算 简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； (4)认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
常见离散型随机变量分布列示例
常见随机事件的概率与分布列示例1、耗用子弹数的分布列例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P 0.9 0.09 0.009 0.0001说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，541.09.01.0)5(+⨯==ξP ．当然，5=ξ还有一种算法：即0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ．2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率例 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．分析：发生事件A的次数()p n B ,~ξ，所以，),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p kn k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住np q )(+与np q )(-展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p 奇次，留下p 偶次的目的．3、根据分布列求随机变量组合的分布列例 已知随机变量ξ 的分布列为ξ－2 －1 0 1 2 3P121123 124 121 122 121 分别求出随机变量221,2ξ η ξ η ==的分布列． 解： 由于ξ η 211=对于不同的ξ 有不同的取值x y 21=，即2321,121,2121,021,2121,121665544332211========-==-==x y x y x y x y x y x y ，所以1η 的分布列为1η－121- 021 132 P121123 124 121 122 121 22ξ η =对于ξ 的不同取值－2，2及－1，1，2η分别取相同的值4与1，即2η 取4这个值的概率应是ξ 取－2与2值的概率121与122合并的结果，2η 取1这个值的概率就是ξ 取－1与1值的概率123与121合并的结果，故2η 的分布列为 2η0 1 4 9P124 124 123 121 说明：在得到的1η 或2η 的分布列中，1η 或2η 的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1．4、成功咨询人数的分布列例 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列．分析：3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数ξ，故符合二项分布．解：由题：⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3~B ξ，所以3,2,1,0,4143)(33=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kk k ξ，分布列为ξ 0 1 2 3P641 649 6427 6427说明：次独立重复实验中，以事件发生的次数ξ为随机变量．5、盒中球上标数于5关系的概率分布列例 盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列．分析：要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率．解：分别用321,,x x x 表示题设中的三类情况的结果：1x 表示“小于5”的情况，2x 表示“等于5”的情况，3x 表示“大于5”的情况．设随机变量为ξ ，它可能取的值为ξ ,,,321x x x 取每个值的概率为P x P ==)(1ξ （取出的球号码小于5）＝105， P x P ==)(2ξ （取出的球号码等于5）＝101， P x P ==)(3ξ （取出的球号码大于5）＝104． 故ξ 的分布列为ξ1x 2x 3xP21101 52小结：分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的分布列是很重要的，但是我们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以利用11=∑=ni ip进行检验．6、求随机变量的分布列例 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列．分析：由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3，4，5，可以利用组合的方法计算其概率．解：随机变量ξ 的取值为3，4，5．当ξ ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有;101C C )3(3523===ξ P当ξ ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有;103C C )4(3523===ξ P当ξ ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有.53106C C )5(3523====ξ P因此，ξ 的分布列为ξ3 4 5P101103 106 说明：对于随机变量ξ 取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．7、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列例 一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．分析：取出不合格品数的可能值是0，1，2，3，从而确定确定随机变量的可能值．解：以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ 是一个随机变量，由题设ξ 可能取的数值是0，1，2，3．当ξ ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为;750.0123)0(===ξ P 当ξ ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为;204.0119123)1(≈⋅==ξ P 当ξ ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为;041.0119112123)2(≈⋅⋅==ξ P 当ξ ＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为.005.099101112123)3(≈⋅⋅⋅==ξ P 所以ξ 的分布列为ξ0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量ξ的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．8、关于取球的随机变量的值和概率例 袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率．分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成．解： 设集合},,{321x x x M =，其中1x 为“取到的球为红色的球”，2x 为“取到的球为白色的球”，3x 为“取到的球为黑色的球”． 我们规定：)3,2,1()(===i i x i ξ ξ ，即当i x x =时，i x =)(ξ，这样，我们确定)(x ξ 就是一个随机变量，它的自变是量x 取值不是一个实数，而是集合M 中的一个元素，即M x ∈，而随机变量ξ 本身的取值则为1，2，3三个实数，并且我们很容易求得ξ 分别取1，2，3三个值的概率，即.2163)3(,3162)2(,61)1(========ξ ξ ξ P P P说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果．。
