傅里叶变换性质傅里叶变换的性质证明

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傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。

这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。

性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。

这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。

性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。

这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。

性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。

这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。

性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。

设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。

这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。

以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。

这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。

这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和，则对于任意的常数a和b，有将其推广，若,则其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和?2.6.2 反褶与共轭性设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为（2）共轭（3）既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。

在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即?根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得（）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即左边反褶，右边共轭（）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。

傅里叶变换的性质

பைடு நூலகம்
由于满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10）频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱若傅里叶变换式对求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上，通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中、为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明证明由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在处为
，在处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲信号的傅里叶变换。
解三角脉冲信号可表示为
对求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得

傅里叶变换的基本性质和应用

傅里叶变换的基本性质和应用傅里叶变换，是20世纪初法国数学家傅里叶的发明，是将一个时间函数或空间函数的复杂波形分解成一系列简单的正弦波的工具。

它是信号处理和图像处理领域非常重要的一种数学变换，广泛应用于通信、图像、音频等领域。

一、傅里叶变换的基本概念傅里叶变换是一种将时域信号（即关于时间的函数）转换为频域信号（即关于频率的函数）的数学工具。

在时域中，信号可以表示为一个随着时间变化而变化的函数；在频域中，信号可以表示为它的频谱分布，即各个频率成分的大小。

傅里叶变换是互逆的，也就是说，将一样以频率表示的信号进过傅里叶逆变换，可以得到原始的时域信号。

傅里叶变换和傅里叶逆变换的基本公式分别如下：$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt $$$$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega $$其中，$f(t)$ 是时域信号，$F(\omega)$ 是频域信号，$\omega$ 是角频率。

傅里叶变换可以看作一种基变换，将时域信号换到频域进行分析，从而可以更好地理解信号的性质。

二、傅里叶变换的基本性质1. 线性性质傅里叶变换是线性的，即对于一个常数乘以一个时域信号进行傅里叶变换，等价于将该常数乘以该信号的傅里叶变换。

即：$$ F(cf(t)) = cF(f(t)) $$其中，$c$ 是常数。

此外，傅里叶变换具有加权叠加的特性，也就是说，将两个时域信号求和再进行傅里叶变换，等价于分别对这两个信号进行傅里叶变换后再相加。

即：$$ F(f(t) + g(t)) = F(f(t)) + F(g(t)) $$2. 时移性质傅里叶变换具有时移性质，也就是说，在时域中将一个信号向右或向左平移 $\tau$ 个单位，它的傅里叶变换相位也会相应发生$\tau$ 的变化。

傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质

傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质傅里叶级数和傅里叶变换是数学中很重要的概念，它们在物理学、通信工程、信号处理等领域中得到广泛的应用。

傅里叶级数是将周期函数分解为无穷多个简单的正弦函数和余弦函数的和，而傅里叶变换则是将信号在频域上分解为各个频率分量的和。

本文将从数学的角度探讨傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质。

一、傅里叶级数的性质傅里叶级数是将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无限和，因此它具有一些很有趣的性质。

首先，傅里叶级数是周期函数，其周期与原函数相同。

其次，傅里叶级数是线性的，即如果有两个函数的傅里叶级数分别是a_n和b_n，那么它们的线性组合c_n=a_n+b_n的傅里叶级数就是这两个函数的线性组合。

第三，若原函数为偶函数，则傅里叶级数只包含余弦项，若原函数为奇函数，则傅里叶级数只包含正弦项。

傅里叶级数的性质还包括Parseval定理，它是对傅里叶级数的能量守恒原理的定量表述。

具体而言，Parseval定理指出，如果S是傅里叶级数的系数，则原函数在一个周期内的平方积分与各个傅里叶系数的平方和相等，即∫|f(x)|^2 dx=∑|S_n|^2。

二、傅里叶变换的性质傅里叶变换是将信号在频域上分解的方法。

在实际应用中，我们通常将连续时间信号离散化，因此离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）的应用更为广泛。

