研究生2005吉林大学量子力学真题

2005年吉林大学硕士研究生入学试题

一、[25分] 一维线性谐振子 [222

1)(x m x V ω=] 初始时刻的状态为： )()(5

1)(52)0,(210x C x x x ϕϕϕΨ++=， 其中，)(x n ϕ为谐振子的正交归一化能量本征函数。

１）若在)0,(x Ψ态上测量能量的平均值为ω=2

3，试求系数C 。 ２）写出时刻振子的波函数，并求出此时测量能量的取值不小于平均

值的几率。

0>t ３）求时刻振子宇称的可取值、取值几率和平均值。 0>t

二、[25分]

在位场)0()()(00>=V x V x V δ中，质量为的粒子从m ∞−处向右运动，试问能量E 如何取值，粒子刚好能有一半的几率被反射回来？

三、[25分]

已知力学量的本征值谱和正交归一化本征态矢系分别为和 Q ˆ}{n

q }{|>n (，)。现有算符方程，其中"3,2,1=n 0≠n q >>=ψϕ||ˆQ

>ψ|为已知态矢。 １）在表象中求出态矢Q >ϕ|的表达式。

２）若以和分别表示投影到ϕP ˆψ

P ˆ>ϕ|和>ψ|上的投影算符，试求出它们在表象中的矩阵表示之间的关系。

Q ３）试给出算符的定义，并论证其合理性。 3/1ˆQ

四、[25分]

设一自旋粒子的能量算符为

2/1z

y x S C S B S A H ˆˆˆˆ++= 其中A 、B 、C 均为实数。

１）求粒子的能量本征值和本征态矢。

２）若粒子处在H

ˆ的一个本征态上，求粒子自旋分量向上的几率。 y

五、[25分]

设两个质量为m 、自旋为的全同粒子通过位势

2/12212)4()(r b s s a r V −⋅−=G G =

作用，其中r 为两粒子间距离，1s G 和2s G 分别为两粒子的自旋算符，a 为大于

零的实数。

１）为使两粒子束缚在一起，b 应如何取值？ ２）若取，试求基态能量和简并度。

2/3=b ３）若0=b ，求处于基态时两粒子间距离的均方根。

六、[25分]

设体系能量算符为 且有 ,'ˆˆˆ0H H H +=,||ˆ)0(0

>>=i E i H i ,|ij j i δ>=<);2,1(=i ;2|1|1|'ˆ>+>>=b a H 、b 均为实数，且为小量。 ,2|1|2|'ˆ>−>>=a b H a １） 若，求体系能级至二级近似，并求出一级近似态矢量。 )0(2)0(1

E E ≠２） 若，求体系能级至一级近似，并求出零级近似态矢量。 )0(2)0(1E E =