207高考复习---概率、随机变量分布列、期望方差
2017高考复习---概率、随机变量分布列、期望方差1．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为分．2．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则P等于．3．设随机变量X～B（6，），则P（X=3）=．4．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是．6．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差Dξ=，则4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．8．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是．9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．10．有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．11．为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路旅游团数ξ的数学期望Eξ=．12．随机变量X的分布列如下：若，则DX的值是．每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=．15．从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．16．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）17．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为．18．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．19．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．20．从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是．21．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a﹣b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．22．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为．23．某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．24．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为．2017年03月25日茅盾中学09的高中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共24小题）1．（2012•温州一模）某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为15分．【分析】设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X的可能取值为﹣15，0，15，30，分别求出P（X=﹣15），P（X=0），P（X=15），P（X=30），由此能求出该学生在面试时得分的期望值．【解答】解：设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X的可能取值为﹣15，0，15，30，P（X=﹣15）==，P（X=0）==，P（X=15）==，P（X=30）==，∴EX=﹣15×+0×+15×+30×=15．∴该学生在面试时得分的期望值为15分．故答案为：15．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率计算公式的灵活运用．2．（2016春•松桃县校级期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则P等于．【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的未知量p．【解答】解：∵ξ服从二项分布B～（n，p）Eξ=300，Dξ=200∴Eξ=300=np，①；Dξ=200=np（1﹣p），②．可得1﹣p==，∴p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，本题解题的关键是通过解方程组得到要求的变量，注意两个式子相除的做法，本题与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式，本题是一个基础题．3．（2013春•渭滨区校级期末）设随机变量X～B（6，），则P（X=3）=．【分析】根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题x=3，代入公式得到要求的概率．【解答】解：∵随机变量X服从二项分布B（6，），∴P（X=3）=C36（）3×（1﹣）3=．故答案为：．【点评】本题考查二项分布的概率计算公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（2015•中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是．【分析】确定X的可能取值为1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量X的数学期望【解答】解：由题设知X的可能取值为1，2，3，4，5．随机地取出两个球，共有：=15种，∴P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，故EX=1×+2×+3×+4×+5×=．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键．其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是．【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，Eξ=﹣1×a+1×c=c﹣a=．联立三式得，∴．故答案为：【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．6．（2014•余杭区校级模拟）已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差Dξ=，则x+y=．【解答】解：由题意可得：2x+y=1，Eξ=x+2y+3x=4x+2y=4x+2（1﹣2x）=2．∴方差Dξ==（1﹣2）2x+（2﹣2）2（1﹣2x）+（3﹣2）2x．化为，解得，∴=．∴=．故答案为．【点评】熟练掌握离散型随机变量的期望与方差是解题的关键．7．（2015春•淮安校级期末）袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．【分析】取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，得分的随机变量ξ=4，6，8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，∴得分的随机变量ξ=4，6，8，10，∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P（ξ=6）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．8．（2001•江西）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是 1.2．【分析】由题意知ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球，这三种情况根据古典概型概率公式得到结果，求出期望．