研究生2005吉林大学量子力学真题

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量子力学习题集及解答

量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏）当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。

[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★）其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。

这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。

其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------y y y y y ye e e e e e ∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y ⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n nπ故⎰∞=⨯=-0443159061ππye dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子；（2）能量为0.1电子伏的自由中子；（3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点；（4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。

量子力学经典题目及解答

8 a1
a2
a3
2 a1
a2
a3
第一章
补充：1.设 1 af1(x)ei(x和t) 2 bf2 (x)ei分(x别t表) 示
微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态 1 2
时的相对几率分布。a，b为复常数， f1, f2为实函数。解： 2 1 2 2 af1ei( xt) 2 bf2ei( xt) 2
n1
x
2
， px
h
x
n1h , 2a1
同理， py n2h / 2a2, pz n3h / 2a3 n1, n2, n3 1, 2,3
E
p2
2
1
2
(
px2
py2
pz2 )
h2
2
(
n1 2a1
)2
( n2 2a2
)2
( n3 2a3
)2
E h2 [( n1 )2 ( n2 )2 ( n3 )2 ] 2 2 [( n1 )2 ( n2 )2 ( n3 )2 ]
1
hv kT
1 c2
v T
d
c1v3dv ec2v/T 1
c1v3dv c2v /T
c1 c2
Tv2dv
----R-J公式
2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式 En
解：角动量量子化条件，
es2 r2
Ln
v2
r
rnv
(向心力)
(1) （2）
r * (2) :
es2
(v2
)
(1)
(
的两组超越方程，经图解法求出束缚态的后, k，可由(15)
得 2.8出分对子应间的的能范级德瓦E。n耳斯力所产生的势能可以近似的表示为

量子力学经典练习题及答案解析

1.设氢原子处于基态030,1),,(0a e a r a r -=πϕθψ为Bohr 半径，求电子径向概率密度最大的位置（最概然半径）。

解 22)()(r r R r w nl nl ⋅= 23010021)(r e a r w a r ⋅=-π ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅-=--0202221203010a r a r re r e a a dr dw π 011203002=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-r a re a a r π 由此得0=r ， ∞→r ， 0a r =2. 验证ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是2ˆL 和zL ˆ的共同本征函数，并指出相应的本征值。

( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L )解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L 将2ˆL作用于所给函数上，得 ϕθϕθθθθθ332222sin )(sin 1)(sin sin 1i e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-=ϕϕθθθθθθ332332sin )(sin 9cos sin )(sin 3i i e r f e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ϕϕθθθθθθ33222232sin )(sin 9)sin cos sin 3()(sin 3i i e r f e r f []ϕϕθθθ332232sin )(3sin )1(cos )(9i i e r f e r f +⋅--=ϕϕθθ332332sin )(3sin )(9i i e r f e r f +=ϕθ332sin )(12i e r f =上式满足本征方程ψψ22ˆL L =，可见θϕθψ3sin )(),,(r f r =ϕ3i e 是2ˆL的本征函数，本征值为212 。

又ϕ∂∂=i L z ˆ，将z L ˆ作用于所给函数上，得 ϕϕθθϕ33333sin )(sin )(i i ie r f ie rf i ⋅=∂∂ ϕθ33sin )(3i e r f ⋅=可见满足本征方程ψψz L L =2ˆ，故ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是zL ˆ的本征函数，本征值为 3。

吉林大学研究生入学考试量子力学(含答案)2000

展开系数

cp

x x dx
* p 2
expikx exp ikx A * dx p x 2 i A exp2ikx 2 exp 2ikx dx * p x 4 A * 2 k x 2 0 x 2 k x dx p x 2 4
所以，有
0 0 满足的本征方程为设H
1 0 0
0 1 0
0 c1 c1 0 c2 E c2 c 1 c3 3
ˆ 是对角矩阵，所以，它的本征值就是其对角元，即由于 H
0 1 1 0 0 0
0 0 1
0 1 1 b 0 0 0
0 1 0 b 0 0 1
0 0 1
0 1 0
0 1 0
1 ˆH ˆ b 0 B 0
吉
林大
学
2000 年招收硕士研究生入学考试试题（含答案）考试科目：量子力学
质量为 m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于
一.
x A sin 2 kx 的状态
上，求其动量
ˆ 的取值几率分布及平均值。 ˆ 与动能 T p
d ˆ i ; p dx ˆ2 p ˆ T 2m
解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为
E1 E 2 E 3
ˆ 不能惟一确定其中， E 2 E3 ，能量具有二度简并。由于简并的存在，仅由算符 H
E 2 , E3 的波函数。为了能留下较深刻的印象，让我们来仔细地做这件事。
当 E1