傅里叶变换也具有许多重要的性质。

首先，傅里叶变换是线性的，它满足叠加原理。

具体而言，若x和y分别是两个信号的傅里叶变换，则它们的线性组合z=ax+by的傅里叶变换就是ax的傅里叶变换和by的傅里叶变换的和。

其次，傅里叶变换具有频移性质。

如果x(t)的傅里叶变换是X(f)，则x(t)cos(2πf0t)的傅里叶变换是X(f-f0)/2+X(f+f0)/2。

这个性质表明，将一个信号乘上一个不同频率的正弦波，等价于将原信号在频域上移动到新的频率处。

最后，傅里叶变换还有卷积定理。

傅里叶变换性质

傅里叶变换性质证明1. 线性变换 F {fc f c 2211+}=c 1F {f1}+c 2F {f2} (1.1)证明： F {fc f c 2211+}=[]dx x x efc fc iwx-∞∞⎰+-2211)()( =dx x dx x efc efc iwxiwx⎰⎰∞∞---∞∞-+)()(2211=c 1F {f1}+c 2F {f2}2. 尺度变换性质如果f(x)的傅里叶变换存在且为F(w),则f(ax)的傅里叶变换为⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1。

(也可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1）证明：因为 F {()ax f }=()dx ax f e iwx-+∞∞-⎰则，令du adx u a x ax u 1,1,===当a>0时， F {()u f }=()du u f ae ua wi -+∞∞-⎰1即，F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 （或记为f(ax)↔⎪⎭⎫⎝⎛a w F a 1）当a<0时，a a -= 则，u adx u a x x a ax u 1,1,-=-=-== F {()u f }=()()du u f adu u f a ee u awi ua wi -+∞∞---∞∞+⎰⎰=11-综上所述，F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 (亦或可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1）物理意义：（1）0<a<1时域扩展，频带压缩；（2）a>1时域压缩，频域扩展；（3）a=-1，f(t)→f(-t);F(w)→F(-w)。

举个例子，1 -1≤t ≤1 f(t)=0 其他而函数f(t)的傅里叶变换F(w)为()()dt dt dt dt t f w F eeeeiwtiwtiwtiwt⎰⎰⎰⎰+∞----∞---+∞∞-∙++∙==111100()()ww w w sin 20sin 20∙=+∙+= f(t)图像为附属matlab代码：x=-10:0.01:10y=1.*(x>=-1&x<=1)+0.*(x<-1)+0.*(x>1)plot(x,y,'r','linewidth',2)axis([-10 10 0 2.1]) %在x取值[-10,10]内作图，在值域[0,1]内以0.2分度取值grid onF(w)的图像：附属代码：x=-10:0.01:10y=2.*sin(x)./xplot(x,y,'r','linewidth',2)grid on（1）当0<a<1时，我们任意取a=0.5，则1 -2≤t≤2f(0.5t)=0 其他同理，()() www F2sin=。

函数的傅里叶变换和反变换的性质

函数的傅里叶变换和反变换的性质傅里叶变换和反变换是函数分析中非常重要的概念，它们在信号处理和通信领域等多个应用中都有广泛的应用。

在本文中，我们将讨论傅里叶变换和反变换的性质，以期对函数分析、信号处理以及数学等领域更深入的了解。

一、傅里叶变换的性质傅里叶变换的定义是：任何函数可以表示成以时间为自变量的正弦和余弦函数的无穷级数的形式。

也就是说，将任何函数分解成一系列的正弦和余弦函数后，我们就可以用傅里叶变换来进行函数的处理和操作。

傅里叶变换可以分为离散和连续两种形式，而它们都具有一些很重要的性质。

下面将分别介绍这些性质：1. 线性性傅里叶变换具有线性性，也就是说如果对于两个函数 f(t) 和g(t)，它们的傅里叶变换分别是F(ω) 和G(ω)，那么对于函数 a ×f(t) + b × g(t)（其中 a 和 b 是任意实数），它的傅里叶变换就是 a × F(ω) + b × G(ω)。

2. 卷积定理卷积定理说明了傅里叶变换中频域的卷积运算可以通过时域中的乘积运算来实现。

如果函数 f(t) 和 g(t) 的傅里叶变换分别是F(ω) 和G(ω)，那么它们在时域的卷积 f(t) * g(t) 的傅里叶变换就是F(ω) × G(ω)。

3. 改变函数的时间和频率如果函数 f(t) 的傅里叶变换是F(ω)，而f(t − τ) 表示 f(t) 向右平移τ 个单位，那么f(t − τ) 的傅里叶变换就是F(ω) × e^{- iωτ}。