【解答】解：设含红球个数为ξ，ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球，∴P（ξ=0）==0.1，P（ξ=1）==0.6P（ξ=2）==0.3∴Eξ=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2．故答案为：1.2．【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．不过大多数题目是以解答题的形式出现的．9．（2012•浙江校级模拟）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．【分析】由题中ξ的取值可能是0，1，2，由等可能事件的概率计算出概率，得出分布列再有公式求出期望即可【解答】解：由题ξ的取值可能是0，1，2，从丙个袋中各一个球，总的取法有6×6=36 故P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=所以ξ的分布列为=故答案为【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是根据相应的概率计算公式求出变量取每一个可能值的概率，列出分布列，求出期望．10．（2013•浙江模拟）有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．【分析】由题意知小张摸一次得分X的可能取值是0，，50，100，当得分为100时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，当得分50时，表示取到的球有四个颜色相同，结合变量对应的事件，做出分布列和期望．【解答】解：由题意知小张摸一次得分X的可能取值是0，，50，100，当得分为100时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，从10个球中取5个共有C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，∴P（X=100）==，当得分50时，表示取到的球有四个颜色相同，P（X=50）==，P（X=0）=1﹣=，∴EX=100×==，故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．11．（2013•西湖区校级模拟）为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路旅游团数ξ的数学期望Eξ=．【分析】确定ξ的可能取值，计算相应的概率，可得分布列，进而可求ξ的数学期望．【解答】解：由题意，ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==ξ 0 1 2 3P∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（2011•海珠区一模）随机变量X的分布列如下：若，则DX的值是．X ﹣1 0 1P a ca和c，再利用方差公式求方差即可．【解答】解：由题意：，解得：所以DX=故答案为：【点评】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算．13．（2012•浙江模拟）已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ=1.5，则a的值等于0.5．ξ0 1 2 3P 0.1 a b 0.2分布列的性质建立方程求解即可．【解答】解：由题意可得：⇒．故答案为：0.5．【点评】此题属于基本题型，重点考查了随机变量的分布列的性质，期望定义及学生利用方程的思想求解问题．14．（2011•宁波模拟）一个人随机的将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=1．【分析】由于ξ表示匹对的个数，由题意则ξ可能取：0，1，2，4，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求．【解答】解：由题意ξ可能取：0，1，2，4，则，，，Eξ==1．故答案为：1【点评】此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．15．（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．16．（2013•上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=，其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，m为基本事件总数．17．（2015•江苏模拟）口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为．【分析】由组合知识求出从4个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：从5个球中随机抽取两个球，共有种抽法．满足两球编号之和大于5的情况有（2，4），（3，4）共2种取法．所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为．故答案为．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．18．（2010•江苏）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再算出事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3，算出事件A的概率，即P（A）=即可．【解答】解：考查古典概型知识．∵总个数n=C42=6，∵事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3∴故填：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n；（2）算出事件A中包含的基本事件的个数m；（3）算出事件A的概率，即P（A）=．19．（2009•安徽）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2，3，4；2，4，5；3，4，5共3种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．20．（2011•鼓楼区校级模拟）从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是．【分析】由题意抽两次且属于有放回的抽样，利用计数原理及古典概型随机事件的概率公式即可求出．【解答】解：由题意属于有放回的抽样，因为从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片，即抽两次，所以利用分步计数原理可得总数为：5×5=25，即：“取出的两张卡片的数字之和恰好的等于4为事件A”：事件A的个数为：（4，0），（0，4），（2，2），（1，3），（3，1）共5个，利用古典概型随机事件的概率公式及得：P（A）=．故答案为：【点评】此题考查了有放回的抽样，古典概型随机事件的概率公式及分步计数原理．21．（2011•江西校级模拟）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a﹣b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从4个数字中各选一个数字，共有4×4种结果，满足条件的事件是|a﹣b|≤1，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从4个数字中各选一个数字，共有4×4=16种结果，满足条件的事件是|a﹣b|≤1，可以列举出所有的满足条件的事件，当a=1时，b=1，2，当a=2时，b=1，2，3当a=3时，b=2，3，4当a=4时，b=3，4总上可知共有2+3+3+2=10种结果，∴他们“心有灵犀”的概率为=故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏．