矩阵理论-第1讲

(t ) v(t ) y
y( t )
写成矩阵形式：
(t ) 0 1 y (t ) 0 y f K 1 F (t ) v v(t ) (t ) m m m
AX BU X

N k 0
ak y (n k ) r 0 br x(n r )
M
动态系统的描述(Continue)
(4)引入中间变量，化高阶差分方程为一阶线性差分方程组
m1 (n N ) 0 x(n N ) y(n N ) m1 (n N 1) m2 (n N ) 1 x(n N ) y(n N 1) 0 x(n N 1) m2 (n N 1) m3 (n N ) 2 x(n N ) y(n N 2) 0 x(n N 2) 1x(n N 1)
称 A B(aij bij ) F mxn 为矩阵A与B之和。
矩阵加法是 F mxn F mxn F mxn 的代数运算，性质： 交换律：A + B = B +A
结合律：(A + B) + C = A + (B + C)
( A) ij aij
相关概念及定义（continue）
– 数域F上的一切m行、n列的矩阵的集合，记为：
F m n
– 若 A F mn ， B F mn ，则称矩阵A与B同型
• 映射（Mapping）
–若 X ， Y ，若存在一个对应关系（或对应法则， correspondence relationship or correspondence rule）， x X ， 有Y中的唯一的一个元素y与之对应，就称给出了一个从X到Y的一 个映射f，记作：f: X→Y，或y = f(x) – 映射是函数概念的推广，它与函数、算子、变换表示的是同一个 概念 – 特别地，当Y为数集(实数集R或复数集C)时，称f为定义在集合X 上的泛函（functional）
C u
R1 R2 R2 R2 C y(t ) R2 iC R2 Cu iL uC u(t ) R1 R2 R1 R2 R1 R2
动态系统的描述(Continue)
写成矩阵形式：
X
A
X
B
U
R1 R2 R1 R1 R2 L ( R R ) L ( R R ) L i L ( R R ) L i 1 2 1 2 2 1 u (t ) R R R 1 C 1 1 2 u C u ( R1 R2 )C ( R1 R2 )C ( R1 R2 ) L
x(n)(a0 0 )
k 0 ak y(n k ) r 0 br x(n r )
N M
动态系统的描述(Continue)
m1 (n N ) 0 x(n N ) y(n N ) m1 (n N 1) m2 (n N ) 1 x(n N ) y(n N 1) 0 x(n N 1) m2 (n N 1) m3 (n N ) 2 x(n N ) y(n N 2) 0 x(n N 2) 1x(n M 1)
aN a a m1 (n N ) N 1 m2 (n N ) 1 mN (n N ) a0 a0 a0
0 m1 (n 1) 2 m (n 1) 0 2 2 x(n 1) a1 a m ( n 1 ) N 0 N
dM M x(n) dM 1M 1x(n) d1x(n) d0 x(n)
a0 y(n) a1 y(n 1) aN 1 y(n N 1) aN y(n N ) b0 x(n) b1x(n 1) bM 1x(n M 1) bM x(n M )
• 对角阵（diagonal matrix）
除了主对角线元素以外，其余元素均为0的方阵，称之为对角阵。
• 单位阵（Identity matrix）
主对角线元素全为1的对角阵，称之为单位阵。简记为I。 N阶单位阵记为 I n
矩阵运算
• 矩阵加法：
设 A (aij ) F mxn ， B (bij ) F mxn
M (n) GM (n 1) Hx(n 1) y(n) CM (n) Dx(n)
1 0
a N 1 a0
m1 (n) m ( n) y (n) [1 0 0 0] 2 0 x(n) m ( n ) N
相关概Hale Waihona Puke Baidu及定义
– 掌握与泛函分析交叉或相关的一些内容
• 许多领域日益增多的文献中大量使用泛函分析的术语、符号 • sup(*)、inf()、