同样的道理，如果 f(t) 的傅里叶变换是F(ω)，而 f(at) 表示将 f(t) 的时间宽度缩小到原来的 a 倍，那么 f(at) 的傅里叶变换就是 (1/a) ×F(ω/a)。

二、傅里叶反变换的性质与傅里叶变换相对应的是傅里叶反变换，它可以将函数由频域转换到时域。

傅里叶反变换的定义是：如果一个函数的傅里叶变换为F(ω)，那么它的傅里叶反变换就是：f(t) = (1/2π) × ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{iωt} dω同样的，傅里叶反变换也有一些很重要的性质：1. 线性性傅里叶反变换与傅里叶变换一样具有线性性，也就是说，如果一个函数的傅里叶变换为F(ω)，而另一个函数的傅里叶变换为G(ω)，那么对于函数a × F(ω) +b × G(ω)，它的傅里叶反变换就是a × f(t) + b × g(t)。

傅里叶变换的性质

a 1
dx
j b a
, dt
t

1
t 1

2f1
(b)
且由图(b)可得 f1 (t ) Sa(t )
第
幅频、相频特性
幅频、相频特性分别如图（c)(d)所示。
| F ( ) |
28 页
( )
1

0
0

(c)
(d)
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
退出
3.时移加尺度变换
（1）性质
2
t
4 E
退出
解 F f t

2E 4E 2E j t t t t e dt 2 2

第 15 页
e 1 2E E 2E 4 j j 2 2 F e e 2 e
则F ( t )的频谱函数形状与 f t 形状相同，t , 幅度差2
3.例题
退出
第
例3-7-1
t 1 , F t 1 2
4 页
例3-7-2
已知F [sgn( t )] 则 2 jt 2 j ,
2 sgn( )
相移全通网络
j t
dt

f ( u)e j
u
du F ( )
若f ( t ) F ( )，则f ( t ) F ( )
证明
退出
证明
设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）
F ( )

傅里叶变换性质

四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt

傅里叶变换的性质

Sa(0t
)
0
g20 ()
仿真源码
连续时间信号与系统的频域分析
三、时移性
若 f (t) F( j) ，则 f (t t0 ) F ( j)e jt0
表明：若信号时移，其幅度谱不变，相位谱产生
附加相移 jt0

例３
求信号 g
解：g
(t
2
(t )
2
)
的相位谱。
Sa(
)e
j 2
2
( )
仿真
源码
连续时间信号与系统的频域分析
二、对称性
若 f (t) F( j) ，则F( jt) 2 f ()
(t) 1 则 1 2 () 2 ()
例２求 Sa(0t) 的频谱函数。
解：由于故
Sa(
g
t )
2
(t)
2 g
Sa( ) 2
() 2
g
(
)
即
Sa(
t
2
)
1
2
g
()
令
2
0
，得
2
2
2
2
仿真
源码
可见：调幅信号的频谱等于将原信号频谱一分为二
各向左、右频移，0 即频谱搬迁。
连续时间信号与系统的频域分析
五、时频展缩性若 f (t) F( j) ，则 f (at) 1 F ( j )
aa
表明：时域压缩频域扩展，但幅度压缩。
f (t) F( j)
例６求图示信号 f1(t)和 f2 (t)的傅里叶变换。
2
)]2，求信号
f1(t)
f２(t)
1
-
t
-

傅里叶变换的性质

Sgn(t)
1
eat
1
eat t
lim
a0
a2
j2 2
2
j
2
j2 f
1
j f
uo (t)
1 2
Sgn(t)
1
j
u(t) 1 () j
14
7.对偶性: Duality
若 x(t) X ( j) 则 X ( jt) 2 x()
证明： x(t) 1 X ( j)e jtd
2
2 x() X ( jt)e jtdt
对称 : F (t)
2f ()
相似 : f (at) (a 0)
|
1 a
|
F
a
翻转 : f (t)
F ()
20
乘积定理若F()=F [f(t)], G()=F [g(t)], 则
f (t)g(t) d t
1
F ()G() d (1.20)
2
证
f (t)g(t) d t
u(t) ue (t) uo (t)
1 ue (t) 2
uo (t)
1 2
Sgn(t)
1, t 0
Sgn(t)
1, t 0
u(t)
1
t
0
ue (t)
1/2
t
0
uo (t)
1/2
t
0
-1/2
13
ue(t) ()
Sgn(t) lim[eatu(t) eatu(t)] a0 [Sgn(t)] lim[ 1 1 ] a0 a j a j
X ( jt) 2 x()
利用时移特性有 X[ j(t t0 )] 2 x()e jt0