22．（2012•东莞二模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6种结果，满足条件事件是向量共线，根据向量共线的条件得到6m﹣3n=0即n=2m，列举出所有的结果数，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6=36种结果，满足条件事件是向量=（m，n）与=（3，6）共线，即6m﹣3n=0，∴n=2m，满足这种条件的有（1，2）（2，4）（3，6），共有3种结果，∴向量与共线的概率P=，故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查向量共线的充要条件，考查利用列举法得到所有的满足条件的事件数，本题是一个比较简单的综合题目．23．（2013•西湖区校级模拟）某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙也有两种选法，根据乘法原理可知：共有22=4中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，因此他们在同一个食堂用餐的概率P=．故答案为．【点评】熟练掌握分步乘法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键．24．（2011•卢湾区一模）在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为．【分析】根据这位考生只会答5道题中的3道题，可先计算出所有的基本事件个数，及该考生不及格的事件个数，进行求出该生不能及格的概率，然后根据对立事件减法公式，得到答案．【解答】解：从5道备选试题中随机抽出3道题共有：C53==10种情况其中从该考生考试不及格，即正好抽中该生不会的两道题有：C31=3种情况即这位考生不及格的概率为故这位考生能够及格的概率P=1﹣=故答案为：【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据正繁则反的原则，先求对立事件的概率，是解答本题的关键．。
概率与分布列
概率与分布列（深圳）17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这个社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这个时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别相关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：解：（1闲方式的概率为56p =． …………………………………………2分方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ，7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ． ……………6分X ∴221637227212160=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ． ……………………………8分方法二：根据题意可得)65,3(~B X ， ……………………………………4分k k k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ． ……………………………………6分∴25653=⨯==np EX ． …………………………………………8分(2) 提出假设0H ：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式相关”． ………………………13分（广州）17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选择一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）． （温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据已知条件，能够求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选择一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分 由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 62(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==. 所以随机变量随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分6817164==.…………………………………………………………………………………………12分（揭阳）17. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B 生产该产品，且该厂的产品都符合相对应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相对应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品．（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率． 17．解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数7ξ≥有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------3分 ∴样本中一等品的频率为60.230=，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2；-------4分二等品的频率为90.330=，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；---------------5分三等品的频率为150.530=，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．-----------6分……………………10分（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，--7分记等级系数为7的3件产品分别为1C 、2C 、3C ，等级系数为8的3件产品分别为1P 、2P 、3P .则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：121323(,),(,),(,),C C C C C C 12(,),P P 1323(,),(,)P P P P ,11121321(,),(,),(,),(,),C P C P C P C P 2223(,),(,)C P C P ,3132(,),(,),C P C P 33(,)C P .共15种，-------------------------------10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A ，则A 包含的基本事件有 12(,),P P 1323(,),(,)P P P P 共3种，-------------------------11分故所求的概率31()155P A ==.-------------------------------------------------12分（东莞）18．（本小题满分14分）甲，乙两人实行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛实行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59． （1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． 解 （1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225(1)9p p +-=， 解得13p =或23p =． 又12p >，所以23p =．