高等量子力学习题

吉林大学物理学院理论物理中心高等量子力学习题† 量子力学中的对称性1、试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。

这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ−Q 。

进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

2、令坐标系xyz O −绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R zeG 的矩阵表示。

3、设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n G转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψG =。

试导出转动算符),(θd n U G的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U G下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。

4、设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。

5、证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。

6、试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。

7、试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π=−=。

8、试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。

† 角动量理论1、角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。

2、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。

3、定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。

4、给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。

5、设总角动量算符21J J J G G G +=，1J G 、2J G相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。

研究生2003吉林大学量子力学真题

2003年吉林大学硕士研究生入学试题一、[25分] 一维线性谐振子 [2221)(x m x V ω=] 初始时刻的状态为：)(31)(31)(32)0,(531x x x x ϕϕϕ−+=Ψ，其中，为谐振子的正交归一化能量本征函数。

)(x ϕn 1）是哪个力学量算符的本征态？写出相应的本征值；)0,(x Ψ 2）求在态上测量粒子动量的平均值 [提示：可利用1）的结果]；)0,(x Ψ 3）求时刻粒子能量的可取值，取值几率与平均值。

0>t二、[25分]质量为m 的粒子作一维定态运动，其归一化波函数为 ),(2)(2221∞−∞∈=Ψ−x xe x x ααπα1）求粒子的最可几位置，及相应的位置几率密度； 2）若有mV 43||22α=>=ΨΨ<，试求出位函数和定态能量)(x V E 。

附积分公式：π83042=∫∞−dx e x x三、[25分]设一维体系能量算符为（取1==m =）)ˆ(21ˆ22−−=x p H 1）试利用维里定理证明该体系不存在束缚定态（提示：注意位函数恒为负，为吸引位）；2）试利用海森堡运动方程证明：算符t H x p p x t Q ˆ4ˆˆ)(ˆ−+=在任意态上的平均值为一常数。

四、[25分] 证明：在一维束缚态问题中，位能在基态中的平均值满足如下关系式2020200||)(2n n n x E E E V ∑−−=><=μ,式中>=<n x x n ||00。

由此进一步证明：)5(41100E E V −≤><，其中μ为粒子质量，为第个能量本征值，为相应的本征矢。

n E n >n |五、[25分]自旋均为21的两个非全同粒子构成孤立体系，粒子间存在相互作用)ˆˆˆˆˆˆ(212121z z y y x x s s s s s s−+α，其中α为实常数。

只考虑自旋自由度： 1) 求解体系的能量本征问题，讨论能级简并度；2）设 0=t 时粒子1和粒子2的自旋分别沿z 轴正向和x 轴负向。

2005中科院量子力学试题

1
试求该体系的能级。五、（20 分）已知氢原子基态波函数为 r 1 100 exp ， 1 2 a0 a03 试对坐标 x 及动量 px ，求：
x
x 2 x , p
2
2 px px
2
. 由此验证不确定关系。
试题名称：2005 量子力学
试题名称：2005 量子力学
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ˆ 六、（20 分）考虑自旋 s 与角动量 L 的耦合，体系的哈密顿量为 2 ˆ ˆ ˆ 2 V (r ) L H S ， 2 ˆ ˆ ˆ L S 守恒。是耦合常数，试证该体系的总角动量 J （公式提示：在球坐标系内， 2 1 L r 2 2 f (r ), t n e t dt n ! ） 2 r 2 , f ( r ) 0 r r r r r
试题名称：
量子力学
ˆ (r ) 1 m 2 r 2 中运二、（20 分）质量为 m 、电荷为 q 的粒子在三维各向同性谐振子势 V 2 动，同时受到一个沿 x 方向的均匀常电场 E E0 i 作用。求粒子的能量本征值和第一
激发态的简并度。此时轨道角动量是否守恒？如回答是，则请写出此守恒力学量的表达式。三、（40 分）一个质量为 m 的粒子在下面的无限深方势阱中运动， x 0, x a V ( x) 0 a x 0 开始时（ t 0 ），系统处于状态 x x ，其中 A 为常数。请求出 t 时刻系统： ( x) A sin cos3 2a 2a a. 处于基态的几率； b. 能量平均值； c. 动量平均值； d. 动量均方差根（不确定度）。四、（30 分）两个具有相同质量 m 和频率的谐振子，哈密顿量为 1 1 2 2 2 m 2 x1 a x2 a ， H0 p12 p2，受到微扰作用 H1 m 2 x1 x2 ,