举例: 动态系统的描述
(1)电路系统
diL R1 (iC i L ) L u (t ) dt
(1) (2)
u(t)
R1 iL
C
R1 (iC iL ) uc R2ic u(t )
(aij ) F mn 为A的负矩阵
•零矩阵
元素全为零的矩阵，称为零矩阵，记为0
相关概念及定义（continue）
• 方阵（Square matrix）
行数和列数相同的矩阵称为方阵，行数为n的方阵称为n阶方阵。
对方阵，又定义了主对角线元素、副对角线元素等概念：
称 a11 , a22 ,, ann 为主对角线元素 称 a1n , a2,n1 ,, a1n 为副对角线元素
相关概念及定义（continue）
数域（Field）若数集F含有数1且对四则运算封闭，则 称F为数域
相关概念及定义（continue）
• 直积集
– 设A，B是给定的集合，称 A B 为A与B的直积集，简称积集、直积 – 举例：
( x, y) : x A, y B
• A [a, b] R ， B [c, d ] R ，那么
A B [a, b] [c, d ]
表示XOY平面上矩形中点的集合 – A×B中的元素被称为有序对，即当 x y 时，( x, y) ( y, x)
• R R R 表示XOY平面上所有点的集合
2
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) x1 x2 , y1 y2
– 直积集的概念可被推广到两个以上给定的集合：
A1 A2 An ( x1 , x2 , xn ) : x1 A1 , x2 A2 ,, xn An
记为：
A
i 1
n
i
相关概念及定义（continue）
• 代数运算
– 如果通过法则， a A, b B ，得到唯一的 c C ，则 称为A与B的直积集到C的一个代数运算：
X
A
X
BU
举例: 动态系统的描述(Continue)
(3)离散系统
y(n) y(n) y(n 1) y(n) y(n 1) y(n)
x(n)
离散时间系统
y(n)
K y(n) ( K 1 y(n)) K y(n) (K 1 y(n))
cN N y(n) cN 1N 1 y(n) c1y(n) c0 y(n)
=0
aN y(n N ) aN 1 y(n N 1) a0 y(n)
0
x(n N )(aN 0 aN 11 a0 N )
……
0
x(n M 1)(aM 10 aM 11 a0 M 1 ) bM x(n M )(aM 0 aM 11 a0 M ) …… b0
• 矩阵(Matrix)
– 矩阵是数域F上的m×n个数构成的数表：
a11 a21 a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
称为F上m行、n列的矩阵，记为A
aij F
i = 1, …, m, j = 1, …, n
称为A的第i行、第j列元素，记为(A)ij
aN
aN 1
aN 2
……
… +
a0
mN (n N 1) mN 1 (n N ) N x(n N ) y(n) 0 x(n) 1 x(n 1) N 1x(n N 1)
aN m1 (n N ) aN 1m2 (n N ) a0mN 1 (n N )
duc ic C dt
L
iC
R2 u(t)
代入(1) 代入(2)
L i
R1 R2 R1 R2 iL uC u(t ) ( R1 R2 ) L ( R1 R2 ) L ( R1 R2 ) L R1iL 1 1 iL uC u(t ) ( R1 R2 )C ( R1 R2 )C ( R1 R2 )C
……
mN (n N 1) mN 1 (n N ) N x(n N ) y(n) 0 x(n) 1 x(n 1) N 1x(n N 1)
mN 1 (n N )
写成矩阵形式:
m1 (n) 0 m ( n) 0 2 aN m ( n ) a0 N
第一讲
矩阵的基础知识
目的和内容
• 矩阵理论是求解多元线性方程组的有力工具； • 现代工程中的一些问题，如果用矩阵表示，不但形式简洁， 更重要的是具有适合计算机处理的特点。由于计算机的发 展和普及，矩阵分析显得越来越重要；
– 举例
• 教学目的：
– 掌握主要的概念； – 能够看懂相关文献，尤其是各种术语和符号的含义；
(2)机械系统的振动
F ma
F f fv f dy (t ) dt
F F (t) F
f
FK
FK Ky(t )
F(t)
m
d 2 y(t ) dy(t ) m f Ky (t ) F (t ) 2 dt dt K f F (t ) (t ) a(t ) y (t ) v(t ) v m m m
: A B C
– 称c为 a A 和 b B 经运算得出的结果，记为：
c ab
• 集合A对运算封闭：
– – – – – 若是 A A A 的一个代数运算，则称集合A对运算封闭 N和Z不是数域 Q、R和C都是数域 Q是最小的数域 C是最大的数域
相关概念及定义（continue）
Y
C
X
D
U
AX BU X
Y CX DU
R1 R2 R R i L R2 2 y (t ) 1 u (t ) R u 2 C R1 R2 R1 R2
举例: 动态系统的描述(Continue)
在矩阵的定义的基础上，可定义矩阵相等、负矩阵、零矩阵、 方阵、单位阵、对角阵、逆矩阵等
•矩阵相等
，i = 1, …, m, j = 1, …, n 设A F mn ， B F mn ，若 ( A) ij ( B) ij
则称矩阵A与B相等，记为A = B
•负矩阵
对 A (aij ) F mn 称 -A