…………………6分 （2）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．5(2)9P ξ==，5520(4)(1)9981P ξ==-⨯=， 52016(6)198181P ξ==--=，所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望2469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………12分（仲元）9．某市有A 、B 两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区展开支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A 校教师和2名B 校教师，向乙地派出3名A 校教师和3名B 校教师．因为客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．（Ⅰ）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；（Ⅱ）求互换后A 校教师派往甲地人数ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件E ，有以下两种情况：①互换的是A 校的教师，记此事件为1E ，则1133111563()10C C P E C C =⋅=；②互换的是B 校的教师，记此事件为2E ，则1132211561()5C C P E C C =⋅=．则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为12311()()()1052P E P E P E =+=+=．（Ⅱ）ξ的可能取值为2,3,4．113311563(2)10C C P C C ξ==⋅=；11113332111156561(3)2C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=；113211561(4)5C C P C C ξ==⋅=．故ξ的分布列为：数学期望3234102510E ξ=⨯+⨯+⨯=．11． 深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．（Ⅰ）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．（Ⅱ）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥， 所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．由条件概率公式，得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ），…9分 2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ），……10分151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）．………11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P ．…12分21．（06安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。
概率统计与分布列计算
概率统计与分布列计算概率统计是数学统计的一个重要分支，用来研究随机现象发生的规律性。
在概率统计中，常用到的一个重要概念是概率分布。
概率分布是指随机变量取各个取值的概率，并且这些概率之和为1、概率分布可以分为离散分布和连续分布两种类型。
首先，我们来介绍离散概率分布。
离散概率分布指的是随机变量只能取到一些特定的值，而不能取到其它的值。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布和泊松分布等。
伯努利分布是最简单的离散分布，它只有两个取值，常用来描述只有成功和失败两种结果的随机试验。
记随机变量X取值为1表示成功，取值为0表示失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
则伯努利分布的概率分布列为：P(X=x)=p^x(1-p)^(1-x)，其中x=0或1二项分布是多次独立重复进行伯努利试验的概率分布。
记随机变量X为n次试验中成功的次数，则二项分布的概率分布列为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n次试验中取k次成功的组合数。
泊松分布是描述单位时间或单位空间中事件发生的次数的概率分布。
如果一个事件在单位时间内或单位空间中发生的次数近似服从泊松分布，那么该事件的平均发生率就是泊松分布的参数。
泊松分布的概率分布列为：P(X=k)=(e^(-λ)*λ^k)/k!，其中λ为平均发生率，k为随机变量X的取值。
除了离散概率分布外，还有连续概率分布。
连续概率分布指的是随机变量可以取任意的实数值。
常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布等。
均匀分布是最简单的连续分布，其概率密度函数为：f(x)=1/(b-a)，其中a为随机变量X的最小取值，b为最大取值。
正态分布也称为高斯分布，是自然界中许多现象呈现的分布。
f(x)=(1/(σ√(2π)))·e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ为平均数，σ为标准差。
指数分布用于描述事件发生的时间间隔，其概率密度函数为：f(x)=λe^(-λx)，其中λ为事件发生率。
概率与分布列
概率与分布列概率与分布列是统计学中非常重要的两个概念。
概率是指某个事件发生的可能性，而分布列则是表示事件发生的可能性分布情况。
在现实生活和科学研究中，我们经常会遇到需要计算概率和分布列的情况，因此掌握这两个概念是必不可少的。
一、概率概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。
其中，0表示该事件不可能发生，1表示该事件一定会发生，而0和1之间的数则表示该事件有一定概率发生。
我们可以通过概率的计算来预测事件的发生情况，从而更好的做出决策。
例如，我们可以通过掷骰子的概率来预测在6次掷骰子中，得到6点的次数有多少。
假设我们用P(x)表示得到x点的概率，那么掷一次骰子得到6点的概率是1/6，即P(6)=1/6。
在6次掷骰子中，得到6点的次数可以是0次、1次、2次、3次、4次、5次或6次，因此我们可以用如下公式计算得到6点的次数的概率分布情况：P(0)=（5/6）^6≈0.33P(1)=6×（1/6）×（5/6）^5≈0.41P(2)=15×（1/6）^2×（5/6）^4≈0.22P(3)=20×（1/6）^3×（5/6）^3≈0.07P(4)=15×（1/6）^4×（5/6）^2≈0.01P(5)=6×（1/6）^5×（5/6）≈0.001P(6)（得到6点6次）≈10^-6可以看出，得到6点的概率最大的情况是1次，其概率为0.41。
而得到6点的概率最小的情况则是6次，其概率非常小，只有10^-6。
二、分布列分布列是指将所有可能的事件及其概率列出来的表格。
在实际生活中，我们经常需要根据分布列来做出决策。
例如，我们可能需要根据某个产品的销售情况来预测未来的销售情况，并决定是否生产更多的产品来满足市场需求。
当我们需要绘制分布列时，通常需要知道每个事件发生的概率以及事件的数量。
例如，我们可以用下表表示掷骰子得到不同点数的概率分布情况：|点数|概率||---|---||1|1/6||2|1/6||3|1/6||4|1/6||5|1/6||6|1/6|在分布列中，我们可以看出掷骰子得到不同点数的概率分布情况，并且可以根据分布列来预测某个事件的发生情况。
分布列76题(带答案)