2005年试题

浙江大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿上均无效。

一．选择题（2×10＝20分）1．欲观察到定域条纹，则首选（）A.单色扩展光源B.白光扩展光源C.单色电光源D.白光电光源2．牛顿环装置中，若用平行光垂直照明，则当凸透镜与平板间距拉大时，条纹将（）A．外扩 B.向中心收缩 C.无影响3．平行平板干涉中，当平板表面反射率很高时（不考虑吸收），若相邻光束光程差为波长整数倍时，则（）A.反射光强等于入射光强B.投射光强等于入射光强C.反射光强随表面反射率增大而增大4．设线数为N1=600的光栅，其零级主极大光强为I1,在其他条件相同情况下，N2=1800的光栅其零级主极大光强为I2,则I2/I1为（）A.1/9B.1/3C.3D.95．一束自然光通过¼波片时，一般为（）A.线偏振光B.圆偏振光C.椭圆偏振光D.自然光6．以直径d的圆孔作衍射受限系统出瞳，在相干照明时，其截止频率为ρ1，而用非相干光照明时，其截止频率为ρ2，则ρ2/ρ1,为（）A.1/4B.1/2C.2D.4E.17.单轴双折射晶体中，一般情况下（）A. H,D,S相互垂直B. H,E,k相互垂直C. H,E,S相互垂直D. E,k,S相互垂直8,将一块光栅置于一相干成像系统中，若再其端面上只允许－1和＋2级频谱通过，则其光栅的空间频率是（）A.与原来相同B.是原来的两倍C.是原来的三倍9.为了观察原子光谱的超精细结构，应首选下列哪个分光系统（）A.棱镜B.典型的F-B干涉仪C.典型光栅10．根据菲涅尔衍射波带片理论，当衍射屏只允许中心第一个波带通过时，轴上考察点亮度为I1，而当衍射屏通光孔为无穷大时，轴上考察点亮度为I2,则I2/ I1为( )A.4B.2C.1/2D.1/4二．简答题（4×5＝20分）1．写出会聚球面波和发散球面波的波动公式。

2．用振幅为A的平面波垂直照射投射系数为t(x)=a sin(2えx/d)+t0的透明片，试写出紧靠透明片后的复振幅分布。

吉林大学物理学院期末考试量子力学试题2013年试题共100分

吉林大学物理学院期末考试《量子力学》试题（2013年）（试题共100分，考试时间2.5小时）一、简答题（40分）1、设r 为球坐标系下的径向坐标，在坐标表象下定义两个算符r A ≡ˆ和ˆrB i ∂∂≡ ，试推导Aˆ和B ˆ算符的厄米共轭算符。

2、设某一维微观粒子处于势场()V x 中，该体系具有分立的本征能谱n E (0,1,)n = ，相应的本征态矢记为n 。

已知在0t =时刻，该粒子的状态为(0)02ψ=，试给出()t ψ在能量表象中的表达式。

3、两个自旋为1/2的一维全同粒子同处于谐振子势场2221)(x m x V ω=中，若不计两个粒子之间的相互作用，分析该体系第一激发态的简并度，并写出相应的波函数。