傅里叶变换的性质 (1)

f t cos 1t
1
F
-1
sin 1t
1
-1
t
1
0
1
F
1
t
0
1
利用的 e j1t 傅氏变换，我们还可以推导任意周期函数
的频谱函数为
fT t
F e jn1t n
2
Fn n1
n
n
证 F
fT t
F
n
Fn
e
jn1t
n
F
F e jn1t n
Fn F e jn1t 2
1 ，并乘以系数 2 ，我们得到另一对变换对
e j1t 2 1 2 1
利用上面结果，可推导周期正、余弦函数的傅氏变换。
cos1t
1 2
e j1t
e j1t
1 1
sin 1t
1 2j
e e j1t
j1t
j 1 1
cos1t 、sin 1t 的波形与频谱如图2-24 所示。
f
at
1 a
F
a
特别地，当 a 1 时，得到 f t 的折叠函数 f t ，
其频谱亦为原频谱的折叠，即 f t F 。
尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频宽无限，反之亦然。
也称调制特性。
例2-4 求 f t cos 0t ut 的频谱函数，并画出频谱
图。
解：已知 ut 1 ，利用频移性
j
cos0tut
2
0
0
2
1
j
0
2
1

§3-5 傅里叶变换的性质

FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ )
FT x ( t ) e jΩ 0 t ← ⎯→ X [ j ( Ω − Ω 0 )]
ℱ x ( t ) e jΩ 0 t
{
} = ∫ x (t ) e
−∞
∞
∞
jΩ 0 t
e − j Ω t dt =
−∞
∫
x ( t ) e − j ( Ω − Ω 0 ) t dt
19
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
于是
X * (− jΩ) = X (− jΩ) e − jϕ( − Ω ) = X R (−Ω) − jX I (−Ω)
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ← ⎯→ j dΩ
FT
例如： du ( t )
dt
= δ (t )
对应的傅里叶变换
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ ( Ω ) + =1 δ(t ) ←⎯→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如：
1 d [πδ ( Ω ) + ] 1 jΩ FT ′ = jπ δ ( Ω ) − 2 tu ( t ) ← ⎯→ j Ω dΩ
x(t )
1
τ −2 τ 2
τ
X ( jΩ )
t
2π τ
Ω
τ
X ( jt )
x (Ω )
2π
若x(t)是偶对称的，则
FT X ( jt ) ←⎯→ 2πx(Ω)

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明The final revision was on November 23, 2020傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和，则对于任意的常数a和b，有将其推广，若,则其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。

傅里叶变换的基本性质

傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。

在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。

因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。

一、线性傅里叶变换是一种线性运算。

若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。

例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。

解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。

式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。

例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。

解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。

三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。

该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。

例3-8已知,求频谱函数。

解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。

五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。

它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。

例3-9求的频谱函数。

解:根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。

傅里叶变换性质证明

2.6傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号「和J的傅里叶变换分别为一「；和FJ-,则对于任意的常数a和b,有将其推广，若- - - 「出■,则其中匚为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即卩叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和砒心©］的©卜伽）12.6.2反褶与共轭性设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为綁new九(2) 共轭=匸施)时论匸加門(幼因为曲是实数，所以(dtr=dt 彳寻共觇提到积分之外根据傅里叶变换的定义(3) 既反褶又共轭町(卯訂:厂(号叫fe本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t) ，h(t)=g*(t)，则*曾筍％芳遛凸■_苗苫在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质FLTH)] = F® 町甘D FLH 心FH)2.6.3奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。