1．甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；(2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．2．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．3．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为9 32.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率P1；(2)求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X)．1．解(1)分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件A1，A2，A3记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核为事件B，则P(B)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件C，D，E，记甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格为事件F，则P(C)＝P(D)＝P(E)＝0.3，∴P(F)＝C23×0.32×0.7＋C33×0.33＝0.189＋0.027＝0.216.2．解记A i表示事件：第1次和第2次这2次发球，甲共得i分，i＝0,1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.(1)B＝A0·A＋A1·A，P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16，P(A1)＝2×0.6×0.4＝0.48，P(B)＝P(A0·A＋A1·A)＝P(A0·A)＋P(A1·A)＝P(A0)P(A)＋P(A1)P(A)＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2)P(A2)＝0.62＝0.36.ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(A2·A)＝P(A2)P(A)＝0.36×0.4＝0.144，P(ξ＝2)＝P(B)＝0.352，P(ξ＝3)＝P(A0·A)＝P(A0)P(A)＝0.16×0.6＝0.096，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－0.144－0.352－0.096＝0.408.E (ξ)＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3) ＝0.408＋2×0.352＋3×0.096 ＝1.400.3．解 (1)由题意得(1－P 1)·()P 1＋18＝932，∴P 1＝14或58.∵P 1＞12，∴P 1＝58.(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次为58，34，78，1，所以P (X ＝1)＝58，P (X ＝2)＝932，P (X ＝3)＝()1－58()1－34×78＝21256， P (X ＝4)＝()1－58()1－34()1－78×1＝3256，所以X 的分布列为∴E (X )＝1×58＋2×932＋3×21256＋4×3256＝379256.5.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E (ξ)． (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15.(4分)(2)由题意，P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫1102·⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23110·⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000.(8分) 所以，随机变量ξ的概率分布列为故随机变量ξ的数学期望：E (ξ)＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.6.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响． (1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望．(2)求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．解(1)ξ的可能取值为－300，－100,100,300.P(ξ＝－300)＝0.23＝0.008，P(ξ＝－100)＝3×0.22×0.8＝0.096，P(ξ＝100)＝3×0.2×0.82＝0.384，P(ξ＝300)＝0.83＝0.512.所以ξ的概率分布为根据ξ的概率分布，可得ξEξ＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180.(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(ξ≥0)＝0.384＋0.512＝0.896.7.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：(1)A需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)法一X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.法二X的所有可能取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49；所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.2．(2011·浙江高考，理15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的分布列及数学期望E(X)解析由P(X＝0)＝112，所以13×(1－p)×(1－p)＝112，得p＝12，所以X的分布列如下：所以E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.2、袋子A、B中均装有若干个大小相同的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p.（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止。
高中数学 概率与离散型随机变量的分布列试题(附答案)
概率与离散型随机变量的分布列试题1. 一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率。
2. 一个自动报警器由雷达和计算机两个部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵。
若使用100小时后，雷达部分失灵的概率为0.1，计算机失灵的概率为0.3，若两部分失灵与否是独立的，求这个报警器使用100小时而不失灵的概率。
3. 对同一目标进行3次射击，第1、第2、第3次射击的命中概率分别为0.4、0.5、0.7，求：（1）在这3次射击中，恰好有1次击中目标的概率； （2）在这3次射击中，至少有1次击中目标的概率。
4. 已知A 、B 、C 为三个相互独立事件，若事件A 发生的概率为21，事件B 发生的概率为32，事件C 发生的概率为43，求下列事件的概率： （1）事件A 、B 、C 都不发生； （2）事件A 、B 、C 不都发生； （3）事件A 发生且B 、C 恰好发生一个5. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，已知每一局甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4。
（1）赛满3局，甲胜2局的概率是多少？（2）若比赛采用三局二胜制，先赢两局为胜，求甲获胜的概率。
6. 某种项目的射击比赛规则是：开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，同时停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 远处，若第三次命中则记1分，同时停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。