4、以Gaussian 函数2)()(bx e b A x -=ψ作为试探波函数，b 为变分参数，利用变分法求一维谐振子的基态能量。

5、对于氢原子，当仅考虑电子与核之间的库仑相互作用时，其电子态有严格的本征解，求库仑势能re x V 2)(-=在本征态上的期望值。

二、（14分）质量为m 的一维微观粒子处于如下半壁有限深方势阱中，其中0V 为常数。

若该粒子具有一个20V E =的能级，试计算阱宽a 的大小。

三、（12分）设()V r 为某微观粒子所处的三维势场，ˆP 为该粒子的动量算符，定义算符ˆˆ()Q V r P ≡∇⨯ ，分析ˆQ 是否为厄米算符。

四、（14分）设两个自旋为1/2的粒子组成一个二粒子体系，其哈密顿量为1212ˆ()z z H A B σσ=++⋅σσ 其中，1σ和2σ分别为粒子1和粒子2的泡利矩阵，1z σ和2z σ分别为1σ和2σ的z 分量，A 和B 均为常数。

求该体系的本征能量。

五、（20分）y x -平面内的二维微观粒子被限制在边长为a 的正方形区域内运动，其势场描述为0,0(),,0x a V x x a x ≤≤⎧=⎨∞><⎩，0,0(),,0y a V y y a y ≤≤⎧=⎨∞><⎩ 1、求该粒子的本征能级和本征波函数；,0()0,0,x V x x a V x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2、若该体系受到微扰ˆ(4)(/4)Hx a y a αδδ'=--，α为小量，用微扰理论求基态和第一激发态的一级能量修正。

吉林大学物理学院854量子力学历年考研真题专业课考试试题

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吉林大学原子物理期末试题005

C 不论电子处在哪个定态，氢原子中电子云的空间分布始终存在一个对称轴。 D 关于氢原子能量，量子力学与玻尔模型在最终结果上取得了完全的一致。 E 自由粒子的能量也是量子化的，不会连续取值。 19. Z=4 的 Be 原子能级中，以下哪种原子态是亚稳态？ A 2s2s S0
1
B
2s2s S1
3
C
2s2p P1
117
Cd69 、117Pd71 、119Cd 是 Z~N 核素图中位于稳定线下方的三种放射
性核素，它们的半衰期分别为 x、y、z。则 A x>y>z B x>z>y C y>x>z D y>z>x E z>x>y F z>y>x
7. 某双原子分子光谱中，位于紫外波段的某光谱带表现出随着波数增加，谱线强度减弱的特征。以下哪种叙述正确？ A 初态（即较高激发态）与末态相比，转动惯量更小。 B 初态化学键更强。 C 末态化学键更强。 D 该段光谱属于长波递降
E 碱金属原子中的量子数亏损
2. 以下哪种方法能够证明原子能级的存在？ A 卢瑟福粒子散射实验 D 戴维逊-革末实验 B 原子光谱的测量 E 康普顿散射实验 C 夫兰克-赫兹实验
3. 以下哪种方法可以用于在地球上测量太阳磁场？ A 史特恩-盖拉赫实验 D 光电效应实验 B 戴维逊-革末实验 E 顺磁共振实验 C 塞曼效应实验
4
二、(8 分) 一价氦离子 He 从基态被激发到 n=3 态。根据玻尔模型计算: (1) 原子吸收的能量；(2) 原子返回基态时可能发射的各种光子的波长。
7 -6
+
(里德堡常数 R=1.09710 m1。常数组合 hcR=13.6 eV，hc=1.24110 eV· m) 三、 (12 分) 基态 Na 原子(Z=11)的第一激发电势和第一电离电势分别为 2.104 伏特和 5.139 伏特。（1）分别计算价电子处于基态 3s 和第一激发态 3p 时所感受到的有效核电荷数。（2）考虑自旋轨道相互作用后，第一激发态存在劈裂。计算该劈裂后的能级间隔。（精细结构常数 =1/137。）四、（16 分，各 4 分）已知 Z=7 的 N 原子的核外电子排布式为 1s 2s 2p ，各个电子角动量之间遵从 LS 耦合。假设某个价电子被激发到 3s 态。（1）（2）（3）（4）写出 2p 电子组态下可生成的原子态（可以无过程，直接给结果）。写出 2p 3s 电子组态下可以生成的原子态。（可以无过程）。画出由上述原子态所形成的原子能级图。按照原子发光的跃迁选择定则，标出能级图中可以发生的跃迁。