在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t) 为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT 的唯一性可得尺(耐=][/(f)cosaf 址(1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X( )=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即匚】：’匚° :左边反褶，右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R( )=0，于是FQ)=卩(询片眄' =盹)+歼询)根据定义，上式还可以写成(2-33)呎弊)=arc tan［制(曲)=2[f(唧)=-2小幷)sin(曲)dt可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即咆=[北)严自=[伽沁伽皿左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和, 则对于任意的常数a和b,有将其推广,若,则其中为常数,n为正整数;由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义：均匀性和叠加性;均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和2.6.2 反褶与共轭性设ft的傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换;1反褶f-t是ft的反褶,其傅里叶变换为2共轭3既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设gt=f-t,ht=gt,则在上面三条性质的证明中,并没有特别指明ft是实函数还是复函数,因此,无论ft为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知ft的傅里叶变换为;在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即根据定义,上式还可以写成下面根据ft的虚实性来讨论F的虚实性;1 ft为实函数对比式2-33与2-34,由FT的唯一性可得ft是实的偶函数,即ft=f-tX的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故这时X=0,于是可见,若ft是实偶函数,则F也是实偶函数,即左边反褶,右边共轭ft是实的奇函数,即-ft=f-tR的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故这时R=0,于是可见,若ft是实奇函数,则F是虚奇函数,即左边反褶,右边共轭有了上面这两条性质,下面我们来看看一般实信号即可能既不是偶信号,又不是奇信号,反正不清楚,或者说是没有必要关心信号的奇偶特性的FT频谱特点;2.6.4对称性傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系,称为傅里叶变换的对称性质;若已知F=Fft则有Fft=2лf-证明：因为将变量t与互换,再将2乘过来,得上式右边是傅里叶正变换定义式,被变换函数是Ft所以FFt=2лf-若ft为偶信号,即ft=f-t,则有FFt=2f从上式可以看出,当ft为偶信号时,频域和时域的对称性完全成立――即ft 的频谱是F,Ft的频谱为f;若ft为奇信号,即ft=-f-t,则有FFt=-2f利用FT的对称性,我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换;下面我们举些例子来说明这一点;2.6.5 尺度变换若Fft=F,则这里a是非零的实常数;下面利用FT的定义及积分的性质,分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性;证明：因为令at=x,当a > 0时当a < 0时上述两种情况可综合成如下表达式：由上可见,若信号ft在时域上压缩到原来的1/a倍,则其频谱在频域上将展宽a倍,同时其幅度减小到原来的1/a;尺度变换性质表明,在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展,反之,信号的时域扩展对应于频域的压缩;对于a=-1的特殊情况,它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶;对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明,在录音带快放时,其放音速度比原磁带的录制速度要快,这就相当于信号在时间上受到了压缩,于是其频谱就扩展,因而听起来就会感觉到声音发尖,即频率提高了;反之,当慢放时,放音的速度比原来速度要慢,听起来就会感觉到声音浑厚,即低频比原来丰富了频域压缩;2.6.6 时间平移延时下面进行证明证明：上式右边的积分项为傅里叶变换定义式,于是可以得到同理可以得到2.6.7 时域微分若Fft=F,则证明：因为 ,两边对t求导,可得所以同理,可以推出由上可见,在时域中ft对t取n阶导数等效于在频域中ft的频谱F乘以jn. 下面举一个简单的应用例子;若已知单位阶跃信号ut的傅里叶变换,可利用此定理求出t的FT2.6.8 频域微分若Fft=F,则证明：因为,两边分别对求导,可得所以2.6.9 时域积分可见,这与利用符号函数求得的结果一致;频域积分若Fft=F ,则有时域卷积定理频域卷积定理与时域卷积定理类似,证明方法同时域卷积定理,在这里不在重复,同学们可自己证明;由上可见,两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积;或者说,两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2;显然,时域与频域卷积定理是对称的,这是由傅里叶变换的对称性决定的;帕斯瓦尔定理前面我们在讲信号分解时,提及帕斯瓦尔定理;下面我们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式;若Fft=F ,则这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现,它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的;下面利用FT的定义和性质,推导信号能量的求解;式中是信号ft的总能量,为信号ft的能量谱密度;帕斯瓦尔定理表明,这个总能量既可以按每单位时间的能量|ft|2在整个时间内积分计算出来,也可以按单位频率内的能量/2在整个频率范围内积分来得到;此定理也可以如下证明;由相关性定理可得取t=0,即得帕斯瓦尔定理;。

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§3-5 傅里叶变换的性质

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