（1）求射手甲在200m 处命中目标的概率；（2）设射手甲得k 分的概率为P 0，求P 3，P 2，P 1，P 0的值； （3）求射手甲在三次射击中击中目标的概率。
7. 袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取出4个球。
概率与分布列归类(学生版)--2024年高考数学大题突破
概率与分布列归类目录【题型一】 超几何分布型分布列【题型二】二项分布型分布列【题型三】正态分布型【题型四】分布列均值与方差【题型五】竞技比赛型分布列【题型六】多人比赛竞技型分布列【题型七】递推数列型【题型八】三人传球递推数列型【题型九】导数计算型分布列最值【题型十】机器人跳棋模式求分布列【题型一】超几何分布型分布列总数为N的两类物品，其中一类为M件，从N中取n件恰含M中的m件，m=0,1,2⋯,k，其中k为M与n的较小者，Pξ=m=C m M C n-mN-MC n N，称ξ服从参数为N,M,n的超几何分布，记作ξ~H N,M,n，此时有公式Eξ=nM N。
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=C k M C n-kN-MC n N，k=m，m+1，m+2，⋯，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=min{n,M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布_.E(X)=np.1(2023·湖北·模拟预测)某区域中的物种P 拥有两个亚种(分别记为A 种和B 种).为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉100个物种P ，统计其中A 种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i 次试验中A 种的数目为随机变量X i (i =1,2,⋯,20).设该区域中A 种的数目为M ，B 种的数目为N ，每一次试验均相互独立.(1)求X 1的分布列；(2)记随机变量X =12020i =1X i.已知E (X i +X j )=E (X i )+E (X j )，D (X i +X j )=D (X i )+D (X j )；(ⅰ)证明：E (X )=E (X 1)，D (X )=120D (X 1)；(ⅱ)该小组完成所有试验后，得到X i 的实际取值分别为x i (i =1,2,⋯,20).数据x i (i =1,2,⋯,20)的平均值x=40，方差s 2=1.176.采用x和s 2分别代替E (X )和D (X )，给出M ，N 的估计值.2(23·24高三上·江苏南通·阶段练习)某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X 个红球，则分得X 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.3(2024·广东广州·二模)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据x i,y i(i=1,2,⋯,20)，其中x i，和y i，分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量(单位：只)，并计算得∑20i=1x i-x2=80,∑20i=1y i-y2=9000,∑20i=1x i-xy i-y=800.(1)求样本x i,y i(i=1,2,⋯,20)的相关系数(精确到0.01)，并推断这种野生动物的数量y(单位：只)和植物覆盖面积x(单位：公顷)的相关程度；(2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.附：相关系数r=∑ni=1x i-xy i-y∑ni=1x i-x2∑ni=1y i-y2,2≈1.414【题型二】二项分布型分布列若在一次实验中事件发生的概率为p0<p<1，则在n次独立重复实验中恰好发生k次概率pξ=k =C k n p k1-p，Eξ=np，D i= n-k k=0,1,2,⋯,n，称ξ服从参数为n,p的二项分布，记作ξ~B n,pnpq.1(2024·云南昆明·一模)聊天机器人(chatterbot)是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X，事件X=k(k=0,1,⋯,8)的概率为P(X=k)，求当P(X=k)最大时k的值.2(2024·全国·模拟预测)某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公平、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评选活动结束后，文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件A，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B，求P B A，P B；(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区(可以重复)，分别向北京、上海、广州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X，求X的分布列和数学期望．3(2023·广东肇庆·二模)在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X.(1)当n=6时，求P X≤2(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望E Y 和方差D Y 均存在，则对任意正实数a，有P Y-E Y<a≥1-D Ya2.根据该不等式可以对事件“Y-E Y<a”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值.【题型三】正态分布型(1)若X 是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为f x =12π⋅σe -x -μ22σ2，x ∈R (其中μ,σ是参数，且σ>0，-∞<μ<+∞)。
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概率与分布列问题
考法分析
在对数据进行统计的基础上考概率，题号可能后移到19题，难度可能增大。
（与现实接轨）
典例分析
1.某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满
分150分），将成绩按如下方式分为六组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、
六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.
（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；
x,.若（Ⅱ）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为y
-y
x，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率|
10
|≥
P；
1
（III）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望.
⨯=，故共有考生80人.
解析：（1）第六组有4人，频率为0.005100.05
第一组频率为0.20，第二组频率为0.15，第三组频率为0.35，
第一、二、三组人数分别为16，12，28
所以第四五组共有20人，又第四、五、六组的人数依次成等差数列
所以第四组有12人，第五组有8人，
第四组频率为0.15，第五组频率为0.10
5.11405.01451.013515.012535.011515.01052.095=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=M .
故ξ的分布列如下
依题意)10,3(~B ξ，故109103=⨯=ξE .。