2005年硕士研究生入学考试及答案

目录1.05年北师大物理类各方向2.05年长光所3.05年东南大学4.05年中科大5.05年南京大学6.05年华中科大7.05年吉林大学（原子所）8.05年四川大学（原子与分子）9.05年北京理工10.05年河北理工11.05年长春理工北京师范大学2005年招收硕士研究生入学考试试题专业:物理类各专业科目代号:459研究方向:各方向考试科目:量子力学[注意]答案写在答题纸上，写在试题上无效。

1.(20分)一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围求激发电子到第一激发态所需要的能量（用ev表示）（，，）提示：谐振子能量本征函数可以写成2.（30分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为）。

（1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。

（2）请推导电子的径向运动方程。

并讨论其在时的渐近解。

提示：极坐标下3．（50分）两个质量为的粒子，被禁闭在特征频率为的一维谐振子势场中，彼此无相互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发能级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。

（10分）（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波函数。

如果粒子间互作用势为，计算基态能级到一级微扰项。

（15分）（3分）如果两个粒子是不可分辨的自旋1/2粒子，写出基态能级和波函数（考虑自旋）。

如果粒子间互作用能为，计算基态能量。

（15分）（4）同（3），解除势阱，两个粒子以左一右飞出。

有两个探测器分别（同时）测量它们的y方向自旋角动量。

请问测量结果为两电子自旋反向的几率是多少？（10分）4．（30分）中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能。

总角动量，是的共同本征态。

现有一电子处于态，且。

（1）在一基近似下，可用代替，请问电子的能量与态差多少？（2）请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少？（），当，，当，5．（20分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋1/2）处于z方向强磁场中。

第一章量子力学基础知识 (1)

第一章量子力学基础知识1.填空题(1) Ψ是描述的波函数(北京大学1993年考研试题)(2) 实物粒子波动性假设由首先提出来的，实物粒子的波是波。

(3) 德布罗意假设首先由戴维逊和革末用实验证实的。

(4) 在一维无限深势阱中，粒子的活动范围宽度增大，能引起体系的能量。

(5)Planck提出，标志着量子理论的诞生。

(中山大学1998年考研试题)(6) 一维无限深势阱中的粒子，已知处于基态，在处概率密度最大。

(7) 边长为l的立方势箱中粒子的零点能为。

(北京大学1993年考研试题)(8) 边长为l的一维势箱中粒子的零点能为。

(9) 有一质量为m的粒子在一维势箱中运动，其Schrödinger方程为。

(中山大学1998年考研试题)(10) 一维势箱的长度增加，其粒子量子效应(填增强、不变或减弱)。

2. 选择题(1)粒子处于定态意味着：( )A、粒子处于静止状态B、粒子处于势能为0的状态C、粒子处于概率最大的状态D、粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态(2)波恩对波函数提出统计解释：在某一时刻t在空间某处发现粒子的概率与下面哪种形式的波函数成正比。

( )A、|Ψ|B、|Ψ |2C、|Ψ |1..5D、xy| Ψ|(3)指出下列条件，哪一个不是态函数的标准化条件？( )A、单值B、正交归一C、有限D、连续(4)微观粒子的不确定关系式，如下哪种表述正确？( )A、坐标和能量无确定值B、坐标和能量不可能同时有确定值C、若坐标准确量很小，则动量有确定值D、动量值越不正确，坐标值也越不正确(5)波长为662.6 pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值？( )A 、546 : 1B 、273 : 1C 、1 : 35D 、106 : 4515(6)一电子被1000 V 的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？ ( )A 、X 光区(约10-10 m)B 、紫外区(约10-7 m)C 、可见光区(约10-6 m)D 、红外区(约10-5 m)(7)已知一维谐振子的势能表达式V = kx 2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为： ( )A 、ψψE kx dx d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222212 B 、ψψE kx dx d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--222212 C 、ψψE kx m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-22212 D 、 ψψE kx m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∇22212 (8)由一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n ，下面论述正确的是： ( )A 、可取任一整数B 、与势箱宽度一起决定节点数C 、能量与n 2成正比D 、对应于可能的简并态(9)立方势箱中在2246m l h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为(中山大学1993年考研试题)： ( )A 、5,20B 、6,6C 、5, 11D 、6, 17(10)质量为2×10-31g 的粒子运动速度为3×106 m/s ，速度不确定度为10%，则其位置的不确定度至少为： ( )A 、1.11 nmB 、11.1 μmC 、111 pmD 、111 Å(11)金属钾的临阈频率为5.46×1015 s -1，把它当作光电池的阴极，下列哪种频率的光能使它产生光电效应？ ( )A 、5.0×1015 s -1B 、4.0×1015 s -1C 、5.64×1014 s -1D 、2.0×1016 s -1(12)运动速度为2.00×105m/s 的电子波长为 ( )A 、3.64 pmB 、36.4 nmC 、3.64 nmD 、34.6 pm(13)一维势箱中粒子的运动波函数φ5的节点数为 ( )A 、4B 、5C 、6D 、7(14)长度为a 的一维势箱中粒子(质量为m )从第3个能级跃迁到第4个能级所产生的吸收光谱频率为： ( )A 、28ml hB 、285ml hC 、287ml hD 、2812ml h (15)下列四种波中既不是机械波也不是电磁波的是： ( )A 、声波B 、光波C 、水波D 、实物粒子波(16)比较下列能量哪个最大？ ( )A 、1 cm -1B 、1 eVC 、1 kJ/molD 、1 a.u.(17)已知电子位置的不确定度为5×10-7m ，则电子运动速度的不确定度至少为： ( )A 、1.45×103 m s -1B 、1.45×104 m s -1C 、3.65×104 m s -1D 、3.65×105 m s -1(18)在长L=0.75 nm 的一维势箱中运动的H 原子，其de Broglie 波长的最大值是: ···( )A 、0.75 nmB 、1 nmC 、1.5 nmD 、2.0 nm3. 判断题(1)黑体辐射实验能用于经典物理学来解释。

吉林大学高等量子力学习题答案1

高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。

这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Q ˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。

进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

可能有相应的守恒量存在。

解：设有线性变换Q ˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。

在变换。

在变换ˆ(,)'(,)(,)r t r t Q r t Y ®Y =Y若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti H i H ¶Y =Y ¶Y =Y进而有进而有11[,]0t t i Q HQ i Q HQ Q HQ H H Q --¶Y =YÞ¶Y =Y Þ=Þ=2、令坐标系xyz O -绕z 轴转q d 角，试写出几何转动算符)(q d R ze的矩阵表示。

的矩阵表示。

解：解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zq q q q q -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角'1''x x yd d y xd y z z qq q =+ìï<<Þ=-+íï=î若用矩阵表示用矩阵表示 '10'10'01x d x y d y z z q qæöæöæöç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø还可表示为还可表示为 '()ze r R d r q =10()1001zed R d d q q q æöç÷=-ç÷èø3、设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转q d 角，在此转动下，态函数由),,(z y x y 变为),,(),()',','(z y x d n U z y x y q y=。

吉林大学高等量子力学习题完整版

4、试利用 D 函数的幺正性，给出ψ 5、对于无穷小转角 δϕ ，求证：
jm
j (τ ' ) = ∑ Dm ψ jm ' (τ ) 的逆变换关系式。 'm (αβγ ) m'
-2-
2007-11
吉林大学物理学院理论物理中心
1 j Dm i (δϕ x −iδϕ y ) j ( j + 1) − m(m + 1)δ m 'm+1 'm (δϕ ) = (1 − iδϕ z m)δ m 'm − 2 1 − i (δϕ x +iδϕ y ) j ( j + 1) − m(m − 1)δ m 'm−1 2
试证明： | j 1 m1 >| j 2 m2 >=
∑C
jm
j3m3 j1m1 j2 m2
| jm >
9、两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为 E nlj ，试证明：无论这两个粒子是玻色子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数 J 必为偶数。
† D 函数
1、设坐标系 O − xyz 绕空间任意轴 n 转 dθ n 角，到达 O − x' y ' z ' 。在该转动下角动量算符 J 的本征函数ψ
称为一阶张量投影定理，试证明这一定理，进而证明这一定理的另一表达式
G ˆ | jm >< jm | ( J ⋅ T ˆ ) | jm > < jm'| J 1 M ˆ < jm'| T1M | jm >= 2 j ( j + 1)=
7、试利用投影定理计算微观粒子的磁矩（即磁矩在 | jm > 态上的平均值），磁矩算符为